System der Raumlehre : nach den Prinzipien der Grassmann'schen Ausdehnungslehre und als Einleitung in dieselbe dargestellt

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SYSTEM

DER

EA UMLEHRE.

NACH DEN PRINZIPIEN

DER

GRASSMANN'SCHEN AUSDEHNUNGSLEHPtE

UND ALS EINLEITUNG IN DIESELBE

DARGESTELLT

VON

VICTOE SCHLEGEL,

SIATHEMATIKER AM GYMNASIUM ZU WAKKN.

ERSTER THEIL: GEOMETRIE.

DIE GEBIETE DES PUNKTES, DER GERADEN, DER EBENE.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.

1872.

DEM

SCHÖPFER DER AUSDEHNÜNGSLEHRE ,
HERRN

HERMANN GRASSMANN

PROFESSOR AM MARIENSTIFTS-GYMNASIUM IN STETTIN

ZUGEEIGNET

VOM VERFASSER.

— VI —

Vergessenheit entrissen zu haben ; und nichts konnte gün-
stiger zusammentreffen, als das Erscheinen der Ausdehnungs-
lehre und der von jener Gesellschaft gestellten Preisaufgabe:
„den von Leibniz erfundenen geometrischen Calcul w^ieder
herzustellen und weiter auszubilden, oder einen ihm ähnlichen
aufzustellen." Mit einer kurzen Darstellung der theilweise
schon weiter ausgeführten Hauptgedanken der Ausdehnungs-
lehre, eingeleitet durch einen kritischen Rückblick auf Leibniz'
Bestrebungen, erwarb Grass mann den Preis. Drei Jahre
später als die Ausdehnungslehre (1847) erschien die Preis-
schrift, gefolgt von einer commentirenden Abhandlung von
Möbius. In den folgenden zehn Jahren brachte Cr eile 's
Journal eine Reihe von Aufsätzen, in welchen Grassmann
Anwendungen seiner Analysis auf die höhere Geometrie gab.
Aus allen diesen Arbeiten ist am bekanntesten die nach dem
Entdecker genannte Erzeugungsart der Oberflächen 3^*^'" Ord-
nung. Dahingegen vermochte gerade die wichtigste Arbeit,
die Ausdehnungslehre, nicht, in grössere Kreise zu dringen
oder zu weiterer Bearbeitung Anregung zu geben. — Die
Gründe hierfür sind theils in den Zeitverhältnissen, theils in
der Sache selbst zu suchen. — Ein Zeitalter, welches die
imaginären Grössen noch als unmögliche ansah, und die
„nicht-euklidische^' Geometrie mit Kopfschütteln betrachtete,
konnte natürlich auch au den n Dimensionen der Ausdeh-
nungslehre nur wenig Geschmack finden, und noch weniger
vielleicht an den ungewohnten Operationen mit ebenso un-
gewohnten Objecten. Dazu kam wohl auch der Umstand,
dass die mathematischen Kräfte der letzten Jahrzehnte vollauf
beschäftigt waren mit der Ausbildung der Theorieen eines
Jacobi, Dirichlet, Steiner, Möbius, Plücker, Hesse
und Anderer, die alle einen Kreis eifriger Schüler um sich
sammelten, während dem Verfasser der Ausdehnungslehre
das Geschick eine gleiche Wirksamkeit versagt hatte. — End-
lich aber darf nicht unberücksichtigt bleiben, dass das Werk
in seiner mehr philosophischen als mathematischen Form,
ungewöhnlichen Inhalt in ungewöhnlicher Form bietend, dem
Studium grosse Schwierigkeiten entgegensetzte, deren Bewäl-
tigung nicht einmal ein sehr lockendes Ziel verhiess. Denn
die Ideenkreise des Buches lagen von denen der übrigen

VII —

gleichzeitigen Bestrebungen in der Mathematik weit entfernt,
und die räumliehen Anwendungen kamen meist nur der Ele-
mentar-Geometrie zu Gute, welche damals noch unerschüttert
auf der Euklid'schen Basis thronte. — Aus der Wahrnehmuno-
dieser Schwierigkeiten ging nun eine neue Bearbeitung der
Ausdehnungslehre hervor, die gleichzeitig einen zweiten (schon
in der ersten Ausgabe in Aussicht genommenen) Theil um-
fasste, und im Jahre 1862 erschien. Hier sehen wir den
ganzen Stoff in die mehr gegliederte Form von Lehrsätzen
und Beweisen gebracht. Aber wenn auch dadurch eine dem
Mathematiker geläufigere Form der Darstellung erreicht war,
so hatte doch die Sache selbst wenig gewonnen, da die neue
Form den Ueberblick über das ganze System wesentlich er-
schwerte, und die Beweise in ihrer nothwendigen Länge un-
gemein ermüdend waren. So hat denn bisher auch diese
zweite Bearbeitung die Zahl der Freunde dieser neuen Wissen-
schaft, soweit mir bekannt geworden, nicht erheblich ver-
mehrt. — Gleichwohl deuten alle Anzeichen darauf hin, dass
die Zeit, wo dieselbe in die Entwickeluug der Mathematik
eingreifen wird, nicht mehr fern ist. — Die neueren Methoden
der analytischen Geometrie nähern sich schon vielfach den
Ideen der Ausdehnungslehre, und von den symbolischen Puukt-
gleichungen Hesse 's ist beispielsweise nur noch ein Schritt
bis zu deu Punktgrössen Grass mann 's.*) Auch sonst sind
in manchen Fällen von Anderen dieselben oder ähnliche Re-
sultate gefunden worden, wie sie an weniger beachteten Stellen
der Grassmann'schen Schriften niedergelegt sind. Vom
Standpunkte der höheren Geometrie aus ist neuerdings eben-
falls das Gebiet der n Dimensionen betreten worden, uud
die elementare Geometrie, die den nächsten und grössten
Nutzen aus den Anwendungen der Ausdehuungslehre zu ziehen
berufen ist, sucht sich aus den Fesseln des Euklid'schen Sy-

*) Diese nahe Beziehung fiel mir besonders auf, als ich eine mit
den Methoden der neueren Geometrie (1865) ausgeführte Arbeit über
zwei reciproke Oberflächen nach den Principien der Ausdehnungslebre
umarbeitete (Schulprogramm Waren 1871). — Vgl. auch z. B. Nr. 167
— 172 des vorliegenden Buches mit der Darstellung desselben Gegen-
standes bei Hesse, Vorlesgn. aus d. anal. Geom. d. geraden Linie
(Leipzig 1865) S. 51—59.

— VIII —

stems zu befreien, um mit der neueren Geometrie die noch
immer entbehrte und doch so sehr nöthige Fühlung zu ge-
winnen. Endlich hat es in jüngster Zeit auch nicht an be-
achtenswerthen Stimmen gefehlt, welche der neuen Wissen-
schaft ihre Anerkennung, ja selbst Bewunderung zollten.*)

Unter diesen Umständen habe ich es in vorliegender
Arbeit unternommen, die Ausdehnungslehre auf die räum-
lichen Gebiete anzuwenden, oder mit anderen Worten: diese
Wissenschaft, anstatt für ein Gebiet von n, für die Gebiete
von 0, 1, 2, 3 Dimensionen zu behandeln. Der Vortheil,
welcher aus dieser Behandlungsweise erwächst, ist ein dop-
pelter. Erstens finden die im Fortschritt der Analysis ge-
wonnenen Formeln ihre Anwendung auf die anschaulichen
Gebilde des Raumes und gewinnen dadurch an Begreiflich-
keit und an Reiz 5 auch kann für diese vier ersten Stufen
der Ausdehnuugslehre die ganze Terminologie der Raumlehre
entlehnt werden. Sodann aber giebt jedes neue Gebiet, wel-
ches man betritt, zu einer Wiederholung und Erweiterung
der im vorigen angestellten Betrachtungen Anlass, wodurch
die Aneignung der neuen und ungewohnten Operationen un-
gemein erleichtert wird, — Um nun mit Hilfe der Ausdeh-
nuugslehre die Raumlehre zu begründen, ist es keineswegs
nöthig, das ganze Material der neuen Analysis anzuwenden.
Schon die Hauptbegriffa und die Grundformeln reichen hierzu
aus, während der volle Reichthum an Beziehungen, den die
Ausdehnungslehre enthält, erst in höheren Gebieten zur Ent-
faltung kommt. Daher dient diese Schrift auch eben nur
zur Einführung in jene Wissenschaft, und soll das Studium
derselben erleichtern. Dieselbe würde, falls der vorliegende
erste Theil den Beifall des mathematischen Publikums finden

*) Man sehe namentlich: Hankel, Vorlesgn. üb. d. complexen
Zahlen (Leipzig 1867) S. 16, 105, 140, und Clebsch, Zum Gedächtniss
an J. Plücker (Göttingen 1872) S. 8, 28. — Ueber die Entstehung
und Geschichte der Ausdehnungslehre (die ich an dieser Stelle nur im
Allgemeinen, soviel zur Orieutirung nöthig ist, verfolgen konnte) geben
die beredteste Auskunft die Vorreden zu den beiden Ausgaben der
„Ausdehnungslehre". Ich bin überzeugt, dass, wer diese beiden Vor-
reden gelesen, dieselben nicht ohne lebhaftes Interesse für den Ver-
fasser und sein Werk aus der Hand legen wird.

— IX —

sollte, durch einen zweiten, welcher das Gebiet des Raumes
behandelte, ihren Abschluss finden, und es würde damit auch
für eine analoge Darstellung der allgemeinen Ausdehnungs-
lehre der Weg einigermassen geebnet sein.

Um in die ungemeine Mannigfaltigkeit der Beziehungen,
wie sie schon' im Gebiete der Ebene hervortritt, einige Ord-
nung zu bringen, war ich auf die Aufstellung eines Systems
bedacht, welches, wenn sachgemäss, in jedem neuen Gebiete
nur gehörig erweitert zu werden braucht. Ich hoffe, dass
durch Anwendung dieser Behandlungsweise auch die allge-
meine Ausdehnungslehre an Uebersichtlichkeit und Fasslich-
keit gewinnen wird. Diese, von der Grassmann'schen
wesentlich abweichende Darstellung nöthigte mich aber auch
in einzelnen Fällen, wo ich keine Vorarbeit vorfand, zu selb-
ständiger Ausfüllung der entstehenden Lücken. Da ich stets
auf die Parallelstellen in den Grassmann'schen Werken
verwiesen habe, so wird der aufmerksame Leser jene Fälle
leicht herausfinden und beurtheilen können.*) — Noch erlaube

*) Zur Orientirung füge ich eiu Verzeichniss derjenigen Schriften
Grassmann's bei, welche für das vorHegende System von besonderer
Bedeutung waren, und aufweiche darin vielfach Bezug genommen wird.

1. Die lineale Ausdelmungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik,
dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Ma-
thematik, -wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetis-
mus und der Krystallonomie erläutert. Leipzig 1844 bei Wigand.

2. Geometrische Analyse, geknüpft an die von Leibniz erfundene
geometrische Charakteristik. Gekrönte Preisschrift (von der Fürstlich
Jablonowski'schen Gesellschaft). Mit einer erläuternden Abhandlung
von A. F. Möbius. Leipzig 1847 bei Weidmann.

3. Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form be-
arbeitet. Berlin 1862 bei Enslin.

4. Ahhandlimgen in Cr eile's Journal für reine und angewandte
Mathematik.

1) Theorie der Centralen. Bd. 24 u. 25. (1842). — 2) Grund-
Züge zu einer rein geometrischen Theorie der Curven, mit An-
wendung einer rein geometrischen Analyse. Bd. 31. (1846). —
3) Ueber die Erzeugung der Curven dritter Ordnung durch
gerade Linien und über geometrische Definitionen diesen Curven.
Bd. 36. (1848). — 4) Der allgemeine Satz über die Erzeugung
aller algebraischen Curven durch Bewegung gerader Linien. —
5) Die höhere Projectivität und Perspectivität in der Ebene,
dargestellt durch geometrische Analyse. — 6) Die höhere Pro-

— X —

ich mir, an dieser Stelle auf den Umstand aufmerksam zu
machen, dass eine beträchtliche Anzahl der aufgestellten
Sätze unmittelbar auf das Gebiet der Mechanik übertragen
werden kann.

Wenn ich im Vorstehenden die Beziehung meiner Arbeit
zur Ansdehnungslchre erörterte, so habe ich andrerseits noch
den Standpunkt hervorzuheben, welchen sie gegenüber den
bisherigen Bearbeitungen der Elementar - Geometrie vertritt.

Während die verschiedenen Zweige der höheren Mathe-
matik in der neueren Zeit durch stetige Vervollkommnung,
namentlich Vereinfachung der Methoden, einen hohen Grad
der Ausbildung erlangt haben, entbehren die Elemente der
Mathematik bis auf den heutigen Tag nicht nur jener an-
sprechenden Form, sondern überhaupt jeder wissenschaftlichen
Begründung, jeder systematischen Behandlung, die auch nur
entfernt mit den Darstellungen der höheren Mathematik sich
messen könnte. Seit Ohm's ,, Versuch eines vollkommen con-
sequenten Systems der Mathematik" ist überhaupt die An-
zahl ähnlicher Versuche verschwindend klein gewesen, gegen-
über der Unzahl von ,, Lehrbüchern" oder „Leitfaden" der
elementaren Mathematik, welche alle den Versuch machten,
das herkömmliche festgeordnete mathematische Pensum "tter
höheren Lehranstalten in Formen zu bringen, die den wissen-
schaftlichen oder pädagogischen Bedürfnissen ihrer Verfasser
genügen sollten. Aber eben das durch alte Gewohnheit stipu-
lirte Schulpeusum hinderte jede freie Regung auf diesem
Gebiete, welchem überdies fast nur solche Kräfte sich wid-

jectivität in der Ebene, dargestellt durch Funktionsverknüpfun-
gen. Bd. 42. (1851). — 7) Erzeugung der Curven vierter Ord-
nung durch Bewegung gerader Linien. Bd. 44. (1852). —
8) Allgeraeiner .Satz über die lineale Erzeugung aller alge-
braischen Oberflächen. — 9) Grundsätze der stereometrischen
Multiplicatiou. — 10) üeber die verschiedenen Arten der linea-
len Erzeugung algebraischer Oberflächen. — 11) Die stereo-
metrische Gleichung zweiten Grades und die dadurch darge-
stellten Oberflächen. — 12) Die stereoraetrische Gleichung
dritten Grades und die dadurch erzeugten Oberflächen. —
13) Sur les diffe'rents genres de multiplication. Bd. 49. (1851).
— 14) Die lineale Erzeugung von Curven dritter Ordnung. Bd.
52. (1856).

— XI —

meteri, die von vornherein dem Bedürfniss der Schule jede
andere Rücksicht unterordneten.

So erblicken wir denn noch heute in der betreffenden
Literatur die ,, Arithmetik und Algebra" meist in Form eines
Conglomerates lose zusammenhängender Rechenregeln mit
allerlei aus alter Zeit stehen gebliebenen praktischen ,, An-
hängen", so die ,, Geometrie und Stereometrie" als eine
Sammlung willkürHcher Grundsätze, mehr oder minder dunk-
ler Erklärungen und geometrischer Kunststücke.

Dieser ungenügende Zustand der Elemente offenbart sich
aber am deutlichsten in seinen Wirkungen auf das Studium der
Wissenschaft. Ihm vorzüglich, nicht ihrem abstracten Inhalte,
verdankt es die Mathematik überhaupt, dass sie selbst dem
gebildeten Publikum gegenüber die Rolle einer modernen
„schwarzen Kunst" spielt, nur zugänglich den besonders
dafür prädestinirten Naturen. Ihrem gegenwärtigen Zustande
verdanken es die Elemente insbesondere, dass sie auf der
Schule die Plage so vieler sonst gut veranlagten Köpfe sind,
dass sie nur einer verschwindenden Minderzahl ein Interesse
abzugewinnen, und auch von dieser nur einen Bruchtheil zur
Fortsetzung dieses Studiums zu begeistern vermögen.

Aber je grösser die Fülle von Ergebnissen wird, mit
welcher uns heut zu Tage die gesammten Naturwissenschaf-
ten überschütten, und je mehr man zur Erkenntniss gelangt,
eine wie oberflächliche und darum ungenügende Belehrung
die sogenannten ,, populären" naturwissenschaftlichen Schrif-
ten und Vorträge dem gebildeten Publikum gewähren, desto
mehr wird auch der Werth einer wahren mathematischen
Bildung steigen, desto mehr das Bedürfnis? sich heraus-
stellen, jedem Schüler, der die oberen Klassen verlässt, wenig-
stens die Grundlagen dieser Bildung mitzugeben, während
die dem Schüler gegenwärtig geboteneu Kenntnisse und
Fertigkeiten für seine wissenschaftliche Bildung von sehr
geringem Werthe sind, weil dieselben ihm keinen Begriff von
einer wissenschaftlichen Methode geben, mit welcher er
weiter arbeiten könnte.

Wie sehr nun das Bedürfniss einer Neugestaltung, na-
mentlich auf dem Gebiete der Raumlehre, sich schon gegen-
wärtig geltend macht, zeigt u. A. eine sehr lesens werthe

— XII —

redactionelle Aeusserung der ,,Ztschr. f. math. u. naturw.
Unterricht'', Jahrg. 1. (1870), S. 490, in welcher es schliess-
lich heisst, es sei gerade ein Hauptzweck dieser Zeitschrift,
eine rationellere Lehrmethode der Geometrie mit begründen
zu helfen. — Diesen Bestrebungen sich anschliessend, möge
das vorliegende System der Raumlehre als ein Versuch be-
trachtet werden, das übliche Material der Geometrie auf einer
durchaus neuen Basis zu verarbeiten, und zwar mittelst der
heuristischen Methode, deren Werth für die bildende Kraft
des Unterrichts allgemein anerkannt ist, der aber das bisher
übliche System der Geometrie sich durchaus nicht fügen will,
weil es die Mehrzahl seiner Resultate auf dem Umwege ge-
winnt, welcher durch die Congruenz der Dreiecke führt.*)

Da nun der Inhalt des Systems keineswegs überall mit
demjenigen Stoffe zusammenfiel, welcher in den bisherigen
Lehrbüchern behandelt zu werden pflegt, so wurden am Ende
mehrerer Eutwickelungsstufen unter der Rubrik „Erweiterun-
gen" Abschnitte hinzugefügt, in welchen die zuletzt ent-
wickelten Sätze zur Ableitung andrer bekannter Sätze benutzt
wurden. — Auf -diese Weise wui;de fast das ganze Material
der üblichen Lehrsätze an den geeigneten Stellen dem System
eingefügt. Ausgeschlossen blieb nach dem Plane des Ganzen
das Gebiet der Aufgaben. Nur beispielshalber wurden manche
fernliegende Sätze als Aufgaben der zugehörigen Entwicke-
lung vorangestellt, und an dem Beispiele der einfachsten
Constructionsauf gaben wurde gezeigt, wie aus dem Material
der Sätze solche Aufgaben sich bilden lassen. — Diejenigen
Gegenstände der neueren Geometrie, welche in den Lehr-
büchern meistens nicht enthalten sind, namentlich die Grund-
züge der älteren und neueren analytischen, und der neueren
synthetischen Geometrie traten natürlich von selbst durch
die Entwickelung des Systems an ihrem Platze hervor; hier
wurde jedoch das Gebiet der Erweiterungen mit den Linien
zweiten Grades geschlossen, um dem Ganzen den Charakter
des Elementaren zu erhalten. — Für die Anwendung der

*) Man vergleiche die Kritiken dieses Systems bei Hankel, Bie
Entwickelung der Mathematik in den letzten Jahrhunderten (Tübingen
1869), S. 9, und Grassmann, Ausdehnungslehre I. § 21 ff.

— XIII —

Ausdehnungslehre auf Probleme der höhereu Geometrie ist
durch diese Grundlagen der Weg geebnet. Wie sehr die
Behandlung auch dieser Gegenstände an Einfachheit gewinnt,
hat Grassmann selbst in seinen Abhandlungen an mehreren
Beispielen gezeigt; und der systematische Ausbau der höheren
Geometrie nach dieser neuen Methode wird einst eine loh-
nende Aufgabe sein.

Ich bin mir wohl bewusst, dass die von mir vertretenen
und in dieser Arbeit niedergelegten Ideen denjenigen nicht
gefallen werden, welche den gegenwärtigen Zustand der Ele-
mentar - Mathematik für befriedigend halten, sei es, dass sie
selbst an der Verbesserung desselben auf der alten Basis mit-
gearbeitet, oder dass sie sich auch nur in die von Jugend
auf genährten Anschauungen eingelebt haben. Aber ich darf
auch bei allen meinen Lesern jenes Interesse an der Ent-
wickelung der Wissenschaft voraussetzen, welches eine vor-
urtheilsfyeie Prüfung neuer Anschauungen ermöglicht, und,
wenn dieselben als ein Fortschritt gegen die alten sich heraus-
stellen, in dem weiteren Ausbau derselben eine lohnende
Arbeit findet.

Und so möge denn dieses Buch einerseits als Einleitung
in die Ausdehnungslehre, andrerseits als neues System der
Geometrie der Aufmerksamkeit des mathematischen Publikums
empfohlen sein.

Waren, im September 1872.

V. Schlegel.

Iiili alt.

Seite

Einleitung 1

Erste Abtheihiiig: Gebiet des Punktes.

I. Der Punkt als System 4

II. Grössen im Gebiet des Punktes.
Die Punlctgrösse 4

Zweite Abtlieilung-: Gebiet der Geraden.

I. Die Gerade als System.
]. Bestimmung dwrch einen beweglichen Punkt ... 6
2, Bestimmung durch mehrere feste PimTcte .... 7
II. Grössen im Gebiet der Geraden.
A. Abgeleitet aus einem betveglichen Punkte. — Die Strecke.

a) Einmalige Bewegung des Punktes. — Eine Strecke 7

b) Mehrmalige Bewegung des Punktes. — Mehrere Strecken . . 8

c) Bewegung einer Strecke auf einer Geraden 9

B. Abgeleitet aus zwei festen Punkten.

a) Grössen vom ersten Grade 12

b) Grössen vom zweiten Grade 15

Dritte Abtheilung- : Gebiet der Ebene.

I. Die Ebene als System.

1. Bestimmung durch eine heivegliche Gerade.

a) Lagenänderung der Geraden 18

b) Richtungsänderung der Geraden 19

2. Bestimmung durch mehrere feste Geraden .... 22

II. Grössen im Gebiet der Ebene.

a) Einzelne Grössen.

A. Abgeleitet aus einer beweglichen Geraden.

91. Grössen, durch Schiebung einer Geraden erzeugt.

1. Bewegung einer Geraden 23

2. Bewegung eines auf der Geraden liegenden Punktes .... 24

'— XV —

Seite

3. Bewegung einer auf der Geraden liegenden Strecke 25

4. Bewegung eines auf der Geraden liegenden Linientheils. — Das
Parallelogramm.

a) Einmalige Bewegung des Linientheils : jE'm Parallelogramm 27

b) Mehrmalige Bewegung des Linientheils : Mehrere Parallelo-
gramme 28

c) Bewegung eines Parallelogramms auf einer Ebene ... 32

93. Grössen, durch Drehung einer Geraden erzeugt.

a. Drehung um einen auf der Geraden liegenden Punkt.

1. Bewegung einer Geraden. — Der Winkel.

a) Einmalige Drehung der Geraden. — Ein Winkel .... 35

b) Mehrmalige Drehung der Geraden.. — Mehrere Winkel. . 42

c) Bewegung eines Winkels auf einer Ebene 45

2. Bewegung eines auf der Geraden liegenden Punktes. — Die
Kreislinie 48

3. Bewegung einer auf der Geraden liegenden Strecke 49

4. Bewegung eines auf der Geraden liegenden Linientheils. — Die
Kreisfläche ' 62

b. Drehung um einen ausserhalb der Geraden liegenden Punkt.

1 . Bewegung einer Geraden 63

2. Bewegung einer Strecke 65

B. Abgeleitet aus mehreren festen Strecken oder Punkten.

1. Einfache Grössen.

2t. Abgeleitet aus mehreren festen Punkten.

a) Grössen vom ersten Grade 70

b) Grössen vom zweiten Grade.

a) Differenz von Linientheilen 86

ß) Product von Strecken 92

c) Grössen vom dritten Grade 96

33- Abgeleitet aus mehreren festen Strecken und Punkten.

■ a) Punkte., aus Geraden (und Punkten) 100

b) Zahlen, aus Strecken (und Punkten) 116

2. Zusammengesetzte Grössen 129

b) Tereine von (Jrössen.

21. Vereine von abhängigen Grössen.

a. Mit beschränkter Gliederzahl. — Punktejjaare und

Linienpaare.

1. Anharmonisches und harmonisches Verhältniss 133

2. Centralität und Polarität 137

b. Mit unbeschränkter Gliederzahl. — Punktreihen und

Stralenbüschel.

1. Ein Verein 141

2. Mehrere Vereine 142

— XVI —

SB. Vereine von hcliehigcn Grössen.

1. Ein Verein 146

2. Mehrere Vereine.

a) Allgemeine Beziehungen 147

b) Besondere Beziehungen

a) Directe Verwandtschaften 149

ß) Keciproke Verwandtschaften 151

Verzeichniss der erklärten Ausdrücke 154

Einleitung. ''")

In der Ausdehnungslehre betrachten wir die aufeinander- 1.
folgenden Zustände eines Dinges als verschieden. Die Aen-
derung, durch welche diese Zustände erzeugt werden, nennen
wir Beivegung , und das Ding selbst in seinen verschiedenen
Zuständen: Punkt. — Den Inbegriff einer ununterbrochenen
(stetigen) Reihe solcher Zustände nennen wir ein Gebilde,
und bezeichnen mit demselben Namen auch den Inbegriff
der successiven Zustände eines bewegten Gebildes.

Anm. In der That erscheinen selbst im Sprachgehrmiche Dinge
aller Art als Punkte, sobald es sich um keine ihrer sonstigen Eigen-
schaften handelt, sondern nm- um die Bewegung, welche die Dinge
selbst machen müssen, um zu einander zu gelangen, oder unser Geist,
um von einem zum andern zu kommen. In diesem Sinne werden z. B.
Städte auf einer Landkarte, die Sterne am Himmel, Menschen, die wir
aus grösserer horizontaler oder vertikaler Entfernung erblicken, ja selbst
Landflächen, sobald nur ihre OertUchkeit hervorgehoben wird, als Punkte
aufgefasst und bezeichnet. — Dieselbe Abstraction aber, welche uns
von der concreteu Einheit zum Begriff der Zahl Eins führt, leitet uns
auch von dem als Punkt aufgefassten Dinge zum Begriff des Punktes
selbst.

Indem man einen Punkt sich bewegen lässt, und die von 2.
ihm continuirlich durchlaufenen Zustände zu einem Begriffe
vereinigt, erhält man ein Gehüde V"'' Stufe. Ebenso entsteht
aus einem bewegten Gebilde V'^' Stufe ein Gehüde 2"='" Stufe
u. s. f. — Die Bewegung, durch welche ein Gebilde hervor-
gegangen ist, haftet an ihm als eine Eigenschaft, die man
Ausdehnung nennt. Hiernach hat der Punkt selbst (Gebilde
0'"'' Stufe) Jceine Ausdehnung, ein Gebilde 1'«'' Stufe eine,
überhaupt ein Gebilde w''"' Stufe n Ausdehnungen.

Jede Bewegung kann begrenzt oder unbegrenzt gedacht 3.
werden.

*) Vgl. Grassraann, Ausdehnungslehre I. Einleitung S. XXVII ff,

Schlegel, Syst. d. Rattmlehre. 1

— 2 —

Jra ersten Falle bilden der Anfangs- und der Endzustand
des bewegten Gebildes die Grenzen für das erzeugte Gebilde.
Durch diese Begrenzung erhält das erzeugte Gebilde die Eigen-
schaft der Grösse y vorausgesetzt, dass das bewegte Gebilde
ebenfalls ein begrenztes war.

Anm. Uebereinstimmung in der Grösse lieisst Gleichheit.

Ein Gebilde w^«"" Stufe heisst also hegrenzt, wenn es durch
begrenzte Bewegung eines begrenzten Gebildes (n — l)^'^'"
Stufe entstanden ist. — Durch unbegrenzte Bewegung eines
begrenzten, oder durch begrenzte Bewegung eines unbegrenz-
ten Gebildes entsteht ein unvollkommen begrenztes Gebilde;
durch unbegrenzte Bewegung eines unbegrenzten Gebildes
entsteht wieder ein unbegrenztes. — Das Element selbst kann
als begrenztes Gebilde betrachtet werden. — Ein begrenztes
Gebilde heisst kurz: Grosse.

Indem ein bewegtes Gebilde aus dem Endzustande auf
dem vorigen Wege in den Anfangszustand zurückkehrt, er-
zeugt es dasselbe Gebilde höherer Stufe zum zweitenmale,
nur in umgekehrter Reihenfolge der Zustände. Die neue Be-
wegung heisst: der ersten entgegengesetzt. Jedes durch Be-
wegung erzeugte Grössengebilde kann also auf 2 Entstehungs-
weisen zurückgeführt werden, die einander entgegengesetzt
heissen.

Soll ziveitens die Bewegung eines Gebildes unbegrenzt
gedacht werden, so muss das erzeugende Gebilde zwei ent-
gegengesetzte Bewegungen ausführen, da bei einer Bewegung
allein sein Anfaugszustand eine Grenze für das neue Gebilde
sein würde. Durch die ursprüngliche Stellung des bewegten
Gebildes wird also das neue Gebilde in zwei Theile getheilt,
von denen man sagt, dass sie auf beiden Seiten des ersteren
liegen. — Ein unbegrenztes Gebilde n^^'^ Stufe heisst ein
System n^" Stufe, und ist der Inbegriff aller Aeuderungs-
weisen, welche ein unbegrenztes Gebilde {n — l)^'^''" Stufe bei
vorgeschriebener Art der Bewegung erleiden kann. — Das
Element kann auch als System 0^'"' Stufe betrachtet werden.

Bewegt ein Gebilde sich so, dass es, ohne den frühereu
Weg zu durchlaufen, in den Anfaugszustand zurückkehrt, so
entsteht ein begrenztes Gebilde, dessen beide Grenzen zu-
sammenfallen, und auf welchem unbegrenzte Bewegung ohne

— 3 —

Umkehr möglich ist, indem derselbe Weg unaufhörlich zurück-
gelegt werden kann.

Ein begrenztes Gebilde kann stets als Theil eines unbe-
grenzten von gleicher Stufe betrachtet werden; man erhält
es aus dem letzteren, indem man zwei Zustände des beweg-
ten Gebildes als Grenzen auf dem System festsetzt. — Um-
gekehrt kann ein unbegrenztes Gebilde als Fortsetzung eines
begrenzten angesehen werden, und ist dann durch die beiden
Grenzen des letzteren vollkommen bestimmt.

Es giebt eine unheschrünläe Menge von Bewegungen, a.
zwischen denen ein Punkt im Anfange seiner Aenderung die
Wahl hat. Das unterscheidende Merkmal einer solchen An-
fanggbewegung heisst ihre BicJdung.

Fährt der Funkt in der einmal gewählten Anfangs-
bewegung fort, so heisst seine Gesammtbewegung einfach.
Das Merkmal einer einfachen Bewegung ist also ebenfalls
ihre Richtung.

Wählt aber der Punkt unablässig neue Anfangsbewegun-
gen, so heisst seine Gesammtbewegung zusammengesetzt. Das
Merkmal einer zusammengesetzten Bewegung ist ein Gesetz,
nach welchem die beständige Aenderung der Richtung erfolgt-

Die Reihenfolge zwischen mehreren Bewegungen eines
Punktes oder Gebildes ist für den Endzustand desselben gleich-
giltig.

Durch die besondere Art der Bewegung erlangt das er-
zeugte Gebilde die Eigenschaft der Gestalt. Alle einfachen
(d. h. durch einfache Bewegung entstandenen) Systeme gleicher
Stufe haben hiernach gleiche Gestalt. Ueberhaupt haben Ge-
bilde, welche durch dasselbe Bewegungsgesetz entstanden sind,
gleiche Gestalt.

Anm. Uebereinstimmung in der Gestalt heisst Aelmlichkeit , in
Gestalt und Grösse: Congruenz.

Auch ein Gebilde irgend welcher Stufe wird einer ein-
fachen oder einer zusammengesetzten Bewegung unterworfen
werden können. Ein Gebilde w^"^' Stufe heisst einfach, wenn
es durch einfache Bewegung eines einfachen Gebildes {n — 1)'®''
Stufe entstanden ist; andernfalls heisst es zusammengesetzt.
Das Element selbst wird als einfaches Gebilde betrachtet.

Sowohl die Grössengebilde n^"'' Stufe, als die Grenzen

1*

__ 4 —

derselben, welche Gebilde {n — 1)""^ Stufe sind, werden an
Systemen w'*-' Stufe betrachtet. Demnach kann man sagen,
ein System n^"" Stufe sei ein Gebiet, welches Grössen von
höchstens w""'", und Systeme von höchstens {n — l)'^'^'' Stufe
umfasst.

Die ersten Gebiete heissen ihrer Stufenfolge nach : Punkt,
Gerade, Ebene, Raum.

Zur Bezeichnung der verschiedenen Gebilde bedient man
sich einzelner Buchstaben, oder gesetzmässiger Vereinigungen
von Buchstaben. Die Gebilde der vier ersten Gebiete können
ausserdem durch Zeichnungen dargestellt werden, ebenso die
zwischen diesen Gebilden herrschenden Beziehungen. Eine
solche Zeichnung heisst Construction.

Erste Abtlieilung.
Gebiet des Punktes.

I. Der Punkt als System.

5. Die verschiedeneu Zustände eines Jjcwegten Punktes nen-

nen wir seine Lagen. Diese letzteren können wieder als
selbständige feste Punkte betrachtet werden. Also:

1) Ein hestimmter hewegter Punkt ist gleichbedeutend mit
einer Reihe beliebiger fester Punkte.

2) Ein fester Punkt hat das Merkmal einer bestimmten
Lage und unterscheidet sich durch dieselbe von jedem anderen
festen Punkte.

3) Ein Punkt, der anfangen soll, sich zu bewegen, kann
nur seine Lage ändern.

II. Grössen im Gebiete des Punktes. — Die Punktgrösse.

G. Wenn ein Punkt e^ gegeben ist, so sagen wir, eine

Grösse A sei aus ihm abgeleitet, wenn

A = u^ . e,
ist, wo a, eine reelle Zahl ist. Es ist hiernach A eine ein-
fache, oder vielfache PimMgrössej die räumlich mit e^ zu-

- 5 -

sammeufällt, uud wir ueuneii ^4 eine Grösse ersten Grades,
iiisüferu sie durch eine Gleicliuug ersten Grades aus Cj be-
stimmt ist.

Anui. Es ist also zu iiuterscheiden zwischen dem reinen Aus-
dehnungsgebikle des Punktes und der mit dem Zahlenfactor Lehafteten
Punktgrösse.

Für Punktgrösseu, wie Ä, gelten nun alle Gesetze der?.
Rechnung mit Produkten, da man unter «j . e, nichts anderes
versteht, als die Summe e^ -\- e^ -{- • • - («jmal). Es ist also:
^1 .^ = («1 ./3i)ci; Ä : ßi = {a^ : ß,) . c,; c, = Ä : a,;

a^ = Ä : e^]
ferner, wenn B = ß^ e^ ist, wobei A und B gleichnamig
heissen :

A±B={a,±ß,)e,;
Ä:B={a^ Cj) : (ß^ e,) = (a, : /?,) . (e, : e,) = «i : ^i ,
da e, = 1 . c, ; also ßj : Cj = 1 ist; d. h.:

Produkt und Quotient aus einer PunJctgrösse und einer
Zahl ist eine gleichnamige PunJdgrösse.

Summe und Differenz von gleichnamigen PunJctgrössen ist
wieder eine gleichnamige PunJdgrösse.

Der Quotient ziveier gleichnamigen PunktgrÖssen ist eine
Zahl.

Der Inbegriff aller aus dem Punkte e^ ableitbaren Grössen 8.
heisst sein Gebiet. Räumlich fallt dieses Gebiet mit e, zu-
sammen. Verschiedene Punkte sind daher ebenso viele ver-
schiedene Gebiete.

Zwischen zwei Punktgebieten, die aus e, resp. &, abge-
leitet sind, giebt es kein gemeinsames Gebiet; dagegen heisst
das aus e, und e, abgeleitete Gebiet ihr verbindendes Gebiet.

Wenn A = a^ Ci und B = ß^ c, , so ist

und ^, ^

^"^»^^'^ ß,A = cc,B,

d. h.: Zwischen zwei gleichnamigen PunktgrÖssen besteht stets

eine Zahlbeziehung.

Aus ß^A = a^B folgt weiter :

A^^'B-, B=^'-A,

— 6 —

d. h. : Jede Grösse im Gebiete des Funltes e, Jcann statt aus
Ci aucJi, aus jeder anderen Grösse desselben Gebietes abgeleitet
werden.

Setzt man e, = 1 , so heisst Cj eine Einheit erster Stufe,
und es kann nun jede Grösse im Gebiete des Punktes e^ als
einfache Zahl ausgedrückt werden.

Zivei Fimldgrössen sind gleich^ ivenn ihre Zahlenfaetoren
{Coefficienten) gleieh sind, und sie in demselben Punldgehiete
liegen.

Zweite Abtheilung.
Gebiet der Geraden.

I. Die Gerade als System.

1. Bestimmung durch einen beweglichen Punkt.

Wenn ein Punkt seine Lage durch einfache Bewegung
ändert, so heisst das von ihm erzeugte Gebilde (sein Weg):
eine Gerade (gerade Linie).

Die Eigenschaften einer Geraden sind bestimmt:

1. Durch die Lage eines sie erzeugenden Punktes.

2. Durch die beständige Richtung der Bewegung dieses
Puuktes.

Die Merkmale einer Geraden sind hiernach: Lage und
Rieht ung.

Jeder Punkt auf derselben Geraden kann als erzeugender
angenommen werden. Jeder dieser Punkte theilt daher die
Gerade in zwei Theile, und kann sich in zwei entgegen-
gesetzten Richtungen auf ihr bewegen.

Jede Gerade repräsentirt demnach swei entgegengesetzte
Richtungen, und eine bestimmte Classe von Lagen.

Durch einen beliebigen Punkt auf ihr ist die Lage einer
Geraden, durch einen ziveitcn auch ihre Richtung bestimmt,
da dieser zweite als eine spätere Lage des ersten, bewegten,
betrachtet werden kann, also auch die Richtung der Bewe-
gung bezeichnet.

Eine Gerade und ein Punkt haben also dieselbe Lage,
wenn der Punkt a«/' der Geraden, verschiedene Lage, wenn

— 7 —

der Punkt ausserhalb der Geraden liegt. — Eine Gerade,
welche anfangen soll, sich zu bewegen, kann also entweder
ihre Laje oder ihre Richtung ändern.

2. Bestimmung durch m.ehrere feste Punkte. 10.

Eine beliebige feste Gerade a ist durch zwei beliebige
ihrer Punkte, A, B, vollkommen bestimmt. — Sie ist es noch,
wenn man A mit B vertauscht. Durch diese Vertauschungs-
fähigkeit ist ihre zweifache Richtung ausgedrückt. —

Hiernach ist die Ableitung einer Geraden aus zwei Punk-
ten .verglütchbar der Ableitung einer Summe aus zwei Sum-
manden; wir können daher sagen:

A -\- B = a', Die Summe zweier Punktsysteme A und

B -j- A = a. 5 ist die durch sie bestimmte Gerade a.

Sind drei Punkte auf der Geraden gegeben, A, B, C,

so ist die Gerade schon durch zwei beliebige davon bestimmt.

Also :

wenn A^ {B + C) = B + {C + Ä) :=C + {A-{- B) = a,
so ist: B-{-C=C-{-A = A + B==a.

Aus den letzten beiden Formeln folgt noch
A -\- a == a.
Dies ist die Bedingung, unter welcher ein Punkt A auf einer
Geraden a liegt.

Betrachtet man in der letzten Formel A und a als
Grössen, so muss entweder a = <X), oder A = 0 gesetzt wer-
den; d. h.: die Gerade enthält eine unbestimmte Menge von
Punkten; der Punkt hat, mit der Geraden verglichen, keine
Grösse.

Anm. Die Construction einer Geraden aus zwei auf ihr gegebenen
Punkten wird mit Hülfe des Lineals ausgeführt.

II. Grössen im Gebiete der Geraden.

A. Abgeleitet aus einem beweglichen Punkte. —

Die Strecke.

a) Einmalige Bewegung des Punktes. — Eine Strecke.

Durch begrenzte Bewegung eines Punktes entsteht ein n,
die Lagenänderung des Punktes bezeichnender Theil einer

Geraden, der Strecke genannt wird. Dieselbe ist vollkommen
begrenzt, also eine Grösse, weil der sie erzeugende Punkt
selbst vollkommen begrenzt ist (als Grösse betrachtet). —
Als Grenze an der Strecke beisst ein Punkt: Endpunld.

Eine Strecke a ist durch ihre beiden Endpunkte A, B
vollkommen bestimmt. Als vollkommen begrenztes Gebilde
ist sie namentlich auch ihrer Grösse nach bestimmt. — Aber
als Grösse betrachtet darf sie keine Zweideutigkeit in Bezug
auf ihre Richtung enthalten. Nun erhält sie durch Vertau-
schung von Ä und B die entgegengesetzte RicJdung.

Also entspricht die Ableitung einer Strecke aus zwei
Punkten der Ableitung einer Differenz aus Minuend und Sub-
trahend; wir können daher sagen:

A — B = a Die Differenz {Entfernung) zweier

B — A =^ ( — a) . Punkte A und B ist die durch die-

selben bestimmte Strecke a.

b) Mehrmalige Bewegung des Punktes. — Mehrere Strecken.

12. Wenn ein Punkt von A nach B, und dann von B nach
C sich bewegt, so legt er im Ganzeh die Strecke von A
nach G zurück. Da nun

4 -4 f {A-B)-\-(_B-ü) = {A-C),

so ist die letztere Strecke die Stimme der beiden ersteren; d. h. :
die Summe zweier mit ihren einen Endpunkten aneinander
gelegten Strecken ist die Strecke zivischen ihren anderen End-
punkten.

13. Durch Anwendung des Begriffs der Suhtraction findet
man:

{A~B) = {A — C)~{B — C).

d. h. : Die Differenz zweier mit ihren einen Endpunkten
aufeinander gelegten Strecken Jst die Strecke zivischen ihren
anderen Endpunkten.

14. Fallen die Punkte A und B zusammen, d. h. isi A = B,
so ist

I f {A-A) = {A — C) — {A — C) = 0.

15. Fallen die Punkte A und C zusammen, d. h. ist A = C,
so ist

— 9 —

{Ä -B) = (Ä -A)~{B- Ä) A js

Strecken mit entgegengesetzter RicJdung werden also be-
handelt wie Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen.

Aus 15. folgt noch: 16,

{A — B) + {B — A) = 0
und die Formel 13. lässt sich in folgenden drei Formen
schreiben :

{A-B) = {A-0-\-{C-B) f ^ f

iB-C)=={B-A)-^{A- C) f 4 f

{A — C) = {B~C)-\^{A- B). / 4 f

Alle drei aber geben:

{A-B)-^{B~ C) -\-(C-A) = 0,

womit die Ausdehnung unserer Betrachtung auf mehr als
zwei Strecken eingeleitet wird.

Anwendung des Begriffs der Midtiplication. — vSeien n 17.
Strecken auf einer Geraden : {A — B), {B — C), {C — B) . ..
{M — N) einander gleich, so kann, wenn

{A — B) = {B—C) = '-- = {M-N) = a

ist, die Summe derselben:

I i r ■ — — — ■ — F '

A — N ^^ n . a

gesetzt werden. Sei

A - N=s,

so ist :

s = n . a,

oder :

s : a =^ n,

d. h. : Der Quotient zweier Strecken auf derselben Geraden ist
eine Zahl.

c) Bewegung einer Strecke auf einer Geraden.

Bewegt eine Strecke a sich beliebig auf einer Geraden 18.
vorwärts, und ist {A — B) ihre Anfangs-, (^, — jB,) ihre
Endstellung, so erleidet der Lagenunterschied ihrer End-
punkte keine Veränderung; also ist:

10

— ; i \

{A - B) = {Ä, - B,).

Hieraus folgt:

{A - Ä,) = (B - B,);

und umgekehrt,

d.h.: Anfangs- und EndpunJct Wenn ztvci BunMe gleidie
einer hcwcyten Strecke legen Strecken auf einer Geraden
gleiche Strecken mrilck. zurücklegen, so hleiht ihre Ent-

fernung ungeändert.

Anm. Die Constructioti einer Strecke (J., — JBj), die mit einer
gegebenen (A — B) gleich ist, geschieht mit Hilfe des Cirkels.

19. Sei {A — B) = a; {A — A') = h.
Dann ist

A = B-{-a==A^-}-h,

d. h. : Die Summe aus einer Strecke und ihrem Endpunkte
ist ihr Anfangspunkt.

Ferner: B = A - a; A,=A-h,

d. h. : Die Differenz aus dem Anfangspunkte und der Strecke
ist der Endpunkt.

Ferner :

B -~ A^=h — «; A — B^=^a^J),

20. Die Formeln in 18. werden gleichlautend, wenn

Ai = B = M; also a = h.
Beide lauten dann:

i # f ' A- 31=31 ~B,,

d. h.: 31 ist von A und i>, gleichweit entfernt. 31 heisst
der 3Iittelj)unkt zwischen A und By, oder der Halhirungs-
punkt der Strecke (A — B^).*)
Aus der letzten Formel folgt:

A -^ By = 31 -^ 31 = 2 31; Die halbe Summe zweier Punkte
oder: itj A-\-B, stellt ihren 3Iittelpunkt dar.

2

Ferner ist in diesem Falle:
{B — ^,) = 0; {A — By) = 2a; Der Halhirungspunkt theilt
oder: (A — B) ^^''^ Strecke in zivei gleiche
"' = 2 ~ Theile.

*) Vgl. G. A. II. 225.

— n —

Die Formeln in 18. kann man übereinstimmend schreiben: 21.
Wenn zwei Streclicn A -\- B^ = B -{- A^-^

einander gleich sind, oder

so haben die Strecken — ~~^ = — ^ — - = M.

zivischen dem Anfangs-

punJcte der einen und __^ ^ M ^ Bi^

dem Endpunkte der
anderen denselben Hal-
hirungspiinld.

Die Formel A — M= M — J5, lässt sich auch schreiben : 22.
{M—B^)-{-{3I-A) = 0.
Nimmehr lässt sich der Begriif des Mittelpunktes dahin er-
weitern, dass man sagt: Für n Punkte A^ B, C, . . . N auf
einer Geraden ist derjenige Punkt der Mittelpunkt, welcher
der Bedingung genügt:

(M—A)-\-{M—B)-i ^{M - N) = 0.

oder : ^ ^ A + B + --- + N

n
Strecken, die mc/i^ aneinander liegen, werden erst nach 23.
18i aneinandergelegt und dann nach 12, addirt.

Sei die Summe von n Strecken gleich Null; also: 24.

{A — B)-{-{C-J))-\-(E-F)-\ = 0.

Dann können wir alle diese Strecken durch die Entfernungen
ihrer Endpunkte von einem einzigen beliebigen festen Punkte
B, ausdrücken, indem wir setzen:

{A — B) = (R - B) — {R — A).
{G~D) = {B — B) — {B — C).

sodass :

{B-A)-^{B-C)-\-{B-E)-^---

^(B-B)-{-{R-D) + {B -F)-\----
d. h.: Wenn eine Reihe von n Strecken aUf einer Geraden
die Summe Nidl giebt, so ist für jeden beliebigen PunJd der
Geraden die Summe der Entfernungen von den Anfangspunk-
ten gleich der Summe der Entfernungen von den Endpunkten.
Ist B = D = F = • • = M] so haben wir: 25.

{R — A) -j-(I^_(7) + {R — E)-\ ==w(E — Jf),

— 12 -

oder: nll = Ä -\- C -\- E -]

oder: Jf.^ a -]- C -\- E -^ ■ • ■ ^

d. li. : Wenn auf einer Geraden eine lieihe von n PunJäcn
gegeben ist, so ist für jeden heliehigen PunU der Geraden die
Summe der Entfernungen von diesen n Punkten gleich der
n fachen Entfernimg von deren llitfdpunlde.

Anm. Die Aufgabe: die Mitte zwischen einer Anzahl gegebener
Punkte zu suchen, ist hierdurch zurückgeführt auf die Aufgabe: eine
gegebene Strecke in n gleiche Theile zu theilen.

B. Abgeleitet aus zwei festen Punkten.

a) Grössen vom l'<^" Grade.

26. Seien e, und t% zwei feste Punkte auf der Geraden, Ä

ein beliebiger Punkt, und sei

^?£ 4 f^ (Ci — ^) = «2 (ci — e.) ,

worin «.^ stets bestimmt ist, da der Quotient zweier Strecken
auf derselben Geraden eine Zahl ist; dann erhält man:

oder, wenn man

1 — «^ = «, ; «1 + «.) = 1

setzt : . ,

A = ci^e^ -\- K^Ct-

Der Punkt A heisst nun „linear abgeleitet aus e, und e.,",
da er durch eine Gleichung vom ersten Grade in e bestimmt
ist. — Und die letzte Gleichung stellt allemal einen einfachen
oder n fachen Punkt dar, je nachdem a^ -\- a.^ = l oder = n
ist, wie sogleich erhellt, Avenn man sie Glied für Glied mit n
multiplicirt.

Sind a, und a^ beide < 1, so sind beide positiv, und
wir sagen: A liege zivisehen e^ und e^- Der Jubegriff aller
einfachen Punkte, welche dieser Bedingung genügen, heisst
ein Zweieck. Dasselbe fällt mit der Strecke (e, — c.^) zu-
sammen.

Ist aber «j > 1 und positiv, so ist a^ negativ, und A •
liegt ausserhalb der Strecke (c, — Cj) .

Sei ein anderer Punkt B gegeben, mit der Gleichung:

- 13 —

dann ist:

{A-B) = («, - /3,) e, + («, - ß,) e„

oder, wenn wir setzen: ,

woraus folgt:

V\ + r-i = ^'

{A — B) = y^e^ -{- y^^fi-^,
d. h. : Der Ausdruck y^e^ -\- y.^e^ stellt eine Strecke dar, wenn
j/j -[- ^2 = 0 ist. — Sind A und B w fache Punkte, so ist
auch {A — B) eine w fache Strecke.

Ist demnach a = cf i ^i + '^2 ^2 ' ^^ stellt a eine Punkt-
grösse oder eine Strecke dar, je nachdem a^ -j- a^ ungleich
oder gleich Null ist. Da a durch eine Gleichung l'^n Grades
in e, und e.^ abgeleitet ist, so sind FunktgrÖssen und Strecken
Grössen vom 1"^" Grade. — Da A und B beliebige Punkte
der Geraden sind, so ist auch jede beliebige Strecke auf ihr,
{A — B) aus Cj und Cj ableitbar.*)

Für Grössen 1 ^"'^ Grades, wie a, gelten nun alle Gesetze 27.
der Rechnung mit Summen von Producten. Es ist also:
d . a = (a^d) e^ -|- {a.,d) 62 ; a : ^ = («j : ^) e, -j- («2 : d) e^.
Ferner , wenn h = ß^e^ -\- ß2 ^2 ^^^ •

{a±h)=={a,±ß,)e^-\-{a,±ß,)e2.
Endlich, wenn noch «j -|- «._, = 0 und ß^ -\- ß^ = 0, oder
«2 = — «1 ; ßi "^^^ — ßi i^^*

«:& = [«] (ei — C2)] : [^1 (e, — e^)] = a,:ß,,
d. h.: Product und Quotient aus einer Grösse V"" Grades
und einer Zald ist tvicder eine Grösse 1'°" Grades.

Summe und Differenz von Grössen P*^" Grades auf der-
selben Geraden ist ivieder eine Grösse P'^" Grades.

Der Quotient zweier Strecken auf derselben Geraden ist
eine Zahl.

Anm. Der Quotient zweier Punktgrössen auf derselben Geraden
ist nur dann eine Zahl, wenn die Punktgrössen zusammenfallen. Denn
der Quotient a:h reducirt sich nur dann auf «, : ß,, wenn «2^1 = ^^1^2
oder ßi — ^ «jß, = a, — «ißi, d. h. wenn ccy = ß^ und orj = ß^ ist. fliervon
überzeugt man sich durch Ausführung der Division zwischen den Wer-
then von a und 6.

*) Vgl. (\. A. 11. 234. 235.

— 14 —

28. Der Inbegriff aller aus e^ und c, ableitbaren Grössen ist
ihr Gebiet. Dasselbe heisst Gebiet 2^*^' Stufe, und fällt räum-
lich mit der durch f, und e., bestimmten Geraden zusammen.

Zwei Geraden, die aus c, e.,; i'esp. Cg <?, abgeleitet sind,
haben Ivcin gemeinsames Gebiet, wenn keine dieser vier Grössen
aus den anderen abgeleitet werden kann. Ihr verbindendes
Gebiet ist das aus e, e.,e;^e^ abgeleitete, also 4'«'" Stufe.

Zwei Geraden, welche aus c, e.^ , resp. 63 H abgeleitet sind,
haben ein gemeinsames Gebiet l'""'' Stufe {e^\ ihr verbinden-
des Gebiet ist das aus f , e.^ Cj abgeleitete, also 3""' Stufe. Alles
unter der Voraussetzung, dass keine der drei Grössen aus den
anderen ableitbar ist.

Wenn

a = «I r, -f a^e,', h = ß^ e, + ß.^c,-, c = y^c^ -\- y.,c^,
so ist:

/i, a — «, h = (/3, «2 — «1 ^2) «2 ;

Vi ^^ — ßi^= (Ti ß- — ß\ ?■?) f-i j
also :

= ^>y\ {ßx fh — «I ß-i) — cßx ißi ci, — «, ^,),

oder :
a {ß^ y^^— y, ^2) -f h (7, «2 — a, y.^ + c (a, ß^ — /3, a^) = 0,

d. h.: zivischcn drei Grössen !'•"' Grades auf derselben Ge-
raden hesteld stets eine Zaldhczichimg . — Jede dieser drei
Grössen kann also aus den beiden anderen abgeleitet werden.

1) a, h, c seien Punkte. — Dann zeigt die letzte Glei-
chung die Al)leitung eines PunJdcs aus mvei anderen.

2) a sei Strecke, h, e Punkte. — Dann ist ai-\- a.^ = 0]
also :

« (^1 72 - Vxß-i) - ^cc, {y, + ^2) + ca, {ß, -f ß^) = 0.
Diese Gleichung zeigt die Ableitung einer Strcclce aus 0wei
Fnnläen, und eines FunJdes ans Strecke und Punkt.

3) a, h seien Strecken, c ein Punkt. — Dann ist auch
ßx + ßi = 0, und:

'<ßx (Yx + Y2) — ^«1 {y\ + ro) = 0;
oder, da y^ -f- y.^ nicht Null ist:

aß^ = })Uy.

— 15 —

Diese Gleichung zeigt die Ableitung einer Strecke aus einer
anderen.

Es besteht also schon zwischen zwei Strecken auf der-
selben Geraden eine Zahlbeziehung, wie schon oben ermittelt
wurde.

b) Grössen vom 2"'" Grade.*)

Das Product zweier Grössen 1'^" Grades ist eine Grosse 29.
2^''" Grades, — Seien zwei Grössen 1''" Grades gegeben:

a = a, c, + a.,r., ; h = ß^e^ -{- ß.,c.,,
dann ist:

ah = ai ß^ (61^1) + «, ß, (r^ c,) + «, /3, {e, e^ ) + a.^ ß^ (e^ e.,) .

Das Product der Grössen ist also auf die Producte ein-
facher Punkte zurückgeführt, und es kommt darauf an, die
letzteren zu definiren.**)

Unter dem Producte zweier Punkte e, und e^ {e^c.^) ver-
stehen wir einen Linientheil (Theil der Geraden), welcher
mit der Strecke (cj — e^ gleich lang und gleich gerichtet ist.

Anm. Die Strecke erscheint also als Lagenunterschied zweier
Punkte, der Linientheil als Theil der durch diese Punkte bestimmten
Geraden. Die Strecke ist eine arithmetische Grösse, der Linientheil
ein reines Ausdehnungsgebilde,

Hiernach ist die Multiplication zweier Grössen 1'^" Grades
zunächst durch das Gesetz zu bestimmen:

(e, d) = 0,
woraus auch (c., e^ = 0 folgt. Es bleibt also :
ab = ai ß., (e, e^) -f ß.^ /3, {e, c, ) .
Nun sind folgende Fälle mötjlich:

1) a und h sind vielfacJie PunJde. — Wenn a und h
zusammenfallen, so ist a = kh\ folglich «^ = yl/3, ; «^ = kß^,
und mau erhält:

0 = ah = Xß,ß,[{e,e,) + {e,e,)],

woraus folgt:

(c,e,) + {e.,e;) =0,
oder:
______ (e, 62) = — (C2C,) .

*) Vgl. G. A. I. § 28—30.

**) Die verschiedenen Multiplicationsgattungen hat Grassmanr.
behandelt in Grelle 's Journal Bd. 49." S. 12.S.

— 16 -

Dies ist das zweite der Gesetze unserer Multiplicatioii,
in welchem übrigens das erste enthalten ist, wie man sieht,
wenn man c, = Co annimmt. — Die Multiplication heisst
äussere, da die Punkte ausser einander liegen müssen, wenn
ihr Product einen geltenden Werth haben soll.

Das Product ah nimmt nun folgende Gestalt an:

ah = (cc^ß^ — a^ßi) (6162),
d. h. : Das Product siveier vielfachen PimUe ist ein vielfacher
Linientheil. — Es ist nur dann Null, wenn a^ß.^ — cc2ßi = 0,
d. h. wenn a und b in einen Punkt zusammenfallen.

2) a ist eine Strecl'e, h ein vielfacher Punkt. — In die-
sem Falle ist «j -{- «., = 0 , also :

ah = a^(ß^ + /Jj) (6,62);
d. h.: Bas Prodult aus einer Strecke und einem Punkte ist
ein Linientheil.

3) a und h sind Strecken. — Dann ist auch ß^ -\- ß2= 0,
und es bleibt:

ah = 0;

d. h.: Das Product zweier Strecken in derselben Geraden ist
Null.
30. Bezeichnen wir die Strecke (e, — e,) mit s, sodass

dann ist:
s . Cj = (e, — e.,) 63 = (e, e.^) — (62^2) = («i e.^) ,
s . ßi = (e, — C2) 61 = {e^e^) — (eoC,) = — (e^e^) = (^,62).
Demnach ist ein Linientheil das Product aus der ihm ent-
sprechenden Strecke und ihrem Anfangs- oder Endpunkte.*)

Anm. Wie die Zahl als Grössen bildender Factor am Punkte,
so haftet an diesem in gleicher Eigenschaft auch die Strecke. Es ent-
sprechen sich also in den beiden Gebieten des Punktes und der Ge-
raden: Punkt und Linientheil, Zahl und Strecke. Und wie die Zahlen-
coefficienten zweier gleich grosser Punktgrössen auch dann gleich sind,
wenn diese letzteren in verschiedenen Gebieten liegen, so auch die
Streckencoefficienten zweier gleich grosser Linientheile, wenn diese in
verschiedenen Gebieten liegen.

Sei (6162) = (c^ — 62) f'2 = {('i — e.2) e^

und ausserdem:

(C:jC4) = (^3 — f'4) 'U = («3 — ^4) «3 ;

*) Vgl. G. A. I. § 114. 115.

— 17 —

ferner: s = (c, — c-y) = (f';j — c,).

Dann ist:

(ej e,) — (C3 C4) = s C2 — s 64 = s (e.^ — c.,) =sc^ — se^ = s{c'^~ e^) .
Die rechte Seite dieser Gleiclmng wird Null, sobald die
Strecken s mit den Strecken (e^ — 64) und (e, — 63) in der-
selben Geraden liegen, d. b. sobald die vier Punkte Cj , Cj,
63, 64 in derselben Geraden liegen. Nur unter dieser ße-
dingung ist also:

(e, C2) = (63 64) .

Zwei Linienfheüe sind also gleich, ivenn die entsprechenden
StrecJcen gleich sind und in derselben Geraden liegen.^)

Sei ah ein Linientheil, und 31.

a -\- ßh = a^; ai if a

— 1-^;;^ 1 -^-j,- j

dann ist: -/ßij--- - -^i/""

a^ h = ab.

Sei ferner: , , ,

h -f- «riTj == h^ ;

dann ist: , , ,

^1 '^1 =^ '^'i b = ab .

Man sagt dann, «, sei durch lineale Aenderung aus a,
und &j ebenso aus b abgeleitet.

Ein Linientheil ändert also seinen Werth nicht, ivenn
seine Factoren lineale Aenderungen erleiden.

Setzt man (e^ c^) = 1, so kann man jede Grösse, die .32.
hieraus abgeleitet ist, durch eine Zahl bezeichnen; (c^ Cj)
heisst nun Längen- (Linien-) Einheit, und ist eine Einheit
2'*='' Stufe. Die daraus abgeleiteten Grössen heissen einfach,
wenn sie als Producte von zwei Grössen 1""' Stufe darstellbar
sind ; sonst zusammengesetzt.

Ferner heisst nun Cj die Ergänzung von c, ; in Zeichen:

€., = I e, .
und, da — {c.^e^) = 1; so ist

— e, = 1^2-
Daraus folgt noch :

Ihi = I ^2 = — e, .
Aum. Das Zeichen | , als Factor betrachtet, entspriclit also dem
Factor i (der imaginären Einheit).

*) Vergl. G. A. IL 247. 248.

Schlegel, Syst. d. Raumlehre.

— 18 —

Setzen wir in der Formel (e, e.,) = 1 den Werth Cj == | ßj
ein, so folgt:

bi I <h] = 1 ;

ebenso: r i i i .

[62162] = !;

und

[e, I e,] = - {e, e,) = 0; [^2 1 e,] = (^2 ^2) = 0.

Die Multiplication mittelst des Zeichens | , welche durch
die eben gefundenen Gesetze bestimmt ist, heisst innere Mul-
tiplication, weil dabei, wie man sieht, das Product zweier
Grössen nur dann einen geltenden Werth hat, wenn die-
selben nicht aussereinander liegen.

Wenn a = a, e, + «2^2 i^^; ^^ verstehen wir unter | a
die Grösse c^i \ ßi -\- cc.^l e.y- Es ist also :

I a = «1 I e, -|- «2 I 62 = «1 ^2 — ^2 ^1
[a I a] = «1^ (ßy 62) — «2^ (^2 '^i) = K^"^ 4- «2'^

Man nennt [a \ a] das innere Quadrat von a^ schreibt:

[a I rt] = a~

und nennt //«/* + «2^ ^^^^ 7iumerischen Werth von «.
Wenn

« = a, r, -f- «2*^2 ^^^ ^ = ßiC\ + 1^2 «^a >

[«!?>] = «1/5, + C.2/32

[a\h]=^[h\ a] ,
d. h.: im inneren Producte gilt VertauscJmng der Factor en.

so ist
und

Dritte Abtheilving-.
Uebiet der Ebeue.

I. Die Ebene als System.

1. Bestimmung durch eine bewegliehe Gerade.
a) Lagenänderung der Geraden.

:33. Hat eine Gerade ihre Lage geändert, so darf kein Punkt

zugleich auf der ersten und zweiten Geraden liegen; sonst
könnte dieser Punkt beide Geraden erzeugen; d. h. sie hätten
dieselbe Lage. — Die Lagenänderuno- der Geraden kann

— 19 -

Schiebung genannt werden. — Jeder Punkt der ersten Ge-
raden wird also seine Lage geändert haben, ehe er sich in
derjenigen Lage befindet, in der er der zweiten angehört.

Aum. Wie die Lage einer Geraden durch einen beliebigen Punkt
auf ihr vollkommen bestimmt ist, so auch ihre Lagenänderimg durch
diejenige eines beliebigen Punktes auf ihr.

Die Bewegung der Geraden nennen wir einfach, wenn
diejenige jedes beliebigen Punktes auf ihr eine einfache ist,
d. h. wenn jeder beliebige Punkt auf ihr eine beliebige Ge-
rade beschreibt.

Wenn eine Gerade ihre Lage durch einfache Bewegung
ändert, so heisst das von ihr erzeugte Gebilde eine Ebene
(ebene Fläche).

Die Eigenschaften einer Ebene sind bestimmt:

1) durch Lage und Richtung einer sie erzeugenden Ge-
raden ;

2) durch Lage und Fächtimg einer zweiten Geraden, die
von einem der ersten angehörigen Punkte beschrieben wird;

oder, da man beide Geraden durch dieselbe Lage bestimmen
kann:

1) durch Lage und Richtung einer sie erzeugenden Ge-
raden ;

2) durch die Lage eines hcliehigen festen, ausserhalb dieser
Geraden in der Ebene liegenden PunJdeS'^

oder, wenn man auch die in 1) genannte Gerade durch

zwei Punkte ersetzt:

1) durch die Lagen dreier nicht in derselben Geraden

liegenden Punkte.

Die Merkmale einer Ebene sind hiernach vorläufig:
Eine Lage und ztvei Richtungen-, oder swei Lagen und

eine Richtung'*)] oder drei Lagen.

b) ßichtungsänderung der Geraden.

Wenn eine Gerade sich so bewegt hat, dass sie dabei 34.
nur ihre Richtimg änderte, so giebt es unter allen Umständen
einen Punkt auf ihr, der an der ßevrogung nicht Theil nahm,

*) Unter diese Rubrik fällt auch die Bestimmung der Ebene durch
Anfangs- und Endstellung der bewegten Geraden.

— 20 —

den «ilso die zweite Gerade mit der ersten gemeinsam hat.
Denn gäbe es Jielnan solchen Punkt, so hätten die beiden
Geraden nicht dieselbe Lage; gäbe es aber deren mehr als
einen, so wären beide Geraden in derselben Weise bestimmt,
also hätte keine Bewegung stattgefunden. — Die Richtungs-
änderung der Geraden kann Drehung genannt werden, der
ruhende Punkt: Drehungspimlä. — Die Bewegung der Ge-
raden wird einfach sein, wenn ein beliebiger Punkt auf ihr
in jedem Augenblicke die Richtung auf einen bestimmten
beweglichen Punkt auf der zweiten Geraden innehält.*)

Es sind also Schiebung und Drehung zwei verschiedene
Arten einfacher Bewegung, denen eine Gerade unterworfen
werden kann.

Die Eigenschaften des durch einfache Drehung einer
Geraden erzeugten Gebildes sind bestimmt:

1) durch Lage und Richtung der erzeugenden Geraden,

2) durch Lage und Richtung einer zweiten Geraden, die
mit der ersten dieselbe Lage hat;

oder, da man beide Geraden durch dieselbe Lage bestim-
men kann:

1) durch Lage und Richtung der erzeugenden Geraden,

2) durch die Lage eines (bestimmten beweglichen) ausser-
halb dieser Geraden in der Ebene liegenden Punktes;

oder, wenn man auch die in 1) genannte Gerade durch
zwei Punkte ersetzt:

1) durch die Lagen dreier nicht in derselben Geraden
liegenden Punkte. Diese Eigenschaften stimmen aber genau
mit denen der Ebene überein, folglich ist das durch ein-
fache Drehung einer Geraden erzeugte Gebilde ebenfalls
eine Ebene.

*) Denn da ein heliehiger fester Punkt mit einem bestimmten he-
iveglichen Punkte gleichbedeutend ist, so ist die Bewegung der Geraden
in diesem zweiten Falle im Wesentlichen ebenso definirt wie im ersten,
nämlich als einfache. — Die Bewegung eines ihrer Punkte kann aber
diesmal natürlich keine einfache sein; denn nur dann, wenn die Gerade
jenes Merkmal ändert, welches sie mit dem Punkte gemeinsam hat,
nämlich die Lage, werden beide Gebilde in der Einfachheit der Be-
wegung übei-einstimraen.

- 21 -

Anm. Aus diesen Betrachtungen geht hervor, dass allgemein die
Gesetze gelten:

1) Zwei Geraden mit derselben Lage haben stets ungleiche Bichticng.

2) Zwei Geraden mit gleicher liichtimg haben stets verschiedene
Lage. Da aber eine Gerade durch zwei aufeinanderfolgende Bewe-
gungen Lage und Richtung ändern kann, wobei sie das Gebiet der
Ebene verlässt, so gelten nur für zwei in derselben Ebene liegende
Geraden die umgekehrten Gesetze:

3) Zwei Geraden mit verschiedener Lage haben gleiche Richtung.

4) Zwei Geraden mit ungleicher Richtung ha])en dieselbe Lage.
In derselben Ebene also können zwei Geraden nicht gleichzeitig

verschiedene Lage und ungleiche Richtung haben.

Jede Gerade in derselben Ebene kann als erzeugende 35.
anüieselien werden. Jede dieser Geraden theilt daher die
Ebene in zwei Theile und kann sich nach zwei entgegen-
gesetzten Seiten sowohl schieben als drehen.

Jede Ebene repräsentirt also swei entgegengesetzte Seiten,
eine bestimmte Classe von Bichtungen und eine bestimmte
Classe von Lagen.

Anm. Wie zwei entgegengesetzte Bewegungen auf einer Geraden
für das Auge ihren Gegensatz verlieren, wenn man die Gerade für
jede von ihnen in einer anderen Richtung betrachtet, so auch zwei
entgegengesetzte Bewegungen auf einer Ebene, wenn man dieselbe
für jede der Bewegungen von einer anderen Seite (von oben oder von
unten) betrachtet.

Die Lage einer Ebene wird durch einen beliebigen FiinM
auf ihr, die RicMiing einer Ebene durch eine beliebige Gerade
in ihr, die Seite einer Ebene durch swei beliebige Geraden
in ihr bestimmt.

Eine Ebene hat also dieselbe Lage mit einem PtinJde, m.
wenn derselbe auf ihr liegt, verschiedene, wenn er ausserhalb
liegt. Sie hat dieselbe Lage mit einer Geraden, wenn dieselbe
einen oder alle, verschiedene Lage, wenn sie keinen Punkt
mit ihr gemeinsam hat. Sie hat dieselbe, resp. gleiche llich-
tiing mit einer Geraden, wenn diese, resp. eine gleichgerichtete
in ihr liegt; verschiedene, resp. ungleiche Bichttmg im anderen
Falle.

Eine Gerade hat also mit einer LJbene entweder:

1) dieselbe Lage und dieselbe liichtimg (wenn die Gerade
in ihr liegt), oder:

— 22 —

2) dieselbe Lage und wigleichc Bicldung (wenn die Ge-
rade nur einen Punkt mit ihr gemeinsam hat), oder:

3) ■ verschiedene Lage und gleiche Hichkmg (wenn eine
gleichgerichtete Gerade in der Ebene liegt).

Hiermit sind alle Combinationeu der oben genannten
Lagen- und Richtungsverhältnisse erschöpft. Also kann nicht
eine Gerade mit einer Ebene verschiedene Lage und ungleiche
Bichtting haben.

Eine Ebene, welche anfangen soll, sich zu bewegen,
kann hiernach Lage, Richtung, oder Seite ändern.

2, Bestimmung durch mehrere feste Geraden.

37. Eine beliebige feste Ebene 5t ist durch zwei beliebige
ihrer Geraden, a, h, vollkommen bestimmt, sowohl wenn die-
selben gleiche Richtung, als wenn sie dieselbe Lage haben, —
Sie ist es noch, wenn man a mit b vertauscht. Durch diese
Vertauschungsfähigkeit ist ihre zweifache Seite ausgedrückt.
Hiernach ist die Ableitung einer Ebene aus zwei Geraden
vergleichbar der Ableitung einer Summe aus zwei Summanden ;
wir können daher sagen:

a -j- & = ?t . Die Summe zweier Geraden a und b

h -(- a= 31, ist die durch sie bestimmte Ebene 5(.'

Sind drei Geraden auf der Ebene gegeben, a, b, c, so ist

die Ebene schon durch zwei beliebige davon bestimmt. Also:

wenn

a + (5 + c) = & -f (c + a) = c -f (a + 6) = %,

b-\-c = c-{-a=^a-f-b==%.

Aus den letzten beiden Formeln folgt noch:
« + 51 = 5t;
dies ist die Bedingung, unter welcher eine Gerade a in einer
Ebene 51 liegt.

Betrachtet man in der letzten Formel a und 5t als Grössen,
so muss entweder 5t = oo oder a = 0 gesetzt werden, d. h, :
die Ebene enthält eine unbestimmte Menge von Geraden-, die
Gerade hat, mit der Ebene verglichen, keine Grösse,

Anm. Die Construction einer Ebene aus zwei Geraden ist über-
flüssig, da alle Constructionen in einer a priori gegebenen Ebene aus-
geführt werden.

— 23 —

Um die übrigen Bestimmimgsw eisen einer Ebene zu for- 38.
muliren, setzen wir in der Formel:

a -]- Ä für a

und h -\- B im h, ^

wobei Ä auf a und B auf h

liegt; so folgt:

a-^h-\-(A-{-B) = '^A,

oder, wenn

A-\-B = c ist:

a-\-h-{-c

d. li. : ^venn stvei Geraden a und h in derselben Ebene liegen,

so liegt jede Gerade c, ivelche zivei beliebige Punkte Ä und B

auf a und b verbindet, ebenfalls in dieser Ebene.

Wenn

a -\- b -{- c = vi\

so ist auch: , , ^^

6 + c = Vt ,

oder: b -\- Ä -]- B =^ %,

oder, da b -\- B = b ist:

b-i-Ä=^%,

welches der Ausdruck für die siveite Bestimmung der Ebene ist.

Setzt man noch:

so erhält man: « . 7) i t^ <.^(

A -\- 1) -\- V = ^i\

als dritte Bestimmung der Ebene.

IL Grössen im Gebiete der Ebene.

a) Einzelne U rossen.

A, Abgeleitet aus einer beweglichen Geraden.

5(. Grössen, durch Schiebung einer Geraden erzeugt.

1. Bewegung einer Geraden.

Ein von zwei Geraden mit verschiedener Lage eiuge-39.
schlossener Theil der Ebene heisst Ebenenstreifen. Seine
Grösse ist unbestimmt; denn da die Gerade nicht begrenzt
ist, so ist auch ein durch ihre Bewegung erzeugtes Gebilde
nicht vollkommen bekreuzt.

— 24 -

Aum. Zwei Geraden mit verschiedener Lage aber gleicher Rich-
tung heissen parallel.

40. Die Grösse der JBeivecjung der Geraden wird durcli die von
einem ihrer Punkte zurückgelegte Strceke bestimmt. (Vgl.
Anm. in 33.) Die Grössen mehrerer aufeinanderfolgender
Bewegumjcn verhalten sich daher wie die entsprechenden
Theile der von einem beliebigen Punkte der Geraden im
Ganzen zurückgelegten Strecke.

2. Bewegung eines auf der Geraden liegenden Punktes.

41. Wenn eine Gerade ihre Lage ändert, so ist ihre Bewe-
gung entweder eine einartige oder eine doppelte. Im letz-
teren Falle bewegt sich die Gerade noch in ihrer eigenen
Richtung um eine Strecke vorwärts; im ersteren Falle thut
sie dies nicht. — Im letzteren Falle aber lässt sich die dop-
pelte Bewegung in zwei nach einander folgende einartige Be-
we'scunecen zerleojen, nämlich in ein einfaches Fortrücken in
der Richtung der Geraden und in eine einfache Lagenände-
rung. Da die erste dieser beiden Bewegungen die Gerade
ungeändert lässt, so ist sie auch auf deren EndsteUung ohne
allen EinÜuss.

Demgemäss kann auch ein fester Punkt A der ersten
Geraden durch geradlinige Bewegung jeden beliebigen Punkt
jB der zweiten Geraden erreichen. Diese verschiedenen Be-
Avegungen werden durch die verschiedenen Richtungen be-
stimmt, welche der Punkt
A einschlagen kann.*)

Jede dieser Bewegun-
gen des Punktes A, z, B.
von A nach i', lässt sich
in ztvei Betvegungen von be-
stimmter, unveränderlicher Richtung zerlegen, nämlich 1. in
eine Bewegung von A nach C, welche diejenige Strecke er-
zeugt, um welche die Gerade in ihrer eigenen Richtung fort-

*) Da für jede dieser Richtungen der am Schluss von 40. aus-
gesprochene Satz gilt, s6 folgt ohne weiteres der andere Satz, dass,
wenn zwei sich schneidende Geraden von einer Anzahl Parallelen ge-
schnitten loerden, der Quotient zweier ztoischen denselben Parallelen
liegenden Strecken überall fiumerisch denselben Werth Imt.

jS

<&)

/

y"'

A

t

"

<aj

- 25 —

rückt, 2. in eiue Bewegung von C nach JB, welche diejenige
Strecke erzeugt, um welche die Gerade ihre Lage ändert.

Da nun die Lagenänderuug einer Geraden allemal durch
diejenige eines Punktes auf ihr bestimmt wird, so ergiebt
sich Folgendes:

1) Die Strecke {A — i») stellt die doppelte Bewegung
dar, welche die Gerade erleidet, wenn A nach B rückt.

2) Die Strecke {A — C) ist diejenige, um welche die
Gerade in ihrer eigenen Richtung fortrückt,

3) Und es ist die Strecke {G — B) diejenige, welche die
einartige Bewegung der Geraden ausdrückt.

Die Strecke (C — B) heisst die Entfernung der beiden
Geraden.

Bezeichnen wir den Lagen unterschied der beiden Ge-
raden (a) und (h) mit («) — (b), so ist

(a) — {h) = {C—B) = a
als Ausdruck des Gesetzes 3). — Hieraus folgt:
(rt) = (b) + a 5 b = (a) — a]

d. h. : durch eine Parallele und die Entfernung von ihr ist
die andere bestimmt.

Die Strecke (C — B) bezeichnet auch die Entfernung
des Bunlites G von der Geraden (b), und des Punktes B von
der Geraden (tt); denn da

{a)-j-{b) = % = (a}-j-B,
so ist auch:

(a)-B = (a)-{b),

d. h. : eitle Barallele (b) ist bestimmt, ivenn ein Punkt (B)
auf ihr, und die andere Parallele {et) gegeben sind.
Ferner ist

(«) _ B = G ~ B]

d. h.: es giebt auf einer Geraden (a) nur einen Punld G,
dessen Entfernung von einem äusseren Ptmlde B gleich der
Entfernung der Geraden von diesem Punkte ist.

3. Bewegung einer auf der Geraden liegenden Strecke.

Aendert eine Strecke a ihre Lage in der Ebene so, dass 40.
sie in «j übergeht, so erleidet der Lagenunterschied ihrer

26

Endpunkte keine Veränderung. Ist also {Ä -
fangs- und A^ — l)i ihre Endstellung, so ist:

{Ä - B) = {A,

Hieraus folgt:

{A - A,) = {B
und umgekehrt.

B) ihre An-

B,).

d. h. : Anfangs- und Bndptmlä
der hciveytcn Strecke legen gleiche
und gleichgerichtete Strecken
zurück.

Wenn zwei Punkte in einer
Ebene gleiche und gleichgerich-
tete Strecken heschreihen, so bleibt
ihre Entfernung ungeändert.

Anm. Die Construetion einer Strecke [A^ — J5,), die mit einer
gegebenen [A — B) gleich und gleichgericlitet ist, geschieht mit Hilfe
des Cirkels.

Aufgabe: Durch einen ausserhalb einer Geraden gegebenen

.f -jf , Punkt A die Parallele zu ziehen. — Man

-''' /""■-, -wähle auf der Geraden JB und C beliebig,

, , und beschreibe aus C mit {A — £) , aus

Jf ^' A mit (ß — C) Kreislinien. Deren dies-

seitigen Durchschnittspunkt D verbinde mau mit A, dann ist [A — D)
= {B- C).

43. Sei {A — B) = a] {A — A{) = b]
dann ist:

A^ — B= a — b 5 A — B^=- a -\-b,

d. h. : die Summe zweier mit Anfangs- und Endpunkt anein-
ander gelegten Strecken ist die Strecke zwischen ihren anderen
Endpunkten; die Differenz ziveier mit ihren Anfangs- oder
Endpunkten zusammengelegten Strecken ist die Strecke zwischen
ihren End- oder Anfangspunkten.*)

Anm. Die Zulässigkeit einer Addition von zwei Strecken, die
nicht in derselben Geraden liegen, sondern nur in dersell^en Ebene,
folgt daraus, dass, wie oben (38.) gezeigt wurde, die Verbindungsstrecke
zweier Punkte von sich schneidenden Geraden in der Ebene dieser Ge-
raden liegt.

Setzen wir in den letzten Formeln für a und b ihre
Werthe, so lauten sie:

{A, - B)= (A - B) - {A - A,)',
(A - B,) = {A-B)-\-(B- B,),
{A-B)-\-{B-B,)-\- (B, -A) = 0.

*)'Vgl. G. A. II. 220.

oder:

A-\-B, B + A,

— 27 —

Analog wird man die Summe beliebig vieler Strecken
bilden, und das Gesetz aufstellen: Die Summe von helicbig
vielen hintereinander gelegten Strecken ist Null, wenn der
Endimnld der letzten mit dem Änfangspunläe der ersten zu-
sammenfällt.

Die Formeln in 42. kann man übereinstimmend schreiben: 44.

Ä -\- B^ = B -\- A^ Wenn zivei Strecken in der Ebene

oder: gleich und gleich gerichtet sind, so

haben die Strecken zivisehen dem
Anfangsxmnkte der einen und dem
Endpunkte der anderen denselben
HaTbirungspunkt.

4. Bewegung eines auf der Geraden liegenden Linientheils. —
Das Parallelogramm.

a) Einmalige Bewegung des Linientheils. —
Ein Parallelogramm.

Durch begrenzte Bewegung eines Linientheils entsteht 45.
ein Theil einer Ebene, der Parallelogramm genannt wird.
Dasselbe ist vollkommen begrenzt, also eine Grösse, weil der
dasselbe erzeugende Linieutheil selbst vollkommen begrenzt
ist. — Als Grenzen am Parallelogramm heissen die beiden
Linieutheile Seitenlinien, ebenso die von ihren Endpunkten
erzeugten Linientheile. Die Endpunkte selbst heissen Eck-
punkte.

Ein Parallelogramm % ist durch seine beiden „Gegen-
seiten" a, b vollkommen bestimmt. Als vollkommen begrenz-
tes Gebilde ist es namentlich auch seiner Grösse nach be-
stimmt. — Da aber sowohl die Richtung der erzeugenden
Gegenseiten, als die Seite der Bewegung, durch die es ent-
standen (die Richtung der beiden anderen Gegenseiten) zwei-
deutig ist, so muss diese Zweideutigkeit durch die Bezeich-
nung beseitigt werden. Nun erhält es durch Vertauschung
von a und b die entgegengesetzte Seite (1. 2.)

Durch Vertauschung von a mit ( — a), von b mit ( — b) er-
hält das Parallelogramm ebenfalls entgegengesetzte Seite (1. o.).

Durch successive Ausführung beider Operationen bleibt
das Parallelogramm ungeändert (1. 2. 4. oder 1. 3. 4.).

— 28

Also entspricht die Ableitimg eines ParalMo<jramms aus
zwei Linienthcilen der Ableitung einer Differenz aus Minuend
und Subtrahend; wir können daher sagen:

6

V

/

/

«

1-6/

\

^•\

X

^^^y

(-6)-(-«) = 5(.

Die Differenz (Lageuuuterscliied)
von zwei gleichen und gleich
gerichteten Linientheilen a und
h ist das durch dieselben be-
stimmte Parallelogramm ^(.

Die von den Endpunkten der Seite a beschriebeneu Linien-
theile können ebenfalls als Anfangs- und Endstellung eines
Linientheils betrachtet werden, wobei dann a und h die von
dessen Endpunkten beschriebenen Linientheile sind.

Anm. Die beiden Verbindungsstrecken zwiscbea je zwei gegen-
übcrliegeudou Eckpunkten des Parallclograranis heissen Diagonalen. —
Ferner sei im Voraus bemerkt, dass der von zwei Seitenlinien und
einer Diagonale Ijegrenzte Tlieil des Parallelogramms Dreieck beisst,
überhaupt jeder Theil der Ebene, der von n strecken mit der Summe 0
begrenzt ist: w-Eck {Vieleck).

Ist die Lagenänderung der Geraden , auf welcher der Linientheil
liegt, einartifj, so beisst das rarallelogramm Rechteck. — Sind' alle vier
Seitenlinien gleich gross, so beisst es Haute, tretfen beide Bedingungen
zusammen: Quadrat.

b) Mehrmalige Bewegung des Linientheils. — Mehrere
Parallelogramme.*)

46. Wenn ein Linientheil a durch Lagenänderung erst das

Parallelogramm 5t (= a — h) , dann 23 (= h — c) erzeugt,

"=) Vgb G. A. L § 5G.

— 29 —

so kann er statt dessen das Parallelogramm 6 (= (i — c)
beschreiben, indem er direct von a naeli c geht. Da nun

(a -h)-^{h - c) = (« - c),
so ist das letztere Parallelogramm die

Summe der beiden ersteren, d. h.: die^ \ — ^

Summe ziveier mit Ena- und Anfangs-
seite aneinander gelegten Parallelo-
gramme (falls nämlich diese Seiten ^' ^ ^-

gleich sind) ist das Parallelogramm zwisehen ihren anderen
Endseiten.

Durch Anwendung des Begriffs der Suhtraction findet man 47.
(a — h) = (a — c) — {b — e),
d. h.: die Differenz ziveier mit End- und Anfangsseite auf-
einander gelegten Parallelogramme (falls nämlich diese Seiten
gleich sind) ist das Parallelogramm zwisehen iliren' anderen
Endseiten.

Liegen die Seiten a und h auf derselben Geraden, so ist 48.
a = h, und {a — c) — (« — c) = 0 = {a — a).

Liegen die Seiten a und c
auf derselben Geraden, so ist
a =^ c, also:

(a — V) = (« — «) — (^ — ''0

= -{h-a) = -{h-c),
d. h. : Kehrt ein Linientheil, der ein Parallelogramm be-
schrieben hat, auf einem anderen Wege in die erste Gerade
zurück, so sind die beiden entstandenen Parallelogramme ent-
gegengesetzt, aber gleich. {Parallelogramme ziviscltcn den-
selben Parallelen sind gleich.)

Parallelogramme mit entgegengesetzter Seite werden also
behandelt ivie Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeiehen.

Aus 49. folgt noch: 50.

{a — h) -{-{b — a) = 0,

und die Formel 4G. lässt sich in folgenden drei Formen
schreiben :

{a-b) = {a-c^^{c-by,

(b - c) = {b — «) + (^* — ^O;

(^a-ey=(b-c) -\-ia-b);

- 30 —

alle drei aber geben:

{a — 6) + (& — c) + (c — a) = 0,

womit die Ausdelmimg unserer Formel auf mehr als zwei
Parallelogramme eingeleitet wird.

51. Anwendung des Begriffs der Multiplication. — Seien v
Parallelogramme auf einer Ebene : {a — b), (h — c), (c — d) ...
(m — n) einander gleich, so kann, wenn

(a _ 6) = (& — c) = • • • = (w — n) = 2(
ist, die Summe derselben:

(rt — n) = V . 31
gesetzt werden. Sei ^

(a — n) = ö,

so ist: 6 =^ V . %,

oder: ö : 5t = z^,

d. h.: der Quotient zweier Parallelogramme auf derselben

Ebene ist eine Zahl.

52. Die von den Endpunkten der Seite a beschriebenen Linien-
theile bilden zwei congruente Dreieclie, oder, wenn mehr als
drei Bewegungen stattfinden, Vielecke, die man als Anfangs-
und Endstellung desselben Vielecks ansehen kann. Die Linien-
theile «, b, c werden alsdann von den Eckpunkten des Viel-
ecks beschrieben.

53. Eriveiterimg. 1) Es seien die Parallelogramme, die von
den Seiten a, b, c eines Dreiecks bei vier successiven Bewe-
gungen beschrieben werden, mit 2(i93i(^i, 512 330^2; ^ts^g^g,
5I4334S4 bezeichnet; so hat man allgemein, wenn das Dreieck
in seine ursprüngliche Lage zurückgekehrt ist:

f 51, + 2I2 + 3I3 + 5I4 = 0. r 5ti + 25i + 61 = 0.

1) Pi + 232 + 333 + 334 = 0. J5(2 + «2 + 62 = 0.

[(5, +62+63 + 64 = 0. ^ 3(3 + 333 + 63 = 0.

3(4 + 334 + 64=0.
a) Setzt man nun (^.^ = 0, iög = 0 (was der neben-
stehenden Figur entspricht) , so erhält man :

3(i + 33, + 6, = 0;
©, + 332 + i34 = 0; 3(2 + 332 = 0;
folglich : ■ (3t, + 3(2) + (33, + 332) = - 6, ;

oder, da (33, + 332) = — ^4 ist:

^ 31 -

(2(1 + 3g = 33, -6,.
Sucht mau in der Figur
das Parallelogramm

sowie
23.

4 U 3 j und (f, h 4) , \ •

so findet sich , dass die letzte

Formel den Saf0 des Fappus ausdrückt.

b) Nimmt man nur drei Bewegungen an, sodass

2^4 = 334 = 64 = 0,

2t2 = 0, 23i = 0,

^1 + 6. =0;

(51 + 62+^3 = 0; 232 + ^2 = 0;

und setzt
so folst:

folglich :

(5ti + 232) + ((^1 + «•.) = 0,

oder, da (Jj + 6^ = — (5^ ist:

54.

- 32 -

Ist insbesondere die erste Bewegung gleich a, die zioeite
gleich h, die dritte gleich c, so sind die Parallelogramme
Rauten, und, wenn die Lagenänderungen von a, h, c der

Reihe nach einartig sind, Quadrate. Im letzteren Falle stellt
unsere Formel den Satz des Pythagoras dar,
55. 2) Aufgabe: Zu beweisen, dass die Linien, welehe die
Mitten der vier Seiten eines Vierecks der Reihe nach verbin-
den, ein ParaUelogramm bilden.
Wenn

H=F—G, w. z.

c) Bewegung eines Parallelogramms auf einer Ebene.

56. Bewegt ein Parallelogramm % sich beliebig auf einer

Ebene vorwärts, und ist {a — b) seine Anfangs-, («, — />])
seine Endstellung, so erleidet der Lagenunterschied der er-
zeugenden Gegenseiten keine Aenderung; also ist

Hieraus folgt:

Wenn zwei gleich gerichtete Li-
nientheile ihre Lage um gleiche
Grössen ändern, so hleiht ihr
Lagemmterschied ungeündert.

^.

und umgekehrt;

d, h.: Anfangs- und Endseite
des bewegten Parallelogramms
heschreihen gleiche Parallelo-
gramme.

Sei {a — h) = %; {Ä — .
Dann ist

d. h. : die Summe aus einem Parallelo-
gramm und seiner Endseife ist seine
Anfangsseite.

Ferner :

h = a — A • rf, <=^ a — ^5
d. h,: die Differenz aus der Anfangsseite und dem Parallelo
gramm ist die Endseite.

Ferner:

/>_,,, =33 — 5( ; a — h,=%-\-^.

Die Formeln in 56. werden gleichlautend, wenn
rf, = h = 1))', also ?X = iß
Beide lauten dann:

57.

-4

a — m = m — 0, ,
m ist von a und 5, gleiehweit

-^

_v

d.h.

entfernt; m heisst die 3Iitfellinie zwi-
schen a und &j , oder die Halbirunqslinie des Parallelogramms
{a - &0-

Aus der letzten Formel folgt:

a -{- 6, = m -\- m = 2 m, Die halbe Summe ztveier gleichen

T rt 4- &, ' und gleich qerichteten Linien-

oder: m = — -—' ^, ., '. , ., ' ,^.^. „. .

- f heile zst ihre Mittelhme.

Ferner ist in diesem Falle:
(?> — ffi)=0, (^/ —?>,) = 2 51, Die Halbirungslinie theilt das
a — bt Parallelogramm in zivei gleiche

~' Theile.

oder:

51 =

Sclilegfl, S)-ät. (1. Raumlehre.

- 34 -^

59. Die Formeln in 56. kann man übereinstimmend schreiben :

(i -|_ ?>j = & -|- a^ ; Wenn zwei Faralleloyramme

Qf\QY: gleich, und ihre Anfangsseiten

a-\-h h 4- a gleich und gleich gerichtet sind,

2 " "^ 2 ^^ ^'^ ■ so haben die Farallelogramnie

zwischen der Anfangsseite des
einen und der Endseite des an-
deren dieselbe Halbirungslinie.

60. öie Formel a — m = m — &, lässt sieh auch schreiben:

(m — b\) ~\~ (^'^ ~ '^O = ö-

Nunmehr Kisst sich der Begriff der Mittellinie dahin er-
weitern, dass man sagt: Für v gleiche und gleich gerichtete
Linientheile a, b, c . . . n auf einer Ebene ist derjenige
Linientheil die Mittellinie, welcher der Bedingung genügt:

{m — a) -\- {m ~ h) -{-••• -\- {m — n) = 0,

oder:

a 4- b 4- ■ • ■ 4- n

m = — ' ' '

61. Parallelogramme, die nicht an einander liegen, werden
erst nach 56. aneinander gelegt, und dann nach 46. addirt.

62. Sei die Summe von n Parallelogrammen dieser Art gleich
Null, so können wir (anah)g wie im Gebiete der Geraden)
für jeden, der Erzeugungsseite gleichen und gleich gerichteten
Linientheil r den Satz ableiten, dass die Parallelogramme,
ivclche aus r und den Anfangsseiten gebildet sind, dieselbe
Summe geben, wie die aus r und den Endseiten abgeleiteten.

63. Fallen insbesondere die Endseiten alle in eine Gerade
und sind durch m bezeichnet, so erhält man den Satz : Wenn
in einer Ebene v gleiche und gleich gerichtete Linientheile ge-
geben sind, so ist für jeden anderen gleich langen und gleich
gerichteten Linientheil der Ebene die Summe der Farallelo-
yramme mit diesen Linientheilen gleich dem v fachen Farallelo-
yramme mit ihrer Mittellinie.

Anm. Die Aufgabe: die Mittellinie zwischen einer Anzahl gleich
langer und gleich gerichteter Linientheile zu suchen, ist hierdurch
zurückgeführt auf die Aufgabe: ein gegebenes Parallelogramm in n
gleiche Theile zu theilen.

35

33. Grössen, durch Drehung einer Geraden erzeugt.

a. Drehung um einen auf der Geraden liegenden Punkt.

1. Bewegung einer Geraden. — Der Winkel.

a) Einmalige Drehung der Geraden. — Ein Winkel.

Ein von zwei Geraden mit ungleicher Richtung ein- 64.
geschlossener Theil der Ebene heisst Ehcnenivinlel. Seine
Grösse ist ebenso unbestimmt wie die eines Ebenenstreifens,

Anm. Zwei Geraden mit derselben Lage, aber ungleicher Rich-
tung heissen „sich schneidend^''. — Ihr Drehungspunkt heisst Durch-
schnittspunkt der Geraden.

Um die Grösse der Bewegung der Geraden bestimmen 65.
zu können, ist ein neuer Begriff erforderlich, da diese Bewe-
gung nicht mehr eine Schiebung, sondern eine Drehung ist.
Wir bezeichnen den Richtuugsunterschied der beiden Geraden
mit dem Namen „ Winkel ". — Wie die Lagenunterschiede
durch die Strecke, so werden die Richtungsunterschiede durch
den Winkel bestimmt. Derselbe hat nur die Eigenschaft der
Grösse.

Anm. Die Grösse einer Drehung ist durch kein reines Ausdeh-
nungsgebilde absolut darstellbar. — In ihrer Beurtheilung muss das
Auge sich ebenso üben, wie in derjenigen der Bewegungsgrösse eines
Punktes, wenn nur Anfangs- und Endstelluug desselben, nicht aber
der verbindende Linientheil gegeben ist. — Der Winkel ist also kein
Ausdehnungsgebilde, sondern eine arithmetische Grösse. — Und wäh-
rend die Strecke durch das entsprechende Ausdehnungsgebilde des Li-
nicntheils veranschaulicht werden kann, fehlt es dem Winkel an einem
entsprechenden Ausdehnuugsgebilde, welches seine Grösse absolut dar-
stellte. Doch werden wir ein anderes Ausdehnungsgebilde kennen ler-
nen, welches wenigstens zur relativen Darstellung der Grösse von meh-
reren Winkeln dienen, und so in die Lücke eintreten wird.

Für die Bestimmung des Winkels ist es natürlich nöthig,
auf jeder der beiden Geraden nur eine ihrer beiden Richtun-
gen festzuhalten. — In Bezug auf den Winkel heissen die
beiden Geraden Schenkel; insbesondere führen sie diesen Na-
men von ihrem Durchschnittspuukte aus; letzterer Punkt heisst
Scheitel{punkt) des Winkels,

Wenn eine Gerade a durch Richtungsäuderuug in h über- 66.
gegangen ist, so ist die Lage des Drehungspunktes 0 für die
neue Gerade h nur insoweit von Einfiuss, als ihre Lage davon

3*

— 30 —

abilängt. — Es entstehen also durch gleicli grosse Drehungen
einer Geraden iim verschiedene ihrer Punkte auch gleich se-
richtete Geraden, d. h.:

Haben zwei Geraden gleichen Richtungsunterschied gegen
eine dritte, so haben sie auch gleiche Richtung, und um-
gekehrt.
67. Bei fortgesetzter Umdrehung um den Punkt 0 muss die

Gerade a allmälig edle durch
^^^^ ^^^-^"^^ 0 möglichen Richtungen an-

nehmen ; d. h. alle Richtungen^
welche der Punkt 0 selbst an-
--^^ ^"^"^-.^ nehmen könnte, wenn er sich

bewegte. Schliesslich muss sie
in die ursprüngliche Richtung a zurückkehren. Man hat dann:
a = a-^ oder a . {-\- 1 ) = « .
Die Grösse derjenigen Drehung, welche eine Gerade in
ihre ursprüngliche Richtung zurückführt, kann durch den
Factor (-|- 1.) ausgedrückt werden. Der einer solchen Drehung
(einer „ganzen Umdrehung") entsprechende Winkel kann ein
geschlossener Winkel genannt werden. Und: Multiplication
einer Geraden mit (4- 1) hedeutet eine ganze Umdrehung
der Geraden.
G8. Eine Drehung von ebenfalls bestimmter Grösse wird die

Gerade a in die entgegengesetzte Richtung bringen, d. h. (+ a)
in ( — a) verwandeln. Man hat dann:

_ «.(-!) = (-«).
Die Grösse derjenigen Drehung, welche eine Gerade a in
die entgegengesetzte Richtung bringt, ist hiernach durch den
Faötor ( — 1) auszudrücken. Der entsprechende Winkel heisst
ein gestreckter Winkel. — Ferner ist:

(— a) (— 1) = «;, a . ( — l)''^ = «;
d. h.: Eine weitere gleich grosse Drehung führt die Gerade
aus der entgegengesetzten Richtung in die ursprüngliche
zurück. — Der gestreckte Winkel ist also die Hälfte des
geschlossenen. Und: Midtiplication einer Geraden mit ( — 1)
bedeutet eine halbe Umdrehung der Geraden.
G9. Suchen wir endlich denjenigen Factor x zu ermitteln,

welcher eine Gerade um die Hälfte eines gestreckten Winkels
dreht. Dann ist

37

b; hx =^ (— rt);

■ ah = ah ( — 1);
X = j/— l =i.

a . X
multiplicirt giebt dies:

ah . x"^ = -

oder : , ^

x^ = — 1 ;

Die Grösse derjenigen Drehung, welche der Hälfte eines
gestreckten Winkels zukommt, ist also durch l/ — 1 zu be-
zeichnen. Der entsprechende Winkel heisst rechte}' WinJcel,
und wird durch R bezeichnet. Die gegenseitige Richtung
der Geraden a und h heisst senkrecht {normal).

r^6)

\

('fV

Hiernach ist:

(+«)* = (+^) *' = (+&)
(+&)« = (+a)*^ = (-«)

(— a) i = (+ a) i^ = ( — ^) MJ^ '^''^^^

(- b) ^ = (+ «) ^' = (+ «).
d. h.: durch ¥ier successive
Drehungen von gleicher Grösse
{i) gelangt die Gerade a

1. in die zu a senkrechte Richtung &;

2. in die zu a entgegengesetzte , zu h senkrechte Richtung

(— «) ;

3. in die zu a senkrechte, zu h entgegengesetzte Richtung

4. in die mit a übereinstimmende, zu h senkrechte Rich-
tung a.

Also entsprechen jeder der vier Richtungen zwei senk-
rechte, untereinander entgegengesetzte Richtungen.

Die Drehung

von a um

wird ausgedrückt durch den Factor

IR

i' =-\-i

2R

i' = - 1

3E

i^ = — i

4E

i» = + 1

dR

i^ = -f <• = i'

6R

i" = — 1 = i-

IR

P = — ? = r'

8R

«^ = + 1 = i'

nR • ' *■'' = + i, — 1, —*j + Ij

wenn n = U +1,4/^ + 2, 4/.- + 3, Ak (+ 4) .

— 38 -

Fortgesetzte Drehung über 4 B hinaus führt die Gerade
immer wieder in solche Richtungen, die sie schon früher inne
gehabt.

Die Fähigkeit der Zahl i, alle Richtungsveränderungen
einer Geraden durch ihren Exponenten auszudrücken, hängt
mit der Thatsache zusammen, dass der rechte Winkel ebenso
als Mass aller Winkel gebraucht wird, wie irgend eine als
Längeneinheit bezeichnete Strecke als Mass aller Strecken.
Nur ist der rechte Winkel ein absolutes, die Längeneinheit
ein relatives Mass.*)

Eine Gerade mit i" multipliciren bedeutet also nichts
weiter als: dieselbe Gerade um w Rechte drehen. Dabei
kann n jede reelle Zahl vorstellen.
70. Wie eine Strecke durch ihre beiden Endpunkte, so ist

ein Winkel durch seine beiden Schenkel (a, b) vollständig
bestimmt.

Durch Vertauschung von a und b erhält der Winkel die
entgegengesetzte Seite der Ebene (d. h. er bleibt ungeändert,
wenn man ihn von der entgegengesetzten Seite der Ebene
betrachtet).

Hiernach entspricht, mit dem schon gefundenen Resultat
übereinstimmend, die Ableitung eines Winliels aus ztvei Ge-

*) In der höheren Analysis beweist man, dass

wo — das dem rechten Winkel entsprechende Ausdehnungsgebilde,

gemessen durch eine Strecke, bedeutet. Hieraus erhält man:

n . n .

^■~ ^ = e ^ ; i = e^ ;
also: . „. .

Der letztere Factor e"' ist derjenige, dessen sich II. Grass mann
zur Bezeichnung einer Drehung bedient (vgl. Ausdehnungslehre I. Vor-
rede S. XI ff.). Dagegen hat, wie man sieht, in der elementaren Dar-
stellung *'" den Vorzug der grösseren Einfachheit. — Die letzte Formel
zeigt übrigens noch den Zusammenhang zwischen dem Winkel a und
dem Winkel E. Wird nämlich die Grösse des rechten Winkels durch

die Zahl — bezeichnet, sodass « = «• — = wi?, so ist eben ^" = e"\

— 39 —

raden der Ableitung eines Quotienten -aus Dividend und Divisor \
man kann also sagen: üer Quotient zweier Richtungen ist
der durch dieselben bestimmte Winkel. In Buchstaben:

a :h = i"
b : a = l

,l>i ^^ ^•{— «),

Anm. Winkel, die grösser sind als ein gestreckter, heissen convex;
solche, die kleiner sind: concav. Concave Winkel, die grösser sind als
ein rechter, heissen stxunpf, solche, die kleiner sind: spitz.

Die beiden Drehungen, durch welche h aus a, und «71.
aus h entsteht, heissen entgegengesetzt, und werden durch die
entgegengesetzten Zeichen im Exponenten von i unterschie-
den. — Jede Gerade a kann sich hiernach nacli zivei ent-
gegengesetzten Seiten um denselben Punkt drehen, und kehrt
in beiden Fällen in die ursprüngliche Richtung zurück. Von
der entgegengesetzten Seite der Ebene betrachtet, erscheint
die zweite Drehung der ersten gleich.

Folgende Zusammenstellung zeigt die Resultate der beiden
Drehungen :

a-i

h-i'
i'' = h-i

■ +1.

a- r

a • r

■ h-,

'■ = ~h.

-\-a.

a • T

a • i'

a-i~

a • 'ir

a • 1--

~h.

■a-^^

■ a • T,

Jede Gerade a kann also auch
zwei entgegengesetzten Wegen iji die Rich-
tung h gelangen.

Sei a . i'"- = h der eine, und a . i" = h
der andere; dann erhält man durch Divi-
sion:

a • ( — 1 ) = — « • 1 = — a.

^ ■ ("f" i) ^^ -\- n • i =^ '\- h.
rt.(-f-l) = -|-a.l = _j-a.
auf

d. h.

oder) :

(entweder
m — ?i = 0;

m — n

4;

m

m

4 + n;

d. h.: die absolute Summe der beiden Drehungen ist einer
Umdrehung gleich.

— 40 — •

Anm. Der Doppelsinn des Quotienten {b : ä), der sich in der
doppelten Bedeutung i'"' und *" wiederfindet (selbst wenn, wie gewöhn-
lich, m << 4 genommen wird), pflegt dadurch beseitigt zu werden, dass
man unter {b : «), wenn nichts weiter bestimmt ist, denjenigen Winkel
i"* versteht, in welchem m <; 2 ist, d. h. den concaven Winkel.

72. Wie jeder der beiden Endpunkte einer Strecke, so kann
auch jeder der beiden Schenkel eines Winkels als erzeugendes
Gebilde angesehen werden. Aus

h : a = i'"
folgt:

a:h = j^ = i-^ = (}y=i-iy-.

Zwei Geraden (a,- h) bilden also stets einen Winkel in
doppeltem Sinne, je nachdem a oder h als bewegte Gerade
angenommen wird.

Anm. Die entgegengesetzten Drehungen werden durch die ent-
gegengesetzten Exponenten ausgedrückt; die entgegengesetzten Seiten der
Ebene dagegen durch die entgegengesetzten Zeichen von i. — Insbeson-
dere sagt die Formel

«:& = *-'«=(_ i)^ :

Wenn man von der Drehung a nach b {b : a) den üebergang zur ent-
gegengesetzten Drehung b nach a (a ib) machen will, so muss man
entweder die Richtung der Drehung auf derselben Seite der Ebene in
die entgegengesetzte verwandeln {m in — m) oder dieselbe Drehung
auf die entgegengesetzte Seite der Ebene übertragen (+ i in — i ver-
wandeln).

73. Auch die entgegengesetzten Richtungen von a und b
bilden unter sich, und mit den ursprünglichen Richtungen
Winkel, sodass im Ganzen überall, wo zwei Geraden sich
schneiden, vier Winkel entstehen, nämlich:

^^ -^b ^ b ^

o\ — b b

2) 3— = = i«

3) ^: = +:-=•-

4) +-^ = -1 = ;..

' — a a

Hieraus folgt: Die Winkel der entgegengesetzten Rich-
tungen {Scheitelwinkel) sind denen der ursprünglichen gleich.
{ScheifelwinJiel sind einander gleich.)

41 —

Ferner erhält man:

*'« . i» = _. 1 5

*"' + « = — 1 ^

m -\- u = 2,

d. h.: die Winkel, welche eine Gerade mit den beiden ent-

''-^J Uff)

oder
d. h

r-aj

r-^lj

gegengesetzten Richtungen einer anderen bildet {Nchen-
tvinkcl) betragen zusammen stvei Hechte.

Wenn eine Gerade a gleich grosse Drehungen um zwei 74.
verschiedene Punkte 0, P macht, und
dadurch in die Richtungen b, &i geräth,
so ist:

a . i'^ = b und a . i'"- = b^ ;

I b.

d. h.:

A b

->a

Dann also sind die neuen Richtun-
gen gleich, d. h. die Geraden parallel.

Die Winkel, welche zwei Parallelen i

mit einer dritten Geraden bilden, heissen '•

entsprechende (correspondirende) Winkel.

Ein entsprechender Winkel und der Scheitelwinkel des
anderen heissen zusammen Wechsehvinkel.

Ein entsprechender Winkel und der diesseitige (auf der-
selben Seite der dritten Geraden liegende) Nebemvinkel des
anderen heissen zusammen Gegemvinkel.

Ein entsprechender Winkel und der jenseitige (auf ent-
gegengesetzter Seite der dritten Geraden liegende) Nebenivinkd
des anderen heissen zusammen verschränkte Winkel.

Da die Parallelen sowohl, wie die dritte Gerade, in dop-
pelter Richtung genommen werden können, so sind vier

— 42 —

Paare entsprechender Wiukel vorhanden, und ebenso viele
Paare von jeder der übrigen Arten, Es sind

Entsprechende W.

Wechselw.

Gegenw.

Verschränkte W.

+ h 4-&,
-\- a ' -f-a

-\- a ' — a

+ a '

4-6.

— a

4-6

-6,

+ a

— 6 -&,

-h +b,

— b

— b,

— a

— b

4« '

4-6.

+ b +b,
— a ' — a

+ b -b,

-|--b

4-6.

+ a

4-6
— a

— b

— a

-b - b,
— a ' — a

~h -Hb,
— a ' -j- öt

- b

-b,
+ a

- b

— a

— a

Hiernach liegen

zur dritten Geraden

auf derselben S.

auf entgegenges. S.

1 oberhalb i
(unterhalb)

Entsprechende W.

Verschränkte W.

j innerhalb i
( ausserhalb )

Gegenwinkel.

Wechselwinkel.

Aus der Bezeichnung dieser Wiukel folgt:
Ein Paar entsprechende oder WechselwinJcel sind ein-
ander gleich.

Em Paar verschränMer oder Gegenwinhel beträgt zu-
sammen zwei Rechte.

b) Mehrmalige Drehung der Geraden. — Mehrere Winkel.

75. Wenn sich eine Gerade a nach derselben Seite erst um

mP bis h und dann um nP bis c dreht, so hat sie sich im
Ganzen um (m 4" ^0 -^ ^^^^ ^ ^^^ ^ gedreht. Wenn nun
h : a = i"'\ c :h = i" ]

so ist:

" 5 c : a = tP ;

{h : a) . (c : h) =- {e : a) oder i"'-l- " = i'',

d. h. m -\- n = j).

- 43 —

Demnach ist der letztere Winkel das Product der beiden
ersteren; oder: Das Froduct sivcler mit dem Scheitel und
einem Schenkel aneinander gelegten Winkel ist der Winkel
swisclicn ihren anderen Schenkeln.

Gleichgiltig ist es dabei, ob die beiden Drehungen um
denselben Punkt 0, oder um zwei
verschiedene Punkte 0, P statt-
finden.

Im ersten Falle heissen die
den Zahlen m und n entsprechen-
den Winkel anstossende] im zivei-
ten Falle bilden die drei Geraden
ein Dreieck, und es heissen m,
der Scheitelwinkel von n, und der
Nebenwinkel zu 2> (iß abgekürzter
Ausdrucksweise) innere Winkel des

Dreiecks; die Nebenwinkel derselben äussere Winkel des
Dreiecks, und die letzte Formel m -\- n = p giebt den Satz :
Der Äussenwinkel eines Dreiecks ist gleich der Summe der
gegeniiherlicgenden Innenwinkel. — Ist ferner q der innere

,^^

^ ^ 76.

Nebenwinkel von j;, so
isi p-\-q=2, also auch
m -\- n-\- q = 2, d.h.:
die drei Innemvinkel
eines Dreiecks betragen
zusammen zivei Hechte.
Durch Anwendung
des BegriflFs der Divi-
sion erhält man :

{h : a) = {c: a) : [c : h) oder m = p — ?^ ; n = p — m ,
d. h. : Der Quotient ziveier mit dem Scheitel und einem Schenkel
aufeinander gelegten Winkel ist der Winkel zwischen ihren
anderen Schenkeln.

Fallen die Geraden a und h zusammen, d. h. ist a =- h; 77
so ist:

{a : a) = {c : a) : (c : a) = 1

Fallen die Geraden a und c zusammen
so ist:

= 0;

n = p.
h. ist a = c, 78.

- 44

(b : a) = (n : a) : {a : h) =

a : h

m == — n: n =

m.

Winlel mit entgegengesetzter Drehung, oder auf entgegen-
gesetzter Seite der Ebene werden behandelt ivie einfache und
umgel'ehrte Zahlen.

79.

Aus 78. folgt noch;

{a :b) . {b : a) = 1, m -\- n = 0 ,

und die Formel 76. lässt sich in folgenden drei Formen
schreiben :

(b : a) = (c : a) . (b : c)
{c : b) =^ {a : b) . (c : a)
{a:c) = {b:a). {a : b)
Alle drei aber geben:
{b '. a) . {a : c) . (c

(+ m) = (+ p) + (- n)
(4_n)=(-m) + (+i9)

b) = \, m -\- n — p = 0,

Avomit die Ausdehnung unserer Betrachtung auf mehr als

zwei Winkel eingeleitet wird.

80. Anwendung des Begriffs der Potenzirung. — Seien v

Winkel in einer Ebene: (b : a), (c : b), {d : c) ... (n : m)

^, einander gleich, so kann,

wenn

(& : a) = (c : b)

=r (fZ : c) = • • • = (li : ni) = i-"
ist, das Product derselben:

{^n : a) = (/^)^ = «>"

gesetzt werden. Sei

Ji>^

so ist:

oder :

d. h.

^ = *"

iiv,

a : ^ = V]

der Quotient zweier

Winkel in derselben Ebene ist eine Zahl.

Anm. Die doppelte Darstellung eines Winkels als Quotient zweier
Geraden, und als Vielfaches des als Einheit genommenen rechten Win-
kels, der im Exponenten von i erscheint, hat zur Folge, dass die Ver-
einigung von Winkeln durch die erste und durch die zweite Rech-
nungsstufe ausführbar ist, je nachdem die eine oder die andere Be-
trachtungsweise gewählt wird. In der vorstehenden Darstellung laufen

— 45 —

'beide Entwickelungen parallel. — Für Winkel auf derselhen Seite der
Jlbene ist die zioeite Betrachtungsweise die übliche, weil dann die Be-
handlung der Winkel derjenigen der Strecken conform ist; für Winkel
auf entgegengesetzter Seite der Ebene würde sich die erste empfehlen.

c) Bewegung eines Winkels auf einer Ebene.

Bewegt ein Winkel iP sich beliebig auf einer Ebene, 81.
und ist [h : a) seine Anfangs-, &, : «, seine Endstelluiig, so
erleidet der Richtungsunterschied seiner Schenkel keine Aen-
derung; also ist:

Hieraus folgt:

(1) : &j) = (a : aj) und umgekehrt,

d. h. : Anfangs- und Endrich-
tung eines bewegten Winhels

Wenn Anfangs- und Endrich-
tung eines Winkels sich um

drehen sich um gleiche Grössen, gleiche Grössen drehen, so hleiht

j ihr Winhel ungcündert.

Anm. Je nachdem um den Scheitelpunkt des gegebenen Winkels
heide, oder ein, oder lein Schenkel sich dreht, sind für diese Bewegung
drei Fälle zu unterscheiden, die jedoch nicht wesentlich verschieden
sind. Dazu kommt ^Is rieiier Fall Lagenänderung der Schenkel.

^, <'

P,.

b.^—

- 46 -^

82. Sei {h : a) = i^- (h :h^) = i-^.
Dann ist:

h = a . i^' = ?>, . i-1,

(1. h.: Das Produd aus einem Winkel und seiner Anfangs-
richtimg ist seine Endrichtung.
Ferner :

a = b :iP ; b^ =h : i- 1,

d. h. : Der Quotient ans der Endrichtung und dem Winkel
ist gleich der Anfangsrichtung.
Ferner:

b^ : a = ii + P ; b : a^ = i- 1+^.

83. Die Formeln in 81. werden gleichlautend, wenn

a = b^ = m , also i? = — q.

Beide lauten dann:

(7> : ni) = (in : ciy),

— 47 —

d. h. m hat gleichen IlicläunysunterscMed gegen a^ und h.
Die Gerade m heisst die Mittelriclitung von a^ und h, oder
die Halhirungslinie des Winkels (& : a,).
Aus der letzten Formel folgt:

h . tti = m . m = ni^ ; Die zweite Wurzel aus dem Pro-
oder: 2 ducte ztveler BicJdungen stellt

m = -j-yb . a^. ihre Mittelrichtung dar.

Das doppelte Vorzeichen der Wurzel entspricht der dop-
23elten Richtung von m.

Ferner ist in diesem Falle:
(&, : a) = l ; (b : «i) = i^p. Die Hcdhinmgslinie theüt den
oder: Winkel in mvei gleiche Theile.

m = + ya^'^ i^p = 4- «j ip .

Die Formeln in 81. kann man übereinstimmend schreiben : 84.

Wenn zwei Winkel einander
gleich sind, so haben die Winkel
stoischen der Anfangsrichtung des
einen und der Endrichtung des
anderen gleiche Mittelrichtungen.
Aani. Wenn a und 6, beide ihr Zeichen ändern, d. h. wenn man
die entgegengesetzten Richtungen beider nimmt, so bleibt a . ftj, mithin

oder:

]/b . a^ = Ya . 6j = m,

/3.

+m.

^-a

auch w ungeäudert, nämlich nach Belieben positiv oder negativ. —
Aendert dagegen &, sein Zeichen allein, so sei 6, = — ?<2, und man hat:

a . &2 = — «l'2;

+ Va . b^ = m . '/ = ?«, .

D. h.: m dreht sich «m einen Hechten. {Die HalbirungsUnien zweier
Nebenwinkel bilden einen recMen WinJcel.)

Die Formel (b : m) = {m : a^) lässt sich auch schreiben : 85.

{m : «,) . [m :&) = !.

— 48 —

Nunmehr lässt sich der Begriff der Mitteh'ichtung dahin
erweitern, dass man sagt: Für v Richtungen a, h, c . . . n
ist diejenige Richtung m die Mitteh'ichtung, welche der Be-
dingung genügt:

{m : a) . {jn : V) . {in : c) .... {m : n) = 1 ,

oder: v,

m = ya .h...n.

86. Winkel, die nicht an einander liegen (d. h. Scheitel und
einen Schenkel gemeinsam hahen), können wir vereinigen,
indem wir sie erst durch Schiebung, resp. Drehung aneiu-
anderlegen und dann addiren.

87. Sei das Product von v Winkeln gleich Eins; also:

ij):a) . (fZ:c) • (/:e) ••• = 1.
Dann können wir alle diese Winkel durch die Abweichun-
gen ihrer Schenkel von einer einzigen heliehigen festen Rich-
tuncj V ausdrücken, indem wir setzen:

{h : a) = {v : a) : (v :h)

{d :r)={v: c) : {v : .7.),
sodass :

{v : a) • {v : e) • (:v : e) • • • = (v :h) {v : d) {v : f) ' - ■ ,
d. h.: Wenn das Froduct von v Wüikeln auf einer Ebene
Eins ist, so ist für jede heliebige Richtung der Ebene das Pro-
duct der Abiveiclmngen von den Änfangsrichtungen gleich dem
Producte der Abtceichungen von den Endrichtungen.

88. Ist h = d = f= • ' • = ni, so haben wir:

{v : a) • {i^ : c) • {v : e) • ■ • = {v : ^»)'';

^^^^' m'' = a . c . e . . . .,
oder: %■

m = y a . c . e . . ,,
d. h.: Wenn auf einer Ebene eine Schaar von v Geraden
gegeben ist, so ist für jede Richtung der Ebene das Product
der Abweichungen von diesen n Geraden gleich der v^''" Potenz
ihrer Abweichung von deren Mittelrichtung.

2. Bewegung eines auf der Geraden liegenden Punktes. —
Die Kreislinie.

89. Wenn eine Gerade nm einen auf ihr liegenden Punkt 0

sich dreht, so beschreil)t jeder ihrer Punkte eine Kreislinie,

— 49 -

wenn die Drehung die Grösse eines geschlossenen Winkels
erreicht ; andernfalls nennt man den zurückgelegten Weg einen
Kreishoyen. Dieses Gebilde ist durch Anfangs- und End-
stellimg des bewegten Punktes vollständig begrenzt, also eine
Grösse. — Der Kreisbogen ist das dem WinJcel entsprechende
Ausdehnungsgehüde, wie der Linientheil das der Strecke ent-
sprechende Ausdehnungsgebilde war.

Alle in dem Abschnitte über Winkel abgeleiteten Sätze
lassen sich daher ohne Weiteres auf die Kreisbogen über-
tragen, wenn man statt der Schenkel Punkte auf derselben
Kreislinie, statt der Winkel Bogen setzt.

In Bezug auf die Kreislinie heisst der feste Punkt 0
MittelpunJd {Centrum), weil zu jedem Punkte A der Kreis-
linie ein anderer A^ gehört, welcher mit dem ersten durch
die Beziehung verbunden ist:

{0 — A) €- = 0 — A,; oder: — {0 — A) = 0 — A, ;
oder: ' A — 0 = 0 ~ A,;

oder: q __ -^ + A,

Die bewegliche Strecke (0 — A^ heisst Badius, der Winkel,
dessen Schenkel zwei Radien (0 — A) und (0 — JB) sind,
der also dem Bogen zwischen A und B entspricht : Centri-
winkcl.

Anm. Betrachtet man einen Punkte der Kreislinie als fest, den
Mittelpunkt als beweglich, so nähert sich die Kreislinie, wenn der
Mittelpunkt sich ins unendliche von A entfernt, einer Geraden, und,
wenn der Mittelpaukt sich A bis ins Unendliche nähert, einem Punkte.

_^ 3. Bewegung einer auf der Geraden liegenden Strecke.

Jede auf der Geraden liegende Strecke A — J., Iässt90.
sich darstellen als Differenz von zwei zu verschiedenen Kreis-
linien gehörigen Radien, da

A — A^ = (0 — A^) — (O—A)
ist. Es genügt also, die Bewegung des Radius zu betrachten.

Hat ein Radius (0 — A) durch Drehung um einen Winkel
i"^ die Richtung {0 — B) erreicht, so setzen wir folgerecht:

(0 — A) *•'« = {0 — B).
Hieraus folgt:

(O — B): (0 — ^) = ^"';

Schlegel, Syst. d. Kaumlehre. 4

— 50

d. h. : ein Bogen ist durch seine EmlpimMe {A , IT) und
durch den zugehörigen Miftelpunld genau bestimmt.
91. Die Verbindungsstrecke der beiden Punkte Ä und B

{Ä — B) heisst Sehne des Bo-

gens und, wenn sie durch den
Mittelpunkt geht, Durchmesser.
Das Dreieck der Punkte A, B, 0
heisst glelchschenldig , {A — B)
seine Basis, (0 — A) und (0 — B)
seine Schenl'el', der Eckpunkt 0
seine Spitze.

Da
{A-B)^{0-B)-{0-A),
so ist:

{A — B) = {p — B) (1 — i-^")
und {B — A) = (0 — A) (1 — «'") .

Diese Formeln zeigen den Zusammenhang zwischen Sehne,
Bogen und Radius.

Hat ein Radius (0 — A) durch Drehung um den Winkel
«'" die Richtung (0 — B) und dann durch Drehung um den
Winkel i^ die Richtung (0 — C) erreicht, so ist:

{0 — A)i"^ = {0 — B);
{0 — B)i'^ ={0 — (7);
folglich :

(0 - ^)i'" + «=(0— C).
Und, wenn
m -\- n -\- p = 4:,
so ist:
{0 — C)iP = {0 — A).
Ferner erhalten wir für die drei ein Dreieck bildenden
Sehnen {A — B) , {B — C), (C - A) folgende Werthe:

{A — B)^{0-B)-{0-A)^{0 — B) (1 — i-"0
{B — O = {0-C) —{0 — B)=^{0 — B) ii'^ — 1)
{C — A) = {p — A) -{0 — C)={0 — B) iir'- — ?>),
oder, wenn wir diese drei Formeln durcheinander dividiren,
wobei auf der rechten Seite (0 — B) wegfällt:

A — B
B — C

- 51 -

,— » _ oP

1 — i'

C — A ir"' — i"' 1 - i-P iP — 1

Diese Formeln bezeichnen den Zusammenhang zwischen
den Seiten des Dreiecks und den denselben entsprechenden
Centri winkeln.

Statt 92.

{B — C) :{C - A) = (/» - 1) : {i-^ — i")
kann man schreiben:

{B — C) ?■-'« — {B — C) ^•« = {C — A) i« — iß — A);
oder:
{B - C) i-"> - [{B — C) + (C - A)] i" + (C — ^) = 0;

oder : {jß — C) i-> -{- {A ~ B) i- -\-{C- A) = 0,
d.h.: Brelit man zivei Seiten des Dreiecks in entgegengesetzter
Bichtung, jede um den CentriwinJcel der anderen, so entsteht
ein nettes Breieck, dessen Seiten von gleicher Länge mit denen
des ursprünglicJien sind.

Geht der Punkt B durch diese Drehung in B^ über,

so ist

,:

{ßt-

-C) =

= {B-

-C)i—^

{A-
Und-

-B,) =

= {A-

-B)i\

(A-

-B,)i-

n

l-^-'"

{B,-

{C-

■A)

- =

oder:

A —

B,

^•"-

- i" - '"

Bi-

-C

^n-m_f-m

C — A i-ra_^n

oder , durch Multiplica-
tion mit — i"^ — ^:

A — Bt 1 - i"'

B, — C

Das zweite Dreieck unterscheidet sich also vom ersten
nur durch den entgegengesetzten Sinn von m. und n\ oder

4*

52

die beiden Dreiecke, von entgegengesetzten Seiten der Ebene

betrachtet, sind gleich. Solche Dreiecke heissen symmetrisch.

Anm. Construction eines symmetrischen Dreiecks mittelst des
Zirkels.

Bei der eben beschriebenen Drehung blieb {C — Ä) in
Ruhe; multipliciren wir aber die Drehungsformel mit *'"* und
mit i~'^, so entstehen zwei andere Drehungsformeln, bei deren
Anwendung die. beiden anderen Strecken in Ruhe bleiben.
Diese Formeln sind :

{B—C)-{-{A — ]l) l-p + (C - A)i"' = 0,

{B — C)iP -f (^ _ S) + {C — A)i— = 0.

93. Seien a, ( — h), c die Geraden, auf denen resp.

Strecken {B — C),{C—A), (^ — ^) liegen, und a^

die Geraden, auf denen bei der erstbezeichneten Drehung des

Dreiecks die Strecken {B^ — C), {A — B{) liegen; sei ferner:

c : & = ^- «1 ; a : & = ^+r. 5 ^ : c = i^- »'*' = i+ <*' + '^"^
so ist : . ■ '

c^:l> = i+ «' ; «j : 5 = i-y. ; cty : c, = i- <«■ + y-) .

Diese Formeln zeigen, dass auch die Winkel bei B und

die

B, sich nur durch den entgegengesetzten Sinn ihrer^Drehun-
gen unterscheiden.

Weiter erhalten wir:

a : a^ = i^y^ = ^"' ;

also:

n

^n.

71 =

/5i

2 '

d. h. : die drei Winkel des ursprünglichen] Dreiecks sind halb
so gross, als die Centriwinkei, welche resp. denselben Seiten
des Dreiecks gegenüberliegen.

- 53

Nennt mau die Winkel des Dreiecks Periphcrietvinlcel
(weil ihre Scheitel auf der Peripherie des Kreises liegen),
welche zu den gegenüberliegenden Seiten (Sehnen und Bogen)
gehören, so heisst der Satz: Jeder FeripJierieivitikel am Kreise
ist lialh so gross als der Ccntrkvinlcel , welcher zu demselben
Bogen gehört. — Daraus folgt: Alle PeripheriewinJcel eines
Kreises, ivelche m demselben, oder zu gleichen Bogen gehören,
sind gleich. — Zwei Peripherieivinlielj ivelche zu Bogen ge-
hören, die zusammen gleich der ganzen Kreislinie sind, be-
tragen zusammen ztvei Bcchte. — Die vier Schenkel dieser
beiden Winkel, als Linientheile betrachtet, bilden ein Viereck,
dessen Eckpunkte auf der Perij)herie liegen (ein dem Kreise
eingeschriebenes Viereck). Dieses Viereck hat also die Eigen-
schaft, dass je zivel gegenilberliegende seiner Innenivinhel zu-
sammen zwei Bechte betragen. — Der PeripherieivinJcel, dessen
Schenkel den Kreis in den Endpunkten eines Durchmessers
treffen, ist ein Bechter.

Dieser Satz dient zur Lösung der Aufgabe: In einem
sregebenen Punkte Ä einer Geraden eine
Senkrechte zu errichten. — Man wähle 0
beliebig ausserhalb der Geraden, beschreibe
mit OÄ einen Kreis, der die Gerade noch
in B schneidet, ziehe BO bis zum Durch-
schnittspunkt C, und ziehe CA-, dann steht
CA senkrecht auf AB.

Specieller Fall. Sei m = 2; dann ist j/^ = 1 ; « = — a^ ; 94,
und {B^ — C) = — (B - C).

Die Punkte A, J5j, B sind nun
die Eckpunkte eines gleichschenk-
ligen Dreiecks; und die Strecke
(C — A), welche Höhe des Dreiecks
heisst, hat folgende Eigenschaften:

1) Sie ist die Halbinmgslinie

des Winkels an der Spitze («j = -^) •

2) Sie halbirt die Basis.

[{B, -C) =

,Le-.

^

B

(ß -C); also C =

B + B

]

3) Sie bildet mit der Basis rechte Winkel. \y\ = 2^^^)'

— 54 —

2 '

Ausserdem ist [a : c) = — («j : c,); d, h. : Die Winkel an
der Basis des gleichschenkligen Breiecks sind gleich gross und
entgegengesetzt.

Aus «1 + /^i + J'i = 2 folgt in diesem Falle: «, -[- /3, = 1 ;

also: ß^ = l — a^] und, da a, = — ist: /3^ = 1 —
M = 2 — 2 /3, .

Verbindet man in der Figur zu 93. die Funkte B und B^,
so entstehen zwei gleichschenklige Dreiecke mit gemeinsamer
Basis. Die Gerade h hat in beiden dieselben Eigenschaften.

Anm. Auf diese Eigenschaften der Geraden h gründen sich fol-
gende Constructionen: 1) Halbirung einer Strecke {B — B,). 2) Hal-
birung eines Winkels {m oder n). 3) Construction eines rechten Win-
kels, oder einer Normalen, wenn eine Gerade und a) ein Punkt mif
derselben, b) ein Punkt ausserhalb derselben gegeben ist.

Anwendung der letzten Sätze auf das in 91. enthaltene
gleichschenklige Dreieck.
95. Wenn die Geraden a, b, c dieselbe Bedeutung haben,
wie in 93., und ausserdem in 91. die Geraden, auf denen die

Strecken {0 — Ä), {0 — B), {0 — C) liegen, resp. mit x^,
X2, x^ bezeichnet sind, so ist nach 94.:

m + n ^ m

^ = i '

^ =^i '

^ = i '

?H -f- n

55

Das Dreieck der Puukte A, B, C lieisst: „dem Kreise
einhcschrichen"j die in den Mitten seiner Seiten eonstruirten
'SenJcrechten schneiden sich im MittelpiinMe des Kreises.

Aus den letzten Formeln folgt noch z. B., dass

^ = ^ ; oder : h = ]/—x\ x^ ;

d. h. : Im gleichschenldigen Dreieck halbirt eine durch die
Spitze mit der Basis gesogene Parallele die AussemvinJcel an
der Spitze.

Siiecicller Fcdl. Ist a = c, d. li. fallen diese .Geraden 96.

D

ann

zusammen, so liegen A, B, C in derselben Geraden,
aber ist:

— J— = 0; m = —n',

d. h. A und C fallen zusammen. Es können also drei Punkte
nicht gleichzeitig auf einer Geraden und einer Kreislinie liegen.
Eine Gerade, welche zivei
Punkte mit einer Kreis-
linie gemeinsam hat, heisst
Secante.

Ferner erhalten wir:
jCi = X-, , und :

h . i = — x^]
d, h. : Fallen die beiden
Durchschnittsyunlde einer
Geraden und eines Krei-
ses in einen einzigen zu-
sammen, so steht die Ge-
rade auf dem durch den
Durchschnittspunkt gezogenen Radius senkrecht.

Eine Gerade, welche nur einen .Punkt mit einer Kreis-
linie gemeinsam hat, heisst Tangente, und man sagt, sie be-
rühre die Kreislinie.

Auch in diesem Falle ist noch c:b ^ i~"' , oder ci:b = i+y' ;
d. h. : Der Winkel zivischen einer Tangente und einer durch
denselben Punkt gehenden Secante ist dem Peripherieivinkel
gleich, ivelclicr zu dem von der Secante abgeschnittenen Bogen
gehört.

— 56 —

07. lu dem unter 94. betrachteten speciellen Falle war in

dem Dreieck der Punkte Ä, J5,, C ein Winkel ein reclder.

Das Dreieck selbst heisst recht-
winhlig , die Strecke {A — J5,)
Hypotenuse, die beiden Strecken
{B — C) (C— Ä), (welche auf
den Schenkeln des rechten Win-
kels liegen): Katheten.

Aus 0=— ±^ folgt:

d. h.: hn gleichschenMigen DreiecJc ist die Verhindungslinie
der MittelpunMe eines Schenkels und der Basis dem andern
Schcnicel parallel, und gleich lang mit der Hälfte des Schen-
Tcels; oder: Im rechtivinldigen Dreieck ist die Verhindungs-
linie der Mitte der Hypotenuse mit dem Scheitel des rechten
Winkels gleich lang mit der halben Hypotenuse.

Ebenso erhält man:

d. h.: Im gleichschenkligen Dreieck liegen die Mittelpunkte
der Schenkel mit dem der Höhe in gerader Linie, und der
letztere ist die Mitte der beiden anderen.

Wendet man auf das rechtwinkhge Dreieck die in 91.
zwischen den Strecken {Ä — B) , {B — C), {C — A) ent-
wickelten Beziehungen an, indem man darin m==2 setzt,
so folgt:

A — B ^ 2 _ —2 _ ^-" —jP

B — G~ e" — 1 ~ i-P-\-\ ~ l_i-»

c- A —\_e i-i-p iP -1

Die letzten beiden Werthe des Verhältnisses verwandeln
sich in den vorhergehenden, wenn man für p seinen Werth
(2 — n) setzt.

Die erste Doppelgleichung aber lässt sich in folgende
Partialgleichungen zerlegen, wenn man 2 a^ für n setzt:

B^^C ^ 1^ ^l^' . A- C ^ 1 -\- i^ "' B — C _ 1 - r'^^

B — A~ 2 '^ A~B~ 2 ' 0 — A ~ r+l2^i *

__ 57 —

Wir bezeichnen nun zur Abkürzung diese drei Verhält- 98.
nisse der Reihe nach mit S{cc^)'^ ^'(«1); T{a^), sodass:

ist.

Anm. Die Wahl der Buchstaben *S', C, T gründet sich auf fol-
genden Umstand: Ersetzt man die Strecken {B — C), {B — A), (A — C)
durch ihre numerischen Werthe, so verwandeln sich die drei Verhält-
nisse resp. in Sinus, Cosinus, Tangens der Zahl a,. Ebenso sind sina,,
cos «1, tg «1 resp. die numerischen Werthe von ^(o;,), C(or,), T(a,);

d. h. es ist sin «i = j/<S (a,)-; cos a, = j/C(o;,)-; tg «, = //^(a,)- ;
und aus <S(a,) + 6^(0:,) = 1 folgt durch innere Quadrirung:

[S(ai^ + C («,)]-=!; oder SM" + C(a,)- = 1; "
oder sin' £Vi -|- cos^ «1 = 1.

Andere Formeln bleiben ungeändert.

Zwischen den Grössen S{a^), ^{^\)} ^ {.^\) bestehen
nun folgende Beziehungen:

S(a,) + C(«,) = 1 ; CK) -S{a,) = i^«-;
Setzen wir «, = /3j -[- J'i ; so folgt:

2 4 ' 4

oder:

2 4 ' 4

Setzt man ß, = — ö'j, so folgt:

2 2.*2<''

1 ,^2 dl -2^1 .

Ferner ist für

— 58 — -

1 9 ■? -t ' ^ ^ 7

— 1. ^. ,). -i. -g. ^. ^. 3J-.

C'(ai) = 0. 1. 0. 1.

I + i 1 — i \jj- i 1 — i

2 ;i 2 2

1 — i 1 -f- i 1 — i 1 + i

«(«,)= 1. 0. 1. 0. „ ^ ^

Wenn, wie oben, n -|- ju = 2, also or, -|- /3, == 1.. oder
/5, — ^j = 1 ist, so ist ^, = i + <^,; /-/*' = r . i2<J. = _ »2^,.
folglich :

ferner: 2 Ä (^.) C(/3,) = 2 Ä (d\) 6'(d,);

^^^l^r-- Ä (2/30 = ^(2^0-,

daher auch: 0(2/3.) = 0(2d,).*)

Die Formeln in 92. lassen sich mm schreiben:

ä(-|)' ^-"^ ^(-1)'^'"^ K-f)

*) Der Unterschied zwischen den Ausdrücken S{(Xi), C(«,) und
den entsprechenden trigonometrischen Functionen verdeutlicht sich auch

geometrisch durch folgende Betrachtung. Wenn «j • — = a, so ist

^al,-ai i«._|.,-«> 1-1- ^2«,

cos cc = —^ = =

1 2 2 2i«'
und

_ e«' — e- "'■ _ ^°' — i' «' _ 1 —f^ _ 1^ *^_^ •

^ " 27 ~~ 2 1 — ~27"' + ^ ~ 2 i"i~

Demnach ist cos « = ^ , und sm a = ; oder:

(A — G) i- "' i {B - C) i- "'

= cos «; —

{A-B) ^ ■= ' (JS - ^)

D. h. : Weil der Quotient zweier Strecken nur dann eine Zahl ist, wenn
dieselben gleich gerichtet sind, so muss man, um cos a zu erhalten,
die Strecke [A — C) durch Drehung um den Winkel ( — «,) in die
Richtung von [A — B) bringen; ebenso muss man, um sin a zu erhal-
ten, die Strecke {B — G) durch zwei Drehungen, um den Winkel (— «,)
und um einen Rechten, in die Richtung von (B — A) bringen. Es sind
also S («,) und G («,) die Quotienten der betreffenden Strecken (mit
Festhaltung ihrer Richtung); und sin a und cos a diejenigen ihrer nu-
merischen WertJie. Durch die oben gegebenen Beziehungen zwischen
G (ui) und cos «, sowie zwischen *S' (ori) und sin a lassen sich nun alle
Formeln der einen Kategorie in die der andern verwandeln.

59 —

Gehen von einem Punkte C innerhalb oder ausserhalb 99.
eines Kreises zwei Secauten nach der Kreislinie ; welche die-
selbe in den Punkten Ä
und 2?, , resp. B und Ä^
schneiden, so sind in den
Dreiecken (C A B) und
{C Ä^ B^) die mit gleichen
Buchstaben bezeichneten
Winkel (yocß) gleich. Folg-
lich hat man :
B -A

A
B

A — B

A — C

B - C
oder:

B — A

A-C
C -B

'S'(y) .

Sja)
Ä(-y)'

S(ß) .
Ä{-«)'

= i-'l^

= t'y

S(ß)
Sicc)

B — A S{y)^

C — B ' Ä(a)

Ferner erhält man drei
richtige Formeln, wenn
man hierin Ä^ und By
statt Ä und B, und — a,
— ß) — y statt a, ß, y setzt. Beide Reihen combinirt aber geben ;

B

oder auch :

A — C
C — B
B -A
A— C
C

= i-^ß

B

2y

^, — "c

C — .B,

A, — C
G — Bi

C — A
(C — B) i^

A — B
(A - C) jf

B — C

(B, — A,)i-
C-Ai

{C-B,)i-P
A^-B^

(A, — C)i-y

B,

C

— GO —

d. li.: Bringt man in den Dreiecken (ABC) und {Ä^B^C)
zwei Paare entsprechender Seiten durch Drehung in je eine
Gerade, so ist der Quotient der beiden Seitenstrecken für
beide Dreiecke gleich.

Dasselbe gilt von den Dreiecken {CÄÄi) und {CBB^).
— Solche Dreiecke heissen symmetrisch ähnlich.

Also: Der BurchscJinittspunkt siveier Gegenseiten eines
dem Kreise einbeschriebenen Vierechs bildet mit den Ecl'en
des Vierecks paartveise symmetrisch ähnliche Dreiecke.

Geht eine der Secanten in eine Tangente über, d. h. ist
z. B. A = B^, dann kann man die letzte Formel schreiben:

A — C _ (^1 — a)^~y

Die Strecke A — C heisst nun die mittlere Broiiortioncde
zwischen den um ( — y) gedrehten Strecken [B — C) und
{A, - C).

Anm. Handelt es sich nur um die numerischen Werthe der
Strecken, so kann man die imaginären Factoren überall weglassen und
den Sätzen einen einfacheren Wortausdruck geben.

100. Die in den Mitten der Seiten eines Dreiecks (ABC)

errichteten Senkrechten schneiden sich, wie wir oben sahen,

in einem' Punkte. — Ver-
bindet man nun die Fuss-
punkte dieser Senkrech-
ten, so entsteht ein zwei-
tes Dreieck, (J., jB, C^),
in welchem jene Senk-
rechten aus den Ecken
auf die Gegenseiten ge-
fällt sind, und Höhen
'^ heissen. — Also schnei-
den sich auch die Höhen
eines Breiecks in dem-
selben Punkte. — Ver-
bindet man endlich die
Fusspunkte dieser Senkrechten, so entsteht ein drittes Dreieck
(^2 ^2 ^'2)- Nun liegen auf der Peripherie" eines Kreises die
Punkte :

{A,A,B,B.^, {B,B,C,C,), {C,C,A,A,y,

— 61 —
folglich sind symmetrisch ähnlich die Dreiecke:

"""'^ A^iCi, B^C^Ä^, C,A,B,.

Daher sind die in A^B^C^ an {B^C^), (C, ^,), (^i-^i)
liegenden Winkelpaare resp. gleich aß y. Folglich sind
die obigen Senkrechten die Halbirungslinicn der Winkel des
Dreiecks {A^B.yG.^)'-) also schneiden sich auch diese in einem
PtinMe.

Im Dreieck der Punkte (^j JB, Cj) finden folgende Be- loi.
Ziehungen statt:

Setzt man die Werthe für S {a) einander gleich, des-
gleichen für S {ß) und S (y) , so hat man den Satz: Die
Höhen eines BreiecliS verhalten sich umgel'elirt, ivic die zu-
gehörigen Seiten.

Sei ferner X der Durchschnittspunkt der drei Höhen, und

X = «1 J.J 4- «2 -^o *? ("l + "'i) = 1 ?

folglich: ,-j^ ^ . , . -xr-.

Dann ist:
{A, - A,) = {A, _ X) + (X - J.^) = {A, - B,) S iß)',

0^^^- '■ iA,-X){l + -2;) = (^, _ i?,) ^ iß) ;

«der: (^, _ X) = a,Ä(^) (A - ^t)-

Ferner, da

(A, - X) = (^. - B,) + (5i - X)

''^'- _ (i?i - -X) = («,^(/3) - 1) (Ä, - ^,);

endlich : ^ ,q rfl^ — i ^ -^ s

(5,-X) = ^^^^|^.(5,-50.

Setzen wir nun

g>) — - P--' ' Pt + P2 — A,

dann ist X = ß,B, -\- ß,B,.

Setzt man ferner X = j^, C^ -f /j C'o , so erhält man durch
eine ganz analoge Rechnung:

- 62 —
also:

Siy] - ^2 5

ß,S{y) + y,S{ß) = l',

y., S (a) 4- a.y S{y) = 1.

Vermöge dieser Gleichungen kann man die Grössen
a^ß^y-z und S{a), S{ß), S (y) beliebig durch einander aus-
drücken. Man erhält:

o.x P2 + y2-«2. S(ß)-^S{y)-S(a) ,

^W— 2ß,Y, ' "2— 2S{ß)S{y)

Q//?^_ 72 + «2 - P2 . /:} S{v) + S{a)-S(ß) .

C / > _ -^2 + ßz - 72 . ,, _ S{c) + S(ß)-SiY)

^yy)— 2a,ß, ' ^^2— 2S{a)S{ß)

4. Bewegvmg eines auf der Geraden liegenden Linientheils. —
Die Kreisfläche.

102. Wenn eine Gerade um einen auf ihr liegenden Punkt 0

sich dreht, so beschreibt ein von 0 ausgehender Linientheil
eine Kreisfläche, wenn die Drehung die Grösse eines geschlos-
senen Winkels erreicht; andernfalls nennt man den zurück-
gelegten Weg einen Kreisausschnitt. Dieses Gebilde ist durch
Anfangs- und EncJstellimg des bewegten Linientheils, und
durch den von dessen Endpunkte beschriebenen Bogen voll-
ständig begrenzt, also eine Grosse. — Der Kreisausschnitt
kann, wie der Kreisbogen, als ein dem Winkel entsprechen-
des ÄuscJehmingsgeMlcle angesehen werden.

Alle in dem Abschnitte über Winkel abgeleiteten Sätze
lassen sich unmittelbar auf den Kreisausschnitt übertragen,
wenn man statt der Schenkel Linientheile, von dem Drehungs-
punkte ausgehend, und statt der Winkel Kreisausschnitte setzt.

Betrachtet man die Kreisfläche nicht als Mass für die
Drehung des Linientheils, sondern als Theil der Ebene, so
ist sie auf der Ebene dasselbe, was der Linientheil auf der
Geraden ist. Sie bestimmt die Seite der Ebene, ist ein Theil
von ihr, und entsteht durch Drehung des Linientheils, wie
dieser durch Schiebung des Punktes.

— 63 —

6. Drehung um einen ausserhalb der Geraden liegenden Punkt.
1. Bewegung einer Geraden.

Wenn auf dem Umfange einer Kreislinie ein Punkt nebst 103.
der zugehörigen Tangente gegeben ist, und, während der
Punkt auf der Kreislinie fortschreitet, die Gerade sich so, be-
wegt, dass sie stets die zu dem Punkte gehörige Tangente
bleibt, so sagt man, die Gerade drehe sich um das Centrum
des Kreises.

Ist die Gerade bei dieser Bewegung in die ursprüngliche
Richtung zurückgekehrt, was der Fall ist, wenn der Punkt
die ganze Kreislinie beschrieben hat, so hat sie selbst die
ganze Ebene beschrieben, mit Ausnahme der Kreisfläche.
Man sagt daher, dass die Gerade (in ihren verschiedenen
Richtungen) die Kreisfläche nniJiüUc.

Da die Gerade in jeder ihrer Richtungen einen Punkt
mit der Kreislinie gemeinsam hat, so kann sie ebenso, wie
der Punkt, für die Kreislinie als erzeugendes Gebilde ange-
sehen werden. %

Anm. Betrachtet man einen Punkt J. der Kreislinie als fest, den
Mittelpunkt als beweglich, so nähert sich auch bei dieser Eutstehungs-
weise die Kreislinie, wenn der Mittelpunkt sich ins Unendliche Yon A
entfernt, einer Geraden, nämlich der Tangente in A, und, wenn der
Mittelpunkt sich A bis ins Unendhche nähert, einem Punlde, nämhch
dem Durchschnittspunkte aller durch A möglichen Geraden.

Wenn eine Gerade a durch Drehung um einen Punkt 0 io4.
in die Richtung h ge-
kommen ist, so seien
die Berührungspunkte
von a und h mit der
Kreislinie resp. durch «
A^ und B^ bezeichnet,
und die Geraden, auf
denen die Strecken
(0 — vli)und(0 — jöj
liegen, resp. durch «^
und l)^. Man hat dann :
a, . * = «5
h^ . i == h.
Da nun a^ : a =^ h^ : h, so ist, wie schon bekannt;

- 64

j/cti b = j/a 6, ;
Aber anch, wenn man für a, und a ihre Werthe setzt:
a b

oder:

öj J)^ i; oder — « & = -]- «i &i 5
i j/ah

ya^h^ = m,

d. h.: Die Halbirungsliuie des Winkels der Riclitungen (a)
und ( — b) ist mit derjenigen von a^ und b^ gleich gerichtet.
Da nun (0 — Ä^)i" = (0 — B^), und, wenn der Schnitt-
punkt von a und b mit C bezeichnet vt^ird,

{O-'ä,) + {ä,-C) + {C-O) = 0

ist, ausserdem aber auch: •

(0-£,) + (5, -C) + (C-O) = 0,

so sind die Dreiecke der Punkte (OÄ^C) und {OB^C) sym-
metrisch; denn a^ -.b^ = a :b\ oder, wenn a^^" = &i, so ist
a . ^« - 2 = — J . also :

(0 — ^,) '/« + (^, — 0) i^-^ + (C — 0) = 0.

Also geht die Halbirungslinie des Winkels a : ( — b)
durch den Mittelpunkt der Kreislinie, und die Mittelrichtun-
gen zwischen a, ( — b) und a, &j fallen in dieselbe Gerade.
105. Wenn die Gerade b durch weitere Drehung in die Rich-

tung c gekommen ist, und der neue Berührungspunkt Oj ge-
nannt wird, die Durch-
schnittspunkte von c mit b
und a : A und B\ dann bil-
den die drei Tangenten a,
^i b, c das Dreieck der Punkte
A, B, C, und nach voriger
Nr. gehen nun die Halbi-
rungslinien der Nebenwinkel

a h c .. .,. 1
von T- , — , — sammtlich
b ' c ' a

durch den Punkt 0. Das
Dreieck der Punkte Ä, B, C heisst ,,dem Kreise um-
schrieben". Wählt man auf den Geraden a, b, c die Rich-
tungen anders, so sind im Ganzen 8 = 2.2.2 Combina-
tionen möglich^ nämlich:

— 65 -

(+«, +^+c); (-^a, -\-h, ~c)', (+«,_?,,+,);

(+ ^; - '^ — ^0;

{— a, —h, —c); {— a, —h, -\rc); {— a , -{- h, — c);

(— «, 4- h, + c);
diejenigen der zweiten Reihe <:^'elien aber aus denen der ersten
hervor, wenn man auf allen drei Geraden die entsreo-enj^esetzte
Richtung nimmt. Es bleiben also vier unabhängige Fälle,
und jedem davon entspricht, ein Beriihrungskreis. Die vier
Mittelimnlde dieser BeriihrmiQslireise sind die Durcltschnitts-
punkte der HcdhirungsJinien aller von den Geraden a, h, c
gebildeten Winhel.

^'B,

2. 'Bewegung einer Strecke.

Wenn keiner der Endpunkte einer Strecke (Ä — JB) mitioc.
dem Drehuugspunkte 0 zusammenfällt, so kann man immer
setzen :

{A — B) = {0-B) — {Ö-Ä).
Ist nun

(0 — L) i'" = (0 ^ B,)',

iO-A)i"' = {0-A,);
so folgt:

{Ä — B) i"' = (0 — B,) i / /

-iO-A,) = {A,-B,)- W/
d.h.: Wenn mvei Strecl'cn um i/-'"
ihren gemeinsamen ^Endpunl^t o

gldclic WinJiel heschreihen, so heschreiht die Verlindungsstreclce
ihrer Endpimlde den gleiehen Winlcel.
Umgekehrt : Wenn

{A-B)i"' = (A,-B,),
(A~-B) = {0~ B)-{0- A)-

{A,-B,) = {0-B,)-{0-A,y,
so folgt:

{0 -B) i'^^ — {O — A) i"^ = (0 — B,) - {0 ~ yl.) .

Ist nun (0 — A) i'" == (0 — A{)\ d. h. : beschreibt die

Strecke (0 — A) denselben Winkel um 0, so ist auch

{0 — B)i"' = {0 — B,).

Selilcpel, Syst. d. P.aumlcliro. y

und

6G

Der Drehuugspunkt 0 ist hiernach der Schnittpunkt der
in den Mitten der Strecken {Ä — A^) und {IJ — L',) con-
struirten senkrechten Geraden. — Analytisch ist der Drehungs-
punkt bestimmt durch die Formel:

0-A_0-B,^ . A-B _A,- B,

O — A 0 — B^ ^^^^ • 0 — A~ O — Ai

Für zwei beliebig verschieden gerichtete gleich lange
. Strecken in der Ebene giebt es. stets einen Drehuugspunkt.

Hieraus nun ergeben sich sogleich für die Hichtungs-
ünderung eines Dreiecks {OAB) folgende Sätze:

Wenn ein Dreieck sich ttm einen seiner Eclixmnkte dreht,
so hescJireihen seine Seiten gleiche Winkel.

Wenn stmi Seiten eines Dreiecks um den gemeinsamen
Eckpunkt gleiche Winkel hescJireihen, so heschreiht die dritte
Seite den gleichen Winkel.

Ein Dreieck hleiht durch Drehung ungeändert, wenn zwei
seiner Seiten ihren Richtungstmterschied nicht geändert hcihen.
107. Wenn zwei Strecken {A — B) und {B — C) sich um

gleiche Winkel {ni) um einen beliebigen Punkt 0 in der
Ebene gedreht haben und dadurch in die liagen (^, — B^),
(I), — C,) gekommen sind, so muss nach voriger Nr. sein:

^^

{A — B) i"
Nun ist:

{A,-B,) ; {B-C)i'-'={B,-C,).

{A-B)^{0-B)-{0-A)',
{A,-B,) = {0-B,)-{0-A,)-

{B~C) = {ü-C)-{_0-B);
{B,-C\)-^{0-C\)^-{0-B,);

— 67

folglich :

(0 — B) i'"

-i^O-Ä)r = {0-B,)-{0-Ä,)-

(0 — C) i'"

-.(0-B)l"'^iO-C,)-{0-B,).

Ist uuii:

iO-A)i'"={0-A,),

1 (A — B)

= Wr— — TT , wodurch 0 bestimmt ist, so

auch:

(0 - B) V" = {0- B,)

und

{0-C)i- = {0-C,);

ist

d, h. : das ganze Dreieck der Punkte (.-1, B, C) dreht sieh
um 0.

Die Sätze der vorigen Nr. gelten nun für die Drehung
um einen beliebigen Punkt der Ebene.

Die letzten Formeln liefern aber noch folgenden Satz :

Die in den Mitten der Vcrhindunyslinicli ziveier liomo-
hyer EcJien heliehiger congruenter Dreieclcc construirtcn Scnlc-
rechten schneiden sich in einem einzigen PimJde, dem Drehungs-
X>nnMe.

Ist speciell 0 = ^4^; also {0 — A) = {B ~ 0), und
m ==^2 , so folgt :

{0-A,) = {.i-0) = {0-B); ^

also A^ = B. .

(0 - i?,) = {B -0) = {0-Ay, 4^:-^,^^ -^f

also^i =^. ^'\ / '" ^^

(0-0,) = (0-0); \//

also 0 = ^4^ = ^^^; d. h.: die ^'

Punkte AB C Ci bilden ein Parallelogramm. Die Diagonale
tJieilt dasselbe in z%vei congruente Dreiecke. (Vgl- Nr. 112.)

Anm. Auf dieäe Drehung und auf die früher behandelte Schie-
bung lässt sich jede Bewegung eines Dreiecks zurückführen. — Die
letzte Nr. enthält übrigens, wie man bemerken wird, den einzig wissen-
schaftlichen Beweis für den Satz, dass zwei Dreiecke congruent sind,
wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein-
stimmen. An die Stelle des vagen Aufeinanderlegens (wobei man nur
beweist, dass die auf- oder nebeneinander liegenden Dreiecke con-
gruent sind, und stillschweigend die unerwiesene Annahme macht, dass
das durch drei Stücke bestimmte Dreieck beim Transport seine übrigen
drei Stücke unverändert behalten müsse) tritt hier der bestimmte Be-

- 68 —

grift" der Drehung. — Was die amlereu sogenannten Congruouzsiilze
betrifft, so erscheinen diejenigen, welche die Gleicliheit zweier Winkel
voraussetzen, als ppecieller Fall in der Aelmlichkeitslehre. Die beiden
anderen erledigen sich wie folgt:

1) Sei

{A - B) iy = (A^ - 5i); {B - C) i" = {B, - C\);
dann ist: (C - A) i^ = (C,- A^,

(A - B) iy + (J5 — C) i" + (C - A) i^ = 0;
oder •

(J5 _ C) ?"-y + (C - A) v'-y + {A-B) = Q.

Letztere Gleichung bezeichnet entweder ein dem gegebenen symme-
trisches Dreieck, bestimmt dann aber auch gleichzeitig die Winkel
u, ß, y in bekannter Weise^ oder giebt_, mit

(B-C)-}-{C-A)-{-{A-B)=^0
verglichen, das Resultat : a = ß = y, woraus wieder die Gleichheit der
Winkel des Dreiecks (-4i i5, C,) mit denen von {AB C) folgt,

2) Sei

{A - B) iy= (A, - Bö; {B - C) i« = (5, - C,);
[B - C) : {B, - C,) = {A-C): {A, - C\).
Dann ist:

B—G A—C

\B-C)i"^'^-Cr^ '''^''•- i^^-C)i" = i^2-C,);
und da {B — C) i" = (5, — CV, so ist auch {A — B) i" = (A^ — B,)\
d.h.: {Ai — B,) i"~ ^ = -4, — -B), und im Falle der Congruenz gleich-
zeitig a = y und Af = J.,.

Uebrigens ist bei dem hier befolgten Gange die Bedeutung der
Congruenzsätze ganz untergeordnet.

iu8. Erwf'iterimgcn. Äufyahc: Von einem gegebenen Punkte

aus soll man drei der Länge nach gegebene Strecken so

ziehen, dass ihre Endpunkte drei Ecken

eines Quadrates bilden.

Äncäysis. Sei A der gegebene Punkt,

und AB CD die gesuchte Figur. Dann

soll sein :

-^.^ {O-B) l = {C-B),

oder :

{CA — BA) i = {CA — BA)-

CA.i- BA.i = CA — BA {= CB);

/ d. h.: die vier Strecken CA . ^, BA . i,

BA und CA, welche alle nach Lage und

-^ Richtung bestimmt sind, bilden ein Viereck.

Consfrurtion. Demnach ziehe man von A aus CA in

beliebiger Richtung, dann CA . i = CE; dann muss der

^

Äi

(39

Punkt B gcmeiiisiimer Endpunkt der Strecken DA . i und
BÄ sein, wird also durch die aus E und Ä resp. mit AB
und AB beschriebenen Kreise bestimmt.

Da CD . l — OB — BB = CB ist, so hat man noch:

C

. i

— BA . i = CB

oder

CE— BE= CB-

d. h.: die Dreiecke der Punkte {C A B) und {C E B) sind
congruent.

Aufgabe: Zu beweisen, dass ein Punkt auf der Bari- lOd.
pherie des einem gleichseitigen Breiech umschriebenen Kreises
liegt, u-enn die mittlere seiner Verbindungslinien mit den, Ecken
numerisch gleich der Summe der beiden anderen ist.

Wenn ein Dreieck (AB 31), welches bei B einen Wink'el
von ■§• R hat , um den Punkt M
eine Drehung von ^R macht, so ist :

{M-A,) = {3I-A)it,

{3I-B{) = {3I-B)i^,

{A,-B,)=^{A-B)ii.
Demnach sind die Dreiecke
\A3IA;) und {B3IB^) gleichsei-
tig ; also numerisch {Bߣ)=^{B^B) ; x
ausserdem {B Ä) = {B^A^). Da
ferner die Winkel bei B gleich ^Ft, -\- ^ R
liegen A B B^ in gerader Linie. — Und da die gleichen
AVinkel bei A und A^ Periphcriewinkel über derselben (Sehne
(MBi) sind, so liegen die vier Punkte 3IAA^Bl auf der
Peripherie desselben Kreises.

Au 111. Diese beideii Aufgaben zeigen, wie auch in Anwendungen
die Cougi'uenz der Dreiecke durch den Drehungsbcgriil' ersetzt werden
kann. — In der ersten Aufgabe füllt die leichte Aufliiulung der sonst
versteckten Analysis in die Augen, in der zweiten der organische Zu-
sammenhang des zu beweisenden Satzes mit dem System.

V\

2R sind, so

— 70 —

B. Grössen, abgeleitet aus mehreren festen
Strecken oder Punkten.

1. Einfache Grössen.

5(. Abgeleitet aus mehreren festen Punkten.

a) Grössen vom ersten Grade.

110. Der Mittelpunkt M zweier Punkte A und i> in einer Ge-

raden w\.\v(\e bestimmt durch die Formel: M

A+B

Nen-

nen wir analog denjenigen Punkt M den Mittelpunkt dreier
Punkte A, B, G in einer Ebene, welcher bestimmt ist durch
die Formel :

jf = ^±|+£..)

Setzen wir A -\- B = 2Z^ so folgt:

2Z+ G=33I; oder: 31 = ^ Z -j- ^G;
d. h. : M ist doppelt soweit von G entfernt, als vom Mittel-
punkte von A und B. Dasselbe gilt für die anderen Eck-
punkte, wenn wir die Buch-
staben A, B, G und X, Y, Z
«irculär vertauschen. Also:
2X-i-A = 33I',
2Y-{- B = 3M;
2Z-\-G =3Jf;

2(x+r+z)

+ (.-i + jB+ C) = 9ilf;
2(X+ r-f-Z)=:6il/;
X+ r-fZ=3Jf;
d.h.: cVie Halhiningsimnlde X, Y, Z haben denselben Mittel-
punJä wie die gegebenen Bunläe.
111. Sei zur Verallgemeinerung der letzten Betrachtung ein

beliebiger Punkt X^ auf {B — G) durch

X,=ß,B + y,G (^,-f-j;, = 1)
bestimmt; ein Punkt TJ auf {A — X,) durch

Cr=«,^ + ^,X, K+^, = 1);

") Vgl. G. A. I. S. 41. 42.

— 71 —
dann ist :

u= c^.Ä + ß,d,B + r,ö,c («, + /5,r^, + r,d, = 1).

Diese Formel zeigt, wie ein beliebiger Punkt der Ebene
durch drei gegebene feste PtmJdc bestimmt wird.
Sei allgemein:

X= aÄ-i- ßB -{- yC; ß-f|3 + y = l.

Dann sind hinsichtlich der Grössen a, ß, y drei Fälle
zu unterscheiden; und zwar
lässt sich der gegenwärtige
Fall durch die Bedingung aus-
drücken :

1) ci ß y sind alle Meiner
ah Eins, und alle positiv.

Wenn ein Punkt X^ zivi-

selicn B und C, und ein an- » J*^ ^ ^ ^r

derer, U, zwischen Ä und X,
liegt, so sagen wir, U liege zwischen Ä, B und C. Der In-
begriff aller Punkte, welche dieser Bedingung genügen, heisst
eine DreieclcsfläcJie (ein Dreieck).

Ist eine der Grössen a, ß, y gleich Null, so liegt JJ auf
einer der Seiten des Dreiecks-, sind zwei von diesen Zahlen
gleich Null, so liegt U in einem der Eckpunkte.

Die drei Seiten eines Dreiecks begrenzen also einen Theil
der Ebene (die Dreiecksfläche), worin jeder Punkt zwischen
den Punkten A, B, C liegt.

Multiiilicirt man die Gleichung X=aA-\-ßB-\-yÜ
der Reihe nach äusserlich mit A, B, C, so folgt:

C

ß r ' '«• ß

AX==ßAB = yAC., BX = yBC-\- ccBA;
CX^aCA-^ßCB\
oder für die erste dieser Formeln:

— 72 —

oder:

A (Ä - X) = ßÄ {Ä - B) + yÄ {Ä - C);

^ ^X) = ß(Ä-B)-\-y (Ä - C).

In analoger Gestalt lassen sich aucli die beiden anderen For-
meln schreiben. Sie lehren nun, wie der Punkt X durch
Construction gefunden werden kann.
112. Sei wiederum

X, =/3,i>' + y,0; (/j, 4-;k, = 1);
aber ausserdem:

Dann ist :

Wenn also in der Gleichung:

X = aÄ-^ ßB-{-yC

ehie der Zahlen negativ ist, so liegt der Punkt X jenseits

der Seite, welche dem negativen
Punkte gegenüberliegt.

Ist /3| = ^, , so ist auch
j = y, ; die Gleichung für U

P=-i'^l + -B+S;C;

und U liegt auf der durch B mit (C — -4) gezogeneu Parallele.
Ist y^ = öy, so ist auch (v, = ß^] die Gleichung für U
lautet:

^=-|^^+l;^ + <^5 oder: {U - C) == ^^{B - A);

uud U liegt auf der durch C mit {B — Ä) gezogenen Parallele.

Ist ßi = yi = d\, so ist auch a^ = d^ (= \), und U
ist der vierte Eckpunkt eines Parallelogramms.

Sind «] , ß\, yi < S^, so liegt U innerhalb dieses Paral-
lelogramms, sonst ausserhalb.

In der allgemeinen Gleichung bestehen also für ersteren
P^all folo;ende Bediusruncren:

(ö

^

C

a/ X

\

B

r \ « '4

2) « ^ 7 sind alle Idäncr ah lut/s, a])er r/>;c' dieser Zah-
len negativ.

Dreht man nun das Dreieck der Punkte {ABC) um i\iiii
]Mittelpuukt von (.1 — B)
durch einen gestreckton Win-
kel, so dass

Äi=2J- B,=Ä:

C -{- C\ = Ä + B
wird, so ist:

X=(ß + y)A,
^{cc + y)B,-yCr,
d. h. : der Punkt X liegt im
Dreieck der Punkte (^1 B C)
und im Parallelogramm der
Punkte {ABCC;}.

Sei

X, = aA, + ßB,-{-YC,
so ist auch :

Xi = aB-{- ßA-^yC. '

Also jedem Punkte im Dreieck {ABC) entspricht ein
anderer im Dreieck {A^ By C,). Letzteres heisst das Ergün-
ziuigsdrcicch des ersteren; jede der heiden Dreiecks fläclieu ist
halb so gross als die Fläche des Parallelogramms . Da auch
die Zahlen cc und ß negativ sein können, so hat das Dreieck
drei Ergän zungsdreiecke.

Aus A X = ß A B -\-yAC folgt :
AX = ß {AC-i- CB) + yA C = (ß -\- y) AC+ßCB.
Andererseits ist:

jb*X, =ß .BA-^yBC;

X^B = ß . AB — yBC=ß{AC + CB) ~ yBC;

folglich :

X,B=iß + y)CB-{-ßAC.

Der Punkt X liegt also in einem Dreieck, wenn im Aus-
drucke für AX die Coefficienten der Glieder in bestimmter
Reihenfolge abnehmen; in einem Parallelogramm ohne diese
Bedingung. Im letzteren Falle kann mau die Zahlen ß und

— 74

iß -\- y) lJi->liebig an die Glieder ÄC und CJJ vertheilen.
Hiermit ist die Bedingung festgestellt, unter der ein Punkt
iji einem Parallelogramm liegt.*)
113. Sei wiederum

aber ausserdem:
Dann ist :

?7 =

ß,B-a,r,C-,

A-^B

Wenn also in der Gleichung

X= aA-^ ßB-^yC

3) zivcl Zahlen negativ sind, so

liegt der Punkt X jenseits der

Ecke, welche der Strecke der

negativen Punkte gegenüberliegt.

Die weitere Ausführung dieses Falles , die sich ganz

analog mit Nr. 112. gestaltet, übergehen wir ihrer geringeren

Wichtigkeit wegen.

111. Enve'derungcn und Anwendungen. Ein Punkt X sei

durch drei feste Punkte, ABC, so bestimmt, dass

X = m A -\- uB -\- pC. {m + i* + i-> = 1) •
Bezeichnen wir durch
Xj den Durchschnittspunkt von XA und BC.

X,
X,

XB
XC

CA.
AB.

Dann liegen auf je einer Geraden die Punkte:
X.IX.; XBX,; XCX3;
CAX,: ABX,

Diese Beziehungen mögen dargestellt sein durch die
Formeln :

*) Vgl. G. A. I. § 110. 111.

75

X^A,.1 + ^,X,;

(^1 + f^i

-!)•

x = L,n-{-^t,x,;

(^:« + f*2

= 1).

'X = X,C+ii,X,-

(^.. + i«.

= 1).

X, = ^ i' + ^ C;

(9l + <?!

= >«i)-

X.= ^C + -' A:
fh ."2

((>•. + <^-.

= ft.,) .

■^ .«3 >«3 '

{q, + <?..

■-- f*.0 •

Hieraus folojt soo'leich:

X = A,.l + p, B + (>, O5 (A, + p, + (?, = 1).

X = A,J5 + Q,C + (72^; (A, + Q, + rr., = 1).

X = A,C + Q,A + (;,!>•; (A3 + Q, + (>;, = 1).

Da aber derselbe Punkt X aus den gegebenen drei Punk-
ten nur auf eine Weise bestimmt sein kann, nämlich durch
die Formel:

X = mA-{- uB-j-pC,

so müssen die Zahlen A, q, a bestimmt sein durch die Formeln :

A, =-• 6., = Q.^ = ni]

^■2 = ^s = Ql= ^^1

X.^=.a^ = Q,=p.

Die obigen Gleichungen gehen hiernach über in:

X = mÄ -\- {n -\- p) X, ;

X = ni' + (2) + m)X2;

X= pG + (w+ w)X3;

X, = -^i^+-|:-C;

X2 = -^(7 + -^^;

•^ p -\- VI ' p + m '

Spccielle Fälle-. 1) Sind von den drei Zahlen ?>Mij) zwei, 115.
z. B. p lind u, einander gleich, so heisst die durch A und
X, bestimmte Gerade (resp. die Strecke A -- X,): Trans-
versale. Eine Transversale im Dreieck der Punkte {ABC),
halbirt also eine Seite. Denn es ist nun:

X, = u^+<^)-

— 76 —
Die Foniielii für X.> und X., aber lauten jetzt:
X., = -^ C + -^ Ä ;

d. li.: Die Strecke (C — ^) wird durch X., in demselben
Verbältnisse getlieilt, Avie {B — Ä) durch X.,, oder: Ztvd

IJV"^

/

■ /

/

^

-"^

p

'^

7Ä

\-}''

v/.

r7«>-67< c/ncvi heliehir/eii Funld einer Transversale {A X,) ««(Z
r?«6' ^wci Eclxpwnkte {B, C) gesogene Geraden the'den die Seiten
{A — B) und {A — C) in gleieheiu Verliältniss.

Die letzten beiden Formeln für X lauten:

X=nB-{- {m + n) X. ; X= nC-{- {m + n) X., ■

d. h.: Die Strevlcen {B — X.,) und {C — X..) werden dnreh
X chenf'alls in gleielieni Verliältniss getheilt.

2) Ist p = ni=n, so zeigen die Formeln für X, , X^,
Xg, dass die drei Geraden (.IX,), (jBX,), (C'Xy) sämmt-
licli Transversalen sind; d. h. : Die drei Transversalen eines
Dreieelcs schneiden sieh in einem Bunlde] oder: Die Ver-
bindungslinie des Durclischnittspunktes zweier Transversalen
mit der dritten Ecke halbirt die dritte Seite.

Die Formeln für X zeigen , dass die drei Transversalen
dureh X im Vcrhültniss von 1 : 2 getheilt werden. — Aueh
ist X der Mitteljmnld der drei Punkte A, B, C.

— 77 —

Alis den Formeln für X, , X,, X.j folgt durch "insscre nß.
Multiplication :

CX, = ~~^- CA- AX, = ~^AC-

AX.=^-^' AB- BX^ = ^^BA:

•* m -\-n ' -^ m -f- n '

oder :

J5X, : CX, = - {p :n)-

CX,-.AX.^ = ~(m-.p)-
AX^: BX^ = — {n : m) ;
und durch Multiplication dieser drei Formeln:

{BX,) . (CX,) . (^X3) = - (CX,) . {AX,) . (J5X3) ;
oder :

(5X,) . (CX,) . {A X,) = (X, C) . (X,^) . (X,B) ;

als Ausdruck des Satzes: Vrrhindct man einen PunTct der
Ebene mit den drei Eclcen eines BreiecJiS, so ist auf den Seifen
des DreiecJcs das Product der drei ungeraden Ahsehnitte gleieh
dem der drei geraden.

Seien die Punkte X, X, X3 durch Geraden verbunden, 117.
und bezeichnen wir durch

yl, den Durchschuittspunkt von X, X.j und BC;

iij „ „ X3 X, ,, CA ;

C'l ;, ,, Xj X, ;; ^jß.

Dann liegen auf je einer Geraden die Punkte:

Ay X., X., ; jB, X3 X, ; C\ X, X, ;
A.BC; ByCA- C,AB.

Diese Beziehungen mögen dargestellt werden durch die For-
meln :

Ay = Ao X2 + A3 X3 ; Ay = Q^B -\- a^C-^

^\ = f*:} ^^3 + f^i ^1 ; ^1 = Q>(^ + <7-. --i;

C, = P, X, + ;/,X,, ; C, = ().,yl + 6.B.
Hieraus folgt:

X,X,-i-k,X,=:^,B-j-(S/J-,

V, X, -f V., X.^ = Q.^A-\r o.^B.

78 —

Andererseits erhält man aber aus den früheren Formeln für
X,X,Xy.

{m -f- l») X.j — {m -f- n) X.^ = p C — uB ;

{n -\- m) X3 — (ji -{- p) Xj == m A — pC]

{p + .'0 ^1 — {P + ^'0 X^ = nB — mÄ.

Da beide Gruppen von Formeln die nämlichen drei Durcli-

schnittspunkte ausdrücken , und die Coefficienten - Summen

gleich Eins sein müssen, so hat mau:

m -f- p -^^ m + H "i- p /-1 n

-4. =

^ VI —

C,=

p — n
n -\- m
P

X,

2) — n •' 2J — n

n 4" p ^^ m
A, =

m — p ' m

P

P + 5»

x.,=

c -

A -
B —

B.

2) — n

m — 1>

A .

n — m

Die letzten Formeln kann man auch schreiben :
{p — n) A^ = p C — nB ]

{m — p)) -^1 = ^''-4 — P C'i

, ,. , (n — 7n) C, = nB — mA:

addirt: . ^ ^

{p — n) Ai -f- {m — 2)) ^i + 0^ — w«) Ci = 0 ;

d. h.: Die drei PunJde -4, JBj C, licgeti in derselben Geraden.
118. Sitcridle Fälle. 1) Von den drei Zahlen mnp seien

zwei, z. B. n und p, ein-
ander gleich; dann wird
der Durchschnittspunkt A^
(=00) unbestimmbar; d.li.
X, X3 und B C sind pa-
rallel.'

2) Ist n = p) = m, so
ist:

X2X0 ||5C;

X,X,\\AC;

X,X,\\AB;
d. h.r Die Verhindunys-
linien der Fusspunkte der
Transversalen sind den Sei-

'^

ten des Dreiecks parallel.
119. Durch Addition der Ausdrücke für X., und X. erhält man:

— 79 —

{m -f i)) X., + {m + 7i) X( = 2mÄ-{-nl3-{- pC= X-\-mA-
oder:

m -\- l •*')« + 1 ' j« + 1 ' «i -{- 1
Setzen wir diese Ausdrücke gleich Y, , so ist Y, der
Durchschuittspimkt der Geraden Xj X3 und J. X. Also,
wenn wir analog auch Y.^ und Y.. einführen:

TT- Wi ^ I 1 -x^

' j/i + i ' in + 1

Die letzten Formeln geben durch äussere Multiplication
mit resp. A, B, C und X:

AY, = -^AX; Xr,=:-^Xyl:
.-Br,== --l-T^X; Xr2=-^XJ5;

oder durch Division:

■AY) _ j_ ijr, _ 2_ . <^' i'^ä _ 1

Andererseits ist aber auch:

AXy _ j_ BXi _ £ C'Xg _ ^

XX, ~ m ' XXg ~ ¥ ' XX3 ~ p '

Eine gegebene Strecke {A — X) ist also auf doppelte
Weise in einem gegebenen Verhältnisse (1 : m) theilbar. —
Es ist nun :

AY, : riX = ^X, : XX,;

BY^ : Y^X = BX^ : XX^ ;

C Y.^ '. ji 3 X = C X3 : X X3 .
Zwei Punkte (X,, Y^), welche eine gegebene Strecke
(-4 — X) in gleichem Verhältnisse theilen , heissen harmo-
nisch mit deji Endpunkten der Strecke. — Da auch

AY, : AX, = r,X:XX,,
so wird auch die Strecke (X, — Y^) von den Punkten A
und X harmonisch o-etheilt. Man nennt daher alle vier

- — 80 —

Punkte ohne Unterschierl liarmouische, aber Ä und X^ sowie
A'i und Y\ rinamler F:u(jcor(lncte {ronjvf/irfc). —

Harmonische Punkte sind also in unserer Figur:

{Ä r, XX,), (B Y, XX.^, (CT, XX,) .
Multiplieirt man

(\ = -^^ B - -"^ A

' n — )n n — m

mit Ä und B, so folgt:

(7, B= '"^ AB ■ C\ A = -^^ BA :

^^^0* " C\B:C,A==m:n.

Multij)licirt man andrerseits

X^ = — , A -] -r— B

■* )n -f- n ' m -j- n

mit A und B, so folgt:

X^B= "'^ AB : AX^= -^ AB:

•^ m -j- n ' -^ »i -f- n '

^^^o: x,B: AX^ = m:n;

folglich : ^r^ j5 . (, A==X,B:A X, ■

d. h. : auch die Strecke {A — B) wird durch die Pmddc C,
und Xg harmonisch getheilt.

Die vom Punkte X., durch die harmonischen Punkte A,
Y^, Xj , X gezogenen Geraden schneiden also auch die Ge-
rade {AB) in harmonischeu Punkten. Und da sowohl der
Punkt Xo , als die Gerade {/i B) (abgesehen vom Punkte A)
von der Lage der vier Punkte {AXY^X,) unabhängig sind,
so hat man den Satz: Die aus einem heJiehigen Punlde der
Ebene ditrch vier harmonische Punlde gezogenen Geraden
schneiden jede beliebige durch einen derselben gesogene Gerade
ebenfcdls in harmonisclien Punlden.

Die aus einem Punkte der Ebene durch vier harmonische
Punkte gezogenen Geraden heissen daher harmonische Stralen.

Specieller Fcdl. Sind zwei der Zahlen '))i, n , j), z. B. m
und n, einander gleich, so ist C'j = oo, d. h. unbestimmbar;
und die Geraden (Xj X,) und {AB^ sind parallel. Dann

ist a])er X3 = — '-^ — ; d. h. : die von einem beliebigen PunMc
der Ebene nach den EndxmnJden, dem Mittelpunlxte einer Strecke
und parallel mit ihr gezogrnrn Geraden sind harmonisch.

— 81 —

Anfyahcn: 1) Zu beweisen, dass die Mitten der Dia- 120.
yonalcn eines vollständigen Vierecks in einer Geraden liegen.

In 114. ist, wenn ABCX. die Ecken des Vierecks, und
{A — B), (C — X), (Xj — X2) die drei Diagonalen sind:

-'"1 — 2 ' 2 — 2 ' 3 — 2~

Es ist zu zeigen, dass zwischen M^ M.^ M.^ eine Zahlbeziehung
existirt. Nun hat man:

2M, = A + B;

2M^ = mA + nB + (p + 1) C;

2 j^ ^ m [n -\- 1)) A -\- n {p -^ m) .B + [2 j?^ + (w + w) p] C ^
3 (??t + 2?) {n + ^j) '

oder, da m -\- n -\- j) = \ ist:

2(1— w)(l — w)Jf3=m(l — m)^ + w(l — w)jB4-^(14-_2?)6'

= m{\ — m)A-{-n{l — n)B-^p (2 ilfj — *»«^ — »«-ß)

= w? (1 — m — p)A-{-n{\ — 71 — p) B -}- 2pM^

= mn{A-\- B) -]-2pM^

= 2mnMy-\-2pM,;
oder :

(1 — m) (1 — n) Jfg = mnM^ + P-Mj! w. z. b. w.
2) Zieht man in einem Dreiech ABC aus den Ecken 121.
drei Geraden, die sich in einem Punkte P sehneiden, und aus
den Glitten der drei Seiten des Dreiecks Parallelen mit den
Theilungslinien der gegenüberliegenden Winkel, so schneiden
sieh diese Parallelen gleichfalls in einem Punkte n ; ferner liegt
der Mittelimnkt S des Dreiecks mit n und P in gerader Linie,
und zivar von ersterem halb so iveit entfernt, als vom letzteren.

Man hat:

A-\-B-}-(J

3 5

sei nun:

P=aA + (iB -\-yC; {a -\- ß -^ y = l) -

ferner

„ = .m±ci + ß<c±A^ + ,^A±£>

Dann ist einerseits:

aiP-~A)-j-ß{P- B) -{-y{P-C) = 0;
andrerseits :

Schlegel, Syst. el. Raumlelire. 6

82

Daraus folgt:

d. h.: Der Punkt n, welcher aus den Mitten der Seiten des
Dreiecks durch dieselben Zahlen abgeleitet wurde, wie P aus

den Ecken, ist der Durch-
schnittspunkt der Paral-

lelen, welche aus den
Mitten der Seiten zu den
aus den Ecken gezogenen
Geraden construirt sind.
Ferner ist

122.

+
+

2

(y + «)

2
2

A
B

also:
d. h.:

S;

27t + F:

7t, P und S liegen in derselben Geraden, und:
F — S = 2{S--7t)',
d. h. : S ist doppelt soweit von P entfernt, wie von 7t-
w. z. b. w.

Stehen die Parallelenpaare auf den zugehörigen Seiten
senkrecht, so ist P der Durchschnittspunkt der Höhen des
Dreiecks, und 7t der Mittelpunkt des dem Dreieck umschrie-
benen Kreises.

3) ZieJd man in der Ebene eines Dreiecks eine helichige
Gerade, ivclche die Seiten des DreiecJcs in drei PnnJden schneidet,
so sind die Prodiicte derjenigen drei Ahsclmitte auf den Seiten,
ivelclie keinen gemeinsamen Endimnkt haben, einander gleich.

Betrachtet man in der Figur S. 76 {A Xg X) als ge-
gebenes Dreieck, und PC als Linie, welche die Seiten AX^,
X^X, XA resjD. in P, C, X^ schneidet, so ist

83 —

also:
oder

AB

m ^ XC m -\- n^ A X,

tjT+w' Xjä ~ l~ ' XX,

(X3£)(XC)MX,)
{ÄB)\X^V.) (XX,)

= 1,

• {-^.B) (XC) {ÄX,) = iAB) (X36') (XX,).
4) In derselben Figur ist (S. 16):

1;

123.

zx;+ :bx;+ ttv =-- ^« + ^^+i>

AX . BX .

(JX,

ex

= (1

^X, ' £X, ' 0X3

m) + (1 — ^0 + (1 - p) = 3 — (7» + ?; -\- p) = 2.
Die Uebertragimg in Worte ist leicht.

5) Haien zivei Dreiecke eine solche Lage, äass die Ver-nx.
hindunyslinicn dreier EcJcenpaare sich in einem Punkte schnei-
den, so liegen die DnrehschniUspitnlie der drei Paare jenen
Ecken (/egenüherliegender Seiten in einer geraden Linie.

Man hat:

— X=A(X
-X=^t(X-5);

oder :

X(l + A)^X,4-Ayl;
X(l+ft) = X, + ft£;
X(l -\-v)=^-X.-\-vC;
also :

X,-\-lA Xt-\-(iB

if\

— 84 —

so folgt: vi, + B, + (\ = 0;

d. h. : die vielfachen Punkte A^JJ^C^ liegen in gerader Linie.
125. ö) Verbindet man paarweise die drei Anfangs- und die
drei JEndpunJctc von drei gleich gerichteten Strecken, so liegen
die Durchschnittspunkte der entsprechenden Linienpaare in
gerader Linie.

.y Man hat:

.-K a{A~B) = ß{C— B)

^.-"" l-^g =y{E-F).

,'-'' \ 1 / ^x Setzt man nun:

'^ \.^ \ i / x^^ X=aA — ßC=uB-ßD;
\ [X^ Y = yE—aA=yF—aB;

i;'/^ Z=ßC — yE=ßB—yF.,

\ ; / SO ist:

\i/ X+Y+Z^O-

jj' d. h. : die vielfachen Punkte

•: XY Z liegen in gerader Linie.

12G. Drei Punkte, e^e.,e^^, die nicht in einer Geraden liegen,

bilden ein System 3'*^'' Sttife. Alle Grössen, die in dem aus
ihnen ableitbaren Gebiete 3"" Stufe vorkommen, sind aus
ihnen ableitbar.

Jede Grösse a im Gebiete der Ebene ist darstellbar durch
die Formel:

worin «j a.^ cc.^ reelle Zahlen sind.

Hinsichtlich der Bedeutung von a sind nun zwei Fälle
zu unterscheiden*):

1) «, -}- «2 "I" "3 = 0. — Dann ist:

«a = — («1 + «2)
a = «1 Cj + «2^2 ~ (^1 + "2)^3 = ^1 (^^i — C3) + ^2(^2 — %)•
Es sind nun «j (e, — C3) und «2(^2 — ^s) ^wei Strecken;
und da, wie wir oben sahen, die Summe zweier Strecken in
der Ebene gleich der Diagonale des aus diesen Strecken ge-
bildeten Parallelogramms ist, so ist a in diesem Falle eine
Strecke.

*) Vgl. G. A. IL 222.

— 85 -

2) a, -j- «2 4" ^3 ^ 0* — ^^^ ^i ^^^ anderer Punkt der
Ebene, so ist

« — («1 + «2 + «3) ^4 = «1 (^1 — C4) + «2 (^2 — ^4) + «3 (^3 — ^l) .

Auf der rechten Seite steht die Summe dreier Strecken,
d. h. eine Strecke; es muss also a ein PunJd mit dem Coeffi-
cienten («j + «2 + ^3) sein.

Es kann also jede Grösse ersten Grades in der Ebene
aus drei festen Punkten vermittelst einer linearen Gleichung
abgeleitet werden.

Für Grössen l"^*^" Grades gelten auch in der Ebene alle Ge- 127.
setze der Rechnung mit Summen von Produkten. Es ist also:

d . a = («,d)Cj + («2^)62 + («^3^)^35

« : d = («1 : d)e, + {a^ : S)e2 + («3 : d)e^',

ferner, wenn h = ß^e^ -f- /32^2 ~h /^s^s ^^^'

a -f & = («, + /3i)ei + («2 ± ß-x)e2 + («^3 + ß-i)^z'^
d. h.: Produld und Quotient aus einer Grösse l^*"' Grades
und einer Zahl ist wieder eine Grösse P^" Grades.

Summe und Differenz von Grössen 1'^'=" Grades auf der-
selben Ebene ist wieder eine Grösse P"^" Grades.

Anm. Der Quotient zweier Strecken auf derselben Ebene ist nur
dann eine reelle Zahl, wenn «, ^2 = 0^2^1- Man überzeugt sich hiervon
durch Ausführung der Division, wobei unter Rücksicht auf or j -)- '^^z "t" ^^3 = ^ •
und ßi + ßz + ^3 = 0 sich noch von selbst ergiebt: «1^3 + «sßi = 0.

Der Inbegriff aller aus e, e.^ % ableitbaren Grössen ist 128.
ihr Gebiet. Dasselbe heisst Gebiet 3'<"" Stufe, und fällt räum-
lich mit der durch e, e^ e^ bestimmten Ebene zusammen.

Zwei Ebenen, die aus 616263, resp. 62*^3 64 abgeleitet sind,
so dass keine dieser vier Grössen aus den anderen abgeleitet
ist, haben ein gemeinsames Gebiet 2^'''' Stufe (62 ^^3) ^^^^ ^^^
verbindendes Gebiet 4'" Stufe (nämlich das aus 6462^3^4 ^^"
geleitete).

Wenn

« = «, c, + «362 + «3^3 ; c = y,e, + ^2^2 + ^3^3 ;

^ = /5i 61 4- ß.^e, + ^3^3 ; f^ = ^1 ^1 + ^2^2 + ^3^3 >

SO erhält man durch Elimination von Cj C2 63 *) eine lineare

*) Diese Elimination lässt sich mit Hilfe der äusseren Multipli-
cation auf folgende Weise bewerkstelligen: Man multiplicire die vier
Gleichungen resp. mit den vier unabhängigen Grössen e» ee'e"\ addire

86

Cileielmng zwischen a, h, c, d, welche Grössen Punkte oder
Strecken sein können. Es iK-steht also zwischen vier Grössen
1"=" Gnules auf einer Ebene stets eine Zahlbeziehung. — Jede
dieser vier Grössen kann also aus den drei übrigen abgeleitet
werden. — Die speciellen Fälle, welche sich hierbei ergeben,
sind folgende:

Strecken: Punkte:

Ableitung

1 Str.
1 Stf.
1 Str.
1 Str.

3 Pkt.
1 Str. 2 Pkt.
•2 Str. 1 Pkt.
3 Str.

von

aus

1 Pkt.

3 Pkt.

1 Pkt.

1 Str. 2 Pkt.

1 Pkt.

2 Str. 1 Pkt.

1 Pkt.

3 Str.

—

—

1) — ah cd

2) a hcd
'6) ah cd
i) abc d
h) ahc d —

Es kann also eine Grösse 1^*^" Grades im Gebiet der
Ebene abgeleitet werden: 1. aus drei Punkten; 2. aus zwei
Punkten nnd einer Strecke; 3. aus einem Punkte und zwei
Strecken; 4. aus drei Strecken.

Anm. Drei feste Grössen 1">° Grades in einer Ebene, aus denen
andere abgeleitet werden, hcissen ein Coordinatoisydcm.

b) Grössen vom 2'^'> Grade.
k) Differenz von Linientheilen.

120. Wenn f , und £., zwei durch Lagenänderung aus einander

entstandene Linientheile sind, so verstehen wir unter (fj — s^)
die zwischen £, als Anfangs- und f, ^^^ Endlinie liegende

Parallelogrammfläche ; d (f ,
und da

di(f, — s.t) = ^fj

£2) isit das d fache dieser Fläche ;

Ö£n,

die vier Gleichungen, setze die linke Seite gleich üf,, und rechts die
Coefficienten von CiCzC^ resp. gleich rtufljrts; dann hcisst die Gleichung:

"0 = «1^1 + «2^2 4- «3^3-

Endlich multiplicire man die ganze Gleichung mit (rjj a.^ a^) ; dann wird
die rechte Seite NuU^ und es bleibt:

«0 • «1 «2 «3 = 0 .

Löst man hier die Klammern, und bringt jedes Glied durch Zeichen-
wechsel auf den Factor (e** . e. e". e") , den man schliesslich weglassen
kann, so erhält man die Eliminationsgleichung in gewöhnlicher Gestalt.
(Vgl. G. A. II. 135.)

— 87

so ändert sich ein Parallelogramm in demselben Masse als eine

seiner Seiten sich ändert; d. h.: Parallelogramme zwischen

denselben Parallelen verhalten sich tvie ihre Grundlinien,

Wenn • , ,

A = a, ßj -f- a^ e^

(ei — e,) = (e, — e.,) = {A ~ B) ,
so ist:

A {xl — B) = ai c, (ßj — 6-3) + «2^2 (eo — e^)

{AB)=^a^ (e, e.^) + a. {e^ e^) ;
oder, wenn wir {AB) = «; e, 63 = £j; e.ye^ = s^ setzen:

« = «1 £j -j- «2 ^2 •

Diese Formel zeigt, wie ein Linientheil aus einem anderen

gleich grossen und gleich gerichteten abgeleitet werden kann.*)

Sind fj und £, numerisch gleich der Längeneinheit, so

stellt a einen einfachen oder vielfachen Linientheil dar, je

nachdem «j -{- (u = 1 oder n ist. — Sind im ersten Falle
ßj und «2 beide < 1, so sind beide positiv, und wir sagen,
a liege sivischen s^ und £2- Alle einfachen Linientheile,
welche dieser Bedingung genügen, liegen im Parallelogramm
(£, — £2)- — I^^ ^^-"ßr ß^i > 1 und positiv, so ist a^ negativ,
und a liegt ausserhalb des Parallelogramms.

Sei ein anderer Linientheil von gleicher Länge und Rich-
tung gegeben:

so ist:

a
oder, wenn

woraus folgt;

so ist:

h = {c(

1 — ^1)^1 +(«2 — ß2)^2'->

«1 — ^1 = ri

h — ßi=' Y-i,

r\ + ^2 = ^;

a_ 6 = y,f, -{- j/,£,;

*) Vgl. G. A. II. 274.

— 88 —

cl. h. : wenn ^i + ^2 = ^\ ^" stellt der Ausdruck y^ £, -f- y.^ s.^
ein Parallelogramm dar,

Ist also a = cc^e^ -\- cc^s^, so stellt a einen Linientheil
oder ein Parallelogramm dar, je nachdem «j -f" ^2 migleich
oder gleich Null. Da a aus den Grössen e durch eine Glei-
chung 2"^" Grades abgeleitet ist, so sind Linieutheile und
Parallelogramme Grössen vom 2'^" Grade.
130. Für Grössen 2^"^" Grades gelten nun alle Gesetze der

Rechnung mit Summen von Producteu, wie oben (S. 13) für
die Grössen 1""" Grades. Man hat nur in den dortigen For-
meln e durch s zu ersetzen.

Speciell zu betrachten ist nur noch die Addition von
Linientheilen mit verschiedener Richtung.*) Seien nun {e^ Cj)
(und Cj 63) zwei solche Linientheile, so hat mau:

(e^e,) + (e^e.^)

= 61(62 + ^3)»
oder, wenn
Ca + e

= e

4 )

131

(6,63) 4-(eie3)
= 2(eie,) = e,e5,

wenn (cj — 64) = (e, — Cr,) , weil nämlich aus 2 (Cj e^) = e, e^

folgt:

e^ cj = e, (e,, — e^)

oder: / \ / n

^1(64 — ei) = ei(e, — e^).

Die Stimme zweier von einem PunJcte ausgehenden Linien-
theile ist also gleich der von demselben Punkte ausgehenden
Diagonale des zugehörigen Parallelogramms.

Der Inbegriff aller aus s^ und e.^ ableitbaren Grössen
ist ihr Gebiet. Da £, und fj von 2^'''" Stufe sind, da ferner
«1 = (^163) und f 2 = (^2^1) ^^^^^ t^^ endlich zwischen e^c^e^e^
die Zahlbeziehung bestand : (c, — 63) == (e.^ — Cj), so ist dieses
Gebiet von 3'"" Stufe, und fällt räumlich mit der durch £j

und £2 bestimmten Ebene zusammen.

Wenn

«1 =«1^1 + «2^25

&i = /^i «1 + ßz ^25 ^'1 = ^1 «I + Y2 h

>=) Vgl. G. A. IL 273.

— SO-
SO lassen sich £, uud e^ eliminireu, und man erhält zwischen
a, &j c\ eine Zahlbeziehung, wie oben, wo e^ und c.^ eliniinirt
wurden.

Zwischen drei Grössen 2^"^ Stufe auf einer Ebene, seien
es nun Parallelogramme oder parallele Linientlieile , besteht
also stets eine ZaMbe^iehung , und aus je zwei dieser Grössen
Itann man eine dritte ableiten.

Aus der Gleichung A = a^e^ -\- a^e^ folgte oben durch 132.
Multiplieation mit der Strecke {A — B) == l die Gleichung
ffi = «j £j -|- c^2 ^2- — Dadurch erhält man den Satz, dass
eine GleieJmng zivisclien Funlden ungeändert bleibt, wenn man
alle Punlde mit gleich gerichteten StrecJcen (l) mtdtiplicirt.*) Der-
selbe ist von der Anzahl und Lage der Punkte in der Ebene
unabhängig, gilt also namentlich auch für die Gleichung
^ = «j e^ -I- «2 ^2 + «3 e.^, wo e^ 63 63 ^i'^i beliebige Punkte
der Ebene sind. —

Aus der Gleichung

m = A — (o:j 6', + «2 ^2 "i~ ^-i ^3) "^ ^
folgt also:

m 1 = {A .1) — [ai(ej) + «2(^20 H- «3(63^] = <^-
Aber aus ml = 0 folgt nur dann w = 0, wenn m und l
zwei verschiedenen, von einander unabhängigen Systemen
angehören, weil das Product zweier abhängigen Grössen
auch dann Null ist, wenn keine der Grössen selbst gleich
Null ist.

Setzen wir also:

A.l = A'l'y e^l = e{l\ e.^l = e2l^ e<_^l = e^l,
wodurch die letzte Gleichung übergeht in

ml = {A'l) — K(e/Z) + «a«^ + «3 «Ol = ^;
so wird, wenn die Punkte yl'e/eo'eg' in derselben Ebene mit
l liegen, also durch m eine Ebene dargestellt wird, in der l
liegt, ml von selbst gleich Null sein, als Product abhängiger
Grössen. Liegen jene Punkte aber in einer Geraden, so sind
die durch m und l dargestellten Geraden von einander un-
abhängig, mithin m = 0, oder:

vi' = a, e/ + «2 (^2 + «3 ^3'-

♦) Vgl. G. A. I. § 80-86.

— 90

«3 = 0;

Man nennt nun Ä'e^'e./e^' die Projectionen der Grössen
Ae^e.,e.^ auf die Gerade m, nach Z; ferner heisst m das
Grimdsystem , das System, auf dem l liegt, das Leitsystem
der Projection. Und die letzte Formel drückt den Satz aus :
Jede zivischen Grössen l'*-'" Grades (jeltende Gkiclmug bleibt
bestehen, wenn man diese Grössen auf eine Gerade projicirt.

Ist A eine Strecke, so
ist Ä' deren Projection. —
Setzen wir z. B. :

so ist:

A' = e,' — e„

d. h. : Die Projection einer
Strecke ist gleich der StrecJce
sivischen den Projectionen ihrer
Endpimlite. — Ist ^ . Z = 0, so ist auch A'l = 0, mithin,
da A' und l von einander unabhängig sind: X=0; d. h. :
Die Projection einer Streclie, tvelche die BicJdtmg des Leit-
systems hat, ist Ntdl. — Ist e, — 62= e^ — c^, so ist A = A'\
d. h. : Eine Streclie^ tvelche dem Grundsystem parallel ist,
bleibt durch Projection ungeändert.

Ist g eine beliebige Strecke auf dem Grundsystem, so
wird sein

A'=x.g,

worin A' die Projection der Strecke A, und x eine Zahl ist.
Hieraus folgt:

{A'l) = x{gl)

{Al)=x{giy,

d. h.: da der Quotient zweier Grössen 2'" Stufe in einer
Ebene eine Zahl ist:

oder :

und :

X =

Ä-.

(AI)

(Ol)'

(AI)

(gl)

'9-

Projicirt mau die Grössen A e^ e., e.^ zweitens auf l nach
m, so erhält man eine zweite Gleichung:

A'= «|Ci"+ K^e^' -{- «363".

— 91 —

Wenn uun 0 der Schnittpunkt der Geraden l und m
ist, so bilden ImO ein Coordlnatcu- System, in welcliem 0
der Anfangspunkt heisst, und l und m die Axen. Die Grösse
A ist dann durch ihre leiden Frojectionen auf die Axen voll-
ständig bestimmt] denn es ist

A'0-\- A"0 = AO,

Ebenso wird jede Gleiehung swisehen Grössen 1"^" Grades
ersetzt durch die beiden Gleichungen, ivelche man erhält, ivenn
man statt der Grössen nach einander
ihre Frojectionen auf die beiden Axen
setzt. • ^'^ ~^^

Da
A-0==iA-A)-\-(A-A"), ^
so ist die Entfernung des Punktes / ^^

A vom Anfangspunkte 0 einfach
als Summe zweier Strecken dargestellt, die mau Coordinaten
von A nennt.

Ist nun A jene Strecke, und A'A" die zu ihrem End-
punkte gehörigen Coordinaten, so ist:

wo l und g beliebige aber feste Strecken auf den gleich-
namigen Axen bedeuten. Die Quotienten ^il "^^'^^ Try

heissen die zu A' resp. Ä' gehörigen Zeiger.

Sind X und g' zwei andere Coordinatenaxen, welche als
Vielfachensummen der vorigen gegeben sind, so ist in Bezug

auf diese der eine Zeiger: r-rA\ der andere: W^, wodurch

die Aufgabe der Coordinatenverwandlung gelöst ist.

Aufgabe: Zu beweisen: Ist ein DreiecJv und eine belie- ins.
bige Gerade gegeben, und zieht man von den Eclcen des Breieehs
und seinem 3IittelpunMe parallele StreeJceu bis zur gegebenen
Geraden, so ist die vom Mittelpunläe gezogene StreeJce gleich
dem dritten Theile der Summe der übrigen.

Ist A der Mittelpunkt der drei Punkte Cj e^ 63 , so ist :

92

sind ferner A'e^e.^e^ die Projectiouen der vier Punkte auf
die Gerade, so ist:

^— 3 '

mithin : , 'vi, ^ i / ^

(i ^'^ _ (gl — g| ) + (gg — g^ ) 4- (^3 — ^3 ) .

w. z. b. w.

ß) Prodiict von Strecken.*)

134. Seien a = (e^ — ßj) und h =^ {e^ — 63) zwei anstossende

Strecken. Dann ist:

Wenn nun

{e, — 63) = (e, — 63) ,

<^'4 = (^1 — ^2) + «3;

so ist:

<-2 » ^,

d. h. ein Parallelogramm.

Das Parallelogramm kann also bezeichnet werden : 1 . als
Differenz zweier Linientheile (Gegenseiten) 5 2. als Product
zweier Strecken (anstossender Seiten). Das Product ist Null,
wenn 6,62 = 6364 ist, d. h. wenn die Punkte 6, 62 63 6^ oder
die Strecken a, h in derselben Geraden liegen.
135. Es sei (6, — ^2)^3 ^^ bestimmen. Ist wieder

ißv — ^2) = (64 — 63);

(6, 62)^^3 "^^ (^4 %)^3 ""^ ^1^3 5

d. h.: Das Product eines Punktes und einer Strecke ist ein

von dem Punkte ausgehender, mit
der Strecke gleich langer und gleich
gerichteter Linientheil.

Sei ab ein Parallelogramm
und a±ßh = ai',

dann ist:

ah = «,6.
Sei ferner:

& + «a, = ^j ;
dann ist:
«1 &i = «, ?> = a h .

*) Vgl. G. A. I. § 28—30.

136

— 93 —

Es ist aber «, aus a und b^ aus h durch lineale Aen-
derung abgeleitet. Ein Parallelogramm ändert also seinen
Wcrth nicht, ivenn seine Seiten lineale Aendeningcn erleiden.

Anm. Die letzte Formel kann u. A. zur Lösung der Aufgabe
dienen: ein Parallelogramm in ein anderes zu verwandeln, das mit
dem ersten eine Ecke [ah) gemeinsam hat, während eine ihrer Gegen-
seiten auf einer gegebenen Geraden (der Gegenseite von &,) liegt.

Erweiterung.'^) Es seien a und h zwei beliebige nicht 137.
parallele anstossende Strecken und von ihren freien End-
punkten aus sei resp. h^ parallel mit h und «^ "parallel mit
a gezogen. Dann ist

a . rtj = 0; />.&,= 0.
Sind nun auch die Strecken (« -f~ ^i) und {h -f- «,)
parallel; d. h. ist

(«+&,)(& + «0 = 0,

dann folgt durch Ausführung der Multiplication :

rt . & -j- Z*!«! == O5

oder: , ,

« . 0 = Oj öj ;

d. h. : Zielit man durch einen heliehigen Punht der Diagonale
eines FaraUelogramms Parallelen mi den Seiten, so sind die
beiden nicht von der Diagonale geschnittenen Parallelogramme
gleich.

Anm. Die letzte Formel dient zur Lösung der Aufgabe: ein
Parallelogramm in ein paralleles mit gegebener Seite zu verwandeln.

Da der Quotient zweier gleich gerichteter Strecken eine
Zahl ist, so können wir, wenn

al) = ciyh^

ist, auch

rt, = m . a

setzen. Dies giebt:

a .h =^ m . a . hl

oder : , ,

b . a = m . b^ . a.

Da nun mb^, wie b^ selbst, mit b parallel ist, so kann nur

b = mbi

sein; d. h. : wenn a .b = a^b^ ist, so haben die Quotienten

"i und /

*) Vgl. G. A. L S. 66. 109—114.

94

gleichen Zahlenwerth m. Mau sagt dann, die vier Strecken
a, h, ctf, ?>, stehen in Proportion.

Dividirt man die Formelu «, = ma und h = mh^ durch
einander, so folgt:

h ~

a

ferner:

«1 + &

a + h, ^

h ~

' ft. '

oder:

«, + &

b o,

Setzen

wir nun :

/>, a

^'.

+ 7> ^-e-,

ft| — fo = f? ;

so folgt:

a

c

h Ctt

d b a,
d, b, a

Da nun c mit c, parallel ist, und [wegen («j — h) {a — 6,)
0] auch d mit r?, , so kann man sagen : Wenn die Seiten

Ji

siveier Dreiecke parallel sind, so stehen ihre Seiten paanveise
in Proportion.

Solche Dreiecke heissen ähnlieh. — Aus der Parallelität
ihrer Seiten folgt die Gleichheit ihrer lunenwinkel. Und da
ein Dreieck sich auch drehen kann , ohne die Grösse dieser
Winkel zu ändern, so hängt schliesslich die Eigenscbaft der
Aehnlichkeit zAvischen zwei Dreiecken nur von der Gleich-
heit ihrer Winkel (d. h. zweier Winkel) ab,

Ist in der letzten Formel d = d^ , so folgt daraus von
seihst: h = h^ und a^ == «; d. h.: wenn sivei Dreiecke in
zwei Winkeln tmd einer Seite ühereinstimmcn , so sind auch
die anderen Seiten gleich; d. h. die Dreiecke sind congruent.
(Vgl. N. 107.)

— 95 —
Sei

a

= A—C; h,:=B—C;

a + ^,

= A,-C,- h,-^h = B,-

-Cr.

danu ist:

d^^ A — B ;

d-\-d,=A,~B,-

und es sind auch die Dreiecke der Punkte {ABC), {A^B^C^)
ähnlich. Ebenso (SAB) und {SA^B\). Zieht man durch
S eine beliebige andere Gerade, und durch B und B^ Paral-
lelen, welche diese Gerade in E und E^ treffeu, so zeigt
sich durch Vergleichung der Proportionen, dass die Strecken
{A — -'E) und {Ay — E^) ebenfalls parallel sind; d. h,: ivenn
die Eckpunläe eines Dreiecks {A B E) auf drei von einem be-
liebigen Punläe (S) ausgehenden Geraden sich so fortbetvegen,
dass sivei Seiten ihre Bichtungcn behalten, so bcJiült auch die
dritte ihre Richtung. Der Punkt S heisst der AehnlicMeits-
piinM der beiden Dreiecke, Liegen die drei Punkte A, B, E
auf derselben Geraden, so geht das Dreieck in eine Strecke
über, ohne dass die Proportionen sich ändern.

Aufgaben. 1) Zu beweisen : Füllt man von irgend einem 1^9,.
Punkte der Ebene Senkrechten auf iswei ungleiche Seiten eines
Parallelogramms und auf die von ihrem gemeinsamen End-
punkte ausgehende Biagoncde, so ist das Produet aus der Dia-
gonale und ihrer Senkrechten gleich der Summe der Producte
aus den Seiten und ihren Senk-
rechten. *)

Man hat:

(A-D) = {A-B) + {A-C);
oder, mit {A — E) multiplicirt: a
{A — D){A — E)

= {A — B){A-E)-{-{A- C) {A — E).

Wenn man nun statt dieser drei Parallelogramme die
ihnen gleichen, zwischen denselben Parallelen liegenden Recht-
ecke setzt, so hat man die Behauptung des Satzes.

2) Zu beweisen, dass die Aehnlichkeitsimnkte dreier ähn-
lich liegender Polygone in gerader Linie lirgm.

*) S. G. A. I. S. G5.

— 9G -

Seien die Ecken der drei Polygone der Reihe nach mit
1) AJJ^Q, ..., 2) AyB, 0, . . ., ?>) A^BM, . . . bezeichnet,
nnd sei S der Aehnlichkeitspunkt zwischen 1) und 2); S^
der zwischen 2) und 3). Dann ist:
S = aA -{- ßA^= aß + ßB^ = «C + ^Cj = • • •
S, = a,A, + ß,A, = a,B, -\- ß,B,= a, C, + ^, 6^ = . . .
Durch Elimination der Punkte A^ J5, 6'j ... erhält man :
ttyS — ßSy = aa^A — ßßiA^
= aa^B — ßßyB., = aUyC — ßß^a,^ ...
Demnach ist

der Aehnlichkeitspunkt zwischen 1) und 3). und da zwischen
S SySo die eben gefundene Zahlbeziehung besteht, so liegen
alle drei Punkte in derselben Geraden.

c) Grössen vom 3'*° Grade.

139. Das Product dreier Grössen P*^" Grades ist eine Grösse
3''" Grades. Seien drei Grössen P*^" Grades gegeben:

« = «1^1 + «2^2 + «3^3 5
C = yi^l 4- ^2^2 + ^3^3!

dann ist:

« ?> c = (6, e.^ c,) «, ß.^ yo, -\- (e, c. e.^) a, ß^ y^

+ (^2^,63) a,ßyy^ + (62^361) «2/^371

+ (^3 ^1 C2) «3 ß\ 7-1 + (^3 ^2 Cj) «3 ßi Vi •

Durch die Hinzufügung eines dritten Factors wird zur
weitereu Charakterisirung der äusseren Multiplication noch
die Bestimmung nothwendig, dass

(6,62)63 = 6,(6,^3),
dass also das Gesetz der beliebigen Zusammenfassung gelte.
Nur unter dieser Voraussetzung lässt sich das Product ah c
auf eine Form von gleicher Einfachheit bringen, wie oben
das Product ah.

Da nun CaC^ = — e^ e«

ist, so erhält man durch Anwendung des eben aufgestellten
Gesetzes:

— 97 —

ahc = Cy e,e, [«, (ß,y. — ß.,y.;) + a,>(^p.7, — /5, 73)

Es kommt nun nur noch darauf au, das Product der drei
Punkte e, e, ^3 zu bestimmen.

Unter dem Producte dreier Punkte c, , e^, c^ (cie.yC^) ver-
stehen wir einen FläcJicntheil (Theil der Ebene), welcher mit
dem Parallelogramm (c, Cj — c^Cj), worin (t'[ — e.,) = (^3 — e^)
ist, gleiche Grösse und Seite hat.'")

Anm. Das Parallelogramm erscheint also als Lagenunterschied
zweier Linientlieile , der Flüchentheil als Theil der durch diese Liuien-
theile bestimmten Ebene. Das Parallelogramm ist eine arithmetische
Grösse, der Flächentheil ein reines Ausdehnungsgebilde.

Es sind nan folgende Fälle möglich:

1) «, h, c sind vielfache PnnJdc] dann ist [ahc] ein
vielfacher Flächeutheil.

2) 1) und c seien Ptinlie, a eiue Streclc (= c — d).
Dann ist

■ ahc = {c — d)h . c =^ — dhc]

d. h.: ahc ist ebenfalls ein Flächentheil.

?)) h und c seien StrccJccn, a eiu Pimli- {h = a — d)]
(c = a — c); dann ist:

ah c = a{a — d) {a — e) = a d e ,
und a h c wieder ein Flüchentheil.

4) a, h, c seien Strecken, a = (d — c); h = (d — /");
c =^ {d — g). Da aber zwischen drei Strecken in derselben
Ebene stets eine Zahlbeziehung besteht, so ist in diesem
Falle das Product ah c =^ 0.

Ueberhaupt ist das Product in allen Fällen Null, wenn
zwischen den drei Grössen ahc eine Zahlbeziehuug besteht ;
d. h. in 1) wenn die drei Punkte, in 2) wenn die zwei Punkte
mit der Strecke in derselben Geraden liegen, in 3) wenn die
beiden Strecken parallel sind. — Alles dies ergiebt sich durch
Untersuchung der Beziehungen zwischen den Zahlen cc ß y.

Bezeichnen wir das Parallelogramm (f, — £,), oderiio.
(e,e,) — (6364) mit S, sodass

S ^ (£, — £,) = (ci c,) — (e.Cj) .
Dann ist:

*) Vgl. G. A. I. § 114. 115.
Schlegel, Syst. d. Ratimlehre.

— 08 —

S . r., = (r, c, c.^) — {r. e^ r,) = (r^ r, r._^) .
Ferner :

S . c, = — {e.^ e.j c,) = + (r, e^ f 3) ;
S .e^ = -{- (cje.ej.

Aus der Formel (e, — ej) == (63 — e^) folgt nun, dass
(^,^2^3) = (^16463) = (62^4^3) = (ßi^2'^4) is^- Folglich ist ein
FUlclicntheü das Product ans dem zugehörigen Parallelogramme
und einem seiner vier EcJcpunlde.

Die Produete je dreier Eckpunkte eines Parallelogramms

sind Flächentheile mit bleichen

c "

oder entsfeffenojesetzten Vor-
zeichen, je nachdem die Reihen-
folge der Punkte bestimmt wird
durch Bewegung auf den Seiten
ihrer Dreiecke in gleichem oder
entgegengesetztem Sinne.

Anm. Am Punkte haftet also als grössenbil elender Factor: im
Gebiet 0'" Stufe die Zahl, 1'" Stufe die Strecke, 2'" Stufe das Paral-
lelogramm. Es entsprechen sich also in den drei Gebieten die Aus-
dehnungsgebilde: Punkt, Linieutheil, Flächentheil, und die arithme-
tischen Grössen: Zahl, Strecke, Parallelogramm. Und wie die Strecken-
coefficienten zweier gleich grosser Linienthrfle auch dann einander
gleich sind, wenn diese letzteren in verschiedenen (parallelen) Gebieten
liegen, so auch die Parallelogrammcoefficienten zweier gleich grossen
Flächentheile, wenn diese in verschiedenen (parallelen) Gebieten liegen.

(C, — 63) = (Cß — C;) .

Dann ist:

(e, — ^2) {e, — 63) = (e, — e,) {e^ — e,) ;

d, h.: Parallelogramme Tcönnen gleich sein, tvemi sie nicht in
derselben, sondern in parallelen Ebenen liegen.

Multiplicirt man aber die letzte Gleichung mit e.^ , so
folgt:

(^'1 — ^2) (^2 — ^3)^,3 = (^.-, - ^'(i) (^ü — ^'7) ^'3;

^'^^^ " <\ f'i f'i = f'ö ^ü ^'3 — ^:, ^7 ^3 + ^G f'l ^3 •

Soll nun ^'1 <?2 '^'3 = ^5 ^« ''7 sein, so muss offenbar
e.,==e^
sein, d. h.: die Flächentheile müssen in derselben Ebene

— 99 —

liegen. Nur unter dieser Bedingung also können Flächeu-
theile einander gleich sein.*)

Sei {ahc) ein Flüclientheil , und 141.

a -\- ßh =^ «, ;
a^hc = ahc .

dann ist:
Sei ferner:
dann ist:
Sei endlich
dann ist:

<7i 7>j c =z a^hc = ahc.

«j />j Ci = «i h^c = a hc]

d. h. : Ein Flüchcntlicil ändert seinen Werfh nicht, icenn
seine Factoren lineale Aendcrungen erleiden.

Setzt man {e^e.yB.^ = \, so kann mau jede hieraus ah- 142.
geleitete Grösse durch eine Zahl bezeichnen; {e^e^e.^ heisst
nun Breiten- {Flächen-) Einheit, und ist eine Einheit S'^"" Stufe. ,
Die daraus abgeleiteten Grössen heissen einfach, wenn sie
als Producte von drei Grössen U'''" Stufe darstellbar sind ;
sonst zusammengesetzt.

Wenn {e^e.^e.^) ^=-- \ gesetzt ist, so heisst {e.yC.^) die Er-
gänzung von Cy ; man schreibt :

^2^3 = I ^1 , da 6'i (e.^'a) = + 1 ;
"^^^= .^,3 = -,!,,, da e,{e,e.^ = -\.

Umgekehrt ist:

^'i= +1^263, da (^,^3)^1 = + (-263^^ = + e,f.f3 = + l;
und:

^2 = — l^i^s^ da- {('^f>^e, = -]r e^e^e^== — e^e^e^ = — i.
Setzt man in c, (e.^e.j) ^ 1 für 6^63 seinen Werth, so folgt:

ebenso: / , ^ ^

(c.,ß3 I e.^e.,) = 1.

Wenn _

so ist: ,

\e.,e., = \\c,,

oder: •

Iki = + c, .

\\ enn , ,

« = «1^1 + cf-,^', + «3^3

*) Vgl. G. A. ir. 256. 258.

— 100 —
ist, so verstehen wir unter der Ergänzung von <i die Grösse:

'-Ö.

Grössen, abgeleitet aus mehreren festen Strecken

(und Punkten).
a) Punkte (aus Geraden [untl Punkten]).

14.'^. Vermittelst der äusseren Multiplication konnten wir aus

zwei oder mehreren Grössen niederer Stufe eine Grösse
höherer Stufe ableiten. Zur Lösung der umgekehrten Auf-
gabe wird es nöthig, den Begriff des äusseren Produetes von
einem höheren Gesichtspunkte aufzufassen.*)

Wir nennen das durch die Punkte Cj c, Cg bestimmte
Gebiet „das Hanptgebiet " -^ wir nennen ferner ein äusseres
Product von beliebig vielen Factoren progressiv, wenn die
Summe der Stufen zahlen seiner Factoren gleich oder Meiner
als die Stufenzahl des Hauptgebietes ist; dagegen regressiv,
wenn diese Summe grösser ist als die Stufenzahl des Haupt-
gebietes. — Um den Werth des regressiven Products zu be-
stimmen, bildet man das Product der Ergänzungen der ge-
gebenen Factoren. Die Ergänzung dieses Produetes ist dann
das regressive Product.

Man sieht, dass die bisher betrachteten Producte sämmt-
lich progressiv waren.

Betrachten wir nun als einfachsten Fall im Hauptgebiet
3^^'' Stufe das regressive Product zweier Grössen 2''^' Stufe.

^ '''' = t'j^'2 5 i ^ = ^3 j

h == e^e-i ; & = e, .

Dann ist nach der Definition des regressiven Products,
wenn wir dasselbe einstweilen in eckige Klammern ein-
schliessen :

oder :

Setzt man :

so folgt:

[ah] = \{io.\h)-
I [ah]=X a. I h).

I ft = «1 ; a = I a^ ;
\h = bi ; h = \hi;

0 Vgl. G. A. I. § 144. II. 289-295

— 101 —

•d. h.: lücnn das Frodud zwoÄer Grössen progressiv, so ist
dasjenige ihrer Ergänzungen regressiv. — Man kann mm
für beide Arten der Multiplication dasselbe Klammerzeiclien
wählen. Und für beide gilt der Satz: Die Ergänzung eines
Products ist gleich dem Prodiictc der Ergänzungen seiner
Factoren.

Führen wir in der ersten unserer obigen Formeln statt
a mid h die Grössen e ein, so folgt:

[(6)63) (^2^3)]= 1 («361) = 62=^ (61^263) . c,.
Das progressive Produet zweier Grössen 1'" Stufe war von
2^" Stufe 'j das regressive Produet zweier Grössen 2"='' Stufe
ist, Avie mau sieht, von 1^°' Stufe.

2) Ist u = r'j C2 ; I rt = 63 ;

h = c,('3; 1 & = — (^-''i
so folgt aus (ah) = | ( a \ h): ■

[(r^y . (eir.j)] = j (— CgC,) = | (e.^c.) = e^ = (^,(',63)^, .

h =e.,c.^] I h = (', ;
so erhält mau:

[(6,^3) . {e,es)] --= I (— e.,c^) = | (e, e,) = c, = ieiCoe-iJe.,.

^^^^ « = f^i f'i -r ^2 ^'2 + ^3 ^3 :

/, =^,,,_}_ ^., ,.,_!_ /33 .3;
dann ist:

(a/>) = (ßj ^2 — «2/^1)^162 ! « = «i(c2e3) + ß2(^'3Ci) + «3('V2)

+ («2 ßä — «3 /^a) ^2 ^3 ^ = /^i (^. C3) + ßi (^3 ^1 ) + /^3 i'h ^2) ;

+ («3/^1— «1/33) ^3^15

I {ah) = (a^ß,, — K2ßi)e.. \ a . \ h = {diß.^ — a.,ßi)e.i

+ («2 ß:i — ^h ß-i) ''i + («2 ß-.i — «3 Z^--') ^t

+ («3 /3, — «, /i^) 6'2 ; + («3 ßy — cc, ß.;) e., 5

also : I / 7 \ I I 7

Wenden wir nunmehr die vorstehenden Resultate aufu4.
das Gebiet der Ebene als Hauptgehid au. Ein Produet im
Hauptgebiet der Ebene heisst lüaniraetrisches Produet.

Das Produet ziveier sich schneidender Linientheile ist
regressiv und deui Durchschnittspunkte gleich.

— 102 —

Aum. Da es bei der Bestimmung eines Punktes auf die Liinge.
der ihn bestimmenden Linien nicht ankommt, so kann man im regres-
siven Froduete die Linientlieüe mit den durch sie bestimmten Geraden
■vertauschen.

Bas Froduct eines LinientJieils und eines Punktes {oder
dreier Fmikte) ist progressiv, und dem durch leide hestimmten
Parallelogramm an Grosse gleich. Es ist Nidl, ivenn der
Punld mit dem Linientheil oder den beiden anderen Punläen
in derselben Geraden liegt. (Bereits oben bewiesen.)

Multipliciit man die in 2), 1), 3) am Schlüsse erhaltenen
Gleichungen mit einander, so folgt:

(e,ßo) (('iCa) (CjCo) {c.^e.^) {e^e^) (^,^3) = {e^e.,e.;) e, (Cj e^ 63) e., (e^ e, e.,) e-^ ;
oder : _ (,^ e,) (q e.) {e, e ,) . {e, e,) (c, 6-3) {e, c,)

= — {G^c^e.,) (6,6263) (6,6263) . (6,6263),

[(6, e,) (e, 63) (62 63)] 2 = (e, 62 63)^ ;

endlich: ' r \ r \ f \ r n?

(6,62) (6,63) (6063) = (6,6263)^:

d. h.: Das pl. Product dreier, die Seiten eines Dreieclis bil-
dender LinientJieile ist gleich dem vierfachen Quadrat dieses
Dreiecks. Es ist also nur dann Null, wenn die drei Punkte
zusammenfallen. M. a. W. : Das planimetrische Product
dreier durch einen Pimld gehenden Geraden ist Ntdl.

Wenn'ein beweglicher Punkt X mit zwei anderen festen
Punkten Ä und B auf derselben Geraden liegen soll, so
wird diese Bedingung ausgedrückt durch die Gleichung :

iXAB) = 0.
Diese Gleichung heisst die Gleichung des Punktes X, und die
durch A und B bestimmte Gerade der geometrische Ort des
Punktes X*)

*) Uehcrfjong zur Gleichung in rechtwinkUgcn Coordinaten. Sei
O der Anfangspunkt, für A{x,y,]; Bix.^y.^);
X{xij) die rechtwinkligen Coordinaten, ferner
(X -0)= r; {Ä — 0) = r, ; {B - 0) = r^,
dann ist: (XAB^ = 0; oder:

(O + r)(O + r,)(O + »-2) = 0;
oder :

weil {ÜO) = 0 und auch >"]V2/'3 als Product von drei Strecken in der-
selben Ebene Null ist. Weiter:

O (ri rj — r »g -f /• r,) = 0 ; r (r, — r^) + r, 9-j = 0 ;

— 103 —

Wenn eine bewegliche Gerade x mit zwei anderen festen
Geraden a und b durch denselben Punkt gehen soll, so Avird
diese Bedingung ausgedrückt durch die Gleichung:

{xah) = 0.

Diese Gleichung heis^t die Gleichung der Geraden x.

Wenn in einem planimetrischen Producte die Summe U5.
der Stufenzahlen gleich oder kleiner als drei ist, so heisst
es rein progressiv. Es ist nämlich in diesem Falle jeder
Factor mit dem vorhergehenden durch progressive Multipli-
cation verbunden. Der Werth des Productes ist im ersten
Falle eine Zahl (vgl. das Product ahc auf S. 97), im zvreiten
Falle eine Grösse vom Grade der Summe der Stufenzahlen,
in beiden Fällen also eine Grösse vom Grade des Restes, den
die Division der Summe der Stufenzahlen durch 3 ergiebt.

Nimmt man in einem Producte von ni progressiven Fac-
toren die Ergänzung jedes Factors, so hat man die Stufen-
zahl jedes Factors von 3 zu subtrahiren, also die Summe
ihrer Stufenzahlen von 'dni] und je nachdem diese Summe
gleich oder kleiner als 3 ist, wird die Stufenzahl des neuen
Productes gleich oder grösser als {om — 3) sein. Ein Pro-
duct dieser Art heisst rein regressiv, weil jeder Factor mit
dem vorigen durch regressive Multiplication verbunden ist.
Der Werth des Productes wird ebenso wie im vorigen Falle
ermittelt. Denn bei fortschreitender Multiplication kann man
jede Gruppe der drei verschiedenen Einheiten e^, e.,, Cg auf
die Form {e^e.,c.^ bringen, und diesen Factor gleich 1 setzen.
Das Product kann also nur von 0"''', P" oder 2''^'" Stufe sein.

Beträgt in einem Producte von ni Factoren die Summe
der Stufenzahlen mehr als 3 und weniger als om — -3, so
heisst das Proddct ein gemiscides, weil in diesem Falle die
Factoren theils durch progressive, theils durch regressive
^lultiplication eingefügt sein müssen. Sein Werth wird durch
die oben angegebene Rechnung bestimmt. Das Product ist

{X + y) {Xi + 2/, — Xz — y-i) + i^i + Vi) (-^a + 2/2) = •>;
xiVi — 2/2) + y{Xi — Xz) 4- Xi 2/2 -f 2/, x^ = 0;
•«-'(Z/i — Vi) — i^i — Xz^y + Xi y-i — .CzZ/i = '^•
(Vgl. G. A. I. S' 119. IL 306. 307. 308.)

— 104 —

ijisbesondere eiue Grösse 0'''' Stufe, d. h. eine Zahl, wenn
die Summe seiner Stufeuzalilen durch 3 theilbar ist.

Bestimmt man den Werth eines gemischten Productes
durch Ausführung der foi-tschreitenden Multiplicatiou, so bleibt
schliesslich ein Product von drei Factoren übrig. Dieses
Product ist insbesondere gleich Null, wenn es drei Punkte
darstellt, die auf einer Geraden liegen, oder drei Geraden,
die durch einen Punkt gehen.
U6. Wenn in der Ebene ein System von festen Punkten und

Geraden gegeben ist, und ein beweglicher Punkt X oder
eine bewegliche Gerade x durch veränderliche Geraden und
Punkte mit diesem System so verbunden werden können,
dass beständig drei von den Punkten auf derselben Geraden
liegen, oder drei von den Geraden durch denselben Punkt
gehen, so lässt sich diese Beziehung durch ein gleich Null
gesetztes planimetrisches Product darstellen.*)

Die Linie, welche vom Punkte X beschrieben wird, oder
deren sämmtliche Tangenten durch alle Richtungen der Ge-
raden X dargestellt werden, lieisst eine Curve. — Man sagt
auch, die Curve sei der geometrische Ort, im 1. Falle des
Punktes, im 2. Falle der Geraden.

Setzt man in dem ersten Falle im planimetrischen Pro-
duct e :

worin c, und e.^ zwei gleich lange, zu einander senkrechte
Strecken bedeuten, und e, ihren Durchschnittspunkt, drückt
man dann die festen Geraden (als Strecken betrachtet) und
Punkte durch ähnliche Gleichungen aus, setzt alle diese
Werthe in dem planimetrischen Producte ein, und löst die
Klammern, so erhält man eine in a homogene Gleichung vom
Grade derjenigen Zahl, .welche angiebt, wie oft in dem plani-
metrischen Producte der Punkt X. vorkommt. Dividirt man
dann die ganze Gleichung durch die ebenso hohe Potenz von
«, , so erhält man eine Gleichung zwischen den Variablen

~^ und -^ , welche die rechtwinklio^en Coordinaten des Punktes

X sind. Eine Curve, deren Gleichung vom n"^" Grade ist,

*) Vgl. G. A. I. §. Ii5-148. IL 309. 310.

— 105 —

oder deren plaiiimetriselies Product den Punkt X /nnal ent-
hält, heisst C(()TC ;^''.'' Ordnung.

Aus dem oben gefundenen Producte (JK.AB) = 0 können
wir sehen, dass die Gerade eine Curve P''' Ordnung ist.

Setzt man im zweiten Falle:

X = a, I e, -{- «2 I ^i ~\~ ^^3 i <^ö
und verfährt wie oben, so bestimmt die erhaltene Gleichung,
wenn sie vom Grade j) ist, eine Curve j)*^"" Klasse.

Wenn die Grössen a für beide Curven dieselben sind,
so heisst die zweite Curve die Reciprocal- (Polar-) Curve der
ersten, und umgekehrt; .c ist dann die Tangente an diese
zweite Curve.

Aus dem oben gefundenen Producte {xa'b) = 0 können
wir sehen, dass der Punkt eine Curve l^«"" Klasse ist.

Ämvendung auf die Curven 2^*='" Ordnung.'^) Die ein- 147.
fachste Form eines planimetrischen Productes, Avelches eine
Curve 2^*^'" Ordnung darstellt, erhält man, Avenn man vom
Punkte X ausgeht, und in dem darauf folgenden Theile des
Productes so lange a1)wechselnd feste Punkte und Geraden
setzt, bis man zum Punkte X zurückkehren kann, ohne dass
das Product für jede Lage von X Null wird.

Aum. Für Curveu höherer Grade wird das Bildungsgesetz des
planimetrischeu Productes complicirter. Die gesetzmässige Ableitung
desselben aus einer gegebenen Zahlengleichung wird unten gezeigt
werden.

Unter Berücksichtigung der Bedingung, dass die Summe
der Stufenzahlen der Factoren durch 3 theilbar sein muss,
erhält man nun die Gleichung:

[X Ah Cd EX) = 0,

worin ACE feste Punkte, h und d feste Geraden bedeuten.
Diese Gleichung drückt folgenden Satz aus : Wenn die Seiten
eines DrciecJcs um drei feste Funkte {ACE) sieh drehen, wäh-
rend zivei Ecken auf festen Geraden (b d) sich bewegen, so
beschreibt die dritte Ecke (X) eine (Mrve 2"^'' Ordnung. {Kegel-
schnitt.)

Die Gleichung wird befriedigt, wenn X mit A oder E
zusammenfällt: folsrlich lieo-en diese beiden Punkte auf der

*) Vgl. G. A. I. § 117. II. a-.'3.

— 106 —

Curve. — Sei ferner C'j der Diireliscluiiitspuiikt von b uiul rZ;
J5 derjenige von (AC) und d] I) derjenige von ißC) luid h-^
dann ist:

y = {c,Dy, d = {c,By, c={AB).{BEy,

und unsere Gleichung kann geschrieben werden:

[XA . (0,D) . {[AB] . [BE]) . {BC,)EX\ = 0.
Man überzeugt sich leicht, dass die Curve auch durch
die Punkte CyBB geht. — Man erhält nämlich:

1. fürX=C,; [C,C{BC,)EC,] = CyEC,=0.

2. fürX = D; [B.C{BC,).EB] = [B.E{BC,)E.B\ = 0,

und ein mit 2. analoges Resultat für X =^ B.

Somit ist eine Curve 2'" Orämimj durch fünf ihrer PtmJäe
vollliommcn hestimmt.
148 Vcnvandlung des planimetrischen Producfes in eine Zalilen-

gleichimg. — Breiimnld-Coordinaten. — Es sei:

und e, c.,f:3 mögen mit den festen Punkten ACE zusammen-
fallen. Dann ist:
A = c,- 6 = /3,(eof3) + /3,(6'3C,) + /3:,(6',c,); /3, +/i, + /J3= 0.

C = e,; d=d,{e,e.;)-\-d,{e,e,)+S,{e,c,y a.+ d.+ d.

Ferner ist:

XA = x,{e,e;) + .t;3(6'3(3,);

X.i6 = .r./Sje, — (x-,/32 + .«3/33)6, + .x.^ß^e.^;
XAhC= — (.^2/32 + ^3/^3) («-'i^o) + ^3^, (C36'.,);

Oller

- 107 —

XÄhCdE = [d,{x,ß, + x,ß,) - d,xM {c,e,)
XAhCdEX = [d,(,r.,/3., + x'../?,) — d.^x.,ß^]x^

{ß.,x, + /^yXj) (^.^a?2 + ^i^'i) = d.^ß^x^x.^.
Ist ß^ oder ^3 = 0, d. h.: geht h durch Ä, oder </ durch
jK, so geht die Curve über iu ein System von zwei Geraden
mit den Gleichungen:

ß.,x, + ß^x, = Ö; ^2-^2 +,^i-^M = ^5
oder^ da nun ß., = — ^.. ; d.^ = — ^^ ist:

X «) "-"-" X o « lA/ . I ^~~~ X I •

~^ j , resj).

X = 2 X2 ( — ^- — ) + x.^E ist, so sieht man, dass die beiden

Geraden die von Ä und E ausgehenden Transversalen des
Dreiecks der Punkte ACE sind.

Ist /3., oder d., = 0, d. h.: geht h oder d durch C, so
gelangt man nach einigen Umformungen zu den Gleichungen

x^(x^ — '''1) = ^> resp. Xi(x2 • — .^'3) = 0, erhält also wieder
ein System von zwei Geraden.

In beiden Fällen ist, wie man sieht, die Richtung von
h uud d uleicheiltic'.

Ist ß.^ uml ^1 =0, so nimmt unsere Gleichung die ein-
fachere Gestalt an:

— 108 —

ß., öo .€■/ = ö.. ß , .r , a^.j ;
oder, da /3., d\ = d^ß^ ist:

wobei wieder die Richtung der Geraden h und d gleich-
gütig ist. Die letzte Formel drückt nun folgenden Satz aus:
Verhindei man zwei heliebige {variahle) Fwikte {X (Xj) und
Cj, oder X, und C^) auf einer Ciirvc 2'*'" Grades mit zwei
festen Punlden auf derselben {A und E), so geht die äussere
Diagonale des vollständigen VierecJcs der vier Punkte stets
durch denselben Punlt (C).

Da die Punkte B und D döi' vorigen Figur jetzt resp,
mit A und E zusammenfallen, so sind die Geraden (C E)
und (CA) Tangenten an die Curve. —

Der durch die PimJcte GAE gelegte Kreis schneidet cdso
die Curve unter rechten Winkeln.
U9. Cartesische Coordincden. — Wir nehmen ebenso, wie in
dem zuletzt betrachteten Falle, an, dass Punkt A auf d und
E auf b liege. — Der Durchschnittspunkt beider Linien sei
mit Ci bezeichnet, die Strecke [e^ — A) mit e^'-, (Cj — E) mit

/

/

,c

«c.;; dann sind d und b die Axen eines Cartesisclien Coor-
diuatensystems, und man hat:

A = e, — c,;

^' = y\ ^1 + 7-.C-. + >':5^,; 7, + ?', + 7-, = 1 .
E = c, — V. f., ;
^ = ^1^35 (/ = Cie,,.
Demnacli:

— 109 —

XÄ = (.r, + X,) {c,Ci) + ^3(^3^,) + .^3(62^3);
XÄb = (r, -(- a;o)rj 4- •^■3^3*7
XÄhC= [Cr, + agy3 - x.y,] {c,e,)

XAhCdE = .^372(^1^2) + ^'-{{^h + ^'o) ^'s — ^'?,Y\\ (^V.^i)
+ «^3^2(^2 ^'3);
X Ah Cd EX = .^':j'-'72 + ^[(■^"i + ^'2)^3 ""■ ^-iVA ^i

Setzt man nun ' ^ = //.. und " '^ = //■> , ^'i^'l ^'Jst die Klam-
mern, so folgt:

^2^3^ — «yi.V2,V3 + «J^3y2',+ «^3 (^2 + ^/s) = ^r

oder:

72^3 0/3 + f^) + f^y-iViin-1 -\-^) = <^riyiih-

Diese Gleichung stellt, wie bekannt, eine Ellipse, Parabel
oder Hyperbel dar, je nachdem ay^- kleiner, gleich, oder
grösser als 4:y^y.;^ ist. Schreibt man die letzte Bedingung
in der Form :

> Yi Vi
so stellt die linke Seite das Parallelogramm der Punkte Cj EA
dai', die rechte das Parallelogramm der doppelten Coordinaten
von C. Bezeichnen wir diese mit ^2 ^^^^^ ^3 ^^^^^ ^^^ zuge-
hörigen Punkt mit C, so können wir schreiben:

{e,-E){c,~A)^d,ä„

weil (e, — A) der Längeneinheit gleich ist.

Für den Fall der Parabel ist d., d.. = a. Dies ist aber
die (Jleichung einer Hyperbel, deren Asymptoten die Geraden
h und d «ind, und die sich, je nachdem a positiv oder negativ
ist, in dem einen oder anderen Paare von Scheitelwinkel-
Räumen befindet. Wenn wir daher die Geraden h und d,
sowie die Punkte A und E als fest betrachten, C aber als
beweglich, so liefert der Punkt C eine Parabel, wenn er
auf einer der Hyperbeln d,, d.. = -j- a liegt, eine Ellipse, wenn
cmer, eine Hyperbel, wenn Jccincr der vier Hyperbelzweige
ihm seine coneave Seite zuwendet (oder je nachdem er mit

— HO —

Cj auf verschiedener oder derselben Seite des Hyperbelsystems
liegt).
150. Siiccudisirmig der Glciclinmj 2'''" Grtides. Es sei ein
rechtwinkliges Coordinatensystem angenommen, der Durch-

/ / />- / / /^-^ —

/ / / ■ / /

_/ ,i_,L_ / /\L_

^'^ ^ ^ A

I I Schnittspunkt von h und d mit Y

bezeichnet, und die Punkte A, C,
E so gewählt, dass:
Ef /-V___ -4 = e, + e.;

^ 3^ = ?/iei +2/2^2 + ^3^^3 5

dann ist:

^ = EY= y.{e.,e.^ - {y, + y-^) {e.,e,) + ^.(e.e^);

d = AY= — ?/o(e.,eo) + (?/, — ^3) {e.^e,) + ^2(^1^2);
also:

XA = x.^{e.,e^) + (0:3 — a^,) (636.) + x.^(e^e.^);

XAb = e, [x^iyi + 2/3) + 2/2 C^i — ^3)] + ^ 2 • 2 ^2^/2
+ ^iMVi + 2/3) — VÄ^i — -^3)]
= «,e, + «,62 + «363;
XAhC= (a, — r/,/3) (coc,) + «3/3(63^',) — a._,{c^e.^)-

XAbCd=e^ [(t/3 — ^,) {a^ — «,/3) - ^/i^s]

+ e, ^2 [(a , — «3) /3 — a^] + 63 [(^, — ^/g) /3 — ?/.,] a^ ;

XAhCdE= (e,e,) [(«j - a3)/3 - «,]?/,

+ (^3^,) [(«/i — 2/3) ([«1 + «3*]/5 — «2) — 2?y2«3]
+ («3^2) [(«-I — a.,)ß - «,].?/2;
XAhCdEX = ( — 2/2 a;, — aj.jj/o) [2V2('^'i — -^3)/^ ~ '^ ^hVi
+ '^2 (.Vi — 2/3) (2a-2bi + y-Aß — 2^:32/2) ^
— 2//,r/:,(,r,[,?/, + ;//,] — y.,[xy — x.^]) = 0,

— 111

oder :

— yrix^ + x,) [{x^ -x.;,)ß — x.,]-\-x.;'{yi—y,) [(y, +2/3]^ -?/•.]

— ■^•..'/•>K>(/yi + //:i) — vA-^i — ^'d] = <'^

oder :

y-^ß{x,'^ - x{^) + 2y^x,x, + x^[(^>/^ - y^)ß- 2//,^,] =0.
Setzt man uim :

= ^2,

= Z

?/2 Vz

;j '1 7," — ^'2 5 77 — ^^3 3

SO foljjt:

2/1

?/i

ß (^3^- l) + 2^., _ ß (W,2 _ 1) + 2 «2 _

— - //£- •

Diese Gleichung zeigt, dass auch Y auf der Curve liegt.

Es sind nun drei Fälle zu unterscheiden , nämlich ;
\)'m = 0; 2) Oll < 0; 3) m> 0-

1) ')n = 0. Dann ist, wenn weder x.^ noch Xy Null ist;

/3(^32-l) + 2^2 = 0,
oder, wenn wir ß — 2^., = v setzen:

ßz.? = v.
Dies ist die einfachste Zahle'ngleichung der Parabel.

2) m<0. Dann ist: 1
/3(^.;-' _ 1) + 2^, + m^,2 = 0;

oder : ^-^k

oder, wenn wir 0., -| ^= v setzen:

ß,.^^^-^mv^- = (ß-j-^)- A:,

Je nachdem- tu positiv oder negativ ist, stellt diese Glei-
chung eine Ellipse oder Hyperbel dar.

Ist im ersteren Falle m = ß, so kann man schreiben:

,,^~ + v^=\+^^ r^

als Gleichung des Kreises. Im speciellen Falle ß- = 3 ist
das Dreieck der Punkte Ä, C, E gleichseitig.

Im zweiten Falle kann man m = — m^ setzen und
schreiben :

— 112 —

oder, wenn yß^,^ _f_ y:^^,; = f^

gesetzt wird:

".=(''-„.,)■■

Damit ist die Gleichung der Hyperbel auf ihre einfachste Form
gebracht. Ist ß = m^ , so heisst die Hyperbel gleichseitig.
151. Vcrtvandlmig einer ZaJdengleicJnmg in ein gleieh Nnll

gesetztes planinictriselies Producf. *) — Zur Lösung dieser Auf-
gabe ist es nöthig, a) eine Zahl, b) ein Procluct, c) eine
Summe als planimetrisches Prodiict darzustellen. — Für alle
Fälle sei

X = Xi a -f- X., b -\- e]

d=a-\-h-j- e, (da) = Ä, {dh) = B, (ed) = C,

und a, h, c drei beliebige Grössen 1""" Grades, z. B. a und h zwei

auf einander senkrechte
«^ Strecken von der Länge
I 1 und c ihr gemeinsamer
I • Anfangspunkt. Dann ist
1 d der gegenüberliegende
I Eckpunkt des aus a und
\j_ h gebildeten Quadrates,
1 Xy und x^ sind die recht-
I winkl. Coordinaten von x.
I Wenn nun y^ und y^ die
Schnittpunkte von C mit
1 .'•, , resp. x^ sind, so folgt
aus der Aehnlichkeit der
Dreiecke:
icy.^): {cd) = x, : 1;

(cy,) : (ed) = x.,.

B

/ 1

v^y

/ 1

,^

a

1 /

Z^.

\ ,'

1/

b

also:

(6-v/,) : [cd) = x^ : 1

(cv/,): (c(/) = .r,;
Die Punkte ?/, und //,, sind hiernach die räumlichen Bilder

der Zahlen .r, und .r.

Da ferner x mit //, auf der zu h , mit //._, auf der zu a
gezogenen Parallellinie liegt, so ist:

*) Vgl. G. A. II. 325—329.

- 113 —

Endlich ist: j,,„(^.i,C); y, = {xaC).

Hierdurch sind die Zahlen x^ und x^ als planimetrische
Producte dargestellt.

Construirt man ferner die Coordinaten von y^ und y.^,
und setzt:

/ B

d

^2 >

^4 ^rA

/ 1 1 / ' !

/ /i ' 1 1
1 / \ \ 1 1
/ / 1 1 1

/ / 1 i -^^1 1
/ / ' 1 ' 1

!/ \ \ i \ \

iViaB) = f,
zieht ferner (cf), und setzt:

ifc) (2/2 &) = e,
zieht endlich (ea), und setzt:

0 = (ea)C,
dann ist:

(cz) ^^ ^e) ^^ (ctji)
{cyi) {cf) {cd)

und da

(c rf) ~ ^' '
so folgt:

{Cd)~^^^"'''

Der Punkt 0 ist also das räumliche Bild des Productes x^x.^.
Da ferner e mit z auf der zu a gezogenen Parallellinie
liegt, so ist:

{za) = {ea) .
Endlich ist:

0 = [y, aBc{y.2 h) a C] = [y^hÄc {y., a)hC]',
also auch:

{za) = [y^aBc(y2l)a]•^ {zli) = {y^hAc{y2a)h\,
da die Vertauschung der Buchstaben a, A mit h, B an der
Figur nichts ändert.

Hierdurch ist nun das Product x^ x^ als planimetrisches
Product dargestellt.

Endlich möge auf der Geraden cd ein Punkt / so be-
stimmt werden, dass er die Summe der Zahlen x^ und x^
repräsentire. Dann soll sein:

(cz) ax, -{-ixz ^

{cd) '

oder:

a + b

(cz)
{cd)

icyt)

a+b {cii)

Schlegel, Syst. d. Raumlehre.

+

b (cVi) .
a+b * (cd) '

- 114 -

'''^^][ (a + h) {c,') = a . (ein) + h . (cy^^

a [(c/) — (cy,)] = t [(CT/,) — (c/)] ;
oder: , n r / 'n

d, h. 2' ist der Punkt, welcher die Strecke (v/j — ^2) im Ver-
liältuiss b : a tlieilt.

Um diesen Punkt zu finden, beachtet man, dass, wenn
man {gs') construirt, und

(gs) {xh) = h

\d setzt, aus der Aehnlich-
keit der Dreiecke folgt :

B

e

__^%[/ i Tv^

z — Vi 9 — Vi

und numerisch:

Iv

^ 2/1 —g.
Vi — h

Trägt man also von C
aus auf a und 1) beliebige
Strecken ab, die sich wie
a : h verhalten, und zieht
zur Verbindungslinie ihrer
Endj3uukte eine Parallele

durch (/, so schneidet diese die Strecke C in dem gesuchten

Punkte z.

Da auch ^Luy^ =^ ^,~ f , oder ^' ~ f = ^■~ f , und diese

Proportion ungeändert bleibt, wenn (ah) nicht ein Quadrat,
sondern ein Rhombus, so hat man beiläufig den Satz, dass
in jedem Dreieck {gyji) die Halbirnngslinie eines Winkels die
Gegenseite im Verhältnisse der heiden anderen Seiten theilt.
Endlich ist:
^'= {g^^)G = g{(xa — bh)C= [yia{y^h) (aa — hh)C].

Damit ist auch die Summe — ' ^ ^ als planimetrisches
Product dargestellt.

Für die weitere Entwickelung setzen wir nun an geeig-
netem Orte:

2/1 =^ (^1) j z ^ [x^ x^\

2/2 = (^2);

^ 115 -^

Dann ist:

[iXiX.;)b] = [ijyhÄc{y.;,a)h].

Setzt mau hierin z für y^, d. h. x^x., für iCj, so folgt:
[{Xi^x.,)b] = [2bÄc{y^a)h] = [y^h[Äc{ij,a)h) . (Äciy^a)^],
oder, wenn wir

^ = [Äc{xa)h] = [Ac{y2a)h]

Ebenso :

[{Xi'>'x,)h] = [yih . dl'"] = [^&9ft'"].

Daraus folgt:

{x^'"x.,) = [xb . dVC].

Vertauscht man a mit b, und x^ mit iCj, und setzt:

dli = [Bc{xb)a] = [Bc{y^b)a],
so folgt:

[{Xi . x./'')a] = [xa^i"'] oder [(iCi . ic./-i)a] = [a:a9t,«-^].
Setzt man hierin für a', und a; den Ausdruck
{x^"'x^) = [xbdV"C]
ein, so erhält man:

[(a;,™a;2»)a] = [i»&9fi'»C . aDfti»-i] = S;
Ebenso :

[(a^i^ x^'i) b] = [xadliPC . & ^5 -1] = fi,;
daher :

Weiter ist:

ist:

4 a + 6 J+fc-^i'^^/

\ a+b /'

+

wenn wir ausserhalb der eckigen Klammer c statt b und
a -j- b statt a setzen:

~ V a + b + c /■

Auf der rechten Seite aber ist [S ß^ «j (7| für ?/, und Sj für
(1/2 &) zu setzen, so dass:

worin «j = (d + b) a — c &.
Allgemein ist:

— 116 —

Ist nun /"(.<'! .>".)) =0," so ist auch (0) =0, also:

das gesuchte planiinetrische Product/ für die Gleichung n^"^
Grades.

Da jedes 91 den Factor x einmal, also jedes S ihn so
oft enthält, als die Exponentensumme des zugehörigen Gliedes
der Gleichung beträgt, so ist das planimetrische Product von
sovieltem Grade, als die Summe sämmtlicher Exponenten der
Gleichung beträgt. Es drückt daher ausser der Curve noch
eine Menge von Geraden aus. Um diesen Uebelstand zu ver-
meiden, kann man die Gleichung ^i''^'" Grades vor der Um-
wandlung auf die Form bringen:

wo ,?]... Sn lineare Functionen der Variablen rc, und x.^ sind.
Auf diese Weise nimmt z. B. das planimetrische Product
vom 2'''" Grade die Gestalt an: {xaBcDex) = 0-^ und das-
jenige vom 3'^'" Grade: {xaBc {xh) aCclEfx] = 0. Die Ver-
allgemeinerung dieser Theorie auf Curven höherer Grade s.
in den Grass mann 'sehen Schriften.*)

b) Zahlen (aus Strecken [und Punkten]).**)

152. Der Flächentheil erschien uns als Product aus einem

Punkte und einem Parallelogramm. Der erstere war eine
geometrische, das letztere eine arithmetische Grösse. Bei
der Bestimmung von Punkten erschien das als Zahlcoefficient
auftretende Parallelogramm unwesentlich; daher konnten wir
das progressive Product zweier Punkte als Gerade, statt als
Strecke auffassen, und das regressive Product zweier Strecken
(oder Geraden) als Punkt statt als Product eines Punktes
und eines Parallelogramms.

Bei der Bestimmung von Zahlen wird uns der am Paral-
lelogramm haftende Punkt nicht interessiren. Wir betrachten

*) Crelle's Journal Bd. 31. S. 111; Bd. 36. S. 177; Bd. 42. S. 187;
Bd. 44. S. 1; Bd. 52. S. 254.
**) Vgl. G. A. II. 330-340.

— 117 -

daher nur das Parallelogramm, und da dasselbe als Product

seiner beiden Seiten darstellbar ist, so genügen für unsere

Betrachtung zwei Strecken Cj, e^, deren Product gleich 1

ist, so dass , . .

(Ci Co) = 1 .

Es finden dann alle am Schlüsse der zweiten Abtheilung an
diese Formel sich knüpfenden Erklärungen und Gesetze Gel-^
tung. Nur ist {e^e.^ jetzt eine Fläclieneinhexi 2'" Stufe.
Es ist also:

II ei = I C2 = — ei .

Da die Gesetze des Zeichens j dieselben sind, wie die
des Factors i, so nehmen wir zur näheren Bestimmung der
Strecken e^ und e, beide Zeichen als identisch an, und er-
halten so die Formel:

69 '^^^ ^ ' ^i'i
d. h.: die beiden Strecken e^ und c, sind yleich lang und
stehen auf einander scnlcrecld (normal). Sie bilden ein Normal-
system, auf welches sich alle folgenden Rechnungen beziehen.*)

Weiter hat man (gj | Cj) = 1; d. h.: das Product einer
StrccJce und ihrer {zu ihr senkrechten) Ergänzung ist gleich
der Flächeneinheit-^ {ne^) \ (pe,) = np{e^ \ e{) = np, oder,
wenn n = p ist: (wej | {nci) = n"^', d. h.: das Product
ziveier Veliehigen auf einander senh'cchten Strecken ist die mit
dem Producte ihrer Masszahlen muUiplicirte Flächeneinheit.

Weiter ist (e^ | Co) = 0, d. h.: das Product einer Strecke
und der Ergänzung einer zu ihr senkrechten Strecke ist Null.

Wenn

a = a^e^ -\- cc^Co,

^° ^^*- I « = «,63 — «2^1 ;

''^^* (a I a) = «i2 _f- «,2,

Statt (a I a) schreibt man a", nennt a~ das innere Quadrat

von a, und -j- //«/•^ + «2^ seinen numerischen Werth.

*) Der in diesem Abschnitt behandelte Stoff bildet den Inhalt der
sog. rechnenden Geometrie, in der es nur auf die mimenschen Werthe
der Strecken ankommt, und die, je nachdem Strecken allein, oder
Strecken und Winkel den Gegenstand der Betrachtung bilden, in rech-
nende Geometrie im enr/eren Sinne und in Trifjonometric zerfällt.

— 118 ~

Wenn

a = cc^e^ -\- a2 e.^ ;
[a I &] = «ij3i + «2/^2 = [h \ a]

so ist:

oder:

[(«1^1 + «2^2) I ißiOi + ß^e.y] = ccißi [ej I e^] + «2/52[e2 I ^2]-
Ist «j = /3j ; Ko = ß2, so folgt :

(«jC^ + «2^2)- = («161)- + («2^2)';
oder, wenn wir (a^ej) = a^ 5 («2^2) = ^2 setzen:

(«j -f" ^2)" = *i" "i" ^2 •
Diese Formel drückt wieder den Satz des Pythagoras aus.

Sind a und h zwei
Strecken, die einen be-
liebigen Winkel bilden,
und

dann ist die Strecke a,
^' die Projection von a auf
Cj nach Cjj mithin ist:

Da nun

so ist in der That ay = «jßj.

Die Projection heisst normal, insofern Grundgebiet und
Leitgebiet zu einander normal sind.

Bilden wir nun :

[a\h] = a,/3,

so haben wir den Satz: Das innere Procluct zweier Streclcen
ist gleich dem Product ans dem numerischen Werthe der einen
und dem der Projection der anderen auf ihr.
Bilden wir weiter:

ia + hf = [(« + &)](« + h)]
==[a\a]-^[a\h]-\-[b\a] + [h\b]
= a^ + 2[« I &] + &^ = «^ + 2a,ß + ß^-

— 119 —

dauii ist die Formel für {a -\- h)~ der Ausdruck des sog.
allgemeinen Pythagoras, und lieisst, wenn y der nume-
rische Wertli von {a -\- h) , a derjenige von a , ß der von
h ist:

Wenn a und h zwei zu einander senkrechte Strecken 153,

sind, so dass

h = ai, hi = — a,

dann sei: . , ,

a . i"' = xa -\- yb,

wenn a sich um den Winkel a dreht, und

«, Rechte = a

ist. Durch Multiplication der letzten Formel mit i erhält

man dann :

ai«i + i = xai -\- yhi,

== xh — ya.
Andererseits ist:

also: , . ,

bi'^i = xh — ya.

Die Aenderung, durch welche von den beiden Strecken
des Normalsystems {a, h) die eine «in xa -{- yh, die andere,

6

\«; «y

V'«r

y?

b in xh — ya übergeht, heisst circuläre Aenderung. Wie
die lineale Aenderung der Schiebung, so entspricht die circu-
läre der Drehung.

Da der numerische Werth von ai"' Eins ist, so ist:

Ziu- Bestimmung von x und y beachten wir, dass
ai"' = xa -j- yb =^ xa + yai.

- 120 —

woraus folgt:

^■«. = X -\- iy .
Ferner ist:

1 = x"^ -\- i/ = {x -^ iy) {x — iy),

und wenn man die untere Formel durch die obere dividirt:

i—"' = X — iy.
Daher :

2 :r = *«i -j- *- «' ; 2yi = i"^ — i- «< ;
endlich: „ . „ „ ^„

^~ 2 ' y ~ 2i . '

Man setzt nun:

X = cos a] ?/ = sin a *) •,

ausserdem: , ,

y : X = Ig a-^ x : y = cot a .

154. Sei ai«' = «]; a| = Ä;ft-f'2/^;

dann ist: j-^^ | ^j _ ^.j-^ | «]+?/[& U]-

Aber da h auf a normal , so ist [h \ a] = 0] ferner :

[a \ a] = a" = 1 ,

wenn a der Längeneinheit gleich ist; also:

[a, I a] = X = cos a.

Treten zu «j und a resp. die Zahlenfactoren mj und m, so

ist, wenn , ,

m^ «j = by 5 w a = 0

gesetzt wird: ^-7 ,7-,

[Pi I ^J = WiW . cos a.

Ferner ist: . , / \ , n \

(«j a) = x{a a) -\- y{oa).

Aber da (aa) = 0 und {ba)- =1, so ist:

(«la)- = y- = (sin a)2.

Treten zu «j und a noch wie oben die Factoren m^ und

m, so ist

-f- y{by h)- == Wj wi . sin «.

Demnach ist das innere Produd ziveier Strecken gleich dem
Prodiict ihrer numerischen WertJie und des Cosinus ihres
Zwischenwinkels] dagegen der numerische Werth des äusseren
Productes ziveier Strecken gleich dem Product ihrer numerischen
Werthe und des Sinus ihres Zivischenwinkels.**)

*) Vgl. die Anmerkung auf S. 58.
**) Vgl. G. A. I. S. 64.

— 121 -

Specielle Fälle:

cos (aa) = [a \ «] = 1 ;
oder : cos 0=1;

siu {aa) = (aa) == 0 ;

sin 0 = 0.
Sei c = cca -{- yh, und yaß resp. die
numerischen Werthe von cah] dann ist:
[a \ c] = xa"^-^ [a \ c] = ay . cos {a c) ;
[6|c] = y/32; [&|c] = /3>'.cos(&c);
folglich :
xa- = ay cos (ac); ijß''- = ßy cos (&c);

a, = & ;

cos (a?>) = [rt 1 Z>] = 0;

cos (IJ?) =0;

sin («&) = («&) = !;

sin (1 i?) = 1 .

und:

-^cos(ac); ij = J cos {hc)-,

_= _ cos (rtc) + ^ cos (hc).

Ist c = xa -\- yh'^ d = x^a -{- y^h] dann ist: 156.

cos (cd) = [c I f?J = a;^:.", -{- yyx

= cos (ac) cos (ad) -f- cos (&c) cos (hd).

Für c = d ist cos 0=1= cos^ (a c) -f- cos- (& c) .

Für {cd) = 1 ist cos (ac) cos («(/) -f- cos {h c) cos (6(/) = 0.

Wenn a -\- h -\- c = 0, so ist: 157.

ac -\- hc = 0'^
{a c)~ = {h c)- ;
«'y^ sin^ {ac) = /J^;^- sin- (&c);
a : ß = sin (6c) : sin {ac).

Diese Formel ist der Ausdruck des sog. Sinussatzes der Tri-
gonometrie.

Setzt man in der Formel

{a + h)' = «- + 2 [a 1 6] + h~

für (a I h) seinen Werth, und für a und h ihre numerischen
Werthe, so folgt, wenn a -)- 6 = c ist:

y''' = a^ ^2aß cos (a&) + /3-'

als Ausdruck des sog. Projections- und des Cosinussatzes,

oder
d. h

folglich :

— 122 —

158. Ahldtnmj der ivkht'Kjstcn trigonometrischen Grundformeln.

1) Aus den Formeln : a;--j- y" = 1 5 -^ == cos «;?/== sin «
folgt sogleich:

cos"^ a -\- siu^ a = 1 .

2) Sei i«' = x^ + *.?/i 5 ''^''^' ^= -^a + ^"^2 j ^""' + '^' =x -\- iy,
dann ist:

^ = ■^1.^2 — ViVi', y = Vi^o + ^1 ^2;

oder:

cos (k -\- ß) = cos « cos ß — sin a sin /3;

sin (a -{- /3) = sin cc cos /5 -}- cos a sin /3.

3) Setzt mau in den Ausdrücken:

cos « = '- : sin a == —-.

2 ' 2i

( — a) für a, so folgt:

i~ " 4- i"
cos ( — a) = ~ — = cos a ,

sin ( — «) = —. = — sin cc.

4) Setzt man in 2) ß negativ, so folgt:
cos (« — ß) = cos a cos ß -\- sin a sin /3;
sin {a ^- ß) = sin « cos ß — cos « sin /3 .

5) Setzt man in 2) x^ = x^] ?/i = 2/25 ^^^o u = ß,

so folgt:

^ = ^1^ — ?/i^; 2/ = 2^,2/n
oder:

cos (2 a) = cos- « — sin- a ; sin 2 « = 2 sin a cos a .

6) Da a;^- + 2/i^ = 1 ; und nach 5) a^i^ — 1/1^ = ^;

so folgt:

V = -^— ; 2/1' = ^r-

oder:

-,/l4-cos(2a) . t/1 — C08(2a)

COS a = y ^ ^ — '- ; sin a = J/ --^ ,

oder : , ,

a T/l-l-cosa . a t/1 — cos a

^°' 2 = K 2 5 Sin - = y ^

7) Setzt man in den Ausdrücken für cos a und sin a

statt cc die Werthe 0, 1, 2, so folgt:

— 123

cos 0 = -^^ = 1 ;

cos

sin 0 =

sin 1 ==

1 — 1

2*

-1

0;

i 4- *

sin

2 i 2 i

- 1 - (- 1)

1

= 0,

cos2 = -+-<^' = -l; ^ ,, ^_

8) Sei a = x-{-y; ß^x — y, ^^^^ = x; ^-^ = y\

dann ist:

cos a -f- cos ß = 2 cos x cos y = 2 cos

« +

« + ß

a —
cos -

Sin
cos
sin

2

a —ß

2
a— ß

2

cos /3 — cos « = 2 sin x sin y = 2 sin -^

sin a -|- sin ß = 2 sin .r cos ^ = 2 sin ^^-—^

sin a — sin /3 = 2 cos ic sin y = 2 cos " T^*^ —

Einige Formeln von den WinJieln des Dreiecks. — 159.
1) « + ^ + y = 2.

sin a -f- sin ß + sin y = sin a -|- sin ^ + sin (2 — o: — ß)
2i

■ « ^ jß _ j- 1^ — j- (« + /^') -I- t<" + /^>

2^
ji" + 1) (^ + 1) - (^-« + 1) (^-/* + 1)

>■" +1)(^ + 1) (*"+'' -1)

2e

2*.i

[« + /*

2i

.•2 .-2

= 4 • COS — cos -|-

— 2 + « + /S

= 4 cos — cos -^ • -

+ *■

«+/?

^ {-^-')

= 4 COS — cos Y

2
— 2 + « + /? 2 — «— 1^

,1 « p y

= 4 cos Y cos Y cos ^^

- 124 -

2) «-f/5 + y = 4. —
sin a -j- sin |3 -[- sin y = sin a -\- sin ß -\- sin (4 — a — ß)

i^-i-

■ « + z-/* -

2 t

(« + /?) .

-i'

i+ß

- d" -

- 1) (i^ -

2i
-l) + (r«-

- 1) (r

-ß -

-1)

2^

2 t. ■*■" + /* r~ ' ^ " i* " «±j?

2 i . i ^ 2 i . i ^ 2 i . i ^

= 4 Sin -^ sni -|- sin -|- •

(sin a -f- sin /3 -|- siu 7) (cos 0: -|- cos ß -{- cos y)
= sin {a -\- ß) -\- sin (/3 -f- y) -|- sin (a -f- j^)

, sin 2 a -1- sin 2 ß 4- sin 2 y . , . r, ,

-j ^ = Sin « -|" siu ß -\- sin j^

+

2
sin 2 ff -|- sin 2 ß -|- sin 2 y

2

(sin 0; -(- sin /3 -|- sin y) (cos k -f- cos ß -\- cos y — 1)
= 2 , sin a sin /3 sin y

= Ib . sin - cos — • sin - ■ cos ^ • sm ^ cos -|- ;

^Iso: . « . ß

cos « -|- cos ß -\- cos y — 1 = 4 sin — sin ^ sin ^ ;

£ Z 2i

und endlich:

cos a -\- cos /3 -|- cos j^ = 1 -[- 4 sin -^ sin ^ sin -|- •

(Auch analog wie 1) abzuleiten.)

160, Eriveiterimgcn. 1) Gegeben seien drei Punkte A, B, C5

ferner sei:

^ + 5 = 2X3; J?+C'=2Z,; (7+^1 = 2X3.

Ein Punkt 0 sei so bestimmt, dass

{0 — A). iß = {0~C); {0 — C). ^•« = (0 — 5);
(0~ J5) .tV = (0 — ^); also: a + ^ + y = 4.

Dann ist:

(0-^) + (0-i?) = 2(0-X3);

(0-5) + (0-6') = 2(0-X,);
(0 — C) + (0 — .4) = 2(0 — X,,) .

— 125 —

c , b

-IT = ^2 +

Ferner :

(A-B) = iO-B)-iO-Äy,

{B-C) = {0-C)-{0-B);
i^C-A) = {0-A)-{0~C).
Setzen wir nun:

(0 — X,) =xr, {0 — X,) = rr,;
(C-Ä) = h-, (A-B) = c-
so ist:

{0 — A) = x

{{0-B) = x,-~=x,+
I

folgkch :
Multiplicirt :

(0 - X3) = .

"3)

2 '
c

2^'
a

oder:

cx^x^ -f~ «^2^3 + ^-^'a^'i + -4- = 0

oder :

c 1 « , ?> a & c
2a;3 "*" 2Xi ' 2a;2 2a;, " 20^2 ' 2a;^

Beachten wir nun, dass numerisch:
a , a b , ß

T • *i = *^ t5 "t ■ *'■-' = *o ^- ;

so lautet die letzte Formel:

^:*-3= tg-f ;

tff J^ + tg i- + to- Jl = to- ^ . to- i

tgi

2) Aufgabe. Zu beweisen: Wenn man durch eine Eclemx,
eines Parallelofjramnis eine Kreislinie legt, und aus derselben
EcJce die Diagonale zieU, so ist das numerische Product ans
der Diagonale und der in ihr liegenden Sehne gleich der Summe

— 126 —

162

der numerischen Prodncte aus den beiden anstossenden Seiten

lind ihren resp. Sehnenahschnitten.*)

Seien ah die Seiten, c die Diagonale des Parallelogramms,
«1 &i c, die entsprechenden Sehnen;
d der aus der Ecke P gezogene Durch-
messer; dann ist:

c == a -{- h;
lc\d]==[a\.d]-\-lh\d\,
und wenn die numerischen Werthe
der Strecken mit den entsprechenden griechischen Buchstaben
bezeichnet werden :

rVi = ««1 + ßßi,

weil z. B. das innere Product aus c und d gleich dem Producte
der numerischen Werthe von c und c^ (der normalen Pro-
jection von d auf c) ist.

3) Aiifgahe. Zieht man von einem PiinJcte P in der
Peripherie eines Kreises Strechen nach n beliebigen Punicten
A, B, C . . . und nach ihrem Älittelpunlcte S, so ist das Pro-
duct aus der Strecke P — S und der auf ihr liegenden Sehne
das arithmetische Mittel aus der Summe der Producte der
Strecken P — A, P — B, ... und der zugehörigen Sehnen.

Bezeichnen wir die von P aus-
gehenden Linientheile PA^ -P-^; • • •
mit a, b, . . .; dann ist:

S =
SP =

n
AP-\-BP-\-GP-\-

(f oder;

s =

a + 6 + c-f

ls\cT] = [« I ^] + ffc N] + [c M] + • • • .

folglich, wenn wir die numerischen
Werthe der Linientheile mit den ent-
sprechenden griechischen Buchstaben
bezeichnen :

06, =

«ßTi-f (3ß, -f yy, +

w. z. b. w.

*) S. G. Geometr. Analys. S. 26.

127 -

Verbindet man einen Punkt X mit dem Mittelpunkte 1G3,
eines Kreises durch eine Gerade, welche den Kreis in den
Punkten X^ und X., schneidet, so heisst das Product der
numerischen Werthe von (X — X,) und {X — X>) der
Boppelabstand des Punktes vom Kreise.*) Also:

a,=={X— Xj) (X-Xo).
Ist 0^ der Mittelpunkt und r^ der Radius des Kreises, so ist:

X,-0,=r,; A-X, = r,',
also:
«1 = (X - 0, - r,) (X - 0, + r,)

= {X-0,f-^r,K

Wenn nun 0.>, 0.^, ... die Mittel-
punkte ; n , r.^, ... die Radien , und
«2, «3, ••• die Doppelabstände von X
für andere Kreise bezeichnen, so ist:

= a, [(X -0[f - r,'\

4- a J(X - 0,)- - r/] +

Sei nun ein fester Punkt S an-
genommen, so kann man setzen:

(X - 0.)- = {X — S-{-S— o,.f

= (X - Sf + 2[(X - Ä) 1 (Ä - Or)] + iS- Orf;

daher, wenn noch

eil -f- a., + = ^

gesetzt wird:

2;=a(X— S)- + 2[(X- S) I {^S— a, 0, - a.O, )] + ft,

worin

^ = ai {S — Ol)- + a.{S — 0,)' -\

2 2

— a, i\- — a.) r^~ —

Nun sind zwei Fälle zu unterscheiden:

1) a ^ 0. Dann kann man S so wählen, dass

a/S — aiOi — aoO. = 0,

g __ Ol Ol + 02 02-1

oder:

•=) Vgl. G. A. II. 341—343.

— 128 —

d. h. dass S der Mittelpunl't der Punkte 0^, 0.,, . . . ist.
Dann ist

Die Vielfacliensumme der Doppelabstände eines variablen
Punktes von mehreren festen Kreisen erreicht ihr Minimum
(oder, wenn a negativ ist, ihr Maximum), wenn der Punkt
die Mitte zwischen den MittelpunJcteti der Kreise hildet. Sie
wächst um das Product aus ihrer Coefficientensumme'und dem
Doppelahstande des Punktes von dieser Mitte, ivenn der Punkt
sich daraus entfernt.

2) a = 0. In diesem Falle ist

aj Ol -f ao Oo + = « ,

eine Strecke. Sei a ihr numerischer Werth. Dann ist

2J=2[{X — S)\ a] + ^.

Sei nun S^ ein solcher Punkt X, für welchen U gleich
Null wird, dann ist: .

2 [{S, —S)\a-]-]-ii = 0,
oder:

V^i — K> j iii, \ u,j =- — - - ■

oder

{S,-S)[a\a-] = -J^.a', S, - S - ^^, ,

Nun wird:
i:=2[{X — S,-\-Si-S)\a^-{-^ = 2[{X — S,)\a].

Hieraus folgt: Die Vielfachensumme ivird Nidl, wenn
der Punkt auf der in S zu a errichteten Senkrechten liegt.
Andernfcdls ist sie gleich dem doppelten Product aus dem
numerischen Werth der Strecke a und dem Abstände des
Punktes von dieser Senkreclden.

Ist endlich a = 0, so ist 2?=^, also constant.

Sind insbesondere die Radien der Kreise alle gleich 0,
so verwandeln sich die Kreise in Punkte, ohne dass die For-
meln sich wesentlich ändern. Der Doppelabstand ist dann
das Quadrat des einfachen Abstandes,

Rücken dagegen die Mittelpunkte der Kreise in unend-
liche Entfernung, so geht die Kreislinie in eine Gerade über,
der Abstand X — Xo wird unendlich gross; d. h. er kann
für alle Kreise als gleich angesehen, und es kann H durch

— 129 —

ihn divitlirt werden. Dann ist der Doiipelabstand der ein-
fache Abstand des Punktes von der Geraden , und

a, = (X— Xi).
Nehmen wir auf der Geraden eine der Längeneinheit gleiche
Strecke a an, so ist

«, = (X X,) «J = X^l Xj Cly = X«, .

Analog :

a.^ = (X — X^,) a.2 = Xa.y — X,«., = X((i'i
also:

27= «1 X«, -f- aoX«.^ + • • ■ = (^ii (f\ + ^h<^(> + • • •) ^;

oder, wenn a, «, + a2«2 + • • ' = (ta ist:

2J=a{aX),

d. h.: Die Viclfachensumme der Ahstünde eines variahlen

FnnMes von festen Geraden steht in constantem Verhältnisse

zu seinem Abstände von einer bestimmten festen Geraden.

2. Zusammengesetzte Grössen.

Einfache Grössen wurden oben diejenigen genannt, welche 104.
als Prodncte von Grössen ersten Grades erschienen; Solche
Grössen waren: im Gebiete des Punktes die Puuktgrösse;
in dem der Geraden: Strecke und Liuientheil; in dem der
Ebene: Parallelogramm und Flächentheil. — Dagegen wurden
die Curven sammt den von ihnen begrenzten Theilen der
Ebene noch nicht unter dem Gesichtspunkte der Grösse be-
trachtet.

Auf diesen Standpunkt gelangen wir durch eine Ver-
allgemeinerung der Begriffe.*)

Sei nämlich ein einfacher Punkt X bestimmt durch die

Gleichung:

X = xe^ -{- ye., -{- ze,, wo x -\- y -{■ - = 1 ;

dann ist:

z == \ — X — y\

X = ;r (c, — 63) + 1/ (c, — C3) + C3 .
Nimmt man nun an, dass die Strecken (e, — %) und
{e., — C3) senkrecht auf einander stehen, so sind x und y die
rechtwinkligen Coordinaten von X; jedem Werthepaare von

*) Vgl. G. A. II. 393.

Schlegel, Syst. d. Raumlehre.

— 130 —

X und y eutsprieht ein bestimmter Punkt X, und alle Punkte
X, deren Coordinaten einer Zahleugleichnng vom Grade n
genügen, liegen auf einer Cnrve vom Grade n.
Sei nun

diese Gleichung; dann heisst Js(r, v) eine Function von x
und ?/, und ist eine Grösse, welche für beliebige Werth-
gruppen der eonstantcn Zahlen stets bestimmte Werthe hat.
Ist nun zunächst 7s {■''■> .'/) eine Function ersten Grades,
also von der Form :

%{x,y)=ax-\-'by -\- c]
dann ist ^- (.i-, y) in ganz analoger Weise aus den Grössen
x, y, 1 vermittelst der Zahlen a, h, c abgeleitet, wie X aus
den Grössen c, , c.,, r.,, mittelst der Zahlen ,r, y, z. — Die
Function ^- (./;, y) heisst nun diejenige Function, zu welcher
die Curve 1'''" Grades (Gerade) gehört, deren Coordinaten
der Gleichung J- {x , y) = 0 genügen.

Ist allgemein ^ (.^', y) eine Function n^^" Grades, dann
ist g- {x, y) aus den einzelnen Functionen von ./; und y ab-
geleitet, d. h. aus den Producten ihrer Potenzen. Diese
Producte kann man nun als ursprüngliche Einheiten be-
trachten, vom Grade der Summe ihrer Fjxponeuten. Diese
Einheiten sind in der That von einander unabhängig, da
die Gleichung Js('-- //) = 0 für jeden Werth von x und y
nur dann befriedigt wird, wenn alle Coefficienten Null sind.

Es ist nun ^{:c, y) eine einfache Grösse, wenn es als
A^ielfachensumme der einfachen Einheiten x, y, 1 darstellbar
ist; d. h. Avenn es eine Function vom l'<^" Grade ist; dagegen
eine zusammengesetzte Grösse, wenn es als Vielfachensumme
der Producte dieser Einheiten erscheint.

In gleichem Sinne heissen nun auch die zur Gleichung
6 i^y y) =^ ^ gehörigen Curven entweder einfach oder zu-
sammengesetzt.
iß5. Die Kreisfitnctioji.*') — Die erste der zusammengesetzten
Functionen in Bezug auf die Einfachheit der durch sie dar-
gestellten Curve ist die Kreisfunction. Sie ist ein specieller
Fall der allgemeinen Function 2''" Grades:

■*) Vgl. G. A. II. BOl-.Sftg.

— 131 -

ft.^'- -{- ^'?/" + <"■'':'/ + "'■'■ + ^// + A
und hat die Form :

(•'•■^ + r') + /3.^; + y/y + ^,

ist also aus den vier Einheiten (.t- -|" ?/^); '^'j //; 1 ableitbar.
Sie heisst a-fach, wenn das erste Glied noch den Coefficienten
a bei sich hat.

Statt aus den vier Einheiten kann jede Kreisfunction
aus vier anderen Kreisfuuctionen abgeleitet werden.

Wenn Pix^, v/,) ein beliebiger Punkt der Ebene, 0 der
Mittelpunkt eines Kreises, und r sein Radius ist, so ist der
Doppclabstanä des Punktes vom Kreise, wie wir oben sahen,

gl««-'' (P _ of - ,- .

Aber wenn X(.r, y) ein variabler Punkt, so ist:

die Gleichung des Kreises; auf dem X liegen muss. P'olglich
ist der Doppelah stand des Punktes P auch ausgedrückt durch:

7S (-^'l ; 2/| ) •

Wenn ^,, J^., , Js'.. ^i'^i Kreis Functionen von x und y sind,
und X,, ;«.,, X3 die Kreise, deren Gleichungen Jvi = ^; ^'^^^j
^3 = 0; Avenn dann

7h = ^'x ?Si + «•> ?^\' («1 + «2 = 1)

ist, so haben die Kreise v.^ und x., zwei Durchschnittspunkte,
deren Coordinaten durch das System Jsi = ?^> = 0 bestimmt
sind. Dann ist aber auch Jv?, = ^^5 ^1- li- der Kreis x^ geht
durch dieselben beiden Durchschnittspunkte. Hiernach hahcn
drei Kreise, ivelche in einer ZahJheziehuny stehen, zwei Ptmlie
gemeinsam. Auch liahen sie eine Gerade gleicJien Doppcl-
ahstandes, deren Gleichung ^| — J^., = 0 ist, woraus auch

9i2 — 5-3 = 0 folgt-

Wenn zwei Kreise (?Si = 0; ?S> = 0) gleichen Doppel-
abstand von irgend einem Punkte haben sollen, so ist für
diesen Punkt:

Ai = Ts->', oder: ^>i — 62 = ^^^
Da in dem Ausdruck '^^ — '^•., die quadratischen Glieder sich
heben, so stellt die Gleichung i^^ — Js? = ^ ^i"^ Gerade vor.
Zicei Kreise haben also stets eine Gerade filcich en Dnpjiel-
ah st and es.

9*

— - 132 —

Kommt noch ein dritter Kreis (J^j == 0) hinzu, der die-
selbe Bedingung erfüllen soll, so stellt das System ^, — g-.^ = 0;
g-., — gj = 0 den Durchschnittspunkt zweier Geraden vor.
Folglich hahen drei Kreise stets einen PanlU gleichen
Doppelal) Standes.

• Wenn vier Kreise in einer Zahlbeziehung stehen, so dass

'^x = «l<^i + ^-iTh + «:!<^n K + «2 + 0^3 = 1) ;

so ist für den Punkt gleichen Doppelabstandes zwischen

«5l? S-.'; Ss-

%l = ^'> = %'i
folglich auch:

W-i = Ön

d. h.: vier Kreise, die in einer Zahlbeziehung stellen, hahen
denselben PunJd gleichen Doiipeldbstandes.
16G. ,,Wenn der Punkt A des gleichen Doi^pelabstandes von

vier Kreisen ausserhalb eines der Kreise liegt, so ist der
Doiipelabstand von diesem Kreise gemäss der Definition
positiv, also auch der Doppelabstand von den übrigen Kreisen
positiv; A liegt dann zugleich ausserhalb der übrigen Kreise,
Zieht man von A die Tangenten an die vier Kreise, so
müssen diese gleich sein, weil für jeden Kreis das Quadrat
der von einem äusseren Punkte gezogenen Tangente gleich
dem Doppelabstande dieses Punktes ist. Schlägt mau also
um A einen Kreis, dessen Radius gleich jenen Tangenten
ist, so werden alle vier Kreise von diesem letzteren Kreise
senkrecht geschnitten. — Liegt hingegen A innerhalb eines
der Kreise, so muss es auch innerhalb der anderen liegen.
Zieht man dann von A in irgend einem der Kreise diejenige
Sehne, die durch A halbirt wird, so ist das Quadrat der halben
Sehne gleich dem Doj)pelabstande des Punktes A von dieseiii
Kreise; zieht man also in allen vier Kreisen die durch A
halbirten Sehnen, so müssen diese alle einander gleich sein.
Schlägt man endlich um A mit der halben Sehne s einen
Kreis, so wird dieser Kreis von jedem der vier Kreise im
Durchmesser, d. h. so geschnitten, dass die beiden Durch-
schnittspunkte die Endpunkte eines und desselben durch diesen
Kreis gezogenen Durchmessers sind.

Mau kann diesen in Durchmessern geschnittenen Kreis
als einen senkrecht schneidenden betrachten; dessen Radius

133

imaginär = rj/ — 1 ist, wälireiitl Ä der Mittelpunkt bleibt,
und erlangt dadurch den V(n-theil eines gemeinschaftlichen
Ausdrucks. Unser Satz würde dann so lauten: Vier Kreise
stehen dann (und nur dann) in einer Zahlbeziehung zu ein-
ander, wenn sie von einem Kreise senkrecht geschnitten
werden, und zw^ar ist der Mittelpunkt dieses Kreises der
Punkt des gleichen Doppelabstandes von irgend dreien der
vier Kreise, und der Radius gleich der Quadratwurzel dieses
Abstandes. Wir können dies auch so ausdrücken: Das aus
drei Kreisen ableitbare Gebiet ist die Gesammtheit der Kreise,
welche von einem und demselben Kreise senkrecht geschnitten
werden. In diesem Sinne stellt also der letztgenannte Kreis
jenes Gebiet, d. h. das aus Kreisen erzeugbare Gebiet 3"^''
Stufe dar, Avährend das Gebiet 2""" Stufe durch einen Verein
zweier Punkte dargestellt wurde."*)

b) Vereine von Grössen.

5(. Vereine von abhängigen Grössen.

a. Mit beschränkter Gliederzahl. — Punktepaare und Linienpaare.

1. Anharmonisches und harmonisches Verhältniss.

Zwei Punkte auf einer Geraden heissen ein FimUeimar, i67.
zwei Geraden, die durch einen Punkt gehen, ein Linienpaar. —
Zwei Punktepaare auf einer Geraden (.1, C), {B, D) heissen an-
harmonisch, wenn zwischen ihren
Verbindungslinien die Gleichung
besteht:

{BA) _ (DA)

{DC]'->
oder :

{Bcy

{BC)
(BA)

m

{DA)

Ist E ein Punkt ausserhalb
der Geraden, so ist:

BjAE)
{BC)

B{AE)

m

oder :

D{AE)

= m

*) G. A. II. S. 271.

— 134 —

Diese Gleicliuiigen bestehen also, wenn B, C, D drei
Punkte auf einer Geraden sind, und {AE) eine schneidende
Gerade,

Ist F eiu zweiter Punkt ausserhalb der Geraden, so ist:

B[AE) _ -DiAE)
\J B_^ ■ I) -ßTC F) — "* • D {ÜF) ' •

oder:

B[AE) _ J>'(6'F)

Diese Gleichungen bestehen also,
'^ Avenn B und i) zwei Punkte, (AB)

1\ und (Ci^) zwei Geraden in dersel-

ben Ebene sind.
1Ö8. Öei 0 ein beliebiger Punkt ausserhalb der Geraden, so ist :

[OB]{OA) _ , (OD) {OA)
{OB) {0 0} ~~ ''^' (ÖD) {OC}'

Sind nun «, ß, y, d die numerischen Werthe der Linien
(OA), (OB), (OC), (OD), und a, h, c, d die durch sie
bestimmten Geraden, so kann man für die letzte Gleichung

schreiben :

aß . sin (ha) aS . sin (da)
' ^ ^ — ')ii > - ^

(3 y . sin (& c) yd . sin {de) '

oder: ■ ,i s ■ fi \

siu {bu) sin {da}

sin {b c) sin {d c)

Zwei durch denselben Punkt gehende Linienpaare, welche
diese Bedingung erfüllen, heissen müiminonisch. •

Da die Bedingungsgleichung für die Anharmonie der
Punkte von dem Punkte 0, und diejenige für die Anharmonie
der Linien von der gegebenen Geraden unabhängig ist, so
hat mau die Sätze:

Die Geraden, ivclche vier an- Bie PunJde, in denen vicran-
Itarmonischü Bnnlde mit einem harmonische Geraden von einer
hclicbif/en Bmikte der Ehcne heliehiyen Geraden in der Eherne
verbinden, sind anharmonisch geschnitten iverden, sind anhar-
in demselben Verhältnisse. ' monisch in demselben Verhält-
nisse.

Ist m = — 1, so wird das anharmonische Verhältniss
harmonisch genannt.

— 135 —
Wenn (BA) (DA) 16'j.

so ist auch:

(BC) {DC)'

n - A) _ __ {]) — A)

^B-C)-~ [D-ü)'
oder, weun wir diese Quotienten mit A bezeichnen:

{B — A) = X{B — C); (^1 — B) = 1{B — C),

oder :

n (1 — X) = A — IC; X» (1 + A) = .4 4- IC,

endlich :

Betrachten wir nun das Paar (Ä, C) als gegeben, und

{B, B) als gesucht, so entspricht jedem Werthe A ein Paar

(1), B)\ d. h.: Zu einem (jegehenen PtinJitepaare giebt es he-

A -\- ü
liehig viele Jiarmonische. — Nur, wenn A = 1, d. h. B = ^-^-

ist, wird B unbestimmt, und rückt in unendliche Entfernung,
weil dann (B — Ä) = {B — C) sein soll.

Vertauscht man die Differenzen der Punkte mit den
Quotienten der gleich bezeichneten Richtungen, so erhält
man aus (b : a) = (h : c/- ; (a : d) = {d : cf- den entsprechen-
den Satz: Zu einem gegebenen Linienpaare giebt es hcliebig
viele harnionisclie. Und wenn A = 1 ist, verwandeln sich
die Formeln

b = yia : c) ; d --= ]/a . c ,

d. h.: d luilbirt den Winkel {ac) und b ist unbestimmt.

Wenn also die Gerade (/ den Winkel {ac) lialbirt, so
ist die vierte harmonische Linie unbestimmt.

Soll das Paar (i>, B) nicht nur mit {A, C), sondern 170
auch noch mit {E, F) harmonisch sein, so tritt zu der ersten
'Jleichung die zweite hinzu:

(BE^ _ _ L^^ _
{BF)~~ {DF)~^^-

Beide Gleichungen geben zusammen folgende ^Verthe

für B und B:

/• = ^ i — >■<' _ F — (. F _ , __ ^ ±Jl^' = J-^+l'F

i — f. 1 ^^r '' 1 + ^ r+ fi

- 136 —

Durch Elimination von B crliält man:

A.U (C-F) + K{E - C) + ii{F-A) + (.4 - E) = 0,
und durch Aenderung der Zeichen von A und ii:

X(i{C—F) — ?i{E-C) — ^(F-Ä)-\- [Ä — E) = 0.

Durch Addition und Subtraction dieser Gleichungen er-
hält man :

XniC—F) = iE- Ä); 1{E~C) =ii{A — F),
oder durch Multiplication :

A2 (C —F){E~C) = {E~ A) {A — F);

e"^^i^^i= , _ (E - A) [A-F)

"" {Ü — F) ' {E—C}

und indem wir A mit E, F mit C vertauschen:

., _ iE — A) {E—C)
^' ~ {C — F) ' {A'-F) '

Da nun A und }i vollkommen bestimmt sind, so gicbt es
zu sivei gegebenen PtinJitepaaren nur ein Jiarmoniscltcs. Drückt
man X- noch als Product der beiden mit A gleichen Quo-
tienten aus, so findet sich, dass zwischen den drei Punkte-
paareu {B , D), {A, C), {E, F) die Gleichung besteht:

{B - A) {A — J) _ {E_—A) {A -F)
{B-C)' {D -C)~~ {C-F)' {E- Cy
oder: [B - A) (J^-A) , [E - A) jF - A) _ ^

{B — C)'{D-C)~^{F — C)\E-C)

Eine andere Beziehung erhält man aus dieser durch Ver-
tauschung von A und C mit resp. E und F.

Vertauscht man die Differenzen mit den Sinus der Win-
kel, die von den entsprechend benannten Geraden gebildet
werden, so erhält man ähnliche Formeln und Sätze für die
harmonischen Linien.
171. Soll das Paar {B, D) ausser mit (.4, C) und {E, F)
noch mit {G, H) harmonisch sein, so tritt zu den beiden
vorigen Gleichungen noch die dritte hinzu:

{BG) _ _ {D_Gl _
{BH) ~ [DH) ~ ^ •

Alle drei Gleichungen geben folgende Werthe für B
und I):

-- 137 -

7? — A^^^ _ E—fiF^ ^—'^^I
1 — X 1 — f i 1 — V '

T) — ^-itl^ = E+fiF ^ G + vH
1 + A "~ 1 + a "~ 1 + V '

Nach WegsclmfFimg von B und D bleiben vier Gleichungen
mit drei Unbekannten. Diese liefern die Werthe:

^2 ^ iE - A) {A -F) _ (G-A) (A - H)

(C - F)

{E-

-c) —

[C-H)

[G-

-ü) '

(E-A)

{E-

-C)

(G-E)

{E-

-S)

{C-F)

{A-

-F) -

{F-B)

{G-

~F) '

(G-A)

{G-

-C)

{G-E)
[F-H)

(G^

-F)

iC-H)

{A

-H)

[E-

-R)

Durch Elimination von X^, ft^, v- erhält man drei gleich-
bedeutende Bedingungsgleichungen, welche von den drei
Paaren {A, C) , {E , F), {G, H) erfüllt sein müssen, wenn
ein zu allen harmonisches Paar {B , D) existiren soll. —
Drei Punktepaare, welche ein gemeinsames harmonisches Paar
haben, heissen involutorisch {bilden eine Involution).

Unter Anwendung einer einfachen Abkürzung kann man
die letzten Formeln auch schreiben:

daher ist:

oder :
oder :

oder :

^- = cc . a^ =^ ß : ß\
v'' = y.yi = a:a^;

(ßay) . {ßlCc^y^) = {yßc() : (y,/?,«,;
{E — H) ^ (G — C) ^ (A-jn ^ j

{A-H} ^'

Dies ist eine zweite Form der Bediugungsgleichung für
die Involution.

Durch dasselbe Verfahreu, wie in der vorigen Nr, erhält
man hier die Formeln und Sätze für die Involution von Linien.

2. Centralität und Polai'ität.

Sind (P, Q) und (5, , 5.,) zwei harmonische Puuktepaare 172.
auf einer Geraden , so ist :

P-S,~^ l'--So~ '

— 138

oder: Q - S, Q - S,

oder :

d. li.:

oder :

4^-

P- s,

- 5, J

p-

Q-P
p-s,

1 = 1 — _^-"''^2 _ 2-

Q

s

-_2,

1 , 1 2 -

P~—Si "r" P^S^ "" P — Q'
Dieser ZusammeiiliaDg zwischen den drei von 1* uiis-
laufendeu Strecken wird dadurch bezeichnet, dass man sagt,
Q sei die harmonisdie Mitte zwischen S^ und 6'.,, in Bezug-
auf P.

Setzt man

so ist
oder :
oder :

- + -=.

2 u'

2 s, ,',

^'l + ^■> =

rj= ^*-*2

Die Strecke q heisst das harmonische Mittel zwischen
den Strecken Sy und s.,. Sind s^, s.,, q in Zahlen ausgedrückt,
und s/, 5.,', q die umgekehrten Werthe dieser Zahlen, so ist:

d. li. : Der umgehchytc Wcrth des arithinctiscJien Mittels zwi-
schen zwei Grössen ist das liarmonischc Mittel sicischcn den
umgehehrten Werthcn dieser Grössen.
173. Betracliten wir 6', nnd s, als Wurzeln einer Gleichung

2''" Grades:

,•-• + ßs + y = 0,

dann ist:

s — S| = O; s — ^^ = 0;
(s — s^) {s — s.) =0; '
- — (sj + s.,) s + s^ s., = '»;

ß = — ^-^1 + *':'); y = i^i^j:

_ 2 ■ ^' •

P'

— 139 —

Setzen "wir nun :

'1 = ''i + iJ\ \ -''• = '^-»1

"woraus lolgt:

s = n{xi + //j) = ^^^i;
oder : / \ r \ / \

so sind ..(■ und ?/ für S, x^ und v/, für Q die Coordinaten in
Bezug auf ein System von zwei in P sich schneidenden Ge-
raden .

Besteht nun zwischen x und // eine Gleichung 2'*^" Grades :
y- -{- axy -}- hx- -\- cij -\- äx -\- c = 0,
so drückt dieselbe aus, dass der Punkt S (d. h. die Punkte
*-, und s.,) auf einem Kegelschnitte sich bewegt, während die
Gerade der vier harmonischen Punkte sich um P dreht. —
Setzen wir in dieser Gleichung für x und ij die Werthe

■*'' • s und — ■ s, so verwandelt sie sich in die Gleichung
'I U ' °

und es ist:

. CiJi + cLr, e. q

(y ■■ ß)

Da aber:

c^i + äxt

,= -2'. oder | = -|

war, so ist:

' 1 e

cij^-\- dxi-{-2e = 0.

Es bestellt also zwischen den Coordinaten des Punktes
(f) eine Gleichung l'''" Grades; d. h. dieser Punkt bewegt sich
auf einer Geraden; oder:

Wenn von einem festen Fanläe P durch einen festen
Kegelschnitt eine heivegliche Gerade gesogen tvird, so ist der
geometrische Ort der harmonischen Mitte zivisehen den Schnitt-
punJden der Geraden Si und S., in Bezug auf P eine Gerade.

Ist S = Sy , d. h. geht die Secante in eine Tangente

Über, so ist ^rir^s' "^ ^^' ^^' ^^•' '^' ~ '^'i "^ '-*' f^^^S'^^^^^^ §^^^^
die Gerade der Punkte {Jf durch den Berührungspunkt der
Tangente. — Da die Gleichung der Curve, wenn mau a;,
und )J^ für x und g setzt, in die beiden Gleichungen zerfallt:

- 140 —

cy^ + ä'C^ + 2c' = 0; y^- + ax^y^ + hx;^ -= c,

so hat die Gerade der Punkte (^ zwei Punkte mit der Curve
gemeinsam, nämlich die Berührungspunkte der von F aus
an dieselbe gezogenen Tangenten.

Der Punkt P heisst Pol, und der geometrische Ort der
harmonischen Mitten Q die Centrede..

ZicJd man also von einem beliebigen Punlde P aus zicei
Tangenten an einen Kegelschnitt, so ist die Verbindungslinie
ihrer Bcriüirungspunlde die zum Pole P gehörige Centrale.

174, Multiplicirt man die Gleichung p^' -j- p~ = 0 mit

^.^, so folgt:

Durch diese Gleichung ist der geometrische Ort des Poles
P bestimmt, Avenn die Gerade der vier harmonischen Punkte
sich um die feste harmonische Mitte Q, statt um den Pol
P dreht.

Der geometrische Ort des zu einer festen harmonischen
Mitte gehörigen beweglichen Poles heisst Polare. Es ent-
spricht also die Centrale dem Pol, die Polare der harmo-
nischen Mitte.

Vertauscht man in der letzten Gleichung die Buchstaben
P und Q, so erhält man wieder die ursprüngliche Gleichung;
d. h. : in Bezug auf einen Kegelschnitt stehen ein Punld und
eine Gerade gleichzeitig im Verhaltniss von Pol und Centrale,
und von harmonischer Mitte und Polare. — Man bezeichnet
daher die beiden Gebilde gewöhnlich nur mit den Namen
Pol und Polare.

Aus diesen Definitionen folgen unmittelbar die Sätze:
Dreht sich eine Polare um einen ihrer Punlde, so beschreibt
der zugeordnete Pol eine Gerade, und- umgeliehrt. —

Insbesondere wird für S = S^ P = S^] d. h.: Dreht
sich die Polare um einen ihrer DurchschnittsimnTite .mit der
Curve bis in die Eichtung der Tangente, so rücht der zuge-
ordnete Pol auf der Tangente bis zum Berülirungsimrdde.
Oder: Liegt der Pol auf der Curve, so ist die zugeordnete
Polare die Tangente in diesem Punkte.

— 141 —

Die Verallgemeinerung' dieser Theorie s. in den Grass-
m a n n 'sehen Schriften . *)

b. Vereine mit unbeschränkter Gliederzahl. — rmiktrcilion und
Stralenbüschel.

1. Ein Verein.

Ein Verein von Punkten, die auf derselben Geraden 175,
liegen, heisst eine PimMrcihe, von Geraden, die durch den-
selben Punkt {Mittf'limnld) gehen, ein StrdlcnhUschcl.

Sei a eine Gerade, und A
ein Punkt ausserhalb derselben.
Sei ferner x eine beliebige durch
A gezogene Gerade, welche a in
X trifft. Dann ist jede dieser
Geraden x durch das plan i me-
trische Product {AX.) bestimmt,
und jeder Punkt X durch das
planimetrische Product {ax). Man hat also:
(X^) £^ x\ {xa) ^E X; oder: (^X) e^ x:,
woraus noch folgt:

./

x/

\

4

\

(ax) ^ X,

oder

so ist:

(x a . A) ^ X 5
{ax . A) ^ X]
Setzen wir noch :

{a A . x) ^ X ;

(X^ . a) = X,
{AX. a) = X.

{Aa .X) = X,

{ax . A) = {aA . x)'^ {AX . a) — {Aa . X);
d. h. : In jedem planimetrisclicn Productr kann man zivci auf
einander folgende Factorcn vertauschen, tvcnn sie von einander
anhängig sind.

Ein Verein von beliebigen Punkten auf einer Geraden
a ist also durch {ax), ein Verein von beliebigen Geraden,
die durch einen Punkt A gehen, durch (^IX) dargestellt,
vorausgesetzt einstweilen, dass im ersten Falle die veränder-
liche Gerade x um einen Punkt A sich dreht, im zweiten
Falle der veränderliche Punkt X auf einer Geraden a fort-
schreitet.

*) Cr eile's Journal. Bd. 24. S. 262. 372. Bd. 25.

— 142 —

Die Betrachtung der Figur ergiebt noch, class X die
Projection des festen Punktes A auf das Grunds3^stem a nach
dem Leitsysteme x ist. Diese Projection kann man iwofjrcs-
sive nennen. Dann ist x die regressive Projection der festen
Geraden a auf das Grundsystem Ä nach dem Leitsysteme X.

2. Mehrere Vereine.

176. Wenn (XÄ) oder (Ä) ein beliebiger Stralenbüschel ist,

und h eine ihn schneidende Gerade, so entspricht jedem Stral
(Xyl) ein Punkt {XÄb) auf der Geraden />, mithin dem
Stralenhiisehel {XA) überhaupt die Gerade {XAh) oder h. —
Diese gegenseitige Beziehung der beiden Gebilde heisst Fry-
speetiritüf , die Gebilde selbst iieyspcetiviseli.

Zieht man durch die Punkte {XAh) gerade Linien, die
sich alle in einem Punkte C schneiden , so ist jede dieser
Geraden durch den Ausdruck {XAhC) bestimmt, also stellt
(XAhC) einen neuen Stralenbüschel (C) dar, dessen Durch-
schnitt mit dem ersten die Gerade h ist. Nun ist (C) per-

spectivisch mit h und h
mit (A) ; daher nennt man
auch {C) perspectiviseli mit
{A). ~

Bezeichnet man nun
mit X die Durchschnitts-
l)unkte der beiden Straleu-
Ijüschel {A) und {C), so
liegt X auf der Geraden
{XAhC)] d. h. man hat:
(X^/>CX) = 0
als planimetrische Gleichung für den Ort des Punktes X. —
Diese Gleichung sagt nun ans, dass die Punkte {XAh), C,
X in gerader Linie liegen. Dies ist nur möglich, wenn
{XAh) ^^ X, oder {XAC) == 0 ist. Die erste dieser Glei-
chungen, die man auch (X7>) = 0 schreiben kann, sagt, dass
X auf der Geraden />, die zweite, dass X auf der Geraden
(AC) sich bewegt. Die Gleichung (iXAhCX) = () zerfllllt
also in die Gleichungen zweier Geraden.

Wenn ferner d eine neue Gerade ist, welche den Straleu-

— 143 —

büschel (C) schneidet, so entspricht jedem Stral (XAhC)

eiu Punkt {XAhCd) auf der Geraden d, mithin dem Strcden-

hüschel (0) überhaupt die Gerade (XAhCd) oder d. — Ebenso

wie die Gebilde {A), h, [C), so sind

nun auch h, (0), d unter einander jf- ,

])crspcctiviscli. — Dagegen heisst die . y''

gegenseitige Beziehung von (ylj und w

d Vrojedivifät , die Gebilde selbst ^ ,

projcdivisch. ^^OAbf

Zieht man endlich durch die
Punkte (XAhCd) gerade Linien, die sich alle in einem
Punkte E schneiden, so ist jede dieser Geraden durch den
Ausdruck (X^/^CV/jE") bestimmt, also stellt {XAhCd E) einen
dritten Stralenbüschel (E) dar, dessen Durchschnitt mit dem
zweiten die Gerade d ist. — Ebenso, wie h, (C), d, sind nun
auch (C); d, {E) unter einander perspectiv iscli. Dagegen heisst
{E) projcctlvisch mit {A), wie mit h.

Diese Beziehungen zusammenfassend, kann man sagen:
In einem planimetrisclien Prod'iicte, tvelclics ahivecliselnd Strdlcn-
h'dschd und Geraden cds Factoren cntJiäU, sind sivei Factorcn
projectivisdi, tvcnn sie durcJi inclir als einen Factor getrennt
sind; sonst perspeetiviscli.

Bezeichnet man nun mit X die Durchschnittspunkte der
beiden Stralenbüschel (A) und {E), so liegt X auf der Ge-
raden {XAJtCdE), d. h. man hat:

{XAhCdEX) = 0,
d. h.: der Durch scJinitt zivcier projectivisehen Stralenhündel
ist ein Kegelschnitt.

Fallen unter den festen Factoren des Productes zwei
benachbarte, z. B, C und d, zusammen, so kann man das
Product auch schreiben:

{XÄhd. CEX),
und die planimetrisehe Gleichung zerfällt in folgende beiden :

{XAhd) = 0; \CEX) = 0.
Die erste drückt aus, dass die Geraden {XA), l>, d durch
einen Punkt gehen, und stellt daher die Verbindungslinie des
Punktes Ä mit dem Durchschnittspunkte der Geraden h und
d dar. Die zweite drückt aus, dass die Punkte CEX in

_ 144 —

gerader Linie liegen, und stellt daher die Verbindungslinie
der Punkte C und E dar. Somit zerfällt der Kegelschnitt
(Curve 2^" Ordnung), ivie auch die Betrachtung der ührigcn
Fälle leicht ergicht, in 0ivcl Geraden (Curven V"'' Ordnung),
sobald zivfi auf einander folgende Elemente zusammenfallen.

177. Vertauscht man in der Darstellung der vorigen Nr. überall
die grossen nud kleinen Buchstaben, die Ausdrücke Punkt
und Stral, Gerade und Stralenbüschel , so erhält man zuerst

die Gleichung

{xaBcx) = 0

als planimetrische Gleichung für den Ort der Geraden x, und
es ergiebt sich, dass diese Gleichung zwei Punkte darstellt.
Zweitens erhält man die Gleichung

{xaBcDex) = 0;
diese drückt aus, dass die Geraden x einen Kegelschnitt um-
li allen, d. h. dass sie in ihrer Gesammtheit die ganze Ebene
erfüllen, mit Ausnahme derjenigen Theile, denen der Kegel-
schnitt seine concave Seite zuwendet.
* Fedlen zivei auf einander folgende Elemente zusammen,
so zerfällt der Kegelschnitt (Curve 2''''' Klasse) in zwei Punlde
(Curven P" Klasse).

178. Eriveitenmg. Sei die Gerade, welche in Nr. 17G die Punkte
(XÄhCd) und X verbindet, durch eine feste Gerade />] ge-
schnitten im Punkte G, sodass

{XÄhCdXl>,)i^G
ist. Daraus folgt:

{XAhCdXG) = 0;

d. h.: Alle PunJite X, welche demselben Ftinlde G auf der
Geraden &, entsprechen, liegen auf einem Kegelschnitte. —
Wir können daher sagen, dem Punkte G entspreche der Kegel-
schnitt {XAbCdXG)\ ebenso wie oben dem Punkte X der
Stral X.

Die Gesammtheit aller Kegelschnitte, welche den Punkten
der Geraden b^ entspricht, heisst ein Curvenhäschel 2^'''^ Ord-
nung; die Gerade b^ heisst pcrspectiviscJi mit dem Curven-
büschel, und es bleibt noch zu untersuchen, ob es für alle
Curven des Büschels gemeinsame Durchschnittspunkte giebt,
ebenso wie es für einen Stralenbüschel (Curvenbüschel 1^'''
Ordnung) einen solchen Durchschnittspunkt (Mittelpunkt) gab.

— 145

r>

Betrachten wir jetzt G als Durehsclinittspunkt einer
variablen Geraden g mit &j ; dann ist die Gleicliung des Kegel-
schnittes :

(XÄhCdXh.g) = 0,r

und jedem Punkte G, d. h. jeder Geraden g entspricht ein
neuer Kegelschnitt. — Giebt es nun auf einem dieser Kegel-
schnitte Punkte, für welche schon

{XÄhCdXbi) = 0
ist, so müssen diese Punkte gleichzeitig allen Kegelschnitten
angehören, weil die Gleichungen derselben sich nur durch
den Werth von g
unterscheiden, wel-
cher für diese Punkte
unwesentlich ist.

Die Gleichung
{XÄhCdXh,) = 0
wird nun durch fol-
gende Specialwerthe fV

von X befriedigt:

1) X=A, oder --y^^
{XÄ) = 0. — Da-
gegen würde aus

(XÄb) = 0
folgen, dass A und b
zusammenfallen, aus
{XÄbC) = 0, dass&
und C, aus {X Ab Cd)
= 0, dass C und d
zusammenfallen. • Die
nächste zulässige An-
nahme ist also:

2) (XAbCd) = X, oder {XAbCdX) = 0, d. h. X ist
der Schnittpunkt der Geraden {XAbC) und d. Da nun X
auf {XAbC) liegt, so ist auch {XAbCX) = 0. Diese Glei-
chung stellt aber die Geraden b und {AC) vor; folglich
genügen die Durchschnittspunkte von d mit b und {AC)
unserer Gleichung; und die Werthe von X sind: X=(&<^;
X={ACd).

Schlegel, Syst. A. Raumlehre.

10

— 14G —

3) (XÄhC(IX) = h,; oder {XÄhCdXh^) = 0- d. li.:
die Punkte (XAhCd) und X hegen auf der Geraden h^.
Daher ist auch {XÄhCdh^) = 0 oder (/>,fZ(7?>ylX) = 0;
d. h.: X liegt auf der Geraden (b^dCh/l). Da X aber auch
auf 7>| liegen soll, so ist es der Durchschuittspunkt dieser
beiden Geraden; d, h, X^ {l)^dChÄh^).

Hiernach sind die vier Punktet, Q^d), {ACd), {l)^dChAl)^
Mittelpunkte des Kegelschnittbüschels. — Man kann also sagen :
Alle Geraden, welche durch einen festen FunM gelegt iverden
können, hilden einen Büschel l""" Ordnung, alle Kegelschnitte,
welche durch vier feste Punlcie gelegt werden können, einen
Büschel S'*^"" Ordnung.

179. Vertauscht man in der Darstellung der vorigen Nr. die-
selben Gegenstände, wie in Nr. 177, so gehen die Curven 2'^''
Ordnung in Curven 2'^'''' Klasse über, und die vier festen
Mittelpunkte in vier feste Tangenten. — Die Verallgemeine-
rung dieser Theorie auf Curven höherer Grade s. in den
Grass mann 'sehen Schriften. *)

23. Vereine von beliebigen Grössen.
1. Ein Verein.

180. Wenn ein Punkt X aus drei Punkten e^ c.^ e.^ mittelst
der Zahlen x, y, s abgeleitet ist, sodass

X = xc^ + ye.y -f ^C3, {e^ e.,e.i) = 1 ,
und wenn zwischen den Zahlen x, y, z eine homogene Glei-
chung l*en Grades (g = 0) besteht, so liegen alle Punkte X,
deren Coordinaten dieser Gleichung genügen, auf einer Ge-
raden.

Denn sei

"^ = ax -\- hy A^ CS, = ^ ,

so erhält man durch Multiplication der ersten Gleichung mit
einer unbestimmten Grösse A:

lX = x{le,)^y{le.:)-^z{Xe.^',
folglich :

(A X) = 0 ; (A ej = a ; (A e,) = /> 5 {le^ = c.

Da nun a, l), c Zahlen sind, so muss A ein Linientheil

*) Cr eile 's Journal. Bd. 42. S. 193.

- 147 —

sein; claiiu aber sagt die Gleichung {XX) = 0, dass X auf
einer Geraden liegt.

Seien nun drei solcher Gleichungen gegeben:
Si=0; S, = 0; ^3 = 0.
Dann lässt sich ^- aus den Functionen g^, '^.,, J^j vermittelst
der Zahlen x^, x.,, x-^ ableiten, so dass

% = -^1 ^1 + ^2 3-> + ^3^3» (^1 + ^2 + % = 1) •

Jedem Werthsystem der Zahlen x^, x^, x^ entspricht nun ein
Werth von ^, d. h. eine besondere Gleichung ^ = 0, und
eine durch diese Gleichung bestimmte Gerade. — Aus den
drei Geraden, deren Gleichungen g^ = 0, gj = ^j Ss = 0
sind, lassen sich also alle Geraden der Ebene ableiten.

Besteht aber zwischen den Zahlen x^^, x^, x^ eine Glei-
chung 1"^" Grades; dann reduciren sich die durch g dar-
gestellten Geraden auf diejenigen, deren Coordinaten dieser
Gleichung genügen.

Bestehen ferner zwischen diesen Zahlen zivei Gleichungen
vom 1"^" Grade, so sind dieselben vollkommen bestimmt, und
g = 0 stellt eine Gerade dar.

Bestehen endlich zwischen diesen Zahlen zwei Gleichun-
gen vom n^"" Grade, so ist jede der Zahlen w-fach bestimmt,
und 3 = 0 stellt einen Verein von n Geraden dar.

2. Mehrere Vereine.

a) Allgemeine Beziehungen.

Wenn p = aa -\- ßh -\- yc 18i.

und p^ = aa^ + /3^i + yc^

zwei Grössen vom l'"^" oder 2^"' Grade sind, so heisst der
Verein der Grössen a h c venvandt mit demjenigen der Grössen
a^hyC^, und zwar direct verwandt, wenn ^ und ^jj Grössen
von gleichem Grade sind, reciprök verwandt im anderen
Falle.*) — Zu jeder aus ahc abgeleiteten Grösse p giebt es
nun eine entsprechende aus aj&, Cj abgeleitete; und es heisst
allgemein der Verein aller Grössen p verwandt mit dem
Vereine aller entsprechenden Grössen p^.

^) Vgl. G. A.n. § 157. 159. II. 401. 402.

10*

— 148 —

182. Seien uuu pqrs vier Grössen des einen, und p^ g, r, s,
die entsprechenden Grössen eines verwandten Vereines. Dann
besteht zwischen jjgr 5 jedenfalls die Zahlbeziehung:

^2) -{- fi d -{- vr -{- QS = 0,

oder: /i • i i \

(Aa -f- i"«i + ^^^■. + Qcc-]) (i

4- (Ay + ^7^1 + vy, + pj^3) c = 0.
. Da nun aber zwischen a, h, c keine Zahlbeziehung be-
steht, so sind die Coefficienten dieser Grössen einzeln Null. —
Bildet mau nun den Ausdruck

^Ih + ^(Zi + v^'i + QSi
und drückt wie oben i'iö'i^'iSj durch ajj^c^ aus, so sind die
Coefficienten von a^hyC^ dieselben, wie die von ahc, also
gleich Null; folglich ist auch

^Ih + ^(Zi + ^'^'i + Qh = 0;
d. h. : jede ZaliTbesieliung, ivclche stoischen Grössen eines Ver-
eines bestellt, existirt auch ztvischen den entsprechenden Grossen
jedes verivandten Vereines.
183. Seien

zwei aus nicht verwandten Vereinen abgeleitete Grössen.
Wenn wir dann die Grössen h mit passenden Factoren mul-
tipliciren, so wird es möglich sein, den Verein dieser neuen
Grössen dem ersten verwandt zu machen. Sei nun

Wenn dann

sein soll, so folgt:

h

folglich :

und:

Die Grössen x sind also bis auf einen constanten Factor,
dem man einen beliebigen Werth geben kann, bestimmt.

=

x^ •

^ +

"^ Ct.
Xi

Jj,

1 -^3

«3

h',

a^-

ß-2 =

CC2

cc.

; ß,-

=

Xi '

«1

' ^4)

X., =

" «2

■ X

i5 ^-i^

=

h .
«3

— 149 —

3Ian lann also in einer Ebene einen heliebigen Verein
von vier -Grössen h mit einem heliebigen Vereine a dadurch
verivandt machen, dass man die Grössen b, ivenn es PunJde
sind, mit passenden Zahlcocfficientcn versieht; wenn es aber
Strecken sind, in angemessener Weise dreht oder verlängert.
Diese Veränderungen hängen alle von einer beliebig zu iväli-
Icnden Grösse x^ ab, und es sind die bei verschiedener Wahl
von x'j entstandenen Vereine unter einander ebenfalls verwandt.

Da nun

x^b^ = x^ß^b^ -\- x^ß.^b., + 3C_^ß.,b^
folgt, wenu man in dem Ausdruck für c^ alle c durch x und
1), und alle x durch x^ ausdrückt, so sieht mau, dass über-
haupt die Multiplication mit einem Factor X:^ genügt, um
den Verein der Grössen b mit demjenigen von a verwandt
zu machen; und da man diesen Factor gleich 1 nehmen kann,
so folgt, dass man überhaupt in der Ebene jeden Verein von
vier unabhängigen Grössen einem anderen Vereine von vier
unabhännfigen Grössen verwandt setzen kann. Man hat also
nur zu setzen:

c, = b^] «1 Ci = ß^ b^ ; a, e, = ß.^ b,, ; «3 c^ = ß^b^.

h) Besondere Beziehungen.
a) Directe Verwandtschaften.*)

Nehmen wir nun insbesondere an, x^ sei so gewählt, dass 184.
Cj = a^ ; C.2 == (1^2 5 C-^ = /igj c^ = a^
wird, und bezeichnen diesen Factor x^ nun mit A. Dann
ist A eine Grösse, welche einen Verein, dessen einzelne
Grössen mit ihr multiplicirt werden, in einen verwandten
Verein verwandelt.

Wenn also (CjC^c..) und (^if^^a) ^^^^^ Punlitvereine sind,

und

r = cc^c^ -f a.,c.i + «3C3;

ist, so kann man immer setzen :

Die drei letzteren Gleichungen geben multiplicirt:
*) Vgl. G. A. II. 390. Anm. 2.

— 150 —

oder: p ^ i^jjil^^ .

Bezeichnen wir mit q die Zahl, welche den numerischen
Woih des Flächentlieils (fjf., £3) darstellt, wemi (e^e^e.^) = 1.
ist: dann ist

worin (P) den numerischen Werth von A^ bedeutet.
Da

(reo^O = «1(61^2 C3); ^^^^ ((>f2f3) = «1(^1 ^2^3) = «1 '2(616263),
so ist:

('■ 60 63) = -~ ((> «2 f 3) ; of^er : A3 (r e, e^) = (qs^s.^);

d. h. : die Verwandtschaft besteht auch zwischen den aus (6,^263)
und (fjf, £3) durch gleiche Zahlen abgeleiteten Grössen.

Aus den verschiedenen Lösungen der Gleichung {P) = q
ergeben sich nun verschiedene geometrische Verwandtschaften.

Seien erstens die drei Wurzeln der Gleielmng ungleich,
und mit Aj L. A3 bezeichnet. Dann ist die Gleichung (A^) = q
erfüllt, wenn wir

6] ^1 = ^n 62 A2 = £0 5 63 A3 = fg
setzen. Die Verwandtschaft der beiden ursj)rünglichen Systeme
heisst Affinität, diejenige der Geraden, welche durch die
Linieutheile {e^e.,) (cj^s) (CgCj) bestimmt sind, Collinearität.

Ist speciell q='^, so heisst die Verwandtschaft Inhalts-

nleichheit. Es ist dann numerisch , ' ^^ \ ■ = 1 .

Anm. Vou den drei "Wurzeln Jl, /I2JI3 ist die eine reell, die beiden
anderen imaginär. Dies deutet darauf hin, dass räumlicli die Punkte

e, und f| zusammenfallen. Dies thut jedoch der Allgemeinheit der
durch uusre Bezeichnung dargestellten Verwandtschaft keinen Eintrag,
da wir den Flächentheil (fj fj ^3) in derselben Ebene durch Schiebung
stets dahin bringen können, dass in seiner neuen Lage (Ei E2 E3) der
Punkt Ej mit e, zusammenfällt. Zwischen den Systemen (E, E2 E3) und
(f i «2 S3) besteht dann eine Verwandtschaft, die wir in Nr. 52. Congruenz
nannten, und weiter unten als einen speciellen Fall der luhaltsgleich-
beit werden kennen lernen.

Seien zweitens die drei Wurzeln der Gleichung gleich,
und mit (A) bezeichnet. Dann ist die Gleichung (A^) = q
erfüllt, wenn wir

c^ A = £j 5 e.,X = e.y ; C3 A = £3

— 151 —

setzen. — Die Verwaudtscliaft der beiden ursprünglichen
Systeme heisst nun Aelmliclikeit.
Da jetzt auch

(c, — ^2) W = («i — «■');

(^2 — ^3) (A) = (£, — f,,);
(,3 _ e,) (A) = (., - .3)
ist, so ist es ein charakteristisches Merkmal der Aehnlich-
keit, dass das Verhältniss der numerischen Werthe zweier ver-
wandten Strecken für jedes Streckeupaar dasselbe ist. Auch
verhalten sich die Parallelogramme verwandter Streckenpaare
numerisch, wie das Quadrat dieser Verhältnisszahl zu 1.

Ist (/ negativ, so wird die Aehnlichkeit symmetrisch ge-
nannt. Die Systeme liegen dann auf entgegengesetzten Seiten
der Ebene.

Ist speciell q = \ , so heisst die Verwandtschaft Con-
gruens. Es ist dann numerisch:

(e, 62 ^3)

Wie nun die Aehnlichkeit als specieller Fall der Affinität
(nämlich wenn die drei Wurzeln von q gleich sind) betrachtet
werden kann, so auch die Congruenz als specieller Fall der
Inhaltsgleichheit.

Das Verhältniss der vier Verwandtschaften lässt sich
daher durch folgende Zusammenstellung veranschaulichen :

1. Affinität. 2. Aehnlichkeit. "

2. Inhaltsgleichheit. 3. Congruenz.

Hierin bezeichnet jede höhere Nummer einen speciellen
Fall der nächst niederen.

Ist q negativ, so wird auch die Congruenz symmetrisch
genannt.

Anm. Auch die Projection (s. S. 90) erscheint hiernach als eine
specielle Art der Affinität.

(3) Reeiproke Verwandtschaften.

Sind {a, h, c) und (a, , &, , c,) zwei dircct verwandte 1P5.
Vereine, so nennen wir die Vereine (a, h, c) und (| «1 , | &i, | c^)
rcciproh verwandt. — Fallen insbesondere die beiden ersten
Vereine zusammen (ein specieller Fall der Congruenz, welcher

— 152 —

Identität heisst), so sind auch die Vereine («,, ?>, , Cj) und
(I «j, I &,, 1 Cj) reciprok verwandt.
Da aus

r = a^c^ + «2^2 + «3^3

folfft: , , , r 1 ,

I r = ßi I c, + «2 I c, 4- «3 I ^3,

so erhält man einen reciproken Verein, wenn man in einem
gegebenen Vereine die ursprünglichen Einheiten (folglich
auch alle Grössen des Vereins) durch ihre resp. Ergän-
zungen ersetzt.

Hiernach entspricht jeder Art von directer Verwandt-
schaft eine Art von reciproker. — Sind nun JB und a zwei
in irgend einer Weise reciprolic Vereine, und ist A der aus
den Ergänzungen von a gebildete Verein, so sind B und A
in derselben Weise äirect verwandt, und A und a stehen in
demjenigen Reciprocitäts-Verhältniss, welches der Identität
entspricht.

Auf diese letzte Art der Reciprocität, und auf eine directe
Verwandtschaft lässt sich also jede Art der Reciprocität zurück-
führen.
186. Sind Cj, e^, e.^ drei Punkte in der Ebene, so sind ihre

Ergänzungen die von je zwei Punkten begrenzten Linien-
theile. Es ist also jeder Eckpunkt eines Dreiecks mit der
gegenüberliegenden Seite reciprok verwandt, d. h. auch mit
der durch diese Seite bestimmten Geraden. Es ist also
auch jeder aus den Eckpunkten abgeleitete Pimkt reciprok
verwandt mit einer aus den Seiten abgeleiteten Geraden, z. B. :

Ein Punkt, der mit den drei
Eckpunkten durch drei gerade
Linien verbunden ist.

Drei durch die Eckpunkte
gezogene Geraden, welche sich
in einem Punkte schneiden.

Eine Gerade, welche die
drei Seiten in drei Punkten
schneidet.

Drei auf den Seiten ange-
nommene Punkte, welche in
einer Geraden liegen.

Wenn insbesondere die drei Geraden, welche das Dreieck
bilden, durch denselben Punkt gehen, d. h. wenn jede Ge-
rade mit dem reciproken Punkte zusammenfällt, so fällt
auch jede abgeleitete Gerade mit dem reciproken Punkte zu-
sammen.

Man kann also überhaupt drei Geraden, welche sich in

153

einem Punkte schneiden, reciprok setzen mit drei auf ihnen
angenommenen Punkten, welche in einer Geraden liegen.

Sind nämlich A und (0 A),
sowie B und {0 B) als reciprok
angenommen , und ist

C=aA-\- ßB,
so folgt:

{OC) = a{OA) + ß{OBy,
d. h. : auch C ist reciprok mit OC.

Hiermit sind nun auch die gegenseitigen Beziehungen
zwischen Punktepaareu und Punktreihen einerseits, Linien-
paaren und Stralenbüscheln andererseits auf den allgemeinen
Begriff der Reciprocität zurückgeführt.

Berichtigungen.

S. 48 soll in Nr. 87 uud 88 die „beliebige feste RicLtiing" nicht v, son-
dern /• heissen.
S. 94 in der Figur ist die Strecke SA mit &, statt mit 6 zu bezeichnen

Schlegel, Syst. d. Kaumlchre.

10^

Verzeichniss der erklärten Ausdrücke.

Nr.

Ableitung 6

— lineare 26

Aehnliclikeit 184

— symmetrische . .184
Aelmlichkeitspuukt . . . .137
Aenderung, lineale 31

— circuläre . . . .153

Affinität 184

Anharmouie 167

Ausdehnung 2

Berührung 96

Bewegung 1

— doppelte .... 41

— einartige . . . . 41

— entgegengesetzte . 3

Centrale 172

Centrum 89

Collinearität 184

Congruenz 184

Coordinaten-Axen 132

— -System . . 128, 132

Cosinus 153

Cotangens ' . . 153

Curve 146

Curvenbüschel 178

Diagonale 45

Doppelabstand . . . . •. .163
Drehung 34

— entgegengesetzte . . 71

Drehungspunkt 34

Dreieck 45

— eingeschriebenes . . 95

Nr.

Dreieck gleichschenkliges . . 91

— rechtwinkliges ... 97

— umschriebenes . . . 105
Dreiecke, ähnliche ..... 137

— congruente . . 107. 137

— ergänzende . . . .112

— symmetr. ähnliche . 99

— symmetrische ... 92

Dreiecksfläche 111

Durchmesser 91

Durchschnittspunkt .... 64

Ebene 33

Ebenenstreifen 39

Ebenenwinkel 64

Eckpunkt 45

Einheit 1. Stufe 8

— 2. Stufe 32

— 3. Stufe 142

Ellipse 150

Entfernung, zwischen Punkten 11

— zwischen Geraden 41

— zwischen Punkt u.

Gerade. ... 41

Ergänzung 32. 142

Flächeneinheit 142

Flächentheil 139

Funktion 164

Gebiet 4. 8

Gebilde 1

— ähnliche 4

— congruente .... 4

— gleiche 3

— 155

Geometrischer Ort . . . .

Gerade

Geraden, harmonische . .

Gestalt

Gleichung des Punktes .
— der Geraden . .

Grenze

Grösse

— einfache

— zusammengesetzte .
Grundsystem

Halbirungslinie desParallelogr.
— des Winkels

Halbirungspunkt

Harmonie

Hauptgebiet

Höhe 94.

Hyperbel

— gleichseitige . . .

Identität. . . .
Inhaltsgleichheit
Involution . . .

Kegelschnitt .
Kreis ....

— -ausschnitt

— -bogen .

— -fläche

— -funktion

— -linie . .

Längeneinheit

Lage

Leitsystem

Linienpaare

— anharmonische

— harmonische.

— iuvolutorische
Linientheil

Mitte, harmonische

Mittel, harmonisches ....
Mittellinie, im Parallelogramm
Mittelpunkt, zw. Punkten 20.

Nr.

144

9

119

4

144

144

3

3

32

32

132

58
83
20
168
143
100
150
150

185
184
171

147
150
102

89
102
165

89

32
5
132
167
168
168
171

29

172
172

58
110

Mittelpunkt im Kreise . . .

— im Stralenbüschel

— im Curvenbüschel
Mittelrichtung, im Winkel . .
Multiplication, äussere . . .

— gemischte . .

— innere . . . .

— planimetrische .

— progressive . .

— regressive . .

— reinj^rogressive

— rein regressive .

Xormalsystem

Numerischer Werth .

32.

Parabel

Parallelität

Parallelogramm

Perspectivität

Pol

Polare

Protection 132,

— normale

— progressive. . . .

— regressive . . . .
Projectivität ..'....

Proportion ■

Proportionale, mittlere . . .

Punkt

Punkte, harmonische . . . .
Punktepaare

— anharmonische .

— harmonische . .

— iuvolutorische

Puuktgrösse

Punktreihe

Quadrat

niueres

32.

Radius . .
Rairte . . .
Rechteck .
Reciprocität
Richtung. .

Nr.

89
175
178

83

29
145

32
144
143
143
145
145

152
152

150

39

45

176

172

172

184

152

175

175

176

137

99

1

119

167

167

168

171

6

175

45
152

89
45
45

185
4

— 156 —

Richtung, entgegengesetzte
— senkrechte . . .

Nr.
11
69

Schiebung 33

Schneidung 64

Secante 96

Sehne 91

Seite 35

Sinus 153

Straleubüschel 175

Strecke 11

System 3

Tangens 153

Tangente 96

Transversale 115

Umhüllung 103

Ver-wandtschaft 181

Viereck, eingeschriebenes . . 93
Vieleck 45

Winkel 65

— (nach Grösse), concaver 70

— convexer 70

— geschlossener .... 67

— gestreckter 68

— rechter 69

— spitzer 70

— stumpfer > 70

— (nach Lage), äusserer . 75

— Centri- 89

— innerer 75

— Perijjherie- 93

— (paar-weise)anstossende 75

— correspondirende . . 74

— Gegen- ...... 74

— Neben- 73

— Scheitel- 73

— verschränkte .... 74

— Wechsel- 74

Zeiger 132

Zweieck 26

SYSTEM

DER

RAUMLEHRE.

NACH DEN PRINZIPIEN

DEK

GRASSMANN'SCHEN AUSDEHNUNGSLEITRE
UND ALS EINLEITUNG IN DIESELBE

DARGESTELLT

YICTOR SCHLEGEL,

OBERLEHKER AM GYMNASIUM ZU WAREN.

ZWEITER THEIL:

DIE ELEMENTE DER MODERNEN GEOMETRIE UND ALGEBRA.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.
1875.

DIE ELEMENTE

DER

MODERNEN GEOMETRIE

UND ALGEBRA.

NACH DEN PRINZIPIEN

DKK

GRASSMANN'SCHEN AÜSDEHNUNGSLEHRE .

MIT BERÜCKSICHTIGUNG VERWANDTER METHODEN

DARGESTELLT

VICTOR SCHLEGEL,

OBERLKHKER AM GYMNASIUM ZU WAREN.

LEIPZIG,

DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNKR.

1875.

V o r r e cl e.

Der vorliegende zweite Theil des „Systems der Raum-
lehre" sollte dem ursprünglichen Plane gemäss die Elemente
der Stereometrie nach denselben Grundsätzen und in der-
selben Darstellungsweise behandeln, wie der erste diejenigen
der Geometrie. — Dieser Theil würde demnach für die Wür-
digung der Grassmann'schen Werke dem ersten gegenüber
wenig neue Gesichtspunkte geboten haben. Da es aber vor
allem darauf ankam, und sich in der seit dem Erscheinen
des 1. Theils verflossenen Zeit als nothwendig herausstellte,
von dem Umfange des Gebietes, welchem die Vortheile der
Grassmann'schen Methoden zu Gute kommen, und von den
Fortschritten, welche diese Methoden auch gegenüber den
neusten Leistungen in der Geometrie repräsentiren, eine Vor-
stellung zu geben, so empfahl es sich für diesen Zweck mehr,
jene Methoden im Zusammenhange mit den Resultaten der
modernen Geometrie und Algebra darzustellen, und hierdurch
gleichzeitig den Wünschen desjenigen Theiles des mathe-
matischen Publicums nachzukommen, welches sich für jenen
Zusammenhang mehr interessirt, als für denjenigen mit den
Elementen des Euclid.

Während nämlich in früheren Jahren nur die durch jene
Methoden gewonnenen neuen Resultate in der Theorie der
höheren Curveu und Flächen allgemeinere Aufmerksamkeit
erregt hatten, ist es neuerdings den warmen und nachdrück-
lichen Empfehlungen von Hankel und Clebsch gelungen,
auch für Grassmann's Hauptwerk, die „Ausdehnungslehre'',
ein sich mehr und mehr steigerndes Interesse zu erwecken*).

*) Einen besonders beachtenswertlien Ausdruck giebt diesem In-
teresse die im 7. Bd. der Math. Annalen, S. 12 befindliche Stelle, welche
das Verhältniss der Forschungen von Grassmann und Möbius zu den
Leistungen der Zeitgenossen berührt,

— VI —

Es lag aber auch ausserdem in der Natur der Sache, dass
das durch die ganze neuere Mathematik sich hindurchziehende
Streben nach Vereinfachung der Methoden von selbst, wenn
auch auf UmAvegen, mit der Zeit auf die Anschauungen
Grassmanns hinführen musste. Und so besteht denn auch
in der That zwischen den Methoden der modernen Geometrie
und Algebra und denjenigen der Ausdehnungslehre äusserlich
eine gewisse Aehnlichkeit*). — Diese Wahrnehmung aber
war es, welche zu dem Wunsche führte — und der erste,
welcher diesen Wunsch aussprach, war noch Clebsch selbst — :
dass das Verhältniss, in welchem die Grassmann'sche Aus-
dehnuugslehre zu den neueren Methoden der analytischen
Geometrie und der modernen Algebra stehe, eine ausführliche
Darlegung erfahren möge.

Indem ich nun diese Aufgabe durch die vorliegende Ar-
beit zu lösen suchte, stellte sich heraus, dass jene letzteren
Methoden, vom Staudpunkte der Ausdehnungslehre behandelt,
eine doppelte Verbesserung erfahren.

Erstens leiden die Methoden der neueren analytischen
Geometrie und noch mehr die der modernen Algebra an dem
Uebelstande einer willkürlich aufgestellten Symbolik,
welche namentlich in der letzteren Wissenschaft dadurch
Verwirrung angerichtet hat, dass verschiedene Autoreu zur
Bezeichnung desselben Gegenstandes verschiedene Ausdrücke
anwendeten. Jedem, sei er Studirender oder Lehrer, wird
hierdurch das Eindringen in den Gegenstand wesentlich er-
schwert. Wer z. B. der Reihe nach die einführenden Arbeiten
von Fiedler, Salmon und Clebsch studirt, wird genöthigt, in
jedem Buche eine neue Symbolik und neue Operationen zu
lernen. Es ist aber auch, abgesehen vom pädagogischen
Interesse, für das Gedeihen der noch jungen Wissenschaft
von hohem Werthe, dass dieselbe möglichst früh das Gewand
einer angemessenen Bezeichnungsweise anlege. Welchen nach-

*) Dass aber diese Aehnlichkeit, oder, wenn man will, Verwandt-
schaft, keineswegs ein Zufall ist, sondern dass eine naturgeraässe
Ausbildung der in der Ausdehnungslehre liegenden Keime auch die
Lehren der modernen Algebra, und zwar in einem Gewände von noch
ungekannter Einfachheit liefert, das wird, wie ich hoffe, aus der Dar-
stelluno: des vorliegenden Buches ersichtlich sein.

— VII —

th eiligen Eiufluss der Maugel einer solchen auf manche Zweige
der Mathematik ausgeübt hat, davon giebt die Geschichte
dieser Wissenschaft die auffallendsten Beispiele. Trotzdem
scheint es fast, als habe die Fülle von Thatsachen, mit wel-
cher uns die neuere Mathematik übei'schüttet hat, das Interesse
an einer zweckmässigen Form allmälig zurücktreten lasseu. —
An die Stelle jeuer willkürlichen Symbolik tritt nun im vor-
liegenden Buche eine aus den Prinzipien der Ausdehnungs-
lehre mit Noth wendigkeit sich ergebende, deren Anwendung
ihren Nutzen sofort darin äussert, dass (ebenso wie im ersten
Theile) aus den Formeln die eutsjDrechenden geometrischen
Beziehungen ohne Mühe abgelesen werden können.

Dieser Vortheil häugt zusammen mit der Beseitigung
eines zweiten Uebelstandes, an welchem die Anwendungen der
Analysis und der modernen Algebra auf die Geometrie leiden.
Dieser beruht in der Verwendung der Coordinaten,
welche nicht nur den geometrischen Gebilden fremd sind,
sondern auch eine oft unerträgliche Weitläuftigkeit der For-
meln im Gefolge haben und deren geometrischen Sinn völlig
verdunkeln. Es ist aber bekanntlich gerade eine Eigen-
thümlichkeit der Grassmann'schen Methoden, dass die geo-
metrisch zu deutenden Formeln keine Coordinaten enthalten,
sondern nur Punkte , Geraden und Curven , deren Beziehungen
durch die Formeln unmittelbar ausgedrückt werden.

Was den behandelten Stoff betrifft, so wurde im Ganzen
das Gebiet der Ebene und in ihr dasjenige der Curven 2. Gra-
des (wie im ]. Theile) nicht überschritten. Eine Ausnahme
war nur nÖthig in der Theorie der Determinanten und der
damit zusammenhängenden Uebersicht über die Eigenschaften
der Functionen. Hier musste die Untersuchung, um mit den
bisherigen Darstellungen Schritt zu halten, allgemein (mit
n Variablen) geführt werden. — Es ist ferner in einer Reihe
von Anmerkungen vergleichenden und erläuternden Inhalts
das Verhältniss der Ausdehnungslehre zur modernen Geometrie
und Algebra ausführlicher erörtert, und eine Anzahl von neuen
Gesichtspunkten, unter denen sich verschiedene Gegenstände
zeigen, begründet worden. Wenn aus dem Mangel solcher
Vergleichungen dem ersten Theil dieses Werkes in den ,, Jahrb.

VIII —

üb. d. Fortsein*, cl. Math." ein Vorwurf gemacht worden ist,
so scheint mir derselbe gegenstandlos, da dieser Theil doch
nur die Lehren der elementaren Geometrie umfasste, welche
bisher bei allen Leistungen auf dem Gebiete der modernen
Geometrie und Algebra in dem Grade leer ausgegangen ist,
dass zwischen der Geometrie der Schule und derjenigen der
Universität eine Kluft besteht, welche allseitig anerkannt und
bedauert, doch bisher nicht ausgefüllt wurde. Wenn aber an
derselben Stelle gesagt wird, der von solchen Vergleichen
abgelöste Vortrag des Grassraann 'sehen Ideenganges muthe
dem Leser zu, Grassmann's Methoden als die absolut vor-
trefflichen zu betrachten , so sehe ich nicht ein , wie der rein
objeetive, von allen Seitenblicken freie Vortrag alter Lehren
in neuem Gewände dem unbefangenen Leser etwas anderes
zumuthet, als zu prüfen, ob das Gewand zu den Lehren auch
passe. Zu Vergleiehungen bot eben der behandelte Stoff gar
keine Veranlassung. Und schliesslich : wird nicht eine solche
Vergleiehung stets zu Gunsten der von einem Verfasser vor-
setragenen Anschauung ausfallen? Welchen Zweck hätte es
wohl, eine Lehre aufzustellen und zu begründen, von der
man selbst im Voraus überzeugt wäre, dass sie durch andre
schon bestehende übertroffen würde? Mit dem Anspruch,
irgend einen Fortschritt, sei es nach Inhalt oder nach Form,
zu repräsentireu, tritt schliesslich jede" wissenschaftliche Publi-
cation auf. Ob aber die Grassmann'sche Ausdehnuugslehre
nur noch dazu da ist, nach einer Vergleiehung mit anderen
Methoden, allenfalls mit dem Bedauern , dass sie nicht früher
ihre Wirkung geäussert habe, ad acta gelegt zu werden, oder
ob sie auch gegenwärtig noch weiterer Ausbildung werth, und
fähig sei, nutzbringend in den Entwickelungsgang der Wissen-
schaft einzugreifen, das ist eine Frage, die sich nicht in drei
Zeilen beantworten lässt, auch nicht auf Grund meiner nur
einführenden Schriften, sondern erst nach gründlichem Stu-
dium der Grassmann'schen Originalwerke, welches anzuregen
der hauptsächliche Zweck der ersteren ist. — Das Eine nur
dürfte aus den bisherigen Anwendungen der Ausdehnungs-
lehre auf die Gebiete des Raumes hervorgehen: dass sie den
kürzesten und bequemsten Zugang zu den Resultaten der
älteren wie der neueren Geometrie und Algebra eröffnet, ein

— IX —

Umstand, welcher für alle diejenigen, welche in diese Gebiete
erst eindringen wollen, beachtenswerth sein dürfte.

Wenn das vorliegende Buch seinen Lesern eine Ueber-
zeugung von diesen Vortheilen verschaffen, und sie zu weite-
rer Hebung der in der „Ausdehnungslehre" ruhenden »Schätze
anregen sollte, dann würde ich den Zweck desselben für er-
reicht halten. In diesem Sinne empfehle ich es der wohl-
wollenden Prüfung des mathematischen Publicums, mit dem
Wunsche, dass die unvermeidlichen Unvollkommenheiten in
der Darstellung, deren Berichtigung ich jederzeit mit Dank
entgegennehmen werde, nicht dem Gegenstande selbst zur
Last gelegt w^erden mögen.

Waren, im September 1875.

V. SchlegeL

1 11 li al t.

Einleitung.

Seite

1. Uebersicht 1

1. Die unbestimmt (unendlich) entfernten Punkte

und Geraden.

2. Ableitung des unendlich fernen Punktes. — 3. Seine Identität
mit der Strecke. — 4. Die unendlich ferne Gerade als Parallelogramm 1

2. Das involutorische System der gleichweit

entfernten Punkte.

5. Der Abstand zweier Geraden. — 6. Der Abstand zweier Punkte

auf der Ki'eislinie und auf der Geraden. — 7. Der Fall des gleichen

Abstandes zwischen den Elementen eines Stralenbüschels und einer

Punktreihe 5

.S. Die Curve als Function eines variablen Punktes.
8. Die Cnrve 1. Grades (gerade Linie). — 9. Die Curve 2. Gra-
des. — 10. Curven beliebigen Grades 13

4. Die Multiplication der Raumgrössen.
11. Allgemeine Form des Productes. — 12. Symmetrische Mul-
tiplicationen. — 13. Circuläre Multiplicationen. — 14. Lineale Mul-
tiplicationeu. — 15. Die vier speciellen Multiplications - Gattungen
der Raumlehre 17

Erste Abtheilung.

Die Kegelschnitte als Resultate einer zusammen-
gesetzten Betoegung.

16. Uebersicht 27

1. Bewegungsgesetz Vi -]- r2 = r. — Die Ellipse.

17. Axen. Mittelpunkt. Brennpunkte. — 18. Tangente. — 19. Die
Tangenten aus einem Punkte. — 20. Hilfssätze. Anwendung der
inneren Multiplication. Directrix. Parameter. — 21. Specielle Sätze.
Polargleichung. Excentricität. — 22. Das umschriebene Parallelo-
gramm. Conjugirte Durchmesser 29

2. Bewegungsgesetz Ti — r.i = r. — Die Hyj)erbel.
23. Axen. Unendlich ferne Punkte. — 24. Mittelpunkt. Brenn-
punkte. — 25. Tangente und Asymptote. — 26. Die Tangenten aus
einem Punkte. Asymptotenwinkel. — 27. Anwendung der inneren
Multiplication. Directrix. Parameter. — 28. Specielle Sätze. Polar-
gleichung. Excentricität. — 29. Das umschriebene Parallelogramm.
Conjugirte Durchmesser 41

3. Bewegungsgesetz 1\ + jv = oo. — Die Parabel.
30. Axe. Unendlich ferner Punkt. Mittel2Dunkt. Brennpunkt. —

31. Tangente. — 32. Die Tangenten aus einem Punkte. Directrix.
Parameter. — 33. Specielle Sätze. Polargleichung 53

— XI —

Zweite A b t h e i 1 u n g.
Die Projecti vität von Punkten und Linien.

Seite

34. Uebersicht 59

1. Ilalbiruugspunktc und Halbiruugslinien.

35. Sätze über die Transversalen und die Halbiruögslinieu der
Winkel eines Dreiecks 60

2. Harmonische Punktreiben und Stralenbüschel.

36. Sätze über harmonische Punktreihen und Stralenbüschel . 62

3. Involutorische Punktreihen und Stralenbüschel.
37 Centrum und Brennpunkte der Involution. — 38. Sätze über

involutorische Punktreihen und Stralenbüschel 65

4. Involutorische Punkt- und Geraden -Vereine.
39. Definition und Sätze von involutorischen Punkt- und Ge-
raden-Vereinen. — 40. Sätze vom Sechseck und Sechsseit ... 69

5. Projectivische Punktreihen und Stralenbüschel.
41. Darstellung der Verwandtschafts-Beziehungen durch den Be-
griff des Quotienten im Gebiete der Geraden. — 42. Desgl. im Ge-
biete der Ebene. — 43. Specielle Verwandtschaften: Affinität,
Aehnlichkeit, Inhaltsgleichheit, Congruenz. — 44. Begriff der pro-
jectivischen Punktreihen und Stralenbüschel. Gleichungen der
Projectivität. — 45. Verschiedene projectivische Punktreihen und
Stralenbüschel. Perspectivität 75

6. Projectivische Punkt- und Geraden-Vereine.
46. Begriff der projecti vischen Punkt- und Geraden -Vereine.
Gleichungen der Projectivität. — 47. Involution als specieller Fall
der Projectivität. Aoquianharmonische Gebilde . 85

7. Das Pascal'sche Sechsseit und das Brianchon'sche

Sechseck.
48. Definition des Pascal'schen Sechsseits und des Briauchon'-
schen Sechsecks. Der Brianchon'sche Punkt und die Pascal'sche
Linie. Sätze. — 49. Weitere Sätze. Die Hesse'schen Geraden und
die Steiner'schen Punkte. — 50. Die 15 Schnittpunkte der Seiten
des Brianchon'schen Sechsecks. Die 60 Sechsecke der Seitenlinien
des Brianchon'schen Sechsecks. — 51. Die Hesse'schen Geraden
und Steiner'schen Punkte der 60 Sechsecke und Sechsseite. Die
Hesse'schen Punkte und Steiner'schen Geraden 90

Dritte Abtheilung.
Die Lehre von den zusammengesetzten Grössen.

52. Uebersicht 104

I. Der Kreis.

1. Die aus zioei KvQisQ-a ableitbare Reihe von Kreisen.

53. Der Kreis imd sein Mitteljiunkt. Punkt und Gerade als
Epecieller Fall des Kreises. Potenzlinie. Sätze vom Doppelabstand
und der Tangente. — 54. Das System der durch 2 Punkte gehen-
den Kreise. Orthogonalkreis. Imaginäre Schnittpunkte. Central-
punkte. — 55. Harmonische Pole und Polaren des Systems. —

56. Aehnlichkeitspunkte, Homologe Punkte und Secanteu . . . 105

— XII —

2. Der aus drei Kreisen ableitbare Verein von Kreisen.

Seite

57. Das System der Kreise. Potenzpunkt. Ortliogonalkreis.
Aehulichkeitspunkte und Aehnlichkeitsaxen. — 58. Specielle Sätze
über Kreise, welche sich berühren. Aehnlichkeitspolaren. Apollo-
nisches Problem 117

II. Detei'miiiauteii.

1. Definition und allgemeine Eigenschaften der
Determinante.
59. Begriff und Eigenschaften der Determinante. — 60. Sätze"
über die Determinante 121

2. Beziehungen zwischen mehreren Determinanten.

61. Das Multiplicationstheorem. Erster (neuer) Beweis. — 62.
Zweiter Beweis. Transformation einer Determinante. — 63. Ortho-
gonale Substitution. — 61. Dritter Beweis des Multiplications-
theorems. Symmetrische und congrnente Determinanten. Alter-
nirende Function 126

3. Unterdeterminanten.
65. Begriff der Unterdeterminante. Adjungirtes System. Reci-
proke Determinante. — 66. Eigenschaften der Reciprokal- Deter-
minante 135

4. Anwendungen auf die Theorie der Gleichungen.

67. Auflösung eines Systems von n linearen Gleichungen mit

11 Unbekannten. Erste Methode. Zweite Methode 138

68. Bestimmung der Resultante eines Systems von n homogenen
linearen Gleichungen mit n Unbekannten 140

69. Elimination einer Unbekannten aus 2 beliebigen Gleichungen
mit 2 Unbekannten, a) Sylvester's Methode. Elimination a) mit-
telst äusserer, ß) mittelst innerer Multiplication. — 70. Sätze über
die Resultante. — 71. b) Modification der Bezoid-Cayley' scheu
Methode 140

72. Die Functionaldeterininante eines Systems von _/; beliebigen
Gleichungen mit j) Variablen. Ihre Darstellung als Potenzwerth
eines Quotienten. — 73. Sätze über die Fuuctionaldeterminante . 145

74. Die Hesse'sclie Determinante einer homogenen Function
n. Grades von jj Variablen. Ihre Bezeichnung als Function. —
75. Sätze über die Hesse'sclie Determinante. — 76. Die Hesse'sche
Determinante von p homogenen Functionen n. Grades von ji Va-
riablen 150

III. Die räumlicheu Fimctioncn.

1. Allgemeine Eigenschaften und Beziehungen.

77. Verallgemeinerung der die Hesse'sche Determinante dar-
stellenden Formen 156

78. Uebersicht der in der aufgestellten allgemeinen Form ent-
haltenen speciellen Bildungen. Covarianten. Lineare Coordinaten-
Transforraation. — .79. Invarianten. — 80. Concomitanten. Trans-
formation durch reciproke Substitution. — 81. Geometrische Be-
deutung der Variableu ^ einer Function. — 82. Contravarianten . 158

83. Bildung der abgeleiteten Functionen. Erste Methode. All-
gemeine Regeln. — 84. Zweite Methode. Ueberschiebuugen. —
85. Dritte Methode. Theile der Ueberschiebung. — 86. Vierte Me-
thode. Reduction von Ueberschiebungen complicirter Formen auf
solche niederer Formen 16S

— xni —

Seite

87. Reduction einer Form auf Stammformen. Fall der durch
Coordiiuiten ausgedrückten Function. — 88. Fall iler hinärcii Form.

— 89. Fall der teriüiren Form 17-2

2. Betrachtung der einzelnen räumlichen Functionen.

A. Gebiet der Geraden. Functionen 2. Stufe. (Binäre Formen.)

a) Die Function 2. Grades. (Quadratische Form.)
a.) Eine Function.
90. Allgemeiue und canonische Formen der Function. Harmo-
nisches Centrum 1. Ordnung. — 91. Covarianten. Die Hesse'sche
Determinante. — 92. Reduction auf die Stammformen .... 179

ß) Zioei Functionen.
93. Covarianten: 1) Die Hesse'sche Determinante. 2)DieFunctions-
determinante. — 94. Reduction auf die Stammformen. — 95. Die
Hesse'sche Determinante der Functionsdeterminante 184

y) Drei Functionen.
9i>. Die gemeinsame Covariante der drei Functionen. — 97. Re-
duction auf die Stammformen 188

8) Vier und mehr Functionen.

98. Das Formensystem von n binären quadratischen Formen . 191

h) Die Function 3. Grades. (Cubische Form.)
a) Eine Function.

99. Allgemeine und canonische Formen der Function. Har-
monisches Centrum 1. und 2. Ordnung. — 100. Covarianten. Ueber-
sicht. Die Hesse'sche Determinante. — 101. Weitere Covarianten.

— 102. Reduction auf die Stammformen 192

ß) Zivei Functionen.
103. Uehersicht der Covarianten. — 104. Reduction auf die
Stammformen 202

c) Die Function 4. Grades. (Biquadratische Form.)
105. Allgemeine und canonische Formen der Function. Har-
monisches Centrum 1. und 3. Ordnung. — 106. Covarianten. Ueber-
sicht. Die Hesse'sche Determinante. — 107. Weitere Covarianten.

— 108. Reduction auf die Stammformen. — 109. Zwei abhängige
Formen. — 110. Discriminauten. — 111. Formensystem der Functio-
nen 5. und 6. Gradea 204

d) Beziehungen zwischen den Covarianten einer oder mehrerer
Functionen n. Grades.

112. Allgemeine Methode. Beispiele 217

B. Gebiet der Ebene. Functionen 3. Stufe. (Ternäre Formen.)

Die Function 2. Grades. (Quadratische Form.)
a) Eine Function.

113. Allgemeine Form und geometrische Bedeutung der Function.

— 114. Canonische Formen. — 115. Sätze über Pol und Polare. —
116. Fortsetzung. — 117. Covarianten. Die Hesse'sche Determinante.

— 118. Die Discriminante. — 119. Die unendlich fernen Gebilde
der Doppelgeraden und des Doppelpunktes. — 120. Reciproke
Sätze von den Seiten und Höhen eines Dreiecks. — 121. Contra-
variavten. Reciprokalcurve. — 122. Reduction auf die Stammformen 220

— XIV —

Seite
ß) Zivei Functionen,

123. Covarianten. — 124. Contravarianten 240

y) Drei Functionen.

125. Covarianten. 1) Die gemeinsame Invariante. Schnittpunkte
und gemeinsame Tangenten zweier Kegelschnitte. Kegelschnitt-
biischel und Kegelschnittreihe 242

126. Die Function y = lu -{- iiß. Die Hesse'sche Determinante
von y. Berührung zweier Kegelschnitte. Die Contravariante von y.
— 127. Specielle Fälle der Function y. a) Concentrische Kegel-
schnitte. Asymptoten. — 1j8. b) Confocale Kegelschnitte. Brenn-
punkte 244

129. 2) Die gemeinsame Covariante. — 130. Contravarianten . 249

Die Massheziehungen in der Ebene.
131. Der Neigungswinkel zweier Geraden, einer Geraden und
einer Ebene, zweier Ebenen. — 132. Der Abstand zweier Punkte,
eines Punktes und eines grössten Kugelkreises, zweier grösster
Kugelkreise auf der Kugelfläche. — 133. Der Abstand zweier Punkte,
eines Punktes und einer Geraden, zweier Geraden in der Ebene. 250

Anmerkungen allgemeinen und vergleichenden
Inhalts.

1. Ueber den unendlich fernen Punkt 3

2. Ueber den analytischen Ursprung der metrischen Relationen . 10

3. Ueber die Bezeichnungen ax"^ und a^ 17. 171

4. Ueber die Multiplication der Raumgrössen 27

5. Ueber coujugirte Durchmesser 41

6. Einfügung der in diesem Buche behandelten Gegenstände in

das „System der Raumlehre" 59

7. Ueber die Verallgemeinerung des Begriffes ,, Quotient" ... 76

8. Ueber die geometrische Bedeutung der imaginären Wurzeln
einer Gleichung 83

9. Vergleichung der verschiedenen Methoden zur Untersuchung
projectivischer Beziehungen 102

10. Ueber imaginäre Schnittpunkte von Kreisen 111

11. Ueber die Bedeutung des Systems der ursprünglichen Einheiten

für die Determinantentheorie 12G

12. Ueber die Methoden zur Auflösung eines Systems linearer
Gleichungen 138

13. Ueber die Reduction eines Systems von Functionen mehrerer
numerischer Variablen auf eine Function einer extensiven Va-
riablen 149

14. Ueber das Verhältniss der Ausdehnungslehre zur Methode der
modernen Algebra 172

15. Ueber einen Fundamentalsatz der moderneu Algebra . . . 177

16. Ueber ,, unendlich ferne imaginäre Schnittpunkte" 233

17. Ueber die Bedeutung imendlich ferner Gebilde für die Theorie

der ßeciprocität 235

Verzeichniss der erklärten Ausdrücke 258

Berichtigungen und Zusätze zum ersten Theil dieses Werkes . . xv

Berichtigungen und Zusätze
zum ersten Theile dieses Werkes.

' S. 12, Z. 2 mnss der Nenner des Bruches n statt 2 heissen.

S. 15, Z. 25 hinter ,, folgt" ist hinzuzufügen: ,,da das Product zweier
identischen Punkte stets einen Linientheil von der Grösse Null liefert."

S. 38, vor Nr. 70 ist einzuschalten: „Anm. Bei der Betrachtung
einer Strecke {A — JB) konnten wir von der Bewegung (Schiebung eines
Punktes) , durch welche die Strecke entstanden war, absehen , weil die
zwischen den Punktdifferenzen geltenden Formeln gleichzeitig Be-
ziehungen zwischen Strecken, und zwischen Schiebungen ausdrückten,
so zwar, dass wir in den Sätzen nur den Ausdruck „Strecke" durch
,, Schiebung" zu ersetzen brauchen. — Dagegen drängt bei Betrachtung
des Winkels die Definition zu einer Unterscheidung zwischen „Winkel"
und ,, Drehung", so zwar, dass die Potenz i"' die Drehun'g, dagegen der
Exponent n den Winkel repräsentirt. Da nun die Verbindungen der
Exponenten um eine Rechnungsstufe tiefer stehen, als diejenigen der
Potenzen, so wird jeder Satz, der eine doppelte Formulirung (zwischen
den Potenzen oder den Exponenten) zulässt, auch einen doppelten
Wortausdruck gestatten, jenachdem man den Begriff der Drehung,
oder den des Winkels anwendet."

S. 38, Z. 22; S. 39, Z. 3; S. 40, Nr. 73, Z. 4; S. 43, Z. 1 ; S. 44, Nr. 80,
Z.2; S,46, Z. 4u. 8; S.48, Nr. 87 ist statt ,, Winkel" zu setzen: „Drehung".

S. 39, Z, 2 von unten ist statt „Drehungen" und „einer Umdrehung"
resp. zu lesen: ,, Winkel" und „einem geschlossenen".

S. 43, Z.2 ist statt „das Product" zu lesen: ,, die Summe", und auf
derselben Seite in Nr. 76 statt „der Quotient": „die Differenz".^

S. 44, Z.2 ist statt „Drehung" zu setzen: ,, Sinne", und Z. 4 hinzu-
zufügen: ,,die zugehörigen Winkel dagegen wie positive und negative
Zahlen".

S. 44 ist statt der letzten 6 Zeilen zu setzen: „Anm. Die getheilte
Darstellung: einer Drehung als Quotient zweier Geraden, und eines
Winlceh als Vielfaches des als Einheit genommenen rechten Winkels,
der im Exponenten von i erscheint, hat zur Folge (wie schon oben
angedeutet), dass entweder die Vereinigung von Drehungen durch die
zweite, oder die von Winkeln durch die erste Rechnungsstufe aus-

— XVI —

geführt werden kanu, jenacliclem die eine oder die andere Betraclitungs-
weise gewählt wird. In der vorstehenden Darstellung laufen" . . .

S. 45, Z.6 ist i^ wegzulassen, S.49, Z. 4 v. unten, S. 50, Z. 20 u. 21
ist i'" und i" resi^. durch m vind n zu ersetzen.

S. 47, Z. 3 ist statt ,,(6 : a,)" zu setzen: ,,der beiden Geraden".

S. 94, in der Figur ist die Strecke SA statt durch h zu bezeichnen
durch &!•

S. 106 kann aus der in Z. 6 stehenden Formel unmittelbar der Satz
abgelesen werden: Jedes einem Kegelschnitte eingeschriebene Sechseck
ist ein Fascal'sches. Desgl. die Umkehrung und die reciproken Sätze.

S. 108 ist der vor Nr. 149 stehende Satz zu streichen.

S. 135. Das den Schluss der Nr. 169 bildende, mit den Worten:
, .Vertauscht man" etc. eingeleitete Verfahren ist dadurch zu ersetzen,
dass man ebenso wie in Nr. 168 statt der Punktdilferenzen die Sinus
der Winkel einführt. Den Grund s. in der Anni. auf S. 60 des vor-
liegenden Buches.

Einleitung.

Während im „System der Raumlehre" sieh im Allgemei-1.
nen das Gesetz zeigte, dass jedes neue Gebilde ein vorher
betrachtetes als speciellen Fall in sich schloss, so traten an
zwei Stellen Paare von Gebilden mit scheinbar gleichberech-
tigter Existenz auf. — Erstens erschienen Punkt und Strecke
(Nr. 26) als gleichberechtigte Gebilde 1. Grades , beide dar-
gestellt durch die Form a == «^e^ -f" ^2^2' — Zweitens er-
schienen Linieneinheit (Nr. 32) und Flächeneinheit (Nr. 152)
als gleichberechtigte Grössen 2. Stufe, beide dargestellt durch

(61^2) = 1.

Es ist zunächst das zwischen diesen Grössenpaaren be-
stehende Verhältniss der Unterordnung nachzuweisen. Sodann
ist noch eine dritte, in der „Raumlehre" gebliebene Lücke
auszufüllen, nämlich der Fortschritt darzulegen, welcher von
der Darstellung der Curven durch gleich Null gesetzte plani-
metrische Producte (Nr. 146) zu derjenigen durch gleich Null
gesetzte Funktionen (Nr. 164) stattfindet. Endlich ist der
systematische Zusammenhang der verschiedenen in der Raum-
lehre gebräuchlichen Multiplicationen darzulegen (Nr. 166).

1. Die unbestimmt (unendlich) entfernten Punkte und
Geraden.

Die Grösse a = a^e^ -{- cc^e^ bedeutete einen Punkt mit 2.
dem Coefficienten («^ -|- ^^2) j sobald cc^-\- a^^O war; dagegen
das «j-fache der Strecke (e, — Cj); sobald «, -\- a.^=0 war
(„Raumlehre" Nr. 26). — Im letzteren Falle kann jedoch die
Grösse a ebensowohl als Punkt mit dem Coefficienten 0 be-
trachtet werden, und es fragt sich nur noch, welche Bedeu-
tung eine solche Punktgrösse hat.

Schlegel, Elemente. 1

Sei zur Vereinfachung

o:, = — o:, = 1,
und Ä der einfache Punkt, sodass allgemein

(o:, -{- a.^) A = a-,
dann erhält man:

und da

ist, so folgt:

oder:

oder:

O.Ä = {e^ — e,),

O.A = 0 = -\-A — Ä

-\- A — A = e^ — 63

(^t- A) = {e^ — ^),

^ A

1.

€2 — A

Hiernach müssten die Entfernungen des Punktes A von
den Punkten e^ und e^ gleich gross und gleich gerichtet sein.
Dieser Umstand kann niemals genau eintreten. Entfernt sich
aber A von den beiden Punkten e, und e, ii^s Unendliche,

so nähert sich auch das Verhältniss — -. der Einheit als

e^ — A

Grenze. Denn schreibt man die letzte Gleichung:
«1 — «2 + «2 — _^ _ 1

e^ — A
oder:

e^-A^^
so sieht man, dass der Unterschied der beiden Seiten sich
mit wachsendem {e^ — A) der Null nähert.

Dasselbe findet auch statt, wenn der Punkt A fest bleibt,
dagegen e, an den ebenfalls festen Punkt e^ heranrückt.

Im ersten Falle, wo e, — e^ eine endliche Strecke ist,
die wir durch £ bezeichnen und als Masseinheit betrachten
können , ist es nicht möglich , die Strecke e.^ — A durch s zu
messen. Der nicht existirende, aber in unbestimmter Ent-
fernung denkbare Punkt A heisst daher der unbestimmt («m-
endlich) entfernte PunM der Geraden, und es ist für ihn

ez — A 00 ,

wo cx) die ebenfalls nicht existirende, aber in unbestimmter

- 3 —

Entfernung denkbare Grenze für das Wachstbum einer Zabl
bedeutet.

Im zweiten Falle verschwindet die Masseinheit selbst;
mithin ist es ebensowenig, wie vorher, möglich, die Strecke
6-2 — Ä durch s zu messen. Der Punkt Ä ist daher, obwohl
in endlicher Entfernung existirend , wiederum nicht bestimm-
bar, indem jeder Punkt der Geraden der Gleichung genügt:

e^ — A a

Ci — e, ^ '
wo a die Strecke c, — Ä bedeutet.

Man kann hiernach jede Strecke einer Geraden als un-3.
endlich entfernten Punkt betrachten, und zwar diejenige
Strecke, welche gleich der Masseinheit ist, als unendlich
fernen Punkt mit dem Coefficienten 1; jede andere Strecke
aber als unendlich fernen Punkt mit irgend einem anderen
Coefficienten, — Umgekehrt lässt sich der unendlich entfernte
Punkt stets durch eine Strecke vertreten, nachdem erwiesen
ist, dass beide Ausdrücke nur verschiedene Formen für den-
selben Begriff sind (nämlich den Begriff einer mit dem Coeffi-
cienten 0 versehenen Grösse 1. Grades).

Demnach haben zwei Linientheile (Grössen 2. Grades) in
der Ebene stets eine Grösse 1. Grades (einen Punkt) gemein-
sam. Es giebt nämlich stets zwei gleiche Grössen 1. Grades,
von denen die eine in dem ersten, die andere in dem zweiten
Liuientheil liegt. Sind diese gleichen Grössen endliche Punkte,
so müssen sie, um gleich zu sein, zusammenfallen („Raum-
lehre'' Nr. 27. Anm.); d. h. die (sich schneidenden) Linien-
theile haben einen endlichen Punkt gemeinsam. Sind die
gleichen Grössen unendlich entfernte Punkte, d. h.. Strecken,
so müssen sie, um gleich zu sein, in parallelen Linien liegen;
d. h. die (parallelen) Linientheile haben einen unendlich ent-
fernten Punkt (eine Strecke) gemeinsam.

Anmerkung. Die beiden gleichbedeutenden Ausdrücke „Strecke"
und „unendlich ferner Punkt" haben jeder seinen besonderen Vorzug.
— Der erste entspricht unserer Anschauung, nöthigt uns aber zu einer
doppelten Ausdrucksform für manche, von Grössen I.Grades allgemein
geltende Sätze. — Der zweite ermöglicht es, Grössen vom 1. Grade
ohne unterschied als Punkte zu bezeichnen, entzieht sich aber jeder
Anschauung. — Daher findet df;r zweite seine Erklärung durch den
ersten, und ist nur als ein, freilich oft unentbehrlicher, Stellvertreter

1*

desselben anzusehen. — Der hier entwickelte Zusammenhang zwischen
Strecke und Punkt findet sich ähnlich schon bei Grassmann , Ausd.-
Lehre. IL 228.

Ebenso, wie die Strecke als specieller Fall des Punktes,
erscheint nun aucli die Schiebung als ein specieller Fall der
Drehung. Denn wie die Drehung einer Geraden um einen
endlichen Punkt eine neue Gerade erzeugte, welche mit der
vorigen diesen endlichen Punkt gemeinsam hatte, so liefert
die Drehung der Geraden um ihren unendlich fernen Punkt
eine neue Gerade, welche diesen unendlich fernen Punkt mit
ihr gemeinsam hat, also ihr parallel ist. Es kann daher die
Schiebung der Geraden als Drehung um ihren unendlich fer-
nen Punkt bezeichnet werden, und die Grösse dieser Drehung
wird dargestellt durch die Grösse der Schiebung.
4. Eine ganz analoge Untersuchung lässt sich nun über
,,Linientheil" und „Parallelogramm" anstellen.

Die Grösse a =^ a^e^ -{- (x.^e2, worin gj und e^ zwei gleich
lange und gleich gerichtete Linientheile sind, stellt (nach
„Raumlehre" Nr. 129) einen Linientheil oder ein Parallelo-
gramm dar, je nachdem a^ -\- a.^ ungleich oder gleich Null.
Das Parallelogramm kann hiernach als Linientheil mit dem
Coefficienten Null betrachtet werden. Es führt dann die
wörtliche Wiederholung der oben angestellten Rechnungen
zu dem Resultat, dass ein Linientheil mit dem Coefficienten
Null ein unendlioli entfernter Linientheil ist. Bezieht sich diese
Entfernung auf einen anderen Linientheil, so hat der unend-
lich entfernte gleiche Richtung mit diesem; bezieht sie sich
dagegen auf einen Punkt, so ist die Richtung des unendlich
entfernten Linientheils unbestimmt, und man kann ihn als
irgend eine der Tangenten des aus dem gegebenen Punkte
mit unendlich grossem Radius beschriebenen Kreises sich
vorstellen.

Jedes Parallelogramm kann demnach als unendlich ent-
fernter Linientheil mit gleichem Coefficienten betrachtet wer-^
den, und umgekehrt.

Demnach haben zwei Flächentheile (d. h. Ebenenstücke]
oder Grössen 3. Grades) im Raum stets eine Grösse 2. Grades
(einen Linientheil) gemeinsam. Es giebt nämlich stets 2j
gleiche Grössen 2. Grades, von denen die eine in dem ersten,]

— o —

die andre in dem zweiten Flächenstüeke liegt. Sind diese
gleichen Grössen endlich entfernte Linientheile, so müssen
sie, um gleich zu sein, in derselben Geraden liegen („Raum-
lehre'' Nr. 30); d. h. die (sich schneidenden) Flächentheile
haben eine Gerade gemeinsam. Sind die gleichen Grössen
unendlich entfernte Linientheile, d. h. Parallelogramme, so
müssen sie, um gleich zu sein, in parallelen Ebenen liegen
(„Raumlehre" Nr. 140); d. h. die (parallelen) Ebenen, haben
eine unendlich ferne Gerade gemeinsam. — Endlich kann
noch die Schiebung einer Ebene als Drehung um ihre unend-
lich ferne Gerade betrachtet werden.

2. Das involutorische System der gleiehweit entfernten
Pimkte.

Wenn, wie wir soeben gefunden haben, die Schiebung 5.
ein specieller Fall der Drehung ist, so kann man auch die
gerade Linie als einen speciellen Fall der Kreislinie betrach-
ten, nämlich als eine Kreislinie, deren Mittelpunkt in unend-
liche Ferne gerückt ist. Dies folgt daraus, dass der End-
punkt einer sich schiebenden Strecke eine Gerade, derjenige
einer sich drehenden Strecke eine Kreislinie beschreibt.

In diesem Falle ist nun auch eine Strecke auf einer Ge-
raden der specielle Fall eines Kreisbogens, und es muss der
Ausdruck der Strecke durch ihre Endpunkte in dem Ausdruck
des Kreisbogens enthalten sein. Dieser Zusammenhang ist
zunächst darzulegen.

Es seien e^ und e., zwei auf einander senkrechte Radien
eines Kreises, und (e^e.^) = 1-

Ferner seien x und y zwei andre beliebige, vom Mittel-
punkte des Kreises ausgehende Strecken, und

AVenn dann O' der Winkel zwischen x und y ist, so hat
man („Raumlehre" Nr. 154) folgende Beziehungen:

ixy) = (A,/*2 — ^2f*i) (^1^2);

(A,^i + X.,ii,) = yQrj^h:' . V^ijn^ • cos ^;

— 6 —
mithin :

Da nun der Richtungsunterschied der Strecken x und y
gleich d- ist, wobei d- nicht nur den Winkel sondern auch
den zugehörigen Bogen der Kreislinie bedeuten kann , so ist,
wenn man den Winkel, dessen Sinus m ist, mit arc. sin. m
(arcus sinus m) bezeichnet, und die entsprechende Bezeich-
nung arc. cos. u anwendet, dieser Richtungsunterschied aus-
gedrückt durch

Q' = arc. sin.

= arc. cos.

Betrachten wir nun die Strecke y als constant, x als
variabel, so repräsentirt die Gleichung

(2) A^fto ~ •^2i"i = Ö

eine Strecke, welche mit y zusammenfällt, da sin d' = 0 ist.
Und die Gleichung

(3) Aj |it, -}- Ao fio = ^

stellt eine Strecke vor, welche auf y senkrecht steht, da
cos -O* = 0 ist.

Löst man endlich eine der Gleichungen für sin & und

cos 'O' nach -T^ auf, so hat dieselbe, als gemischt quadratische

"2

Gleichung, zwei Wurzeln,
^ ^ und stellt daher zwei
Strecken dar, welche von
y um den Winkel O' ab-
weichen. Der Winkel die-
ser beiden Strecken wird
also durch y halbirt, folg-
^^' ' lieh auch ihr Nebenwinkel

durch die auf y senkrechte Strecke. Daher sind die beiden,
durch eine der Gleichungen (1) dargestellten Strecken har-
monisch mit den durch (2) und (3) dargestellten.

Und lässt man in einer der Gleichungen 1) den Winkel
d- sieh ändern, so stellt diese Gleichung alle mit 2) und 3)
harmonischeu Liuienpaare dar, d. h, das ganze System von
involutorischen Paaren, dessen Doppelstralen (2) und (3) sind.

Bis jetzt war nur die Richtung einer Strecke bestimmt,

nicht aber ihre absolute Länge (gemessen durch e^ oder gj)-

Das letztere geschieht, indem noch zwischen Aj und Aj eine

Gleichung aufgestellt wird. Man hat dann zur Bestimmung

von /Ij uud A., erstens diese Gleichung, und zweitens den

aus den Gleichungen (1) resp. (2) oder (3) gezogenen Werth

^1
von — •

Es sei zunächst

A,2 4- x,^

1; f^i^ + ^2^=i-

Dann liegen die Endpunkte aller Strecken auf der Peripherie
des gegebenen Kreises, und d- ist nicht nur (als Winkel be-
trachtet) der Richtungsunterschied der Strecken x und y, son-
dern auch (als Bogen betrachtet) die Entfernung ihrer End-
punkte auf der Kreislinie.

Wenn nun der Mittelpunkt des Kreises auf der Strecke
(2) in unendliche Ferne rückt, während der andere Endpunkt
dieser Strecke fest bleibt, so geht die Kreislinie über in eine
Gerade, die auf (2) in deren Endpunkte senkrecht steht.
Sämmtliche, bisher durch den Mittelpunkt des Kreises gehende
Geraden stehen jetzt auf dieser Geraden in verschiedeneu
Punkten senkrecht, und alle zwischen diesen Geraden be-
stehenden Gleichmigeu gelten auch (nach ,,Rauml.^' Nr. 132)
zwischen ihren Fusspunkten auf der aus dem Kreise ent-

(1) ei (2)

1)

Fig. 2.

standenen Geraden. Die Gerade (3) rückt, von (2) aus ge-
rechnet, in unendliche Ferne, dasselbe thut also auch ihr
Fusspunkt.

Wählen wir nun für alle Fusspunkte dieselbe Bezeichnung,

— 8 —

wie für die durch sie gehenden Geraden, so bezeichnen jetzt
die Gleichungen

a; = A,e, + L,e., ; y = ju-, t'\ + jtt..,«.^
zwei Punkte x und «/; welche aus zwei anderen Punkten e^
und 62 vermittelst der Zahlen AiAof^ifttj abgeleitet sind. Dem-
nach erscheint die Ableitung eines Punktes aus zwei Punkten
auf einer Geraden als specieller Fall der Ableitung einer
Strecke aus zwei zu einander senkrechten Strecken.

Die Gleichung (2) stellt jetzt einen Punkt vor, der mit
y zusammenfällt; die Gleichung (3) lautet, wenn man von
vornherein e^ und e^ so annimmt, dass der Winkel dieser
Strecken durch (2) halbirt wird, dass also fij = /Hj i^^'

Aj + A, ==. 0.
Sie stellt daher eine Strecke oder den unendlich entfernten
Punkt der Geraden vor, wie schon vorhin gefunden. Beide
Punkte, (2) und (3), sind die Doppelpunkte der Involution,
deren Paare durch eine der Gleichungen (1) bestimmt werden.

Um diese letzteren Gleichungen, welche für die Invo-
lution von Linien galten, so zu transformiren, dass sie für
diejenige von Punkten gelten, erinnern wir uns („Rauml."
Nr. 168), dass das anharmonische Verhältniss zwischen vier
Geraden «, &, c, ä, mit den resp. numerischen Werthen a, ß,
y, d, dm'ch die Gleichung bestimmt wurde:

cc . ß . sin (ha) a . S . sin (da)

ß . y . sin (h c) y . ^ . sin (d cj '

während die entsprechende Gleichung zwischen den Durch-
schnittspunkten dieser Geraden Ä, B, C, D lautete:

Man hat also, um von der einen Relation den Uebergang
zur andern zu machen, nur jedesmal das Product der nume-
rischen Werthe zweier Strecken und des Sinus ihres Zwischen-
winkels mit dem äusseren Product ihrer Fusspunkte zu ver-
tauschen. Ersetzt man hiernach iu der ersten der Gleichungen
(1) das Product j/l{- -{- A./- . |/,a,- -|- ^i.,'- . sin ^ durch (xi/),
so lautet diese Gleichung nun

(xy) = A, )u._, — X.^ß^ ;
dieselbe giebt die Entfernung der beiden Punkte x und y an.

9 -

ebenso, wie obeu der allgemeinere Ausdruck für ■9' den Ricli-
tungsunterschied der beiden Geraden x und y bezeichnete.
Hierdurch ist nun die Entfernung zweier Punkte auf einer
Geraden als specieller Fall des Richtungsunterschiedes zweier
Geraden in einer Ebene nachgewiesen.

Denkt man sich, noch einmal zur Kreislinie zurück- 7.
kehrend, verschiedene Linienpaare, aa^hh^..., welche alle
zu den Doppellinien
(w und p) der Involu-
tion harmonisch sind,
so ist m die Mittel-
richtung für jedes die-
ser Paare. Wenn dann
die Winkel der succes-
siven Stralen m, a, h, c
. . . alle gleich ■O' sind,
und das Verhältniss des
Winkels {m})) zu d- eine ganze Zahl k ist, so ist jedes Stralen-
paar, dessen Winkel kd- ist, ein Doppelpaar der Involution
für die übrigen Stralen. Der Winkel Jcd- oder {tnp) (der rechte
Winkel) ist nun die Masseinheit für die Richtungsunterschiede
zweier beliebiger Geraden, und der ihm entsprechende Bogen
(der Quadrant) die Masseinheit für die Entfernung zweier be-
liebiger Punkte auf der Kreislinie.

Geht nun die Kreislinie in eine Gerade über, so ist M
der Mittelpunkt für alle Paare ÄÄ^ BB^ . . . , die Entfernungen
der successiven Punkte M, A, B, C . . . sind einander gleich,
und M und der in unendliche Ferne gerückte Punkt P sind
die Doppelpunkte der Involution für alle jene Paare. Aber
auch jeder andere Punkt des Systems

C B Ä M At Bt Cj

I I I I I I I I I

bildet mit P zusammen ein Paar von Doppelpunkten, sodass
in diesem Falle eine Masseinheit für die Entfernung zweier
Pimkte nicht gegeben ist, sondern willkürlich angenommen
werden kann.

Es lässt sich hiernach überall auf einer Geraden die
Gleichheit zweier (anstossender) Strecken als harmonische
Beziehung ihrer Endpunkte auf ein Grundgebilde (den unend-

- 10 —

lieh entfernten Punkt) betrachten, wodurch überhaupt die
Geometrie des Masses auf einer Geraden der Geometrie der
Lage untergeordnet wird. Dieser Umstand hängt genau mit
dem Resultat des vorigen Abschnittes zusammeu, wonach die
Strecke als specieller Fall des Punktes erschien. — Auch der
in die gegenwärtige Untersuchung eintretende unendlich
entfernte Pmikt lässt sich leicht auf eine Strecke zurück-
führen. Wenn nämlich Ä, A^, M, P harmonische Punkte sind,
so ist („Rauml." Nr. 169)

(P _ ^) = A (P — ^i) ; {Ä — M) = X{M— A^)
oder:

P{l—X) = A — lAy] M{] -^ X) = A-\- kA^.

Wird nun A = 1 , d.h. rückt P in unendliche Ferne,

so ist

P.O = A — Jr, ^ =

A + A

d. h. der unendlich ferne Punkt P ist gleichbedeutend mit
der Strecke A — A^ .

Anmerkung. Der Inhalt dieses Abschnittes fällt im Wesentlichen
zusammen mit der Theorie des analytischen Ursprungs der metrischen
Relationen, wie sie (nach Cayley) in den „Elem. d. neueren Geom."
von P'iedler S. 217 ff. gegeben ist. Doch sind einige Kunstausdrücke
weggelassen, die, auf die Gerade bezogen, noch keine Bedeutung
haben. Der Uebergang von der vorliegenden Darstellung zu derjenigen
mittelst der modernen Algebra erfolgt durch die Substitutionen:

«1 == ßi^i + yi^2 ; f2 = ßa«! + 72^2 ;

Hierdurch gehen zunächst die Werthe von x und y über in:

^ = ^'l «1 + «2 ^2 ; 2/ = Vi f 1 + 2/2 f2.

Setzt man ferner:

ßi"^ + yi^ = «1 1 ; ßa* + 72^ == «22 ;

ßlß2 + 7172 = «12 >

so ist zunächst

(flfa)^ = ißiY2 — 71/^2)^ = «U«22 — «12*-

Setzt mau endlich noch

so nehmen die in den Formeln (1) enthaltenen Ausdrücke folgende Ge-
stalt an:

11

^i^ + ^2^ = «11*1^ + 201,2^;, .rj + a-iiXi^ = ax'^

Fl' + Ma^ == «llZ/l^ + 2 «,22/1^/2 + «222/2^ = «2/^
^iFl + ^(^2 = «n^'l^l + ßl2 (•^■l2/2 + «2 2/l)+ «22't"2y2 = « « • 2/
(^1>"2 - ^2"l)^ = (Cfll0r22 — «12^) • («l2/2 — a^2 2/l)'^

= (fi £2)^ • G'»i2/2 — sCzVi)- = 0^2/)^ •
In diesen Formeln bedeutet, wie auch aus der Rechnung erhellt, x.y
das algebraische, dagegen (xy) das äussere Product der Grössen x und 2/.
Setzt man diese Werthe in den Formeln (1), (2), (3) ein^ so lauten
dieselben:

(xy)

(1)

[sin &

cos & =

Vu X- . y OL y^
ax .y

Vu x^ • Vcc'y^

(2) (xy) = 0 ;

(3) ccx.y = 0.

Man kann nun direct zeigen, dass (2) und (3) die Doppelelemente
der Involution für alle in einer der Gleichungen (1) enthaltenen Paare
sind. Zunächst sind für die beiden, durch

ax' = 0; ßx^ = 0
ausgedrückten Paare die Doppelelemente der Involution gegeben durch
die Gleichung

[ax.(^i + F,)] [ßxlei+F,)] = 0

{ax . Si) (ßx . fo) — {ccx . fo) (ßx . f 1) = 0

oder:
oder :

(«11^12 — «12^11) ^1'^ + («lifo — f^nßli) ^'l«2 + («12 fe — 0^22^12) ^2' = 0-

Ist nun ßx~ ein vollständiges Quadrat, so bezeichnet es ein Paar zu-
sammenfallender Elemente; und setzt man für diesen Fall

ßii = !/2^; ßi2 = — yiy2; ß22 = yi^;

also

ßx^ = {Xiy2 — Xji/,)- = 0,

80 geht die letzte Gleichung über in

«1 1 2/1 2/2 — «1 2 i/2^) «^1^ + («11 »/l^ — «22 2/2^) '-^1 '^'2 + (0:1 2 2/1^ + «22 2/1 2/2) ^2^ = 0

Jder :

(^i2/2 — yiX2) [«n^^iyi + ^12 i^^'iyz-h yiXi) + 0^22 a;2 2/2] = 0.

Mese zerfällt also in die Gleichungen (2) und (3); mithin bezeichnen
lieselben die Doppelelemente der Involution für die Paare ax^ = 0
id ßx^ = 0. Legt man statt dieser Paare die folgenden zu Grunde:

(a-Jr Iß) x^ = 0; ßx'^ = 0,
bleibt, wie leicht zu sehen, die Gleichung der Doppelelemente un-
jeändert; mithin sind, wenn l sich ändert, auch alle durch (a-\-lß)x'^ = 0
ausgedrückten Paare mit den Doppelelementen harmonisch. Ersetzt
lan schliesslich die Variable X durch d- so, dass

- 12 —

^ ^ (f 1 ^2)' ^ (.dx-yf

aiß sin -9- o:?/^ (^1^/2 — •'^22/1)^ cos ^^ '

so geht die Gleichung (a + ^ ^) -^^ = 0 nach Auswahl in eine der For-
men (l) über.
Ist speciell

(f,,-,) = 0 ,

so siud die Strecken Si und fj parallel, die Kreislinie geht in eine Ge-
rade über, und man kann setzen:

woraus folgt:

« X"- = (2 A-i — IJX2)''; 0!lf = {q ili —.p tjz)'^ ;
ax.y= qxi — px^) (qyt — pi/,'^ ; (xy) = 0.

Wenn nun die Fusspunkte aller Strecken auf der Geraden mit den-
selben Buchstaben, wie die Strecken bezeichnet werden, so kann mau
unter dieser neuen Voraussetzung (t, f2) = 1 setzen, und & für s\n9.
Mau erhält also:

Q, __ ^'1^2 ^2!/]

(3x1 —PX2) [qyi —py^)

Wenn wir nun die Formel x = x^ f j + x^ ^2 in folgender Gestalt
schreiben:

X = Xi (fi — fg) + G^'l + ^'2) f2 >

oder da x^ -\- Xi= \ ist,

X = x^ (fj — fa) + ^2 .

so sieht man, dass, wenn wir Xj = 1 setzen, dann iCj die Entfernung
der Punkte x und s^ bedeutet, gemessen durch die Strecken-Einheit

(«1 — ^2)-

Da der Punkt ax .y =^ 0 jetzt in unendliche Ferne gerückt ist, so
muss sein

Xi : X-i = p : q = OC \
man kann also setzen:

jj == 1 ; q = 0; ^2 = 1 ; i/, = 1 .
Dann folgt:

^ = '''1 — 'Ji
wodurch der gewöhnliche Ausdruck der Entfernung zweier Punkte
(durch ihre Coordiuaten) hergestellt ist.

Da endlich {x—y)=- {x^ — 2/1) (fi — ^2) ; {x — y)y= [x^ — y^) (ei f^)
ist, so folgt:

{xy) = {Xi — yi) = &,

übereinstimmend mit der Entwickelung des Textes.

Die grössere Einfachheit der letzteren erklärt sich daraus , dass die
dort befolgte Methode von selbst auf die canonische Form ^j* -|- Aj"
führt, welche in der Anmerkung erst durch Transformation in die all-
gemeine ax^ verwandelt wurde.

— 13 —

3. Die Curve als Funktion eines variablen Punktes.

In der „Raumlehre" (143 ff.) ist eine Curve durch ein!
gleich Null gesetztes planimetrisches Product ausgedrückt
worden, und es ist (146, 148—150) gezeigt worden, wie die-
ses Product in eine Zahlengleichung zwischen den (auf ein
beliebiges System bezüglichen) Coordinaten des beweglichen
Punktes verwandelt werden kann.

Die Grösse, von welcher diese Zahlengleichung aussagte,
dass sie gleich Null sei, wurde später (164) eine Funktion
der Coordinaten genannt, und da diese Funktion vermittelst
constanter Zahlen aus den algebraischen Producten der Coor-
dinaten abgeleitet wurde (welche Producte hierbei als Ein-
heiten höheren Grades erschienen), so wurden dem entspre-
chend die Curven als zusammengesetzte Grössen betrachtet.

Hierdurch wurde einerseits der Fortschritt gemacht, dass
die Curve, welche vorher nur als Bewegungsresultat eines
von festen Punkten und Geraden abhängigen Punktes er-
schien, nunmehr in die Reihe der selbständigen geometrischen
Gebilde eintrat, und als allgemeineres Gebilde der geraden
Linie übergeordnet wurde. — Andrerseits aber wurde ein
Rückschritt dadurch gemacht, dass die algebraische Gleichung,
welche dieses neue Verhältniss der Curve ausdrückte, mit den
Coordinaten behaftet wurde, wodurch dieser neue Ausdruck
der Curve in Abhängigkeit von einem ihr ganz fremden Ele-
ment, dem Coordinatensystem , gerieth. Dahingegen hatte
das planimetrische Product nur die zur Construction der Curve
erforderlichen Elemente nebst dem sie beschreibenden variablen
*unkte enthalten.

Ein andrer Rückschritt fand dadurch statt, dass der eine
variable Punkt des Productes durch mehrere variable Co-
)rdinaten in der Gleichung ersetzt wurde.

Es ist demnach zunächst unsere Aufgabe, jenen Fort-
ächritt auszuführen unter Vermeidung dieser Rückschritte.

Es sei X ein aus den drei Einheiten e^e.^e.;^ abgeleiteter
'unkt, sodass

'^enn dieser Punkt erstens auf der Geraden a liegt, so wird
Idies ausgedrückt durch die Gleichunsr

— 14 —

(1) ccx = 0

oder:

(2) x^aei -{- X2cce2 -\- x^ae^ = 0.
Nun ist

daher :

ax = uCy {x\e^ -j- «63 (^^2) + "^3 (^1%) = ^•
Wenn ferner

(3) a = «j I e^ -|- «2 1 ^2 ~h ^3 1 ^3
ist, so hat man

(4) e^a = a^\ c^a = a^] e^a = a^\
folglich :

(5) ax = a^{x\ei) -\- a.,{x\e.2) ~\- a^(x\e^) = 0.

Man kann nun auf der rechten Seite dieser Gleichung
den gemeinsamen Factor x heraussetzen, vorausgesetzt, dass
man die Stellen, wo er herausgenommen ist, bezeichnet.
Wenn diese Bezeichnung durch Einsetzung des Buclistabens ?
[Lücke) geschieht, so hat man

«^ = [«1 (^ki) + «2 (^ ! ^2) + «^3(^1 63)] ^ ;

also

(6) a = a^(l\ 61) + «2 (^1 ^2) + «3 G! 63) .

Dieser Werth für a ist mit dem durch (3) gegebenen
identisch; denn die l sagen nur aus, dass, wenn a mit x multi-
plicirt wird, an Stelle jedes l ein x zu treten hat.*)

Setzt man in der Gleichung x^ae^ -\- x^ae^ -\- Xr^ae.^ = 0
die oben gefundenen Werthe für e, a, e^cc, c^a , so erhält man
die gewöhnliche Gleichung der Geraden in homogenen Co-
ordinaten :

(7) x^a^ + ^2^2 + ^3^3 "^ ^•

9. Diese Betrachtungen mögen nun zweitens erweitert wer-

den auf den Fall, dass x auf einer Curve 2. Grades liege.

*) Man kann aucli, was für viele Untersuchungen bequemer ist, die
Lücke, statt durch Z, durch irgend eine extensive Variable, namentlich
durch X selbst bezeichnen; im letzteren Falle zeigt Formel (6), dass
dann a und ax (allgemein a und axn) dasselbe bedeuten. Von dieser
Bezeichnung wird später Gebrauch gemacht werden. — S. auch Mathem.
Ann. Bd. 7. S. 543 unten.

— 15 —

Die Gleichung einer solchen, durch die 5 Elemente
A, b, C, d, E, bestimmten Curve ist („Raumlehre" 147):

{xAhCdEx) = 0,
oder, wenn man nach obigem Grundsatze die beiden Faetoren
X herauszieht, und durch l ersetzt:

{lAhCdEl)x''- = 0,
worin x'^ wie immer das algebraische Product der Grössen x
und X bedeutet.

Bezeichnen wir die Klammergrösse mit a, sodass
a^{lAhCdEl),
so sagt die Gleichung

(1) ait;2 = 0,

dass der Punkt x auf der Curve liege. Ersetzt man x durch
seinen Werth, so folgt weiter:

(2) ax^-e^' -\- ax^-e.^^ -\- ax.^^e.^^

-f- 2ax^x^e^e.2 "f" ''^ocx^x^e^e^ -\- 2ax.^x^e.^e^ =0.
Setzt man nun analog der obigen Betrachtung:

, (3) « = «11 I ßi^ + «22 I ^2^ H- «33 I h'^

+ 2 «12 1(^1 Co) + 2^231 (^2^3) + 2 «31 1(6361),

SO folgt:

(«11
|«i5

f 1 5 «22 — cc . 62 ; «33 — a . e^' 5

(4)

"^ ~i2 = « • (^1 62) ; «23 == « • (^263) ; «31 = « • (63^1).

Setzt man diese Werthe und diejenigen für x^, x^, x^ in der
Hauptgleichung ein, so folgt:

(5) ax"^ = «11 {x\ej^ -(- «22(^^2)^ + «33 (^ka)^
+ 2«i2(^"ki)(^k2) + 2«23(^|e2)(^k3) + 2o:3i(^|e3) {x\e^) = 0.
Zieht mau endlich hier den Factor x- auf der rechten Seite
heraus, so bleibt:

(6) « = «11 (^ko^ + «22(^1^2)^ + «33(^1^3)-

+ 2a,, {l\e{) (le,) + 2a,, {l\e.,) {l\e,) + 2a,, {l\e,) {l\e,) = 0.
Dieser Ausdruck stimmt mit dem oben für a gegebenen voll-
kommen überein, da (nach „Raumlehre" Nr. 143)

I \^p ^1 ) ^^^ \^p ' \^i
ist.

Setzt man in der Hauptgleichung nur die Werthe für
«^1^ «^2~> ^^^' ^^^; ^^ lautet sie:

— 16 —

Und dies ist die gewöhnliche Gleichung der Curven 2. Grades
in homogenen Coordinaten.

Es ergiebt sich nun aus diesen Betrachtungen, dass a
jetzt ebenso eine Curve 2. Grades repräsentirt, wie vorhin
eine Gerade. Und ebenso, wie ein Punkt aus drei Punkten
(Grössen 1. Grades und 1. Stufe), und eine Strecke aus drei
Strecken (Grössen 1. Grades und 2. Stufe) abgeleitet werden
konnte, so kann, wie die Ausdrücke für a zeigen, eine Curve
2. Grades aus 6 anderen Grössen 2. Grades und 2. Stufe, d. h.
aus 6 anderen Curven 2. Grades abgeleitet werden. Im vor-
liegenden Falle insbesondere sind diese 6 Curven die Linien-
paare des Dreiecks (^,6263):

(6^62), (61^2)5 (^2*^3); (^2^3)? (^3^1)7 (^3^1)1
(6162)7 (62^3)5 (^2^3)7 (^3^1)5 (^3%)> (^1^2)5
weil nämlich

I Cj = ^2 63 ; j ^2 "^^ ^3 ^1 1 I ^3 ^^ ^1 ^2
ist.

Die Gleichung

genügt nun vollständig den im Anfang dieser Betrachtung
gestellten Anforderungen. Sie enthält einerseits die Curve a
als selbständige Grösse, unabhängig von den erzeugenden
Elementen Ä, h, C etc.; und diese Grösse a stellt sich durch
ihre Einfachheit der Geraden a an die Seite. Sie enthält
andrerseits ausser der Curve nur den sie beschreibenden Punkt
X als einzige Variable, und es kann von ihr ebenso leicht
"^ wie von dem planimetrischen Producte zu jeder Coordinaten-
gleichung übergegangen werden, nämlich vermittelst der
Gleichungen :

ue^"^ = a^^\ «(gjg^) = «125 ßtc,
IQ. Die Betrachtungen der vorigen Nr. lassen sich nun sofort
auf Curven beliebigen Grades ausdehnen. Da (nach „Rauml,"
Nr. 151) jede algebraische Curve n. Grades sich durch ein
plauimetrisches Product ausdrücken lässt, welches den Factor
X nvndX enthält, so wird, wenn man x^ heraussetzt, und das

— 17 -

übrigbleibende, n Lücken enthaltende Product mit a bezeich-
net, die Gleichung der Curve die Form annehmen:

ax"" = 0.
Man findet dann weiter, dass allgemein

^{^l^ ^2^^/) = "lU • • • (7^)222 • • • • (9)333 ' ' • • {r)

ist, WO z. B. 11, . . . . {p) bedeutet, dass der Index 1 j^mal zu
setzen ist, und wo

2) -{- q -{- r = n.

Diese Substitutionen, verbunden mitrc = ;r| ej-|-^2^2"l~^3^3;
verwandeln die Gleichung ax'^ ^= 0 in die allgemeine homo-
gene Gleichung n. Grades zwischen x^ , x.^ , x.y

Es ist endlich klar, dass dieselben Betrachtungen gelten,
wenn x statt aus drei , aus einer anderen Anzahl von Punkten
abgeleitet ist. Die Zahl dieser Punkte (Einheiten) ist jedes-
mal festzustellen, bevor man sich der Form ax'"' bedient.

Anmerkung. Die im Vorstehenden angewendete Bezeichnung
einer homogenen Funktion w, Grades durch ax^ findet sich zuerst in
einem Aufsatze von H. Grassmann in den „Göttinger Nachrichten" (1872
Nr. 28). Diese Bezeichnung ist äusserlich von der durch Aronhold
eingeführten „symbolischen Bezeichnung" a^ kaum verschieden. Um
so grösser ist der in dem inneren Wesen der beiden Ausdrücke lie-
gende Unterschied. Der letztere Ausdruck ist eben nur eines jener
zahlreichen Symbole, welche die moderne Algebra erfindet, um die
jeweiligen Bedürfnisse nach einer abgekürzten Bezeichnung zu befrie-
digen, welche aber immer nur besonderen Zwecken dienen können, da
ihre Formen, dem Bedürfnisse des Augenblickes angepasst, jeder tie-
feren Begründung, und somit jedes inneren Zusammenhanges imter-
einander entbehren. — Dahingegen ist der erste Ausdruck (aa;"), -wie
vorstehend gezeigt, ein aus den Prinzipien der Ausdehnungslehre
heraus gebildeter, und seine Form ist nicht eine willkürliche, sondern
eine nothwendige.

4. Die Multiplication der Raumgrössen.

Nachdem mit der in der vorigen Untersuchung auftreten- 11.
den algebraischen Multiplication der Raumgrössen die Reihe
der in der Raumlehre auftretenden Multiplicationen erschöpft
ist, kommt es darauf an, auch für diese verschiedenen Ope-
rationen den systematischen Zusammenhang festzustellen.
Wenn die Untersuchung sich an dieser Stelle nur auf drei
Einheiten bezieht, so mag von vornlierein bemerkt werden,

Schlegel, Elemente. 2

- 18 —

dass in ihrem Gange durch Einführung einer beliebigen An-
zahl von Einheiten keine Aenderung verursacht wird.

Wenn zwei Grössen a und h aus den Einheiten Cjej^s
durch die Gleichungen abgeleitet sind:

a = aiei + «2^2 + «3^3;

worin die Grössen a und ß reelle Zahlen sind, so verstehen
wir im Allgemeinen unter dem Producte {ah) den Ausdruck

(ah) = ai/3i(eiei) + «ilSjC^i^) + «1^3(^1%)
+ «2/51(^2^1) + «2^2(^262) + «2^3(^2 «3)
+ «3^1(63^1) + «3/^2(63^2)+ «3 ^3(^3^3) •
Besondere Arten von Multiplication werden nun durch
Aufstellung besonderer Bedingungsgleichungen zwischen den
Producten der Einheiten entstehen.

Die allgemeine Form einer solchen Bedingungsgleichung
ist

(1) «nC^i^'i) + 0^12(^1^2) + «13(^^1 63)
+ «2i(ß2<^i) + «22(^2^2) + «23(^263)

. + «31(^3^1) + «32(^3^2) + «33(^3^3) = 0*).
Diese Form lässt sich nun durch Aufstellung gewisser,
von ihr zu erfüllender Forderungen specialisiren.

1.

12. a) Damit die Bedingungsgleichung (1) sowohl für positive

als für negative Werthe der Einheiten gelte, muss sie un-
geändert bleiben, wenn man einer der Einheiten {z. JB. e,)
überall das entgegengesetzte Zeichen gieht. Gleichzeitig mit (1)
muss also gelten:

(2) «ii(ciet) — «12(61^2) — «13(^1^3)

^2\\^2^\) l~ ^22\^2^2/ "I '''23i^2^3/
— «31 («3 f 1) + «32 (% ^2) + «33 (63 63) = 0 .

(1) + (2) giebt:

(3) «1 1 (Ci C, ) + «22 (^2 «2) + «33 («3 «3) + «23 («2 ^3)

+ «32 (<^3 C-l) = 0 .

*) Ueber die genügende Allgemeinheit dieser linearen Gleichung
vgl. den in der Anmerkung zu diesem Abschnitt citirten Aufsatz.

~ 19 —

(1) - (2) giebt:

(4) «,2(^162) + «21 («2^1) + «13(^1 6;,) + «31(^3^1) = '^•

Ersetzt man in (3) und (4) c^ durch — e^, so folgt :

(5) «1 1 (e, Ci) + «22 (^2 ^2) + C^33 («3 «3) - «23 (^2 ^3)

— «32(6362) =0.

(6) — «12 (^1 «2) — «21 (^2^1) + «13 (^1^3) + «31 (^3^1) = 0.

(3) + (5) giebt:

(7) «nCeiCi) + «22(^2^2) + «33(6363) = 0.

(4) _ (6) giebt:

(8) «12(6162) + «21(6261) = 0.

Aus (8) erhält man durch circuläre Vertauschung der
Indices 1, 2, 3 zwei weitere Gleichungen derselben Form, die
man sonst auch durch die Rechnungen (3) — (5) und (4) -|- (6)
finden würde.

Ersetzt mau in (7) und (8) 63 durch — 63 , so bleiben diese
Gleichungen uugeäudert.

Soll demnach eine Multiplication der in a) aufgestellten
Forderung genügen, so müssen ihre Bedingungsgleichungen
die Form der Gleichungen (7) und (8) haben.

b) Damit alle Einheiten von gleicher Bedeutung seien,
muss eine jede Bedingungsgleichung ungeändert bleiben,
tvenn man darin zivei beliebige Einheiten {z. B. e^ und e.^ mit
einander vertauscht.

Gleichzeitig mit (7) und (8) müssen also folgende Glei-
chungen gelten, die man durch Vertauschung von e^ und e^
aus jenen erhält:

(9) «, 1 (62 ^2) + «22 {'\ 6, ) + «33 (63 63) = 0 .

(10) «,2 (62 Cj) +>2 , (e, ^2) = 0 .
(7) -(9) giebt:

(11) («1 1 — «22) (61 61 — 63 62) = 0 7

woraus durch circuläre Versetzung der Indices zwei weitere,
den Vertauschungen von ßj ^^ 63, und von gg mit e^ ent-
sprechende Gleichungen folgen.
(7) -f (9) giebt:

(«11 + «22) (616, + 6362) + ^«33(6363) = 0,

2*

— 20 —

woraus man durch dasselbe Verfahren wie bei (11) noch ab-
leitet :

(«22 + «33) (^2^2 + «3^3) + 2a^^{e^e^) = 0.

(«33 + «11) (^63 + ^1^,) + 2 «22 (^2^2) = 0.
Die letzteren drei Gleichungen geben addirt, mit Be-
rücksichtigung von (7):

(12) {a^^ -f «22 + «33) (^161 + €.,6^ -f ^363) = 0. ^
(8) + (10) giebt:

(13) («12 + «21) («1 ^2 + ^2^1) = 0.
(8) -(10)" giebt:

(14) {a^^-'a,i){e^e.,-e,e^) = 0.

Aus (13) und (14) folgen je zwei weitere Gleichungen
ebenso j wie aus (11).

Soll demnach eine Multiplication den in a) und b) auf-
gestellten Forderungen genügen, so müssen ihre Bedingungs-
gleichungen die Form der Gleichungen (11), (12), (13), (14)
haben.

Da jede dieser vier Gleichungen durch zwei verschiedene
Annahmen (nämlich durch Null-Setzung des einen oder des
anderen Factors) befriedigt werden kann, so giebt es im
Ganzen 2^ = 16 Gruppen von Annahmen, durch welche alle
vier Gleichungen befriedigt werden. Es giebt demnach 16
verschiedene Multiplicationsgattungen , welche den in a) und
b) gestellten Forderungen genügen. Und da diejenigen Be-
dingungsgleichungen, durch welche der erste (kein e ent-
haltende) Factor einer Gleichung gleich Null gesetzt wird,
zur Characterisirung der Multiplication nichts beitragen, so
kann man sagen, dass die Bedingungsgleichungen jener 16
Multiplicationsgattungen gefunden werden, wenn man von
den vier Gleichungen:

(^^i^i) — (^2^2) = *^-

(e,e,) + (63^2) + (('.^e.;) = 0.

(6162) — (^2^1) =0

auf alle Arten entweder keine, oder eine, oder zwei, oder
drei, oder vier herausnimmt. Es mebt demnach

— 21 —

1 Multiplicatioii mit 0 Bediugimgsgleiehuiigeu.
4 1

" ;> »2 „

4 Q

^ ;> ?> *^ >j

1 4

Man kann alle diese Multiplicationen mit dem Namen
symmetrische M. bezeichnen.

2.

Da die aus den Einheiten abgeleiteten Grössen mit den 13.
Einheiten selbst von einerlei Beschaffenheit sind (und zwar
sowohl in der Raum- wie in der Zahlenlehre), so kann man
zur weiteren Characterisirung einer Multiplication die For-
derimg stellen, dass die 2iüischen den Einheits-Productcn be-
stellenden Bedingungsgleichungen auch zivischen den aus ihnen
abgeleiteten Grössen gelten.

Beschränken wir diese Forderung vorläufig auf 2 Ein-
heiten. Dann sollen die vier Gleichungen:

(2) e, e^ -f 6361 = 0 [= e^e., -\- e^e^ = e^e^ + t-, 63]

(3) e,e, = 6362 [==6363]

(4) 616, + ^2^2 + ^3% = Ö

noch gelten, wenn man statt e, und Cj resp. setzt:

Es ist

1) ab = ba] oder:

^■i2/i (^iCi) + ^12/2(61^2) + ^22/1 (^2^1) + x^jj^^{e^_e^)
= rK,?/i(eie,) + ^,2/2(6261) + ^22/1(6162) + ^22/2(^2^2).
Da nach (1) CiC.^ = e^e^, so ist diese Gleichung identisch.

2) a&-(-6a = 0; oder :

2:r,?/i(e^e,) + 2a;2^2(e2e2) + {^iVi + ^-zVi) (^1^2 + ^26,) = 0,
oder, da nach (2) (61*32) + (^2'^i) =^ ^ i^^'

^12/1(^16,) + x^y^{e,e,) = 0.

Da die Gleichung (2) auch bei beliebiger Vertauschung der
Einheiten besteht, so ist auch

- 22 —

oder durch Subtraction dieser Gleichung von der vorigen:

^i!/i(ciei — 6363) = 0;
d. h.

CjCi == 6363.

Es ist also die Gleichung (3) eine Folge von (2).

3) aa = 6363; oder:

^3^3 "^^ "^i \ß\^\) \ ^2 (^2^2) ~r ^\ ^2\.^\ ^2 1 ^2^1) )
oder, da nach (3) (61^1) = (62^0) = (^3^3) ^^t:

0== (e^ei) (^1^+ 0C2' — 1) + x^x.,{eye2 + e^e^).
Setzen wir hierin — e^ statt Cj , so folgt :

0 = (e^e,) {x^- + x^^ — 1) — x^x,{e^^e.^ + e^e^),
und durch Subtraction dieser Gleichung von der vorigen:

1 2 vi 2 I ^*> ^1 / ' ^ )

d. h.

(61^2) + (6261) = 0.

Es ist also auch die Gleichung (2) eine Folge von (3). Mit-
hin können beide Gleichungen nur zusammen bestehen, und
sind gleichbedeutend.

4) aa -|- 6& -}- 6363 = 0; oder:

(^1' + 2/1') (61^1) + (^2' 4- ^2') (^2^2)

+ (^l*-2 + 2/1^2) (61^2 + 6261) + (6363) = 0.

Nun ist nach (4)

(eie,) + (^'2^2) + (t'3e3) = 0.
Diese Gleichung von der vorigen subtrahirt giebt:

{x,^ + y,^ - 1) {c, .,) + {x.^ + y,^ - 1) {e,e,)

+ (^1^2 + ^1^/2) (ßl<?2 + ^2^1) =0.

Nun wird (4) nicht geändert, wenn man — e^ statt -f- e^ setzt;
also erhält man auch aus der letzten Gleichung die gleich-
zeitig mit ihr geltende:

(^1^ + Vr' - 1) {e,e,) + {x,-^ + y,^ - 1) {e,e,)

— (^1^2 + ^12/2) (^1^2 + 626,) = 0.

Durch Subtraction der letzten beiden Gleichungen folgt:
(5) {x^ x^ + y^ 2/2) (ei 63 + ^2 «i) = ^ •

- 23 —
Durch Addition:

(^1^ + 2/r- - 1) (^4Ci) + {X,' + y,' - 1) {c,e,) = 0.
Setzt man hierin 63 statt e^ und subtrahirt, so folgt:

(6) (^i^ + !/.^-l)(^V'i-e3e3) = 0.

Setzt man dagegen c^ statt e^ und subtrahirt, so folgt:

(7) (x,^ + ?h'-'i){e,e,-c,e,) = 0.

Da die Geltung der Gleichungen (2) und (3) hier nicht vor-
ausgesetzt wurde, so folgt aus den Gleichungen 5) 6) 7):

Betrachtet man in diesen Gleichungen ?/, und y^ als Unbekannte,
so findet man leicht, dass allen Gleichungen durch die Werthe

^1 = + ^2 ; !/2 = ± ^1

genügt wird. Demnach muss sein

(9) ■ 6 = + (^,e2 — a;2C,);

Dieselben Werthe für y^ und y.^ hätte auch das combinirte
System (2) (3) geliefert.

Es genügen hiernach der in diesem Abschnitt aufgestell-
ten Forderung (dass die Bedingungsgleichungen der Multi-
plication fortbestehen, wenn man statt der Einheiten t'j und e.^
resp. die durch die Gleichungen (9) bestimmten Grössen a
und h setzt) nur noch 8 von den 16 symmetrischen Multi-
plicationsgattungen. Man erhält die Bedingungsgleichungen
derselben, wenn man von den drei Systemen:

^1^2 ^^^ ^2^1 )

12 ~l 2 I "~~* 5 11 ^^ 2 2 ^^~' 3 3

^1^1 + 6362 + 6363 = 0

auf alle Arten entweder keins, oder eins, oder zwei, oder

drei herausnimmt. Es giebt demnach

*) Diese Gleichungen fallen aber weg, sobald man annimmt, dass
(2) und (3) eine Folge von (4) seien, eine Annahme, die als specieller
Fall des nächsten Abschnittes erscheinen wird.

— 24 —

1 Multiplication mit 0 Bedinguugsgleichungen.
^ 1

B 2

Man kann alle diese Multiplicationen mit dem Namen
circuläre M. bezeichnen.

Der Grund dieser Benennung liegt darin, dass die Be-
dingungsgleichungen dieser Multiplicationen ungeändert blei-
ben, wenn man zwei ihrer Einheiten circulären Aenderungen
unterwirft. (Vgl. „Raumlehre" Nr. 153.)

14. Nehmen wir schliesslich an, dass die zwischen den Ein-

heits-Producten bestehenden Bedingungsgleichungen noch gel-
ten, tvenn man statt irgend einer Einheit (z. B. e^) eine aus
allen Einheiten abgeleitete Grösse a setzt, sodass

Es seien die Bediugungsgleichuugen der symmetrischen Multi-
plicationen mit denselben Nummern bezeichnet, wie im vori-
gen Abschnitt. Dann soll sein

1) «^2 = ^2^ j oder;

Xi (ßj 62) -J- X2 (^2 ^2) ~T ^3 (^3 ^2)
= Xi{e2ei) -j- it;2(e2ß2) "1 ^3(^2^3)*
Da nun nach (1) e^ßj^^^s^n ^2 ^3 = ^3 ^2? ^^ ^^^ diese Glei-
chung identisch.

2) «^2 + ^2^ = 0; oder:

^1(^1^2 + Co^i) + 2^:2(^262) + ^3(^362 + 6363) = 0.

Da nun nach (2) e^ej + ^2^1 = ^1 ^3*^2 + ^2^3 = ^j ^^ folgt:

23^2(6262) = 0;
oder :

(636^) = 0.

Ebenso erhält man, von ae^-]- e^a = 0, oder «6^ -f- e^a = 0
ausgehend:

(6363) = 0; (eyei) = 0.

Man hat daher:

(cje^) = (6-262) = (6363);
(eie,) + (^2^2) + (6363) = 0;

- 25 —

d. h. die Gleichungen (3) und (4) sind eine Folge der Glei-
chungen (2).

3) aa = 6262 = e^ e^ ; oder :

^2^2 = ^3^3 =^ ^1 {^i^iJ "r ^2 (^2<^2) ~r ^3 (^3^3)
~r ^i»''2(^i'^2 ~r ^2^1) "T '^2*^3(^2^3 "I ^3^2/ ~r ^3^1 (%^i ~r '^'i^sj-
Da diese Gleichung für jeden Werth von x^, X2, x^ bestehen
muss, so folgt:

6] c^ = 62 ^2 == 63 C3 = U 5 6j ßj -f- 62 ^2 ~r ^3 ^3 ^^^ '-' •
e, Cj + eo^i = 0 ; 6363 + ^362 = 0 ; Cge, + 6^63 = 0;

d. h. die Gleichungen (4) und (2) sind eine Folge der Glei-
chungen (3).

4) aa -\- 6262 -j- e^e^ = 0-j oder:

^i'(ciei) + (^2' + 1) (^2^2) + W + 1) (6363)
-j- a;, ^2 (^1 ^2 ~r ^2 ^1) "1 ^2*^3 ('^2 ^3 "T ^3 '^2) "r ^3^1 (^3 ^1 "r ^i ^3) ^^ ^•
Aus demselben Grunde wie bei 3) schliesst man, dass die
Gleichungen (2) und (3) eine Folge der Gleichungen (4) sind.
Es genügen hiernach der in diesem Abschnitt aufgestell-
ten Forderung (dass die Bedingungsgleichungen der Multi-
plication fortbestehen, wenn man statt irgend einer Einheit
eine aus allen Einheiten abgeleitete Grösse a setzt) nur noch
4 von den 16 symmetrischen, oder von den 8 circulären
Multiplicationsgattungen. Man erhält die Bedingungsglei-
chungen derselben, wenn man von den zwei Systemen:

Cj 62 = 62 61 5

6,62 + ^261=0; 6,61 = 62^2 = 63^3; 6161+6262-1-6363 = 0

auf alle Arten entweder keins, oder eins, oder zwei heraus-
nimmt. Es giebt demnach

1 Multij)lication mit 0 Bedingungsgleichungen.

^ }} }} ^ >}

1 ;; )> ^ }f

Mau kann alle diese Multiplicationen mit dem Namen
lineale M. bezeichnen.

Der Grund dieser Benennung liegt darin, dass die Be-
dingungsgleichungen dieser Multij)licationen ungeändert blei-
ben, wenn man irgend eine ihrer Einheiten einer linealen
Aenderung unterwirft. (Vgl. ,, Raumlehre" Nr. 31.)

26

15. Die linealen MuUiplicationen. — Von den vier hierher ge-
hörigen Gattungen kann diejenige ohne Bedinguugsgleichungen
ausgeschlossen werden, da sie in der Raumlehre keine An-
wendung findet. Dasselbe gilt von derjenigen mit ^wci Sy-
stemen von Bedingungsgleichungen, weil in ihr alle Producte
gleich Null sind. Es bleiben daher übrig:

1. Die algebraische Midtiplication mit der Bedingung:

2. Die äussere Multiplication mit den Bedingungen:

^1^2 "T ^h^'i """^ - 5 '-'i^i = C2e2 = e^e^ = ö .

Die Bildung ihrer Producte, auf Raumgrössen übertragen,
geschieht mit Hilfe des Lineals, und die Bewegung, welche
diesen Productbiidungen entspricht, ist die Schiebung.

Die circulären MuUiplicationen. — Von den acht hierher
gehörigen Multiplicationen sind die vier linealen bereits be-
trachtet. Von den übrigbleibenden finden zwei (mit den Sy-
stemen (2) (3) resp. (4)) keine Verwendung in der Raumlehre.
Die anderen (mit den Systemen (1) (2) (3) resp. (1) (4)) sind
dagegen bekannt; nämlich:

3. Die innere Multiplication mit den Bedingungen:

4. Die complexe Multiplication mit den Bedingungen:

Die letztere bezieht sich auf die Werthe:

ßj = 1 1 62"=^^?
welche den Bedingungsgleichungen ebenso genügen, wie zwei
complexe Zahlen a -\- bi und b — ai, die man statt Cj und e^
setzt.

Die Bildung der Producte dieser beiden Multiplicationen,
auf Raumgrössen übertragen , geschieht mit Hilfe des Cirkels,
und die Bewegung, welche diesen Productbiidungen entspricht,
ist die Drehung.

Der oben gefundene Zusammenhang zwischen den Be-
wegungen der Schiebung und Drehung, wonach die erstere
eine besondere Art der letzteren war, findet sich in der

— 27 -

gegenwärtigen Untersuchung bestätigt, indem die lineale
Productbildung^ welche der Schiebung entspricht, als be-
sondere Art der circulären erscheint, welche der Drehung
entspricht.

Anmerkung. Dieser Abschnitt ist im Wesentlichen eine Repro-
duction der von H. Grassmann in Crelle's Journal Bd. 49. S. 123 ff. ver-
ött'entlichten Abhandlung: Sur les difförents genres de multiplication.
— Ihre fundamentale Bedeutung für die Raumlehre liegt darin, dass
sie auf das Evidenteste die vollkommene Gleichberechtigung der beiden
linealen, wie der beiden circulären Multiplicationsgattungen zeigt. Es
ist namentlich das äussere Produet seinem Ursprünge nach durchaus
verschieden von den in der modernen Algebra angewendeten sym-
bolischen Ausdrücken. Und wenn die letztere Wissenschaft sich mit
diesen Ausdrücken behelfen muss, so liegt der Grund darin ^ dass ihr
der Begriff der ursprünglichen Einheiten fehlt, welcher erforderlich
ist, um diejenigen Hilfsmittel zu entwickeln, die zu einer systemati-
schen Behandlung der Raumlehre unentbehrlich sind.

Erste Abtheilung.

Die Kegelschnitte als Resultate einer zusammengesetzten
Bewegung.

Entsprechend den vier soeben betrachteten Multiplications- 16.
gattungen giebt es vier Wege, welche in die Theorie der
Curven einführen. Jeder dieser Wege beruht auf einer be-
sonderen Auffassung der Curve und lehrt besondere Eigen-
schaften derselben kennen. — In zivei Fällen erscheint die
Curve als Besultat einer Bewegung, und als abhängig von
den sich bewegenden Elementen, in zivei Fällen dagegen als
fertiges Gehilde, und unabhängig von anderen Gebilden. —
In zwei Fällen handelt es sich um die Beziehungen des
Masses zwischen der Curve und anderen Geljilden, in ztvei
Fällen dagegen um Beziehungen der Lage. — Wie diese Fälle
sich corabiniren lassen, und welche Multiplicationen diesen
Combinationen entsprechen, ist aus folgendem Schema zu
ersehen :

28

ä des Masses

S der Lage

Die Curve als:
Resultat der Bewegung

1. Complexe Mult.

3. Aeussere Mult.

fertiges Gebilde.

2. Innere Mult.

4. Algebraische Mult.

Hieraus erklärt es sich, dass dieselbe Curve im System
der Raumlehre an verschiedeneu Stellen auftritt (z. B. a. a. 0.
der Kreis in Nr. 89—105 mit coniplexer, in Nr. 150 mit äusse-
rer, in Nr. 161 — 163 mit innerer, in Nr. 165 mit algehraischer
Multiplications-Methode; die Kegelschnitte in Nr. 147 ff. und
176 mit äusserer, in Nr. 172 mit algebraisclier Multiplicatiou).

Es sollen nun in dieser Abtheilung die wichtigsten, unter
Anwendung der complexen (und der inneren) Multiplication
ableitbaren Eigenschaften der Curven 2. Grades entwickelt
werden. *)

Zur Erzeugung des Kreises dient eine sich drehende Ge-
rade, auf welcher ein fester Punkt angenommen ist, der die
Kreislinie beschreibt. Indem wir die Gerade als erzeugendes
Gebilde betrachten, ist die Kreislinie das Resultat einer ein-
fachen Bewegung, nämlich der Drehung jener Geraden, wäh-
rend allerdings die Bewegung des erzeugenden Punktes eine
zusammengesetzte ist, — Der nächste Fortschritt der Betrach-
tung wird in der Annahme bestehen, dass während der
Drehung der Geraden der erzeugende Punkt auf der Geraden
selbst seine Lage nach irgend einem Gesetze ändere. Die
Gesammtbewegung des Punktes besteht dann aus der Be-
wegung der Geraden und derjenigen des Punktes auf der Ge-
raden. Das Verhältniss dieser beiden Bewegungen zu ein-
ander ist durch ein Gesetz zu regeln, und dieses Gesetz wird
das unterscheidende Merkmal der verschiedenen, durch den
Punkt erzeugbaren Curven sein. (Vgl. „Raumlehre" Nr. 4.)

Um den Fortschritt vom Speciellen zum Allgemeinen fest-

*) Dieser Abschnitt würde also im „System der Raumlehre" nach
S. 69 einzuschalten sein. Nachdem dort S. 23—69 diejenigen aus einer
beweglichen Geraden abgeleiteten Grössen betrachtet sind, welche
durch einfache Bewegung entstanden sind, beschäftigt sich der hier
folgende Abschnitt mit der zusammengesetzten Bewegung.

- 29 —

zuhalten, betrachten wir zuerst das Gesetz, welches der Ent-
stehung der Kreislinie zu Grunde liegt. Da die Strecke (rj),
welche einen Punkt (X) dieser Linie mit dem Drehungspunkte
(0) der Geraden verbindet, stets denselben numerischen Werth
{c) hat, so ist das Gesetz für die Entstehung der Kreislinie
in der Zahlengleichung

r, = c
ausgesprochen.

Sei nun P ein zweiter fester Punkt der Ebene, und der
numerische Werth der Strecke (P — X) gleich r.,, so ist die
einfachste, zwischen *•, , r, und einer unveränderlichen Grösse e
bestehende Beziehung:

Diese Gleichung enthält die vorige als speciellen Fall. Wenn
nämlich 0 und P zusammenfallen, so ist für jeden Punkt (X)

r, = r, ;

mitliin für das obere Zeichen

c

Setzen wir

so können wir die Lage des Punktes X statt von 0 und P
auch abhängig machen von dem
Endpunkte A des durch 0 und
X gehenden Radius r in dem
Kreise r = c. Die Lage des
Punktes X ist dann durch das
Gesetz bestimmt, dass er von
der Kreislinie und dem festen
Funlie P jederzeit gleiclitveit cnt- ^'^" ^"

fernt sei. Jenachdem in der Gleichung rj + r., = r das obere
oder das untere Zeichen gilt, wird P innerhalb oder ausser-
halb des von 0 mit r beschriebenen Kreises liegen. (Der
Uebergangsfall , wobei P auf der Kreislinie liegt, giebt eine
durch 0 und P gehende Gerade als Weg des Punktes X.)

1. Bewegungsgesetz r, + i'-' = >'■ — Die Ellipse.

W^enn eine Gerade um einen ihrer Punkte 0 eine ganze 17.
Umdrehung macht, und ein auf ihr befindlicher Punkt X sich

50 -

inzwischen so auf ihr bewegt, dass er von einer aus 0 be-
schriebenen Kreislinie und einem innerhcüh derselben liegen-
den festen Punkte P stets gleicliweit entfernt ist, so heisst
die von X beschriebene Linie Ellipse. — Die durch 0 und P

bestimmte Gerade heisst
grosse Äxe der Ellipse.
Jeder Richtung der
sich drehenden Geraden
entspricht ein Punkt X
der Ellipse, aber auch
ein Punkt Ä der Kreis-
linie. Zu jedem Punkt
der Kreislinie gehört
also ein Punkt der El-
lipse. Daher nennen wir
die Kreislinie die Lcit-
curve der Ellipse, und den
Punkte Le'dpnnM zu X.
Da X von P und A gleichweit entfernt ist, so ist das
Dreieck der drei Punkte gleichschenklig; und da eine in der
Mitte B seiner Basis errichtete Senkrechte durch die Spitze
geht, welche gleichzeitig auf der durch (0 — A) bestimmten
Geraden liegen muss, so kann man zu jedem Punkt A der
Leitcurve den zugehörigen Punkt X der Ellipse construiren,
indem man A mit 0 und P verbindet, und in der Mitte von
{A — P) eine Senkrechte errichtet. Ihr Durchschnitt mit der
durch (0 — A) bestimmten Geraden ist X.

Da die Entfernung des Punktes X von der Kreislinie
nichts anderes bedeutet, als seine Entfernung von einem der
Endpunkte des durch X gezogenen Durchmessers, so wird es
auf der Geraden in jeder ihrer Richtungen zwei Punkte, X
und X', geben, die so beschaffen sind, dass numerisch für
den einen {X — A) = {X — P), für den andern (X' — Ä) =
(X' — P) ist. Daher ivird die Ellipse von jeder durch 0 ge-
zogenen Geraden in zivei Punlicn geschnitten. Es genügt aber,
sich bei Erzeugung der Curve auf den einen Durchschuitts-
punkt (X) zu beschränken, weil der andere entsteht, sobald
die sich drehende Gerade in die entgegengesetzte Richtung
gelangt ist.

~ 31 -

Da i\ und rj numerisch kleiner sein müssen als r, so
folgt, dass die Ellipse ganz innerhalb der Kreislinie liegt.
Sie ist also eine in sich zurückkehrende Curve.

Da die Strecken {X — A) und (X — P) numerisch gleich
sind, so hat auch die numerische Simimc der Strecken {K — 0)
und (X — P) für alle Punkte der Ellipse denselben Werth.
(Ist nur die Interpretation der Gleichung r, -\- r^ = r.)
Ist X ein beliebiger Punkt der Curve, so ist
(0-X) + (X-P) = (0-P).
Ist ferner ein Punkt X' so bestimmt, dass

(0-X) = (X'-P),
so folgt aus dieser Gleichung:

(0-X') = (X-P);
daher, wenn man diese Werthe oben einsetzt:

(X'-P) + (0-X') = (0-P).
Und da auch numerisch:

(0 - X) + ( Jf - P) = (0 - X') + (X — P)

ist, so ist auch X' ein Punkt der Curve.

Ferner ist

X + X _q±P_ ^,

2 ~ 2 ~ -^" '

d, h. der Punkt M ist die Mitte zwischen einem beliebigen
Punkte der Curve X und einem anderen, entsprechenden
Punkte derselben, X'. Daher heisst M der Mittelpunkt der
Ellipse. ■ — Jede durch M gehende Strecke zwischen zwei
Punkten der Curve heisst Durchmesser.

Alle bisher aufgestellten Gleichungen bleiben unverändert,
wenn man die Punkte 0 und P vertauscht. Es kann daher
als Leitcurve der Ellipse auch ein aus P mit r beschriebener
Kreis genommen werden. — Die Punkte 0 und P heissen
nun zusammen Pr«mjj?mÄ:fe der Ellipse, und die von X nach
diesen Punkten gezogenen Strecken (r^ und r.^) Leifstralen
(Radien Vectoren).

Die aus den Endpunkten eines Durchmessers der Ellipse
gezogenen Leitstralen bilden also ein Parallelogramm.

Sei S einer der beiden Durchschnittspunkte der Ellipse
mit ihrer grossen Axe, und T sein Leitpunkt, so ist numerisch :

- 32 —

{0 — S) -}- {F — S) = {0 — T).

Da aber diese drei Strecken auf derselben Geraden liegen und
dieselbe Richtung haben, so drückt diese Gleichung auch eine
Beziehung zwischen den Punkten OS FT aus, und man erhält:

d. h.: Jeder DurchscJmittspunM der Ellipse mit ihrer grossen
Axe liegt in der Mitte sivischen seinem Leitp^mht und demjeni-
gen Brennpunkte, welcher nicht Mittelpunkt der Leitcurve ist.
Ist S' der zweite jener Durchschnittspunkte, und T sein
Leitpunkt, so ist

^ 2 '

demnach :

(5->S') = ^^^^

d. h. die grosse Axe der Ellipse (als Durchmesser betrachtet)
«5^ numerisch gleich dem Badius des Leitkreises (r), oder der
Summe (i\ -\- r.,) der heiden Leitstralm eines Funktes der
Ellipse.

Wenn r, == r.^ (= — ) ist, so sind die Strecken (0 — X),

[F — X), (X — A) numerisch gleich, das Dreieck der Punkte
0, F, A ist bei F rechtwinklig (vgl. ,, Raumlehre" Nr. 97),
und dasjenige der Punkte XOP gleichschenklig. Daher steht
der durch X gezogene Durchmesser auf der grossen Axe
senkrecht. Dieser Durchmesser, resp. die durch ihn bestimmte
Gerade heisst die kleine Axe der Ellipse.
18. Aus der oben angegebenen Constructioii eines beliebigen

Punktes der Ellipse folgt, dass diese Curve der Weg des
Durchschnittspunktes der durch die Strecken (0 — A) und
{B — X) bestimmten Geraden ist. Aus jeder Strecke (0 — A)
geht durch Construction nur eine Strecke {B — X) hervor,
und umgekehrt. Daher gehört zu der Strecke {B — X) eben-
sowohl wie zu (0 — A) nur ein Punkt der Curve. Nun fällt
im Laufe einer ganzen Umdrehung die Strecke (0 — Ä),
welche durch den Drehungspunkt 0 geht, ziveimal in dieselbe
Gerade (nämlich das erstemal in der Richtung (0 — A), das
zweitemal in der entgegengesetzten (0 — A')). Es liegen
also auch auf dieser Geraden (wie oben schon gefunden) zwei

— 33 —

Punkte der Curve. Dagegen kehrt die durch die Strecke
{B — X) bestimmte Gerade (gleich dem Punkte J., von dem
sie abhängt), weil sie nicht durch den Drehungspunkt geht,
erst nach einer ganzen Umdrehung in ihre ursprünghche Lage
und Richtung zurück; mithin hat diese Gerade nur eiiien
Punkt mit der Curve gemeinsam. — Eine solche Gerade heisst
Tangente der Ellipse.

Da während der Umdrehung der Strecke (0 — Ä) die
Gerade {B — X) beständig Tangente der Ellipse ist, so hat
diese Tangente während einer ganzen Umdrehung die ganze
Ebene beschrieben, mit Ausnahme der von der Ellipse ein-
geschlossenen Fläche. — Die Tangente, in ihren verschiede-
nen Richtungen, unihüllt also die Ellipse, und kann ebenso
wie der Punkt X als das die Ellipse erzeugende Gebilde an-
gesehen werden. — Man sagt von einem Punkte, er liege
auf der convexen oder der concaven Seite der Ellipse, jenach-
dem er von irgend einer Tangente getroffen wird oder nicht.
Man kann also nur von einem Punkte, welcher auf der con-
vexen Seite der Ellipse liegt, eine Tangente an diese Curve
ziehen.

Da die Tangente den Winkel der Strecken {X — A) und
(X — P) halbirt („Rauml." Nr. 94), so steht sie auf der
Halbirungslinie des Nebenwinkels senkrecht (a. a. 0. Nr. 84);
d. h. die Tangente im Punkte X steht senTcrecht auf der Linie,
ivelche den Winkel der mgeliörigen Leitstralen halbirt, und
letztere selbst bilden gleiche Winkel mit ihr.

Hieraus folgt : Die Tangente in einem Endpunkte der Mei-
nen Axe ist der grossen Axe parallel, und umgekehrt.

Da iltf = T" , und B = — ^i^ , so ist für jeden Punkt
der Curve

M-B==^',

d.h.: die Fiisspunkte (B) der von einem Brennpunkte (P) auf
beliebige Tangenten gefällten Senkrechten liegen auf einem aus
dem Mittelpunkte der Ellipse mit der halben grossen Axe be-
schriebenen Kreise.

Dieser Kreis geht durch die Endpunkte der grossen Axe,
und hat dort mit der Ellipse gemeinsame Tangenten; diese

Schlegel, Elemente. 3

— 34 —

Punkte sind aber auch die einzigen, in denen X und JB (die
Endpunkte der stets parallelen Strecken (0 — X) und {M — J5))
zusammenfallen. Alle übrigen Punkte {B) des Kreises liegen
ausserhalb (auf der convexen Seite) der Ellipse. — Vermöge
der ersten Eigenschaft sagt man, der Kreis berühre die Ellipse
in den Punkten S und /S'; vermöge heider: der Kreis sei der
Ellipse umsclirichen.

Wenn L ein beliebiger Punkt der Tangente ist, so ist
das Dreieck der Punkte LBP stets rechtwinklig; also liegt
B auf der über (L — P) als Durchmesser beschriebenen Kreis-
linie; mithin da, wo diese Kreislinie den die Ellipse in S und
S' berührenden Kreis schneidet. Im Allgemeinen also liefert
ein Punkt zwei Tangenten an die Ellipse, ebenso wie eine
Gerade zwei Durchschnittspunkte mit derselben.

Anmerkung. Hieraus folgt die Coustruction der Tangenten von
einem beliebigen Punkte L an die Ellipse, indem die Tangente durch
L und B bestimmt ist.

Rückt X in unendliche Ferne, so wird (P — L) der Tan-
gente parallel, und der über (P — L) beschriebene Kreis geht
über in eine durch P senkrecht auf (P — L) gezogene Ge-
rade. In diesem Falle ist also der Punkt L durch eine Ge-
rade (Strecke) mit gegebener RicJdung ersetzt. (Vgl. Nr. 3.)

Anmerkung. Mit dieser Modification geht die vorige Aufgabe
in folgende über: An eine Ellipse die Tangenten zu ziehen, welche
einer gegebenen Geraden parallel sind. — Da P innerhalb des Be-
rührungskreises liegt, so wird die in P auf (P — L) errichtete Senk-
rechte den Kreis stets schneiden; die Aufgabe ist also stets lösbar.

Wenn X' der Endpunkt des durch X gezogenen Durch-
messers ist, so sind die beiden Linien, welche die Winkel
der von X und von X' ausgehenden Leitstralen halbiren,
parallel, mithin auch die auf diesen Linien senkrecht stehen-
den Tangenten , d. h . : die beiden in den EndpunJcten eines
Durchmessers gezogenen Tangenten sind parallel.

Die aus den Brennpunkten auf diese Tangenten gefällten
Senkrechten haben, wie schon gezeigt, die Eigenschaft, dass
ihre Fusspunkte B, C, B', C auf der Peripherie des die Ellipse
in S und S' berührenden Kreises liegen ; also ist für jeden
Punkt der Ellipse {B — G) eine durch P gehende Sehne die-
ses Kreises; und das Product der numerischen Werthe von

— 35

{P—B) und (P— C) ist (nach „Raumlehre" Nr. 99) con-
stant. Da nun, wie leicht zu sehen, (P — C') = {C — 0),
so kann man sagen: dass das Product der numerischen Werthe
der von den Brennpunliten auf eine beliebige Tangente gefällten
SenhrecJden constant ist.

Jeder Pankt einer Tangente ist gleich weit entfernt von 19.
dem Brennpunkte (P) und dem Leitpunkte (Ä) des Berührungs-
punktes. Wenn daher X und Xj zwei beliebige Punkte der
Curve sind, A und A^ ihre Leitpunkte, und L der Durch-
schuittspunkt ihrer Tangenten, so ist

{L-A,)iy = {L-Py,
{L-P)ii^ = {L-Ay,
also:

{L — A,)ii^+y = {L~A).
Ferner :
{0~A)i" = {0-A,).
{0-L) + {L-A)

+ (^-0) = 0;

(0-Z) + (Z-JO

+ (A-0) = 0,

oder, wenn man {L — A^)

und [A^ — 0) durch die eben

gefundenen Werthe ersetzt:

(0 — Z) + fZ — A) i- '/*+/) + (^ - 0) '/« = 0.

Folglich ist das Dreieck der Punkte OLA^^ symmetrisch mit
dem der Punkte OLA, und (0 — L) bildet gleiche Wiukel
mit (0 - A) und (0 — ^i). (Vgl. „Raumlehre" Nr. 92.) Man
kann also sagen : Verbindet man die LeitpimMe der Berührungs-
ininMe zweier Tangenten mit deren Schnittpmikte , so wird der
Winkel dieser Verhindungslinien dureh denjenigen Radius des
Leitkreises halbirt, welcher durch den Schnittpunkt der Tan-
genten geht.

Aus (L — ^) + (J. — 0) + (0 - Z) = 0 folgt:

{L-A)i-'f'-{- (A~ 0)i- !^ -\- {0 — L)i- C = 0.

Nun ist

{L — A)i-i'=={L-P).

Fig. 6.

36 —

Sei ferner

{Ä- 0)i-^=^{F-C),
so folgt:

(0-Z)i-i*=(C— L).

Also ist der Winkel der Strecken {L — A) und (L — P) gleich
dem der Strecken {L — O) und (Z — C). Ferner ist C der
Leitpunkt von X^ in dem aus P beschriebenen Leitkreise.
Man kann also sagen: Construirt man zu jedem von zwei
Funkten der Ellijjse den LeitpunM in einem anderen Leitlireise,
und verhiiidet den SchnittpunM der beiden in jenen Punkten
gezogenen Tangenten mit den Brennpunkten und den beiden
Leitpimkten , so sind die Winkel zwischen einer Verbindungs-
linie der ersten und einer der ziveiten Art einander gleich. —

Der Winkel der Tangenten ist ^—^^ , der Winkel der nach

den Leitpunkten A und C gezogenen Geraden ist T''^ • Man

und OLP dieselbe

X,LX

sieht ferner, dass die Winkel
Halbirungslinie haben.

Specielle Fälle. 1) ß -\- y == 2. — Dann ist {L — A)
= — {L — J.,); d. h. die Punkte A^LA liegen in einer Ge-
raden, und der Winkel der Tangenten ist ein Rechter.

2) « = 2. — Dann ist (0 — A^) = — (0 — A); d. h. die

Punkte A^OA liegen in gerader Linie, mithin auch X,OX;

d. h. die Verbindungslinie der Berührungspunkte geht durch

den Brennpunkt 0.

20. Anwendung der inneren Multiplication*). — Wenn aßy

die numerischen Werthe der Seiten eines

Dreiecks sind, und «^ derjenige der Pro-

jection von a auf ß, so ist nach dem

verallgemeinerten pythagoräischen Satze:

y' = a^'-{-ß' + 2a,ß',
oder:

y2 _ <^2 _ ^2 _|_ 2aiß.

Sind ferner a und y' zwei von einem
anderen Punkte der Höhe des Dreiecks
nach den Endpunkten seiner Grundlinie
gezogene Strecken, so ist

y''-a^-==ß' + 2aj',
") Diese Nummer, deren erster Theil 2 elementare Sätze, deren

— 37 —

d, h. die Grösse y- — «^ ist für alle Punkte der Höhe gleich.
Und die Spitzen aller über derselben Grundlinie liegenden Drei-
ecke, für u-elclie die Differenz der Quadrate der beiden ande-
ren Seiten eine constante Grösse ist, liegen in einer auf der
Grundlinie senkrechten Geraden.

Ist ferner [i der numerische Wcrth der die Seite ß hal-
birenden Transversale, und ^^ derjenige ihrer Projection auf ß,
so ist

also:

«2 + y^ = 2^2_^2(|)';

d. h. die Summe der Quadrate ziveier Seiten eines Dreiecks ist
gleich der doppelten Summe aus dem Quadrat der halben dritten
Seite und dem der Transversale nach dieser Seite. — Sind
ferner u und y zwei, von einem anderen Punkte der mit ft
um die Mitte von ß beschriebenen Kreislinie, nach den End-
punkten von ß gezogene Strecken, so ist:

«2 + /2 = 2^^2 + 2(1)';

d. h. die Grösse a- -j- y^ ist für alle Punkte der Kreislinie
gleich. Und die Spitzen aller über derselben Grundlinie liegen-
den Dreiecke, für ivelche die Summe der Quadrate der beiden
anderen Seiten eine constante Grösse ist, liegen in einer, die
Grundlinie als Sehne enthaltenden Kreislinie.

Gehen wir jetzt auf die beiden speciellen Fälle am Schluss
von Nr. 19 zurück.

Im ersten Fall ist der Winkel der Strecken {L — 0) und
(L — A) ein Rechter, mithin:

(L - Ot + {L- At = (0 - A)^,

oder, da numerisch {L — A) = {L — P), und ferner (0 — A)
= r ist:

zweiter die Anwendung derselben auf die Ellipse enthält, schliesst sich
an den Abschnitt Nr. 152 — 163 der Raumlehre an, nimmt also in der-
selben eine andere Stelle ein als der sonstige Inhalt dieses Abschnittes,

— 38 —

Also liegen (uach dem zweiten der eben gefundenen Sätze)
alle diejenigen FunUc, in denen sivei Tangenten der Ellipse
sich unter recldem WinTzel schneiden, auf einer Kreislinie mit
dem Mittelpunkt M.

Aumerkung. Bezeichnet man numerisch die grosse Axe mit a,
die kleine mit b, die Entfernung der Brennpunkte mit c, so ist

Und wenn |u. der Radius der eben erwähnten Kreislinie ist, so ist
r^= 2fi^ + 2(~y ; folglich a2= 2 fi2 + y; 2fi' = a^ ~ ^^ a-"

_ (21:^') = ?!±1' ; endlich , = i Vi'Ti'.

Im zweiten Fall ist der Winkel der Strecken (0 — L) und
(0 — A) ein Rechter , mithin :

{L — A)-- - {L — 0)- = {0 — A)~,

oder, da numerisch (Z — ^) = (L — P), und ferner (0 — Ä)
= r ist:

, {L-~Pf-{L-Of = r^.

Also liegen (nach dem ersten der eben gefundenen Sätze) alle
diejenigen Punkte, in denen zwei Tangenten sich schneidest,
deren Berührungspunkte mit einem Brennpunkte in gerader
Linie liegen, in einer auf der grossen Axe senkrecht stehenden
Geraden. — Diese Gerade heisst die Directrix der Ellipse.
Eine zweite Directrix entspricht dem Brennpunkte P. — Die-
jenige, durch einen Brennpunkt gehende, Sehne, welche der
Directrix parallel ist, heisst Parameter der Ellipse.
21. Wenn die in X gezogene Tangente die beiden Directrix-

Linien resp. in L und L^ trifft, so ist das Dreieck XLO
ähnlich dem Dreieck XL^P, da die Winkel bei X gleich siud
(Nr. 18), und die Winkel bei 0 und P Rechte sind. (Vgl.
,, Raumlehre'^ Nr. 137.) Folglich ist numerisch

0-X _ L — X H - X
P-X~Li-X~Ei — X'

da auch die Dreiecke HL X und H^ L^ X ähnlich sind. Weiter

folgt: O^^l^. ,,,,, M^^H^. a. „., Für

— 39

jeden Punkt der Ellipse ist das Verhältniss seiner Entfernungen
von einer Directrix und dem zugehörigen Brenn^mnlt eine
constante Grösse, nämlich gleich dem Verhältniss zwischen der
Entfernung der beiden Directrix-Linien und der grossen Axe.
— Sei K der Schnittjiimkt
der Directrix (zu 0) mit der
grossen Axe, so ist nume-
risch (Jf— P)^— {K-oy
= r-, oder, wenn 0 — P= c
gesetzt wird:
{K— Oy + 2 c {K— 0) + C-'

-{K-~Oy=^r-^;
d. h.:

2 c

(K-O).
ferner

0)

folglich :
H

Hl

O — A c
— Aus den obigen Gleichungen folgt:
H-X_Hi~X H—Hl

Fig. 8.

0 - X P - X 0 — A c'

oder, wenn (X — S) = {H — K) gemacht wird;
K- S (v^ - e-

+ O — S) :{0- X)

0—X \ 2c

Wenn endlich (0 — X) = q , und der Winkel zwischen q und
(0 — K) gleich q) gesetzt wird , so geht die letzte Gleichung
über in:

2CQ

— cos q)

oder

2 (r -}- c . cos qp)

Sei ;^- der Werth, den q für 93 == 1 Rechter annimmt , so ist

P

Setzt man diesen Werth in die Gleichung für q

ein, so folgt, w^enn man noch

e setzt: q =

P

r " 2(l + e.cosg3)

Diese Gleichung heisst die Polar gleicMtng der Ellipse; e die

— 40 —

Excentricität; und j9 ist, wie leicht zu sehen, der Parameter,
— Die Polargleichuug lässt sich in eine auf rechtwinklige
Coordinatenaxen bezogene Gleichung umwandeln durch die
Substitutionen x = q . cos (p\ y = q . sin q).
22. Es seien (X— X) und {Y — Y') zwei beliebige Durch-

messer der Ellipse; dann sind ihre Endpunkte die Ecken eines
Parallelogramms, weil (Y — X) = (Y - M) + (M—X)
= {M — Y) -^ (X' — M) = (X — F) ist. Aber auch die
in diesen Endpunkten gezogenen Tangenten bilden ein Pa-
rallelogramm (vgl. Nr. 18 am Ende).
Nun ist:

(X-r) = (F-X);

(X-E) + (^_ Y) = (F - E') + iE' - X) ;

(X — E) - iE' —X') ^ {Y — E') - {E- Y).

Die Strecken auf der linken Seite der Gleichung haben gleiche
Richtung, mithin auch ihre Diflferenz; dasselbe findet auf der
rechten Seite statt. Die Richtungen auf der rechten Seite
sind aber verschieden von denen auf der linken. Und da
zwei Strecken nur dann gleich sein können, wenn sie gleiche
Richtung haben, so müssen beide Seiten der Gleichung ein-
zeln Null sein. Man hat also :

(X — E) — {E — X') = {Y' — E')-{E—Y) = 0;
d. h.

x + x _ E-^E' _ y+r _ ^.

2 ~ 2 ~ 2 ~ ^^^ '

d. h. : Liegen die Ecken eines Parallelogramms auf den Seiten
eines ziveiten, so haben beide denselben MittelpunM.*)

") Dieser elementare Satz gehört in den Abschn. 42—44 d. „Raumlehre".

— 41 —

Auf die Ellipse angewendet heisst dieser 8atz: Die
Diagonalen eines der Ellipse umschriebenen Parallelogramms
schneiden sich im Mittelpunlde der Curve, sind also Durch-
messer. — Zwei solche Durchmesser heissen conjugirte Durch-
messer.

Anmerkung. Die weiteren Eigenschaften dieser Durchmesser
werden hier übergangen, da unsere Methode keine charakteristische
Ableitung für dieselben bietet. Dies hängt damit zusammen, dass in
der Natur dieser Durchmesser Beziehungen des Masses und der Lage
combinirt erscheinen, und dass in Folge dessen die bisher schon be-
nutzten Methoden (vgl. Steiners Vorlesg. üb. synth. Geom. Theil 1. § 12),
welche mit der inneren Multiplication zusammenhängen, nicht weiter
vereinfacht werden können. — Ihre natürliche Stelle findet die Theorie
der conjugirten Durchmesser, wenn der Kegelschnitt als zusammen-
gesetzte Grösse betrachtet wird , weil sich dann Gelegenheit bietet, die
ilfassbeziehungen dieser Durchmesser als speciellen Fall von Lagen-
beziehungen darzustellen (nach der in Nr. 5—7 entwickelten Theorie). —
Dagegen liefert die euclidische sowohl wie die gewöhnliche analytische
Methode jene Eigenschaften conjugirter Durchmesser nur auf sehr
künstlichem und weitem, mit der Einfachheit der Resultate in gar
keinem Verhältniss stehendem Wege.

2. Bewegungsgesetz r^ — r.^ = r. — Die Hyperbel.

Wenn eine Gerade um einen ihrer Punkte 0 eine ganze i
Umdrehung macht, und ein auf ihr befindlicher Punkt X sich
inzwischen so auf ihr bewegt, dass er von einer aus 0 be-
schriebenen Kreislinie, und einem ausserlialb derselben liegen-
den festen Punkte P stets gleichweit entfernt ist, so heisst
die von X beschriebene Linie Hyperbel. — Die durch 0 und
P bestimmte Gerade heisst Haupfaxe der Hyperbel.

Jeder Richtung der sich drehenden Geraden entspricht
ein Punkt X der Hyperbel , aber auch ein Punkt Ä der Kreis-
linie. Zu jedem Punkt der Kreislinie gehört also ein Punkt
der Hyperbel. Daher nennen wir die Kreislinie die Leitcurve
der Hyperbel, und den Punkt A LeitpunU zu X

Da X von P und A gleichweit entfernt ist, so ist das
Dreieck der drei Punkte gleichschenklig; und da eine in der
Mitte JB seiner Basis errichtete Senkrechte durch die Spitze
geht, welche gleichzeitig auf der durch (0 — A) bestimmten
Geraden liegen muss, so kann man zu jedem Punkt A der
Leitcurve den zugehörigen Punkt X der Hyperbel construiren.

— 42 —

indem man A mit 0 und P verbindet, und in der Mitte von
{A — P) eine Senkrechte errichtet. Ihr Durchschnitt mit der
durch (0 — Ä) bestimmten Geraden ist X.

Fig. 10.

Da die Entfernung des Punktes X von der Kreishnie
nichts weiter bedeutet, als seine Entfernung von einem der
Endpunkte des durch X gezogenen Durchmessers, so wird
es auf der Geraden in jeder ihrer Richtungen zwei Punkte X
und X' geben, die so beschaffen sind, dass numerisch für
den einen (X — J.) = (X— P), für den andern (X' — J.')
= (X' — P) ist. Daher ivird die Hyperbel von jeder durch 0
gezogenen Geraden in ztvei Punlien geschnitten. Es genügt
aber, sich bei Erzeugung der Curve auf den einen Durch-
schnittspunkt (X) zu beschränken, weil der andere entsteht,
sobald die sich drehende Gerade in die entgegengesetzte Rich-
tung gelangt ist.

Da ;•] und r., in's Unendliche wachsen können, ohne dass
ihre numerische Differenz sich ändert, so folgt, dass die Curve
sich ins Unendliche erstreckt, — Nehmen wir an, die Rich-
tung (0 — P) sei die ursprüngliche Richtung der sich drehen-
den Geraden. Damit X sich in's Unendliche entferne (nach
der in der Figur mit 1 bezeichneten Seite hin), müssen die

— 43 —

durch (X — P) und (X — 0) bestimmten Geraden parallel
werden; d. h. in dem Dreieck der Punkte XPÄ müssen die
Winkel bei P und Ä, die stets gleich sind, Rechte werden;
folglich muss dann (P — Ä) auf (0 — Ä) senkrecht stehen,
und Tangente am Leitkreise sein; Der Leitpunld eines un-
endlich entfernten Punldes der Hyperbel ist also der BerüJinmgs-
jpunM einer von P an den Leitlireis gezogenen Tangente. Und
da man zwei solche. Tangenten construiren kann, so folgt,
dass die Hyperhel sivei unendlich entfernte PunJäe hat. —
Jeder dieser Punkte kann aber auch als Durchschnitt der
entgegengesetzten Richtungen der beiden parallelen Geraden
betrachtet werden. Und in der That tritt X, indem die er-
zeugende Gerade sich weiter dreht, auf der entgegengesetzten
Seite derselben wieder auf (von der in der Fig. 10 mit 2 be-
zeichneten Seite her), und beschreibt nun einen von dem
ersten völlig getrennten Zweig der Curve. Bei weiterer Um-
drehung der erzeugenden Geraden werden die durch (X — 0)
und (P — 0) bestimmten Geraden (wie oben bemerkt) noch
einmal parallel, nämlich wenn A in den Berührungspunkt
der zweiten von P an den Kreis gezogenen Tangente tritt.
Hierbei entfernt sich X (nach der durch 3 bezeichneten Seite
hin) zum zweitenmal in's Unendliche, und kommt (von der
durch 4 bezeichneten Seite her) zurück, um, wenn die er-
zeugende Gerade ihre Umdrehung vollendet hat, in seine
Anfangsstellung zurückzukehren. — Die Hyperbel ist also
eine zweimal durch einen unendlich entfernten Punkt gehende
und auf diesem Wege in sich zurückkehrende Curve. (Ebenso
kann man von der Geraden sagen, sie sei eine Curve, welche
einmal durch einen unendlich entfernten Punkt gehe und auf
diesem Wege in sich zurückkehre. Auch bei dieser Auffassung
erscheint die Gerade als specieller Fall der Kreislinie.) Die
Hyperbel besteht also aus zwei Zweigen, welche resp. den
Gleichungen fj — ^"2 = ~l~ *'? ^^^ ^i — ^'•i = — ^' entsprechen,
während für die unendlich entfernten Punkte gleichzeitig
rj — r., ^ -j- r ist.

Da die Strecken (X — Ä) und (X — P) numerisch gleich
sind, so hat auch die numerische Differenz der Strecken (X — 0)
und (X — P) für alle Punkte der Hyperbel denselben Werth.
(Ist nur die Interpretation der Gleichung r^ — r-y = r.)

— 44 —

24. Ist X ein beliebiger Punkt der Curve, so ist

(0 - X) - (P - X) = (0 - P).
Ist ferner ein Punkt X' so bestimmt, dass

(0-X) = (X'-P),
so folgt aus dieser Gleichung:

(0-X') = (X-P);
daher, wenn man diese Werthe oben einsetzt:
(X — P) - (X - 0) = (0 - P) .
Und da auch numerisch

(0 .- X) — (P- X) = (X' — P) - (X — 0)
ist, so ist auch X' ein Punkt der Curve.

Ferner ist

x±x_o_±p__ ,^

2 ~ 2 '

d. h. der Punkt M ist die Mitte zwischen einem beliebigen
Punkte der Curve X, und einem anderen, entsprechenden
Punkte derselben, X', Daher heisst M der Mittelpunkt der
Hyperhel. — Jede durch M gehende Strecke zwischen zwei
Punkten der Curve heisst Durchmesser.

Alle bisher aufgestellten Gleichungen bleiben unverändert,
wenn man die Punkte 0 und P vertauscht. Es kann daher
als Leitcurve der Hyperbel auch ein aus P mit r beschriebe-
ner Kreis genommen werden, — Die Punkte 0 und P heissen
nun zusammen Brennpunhte der Hyperbel, und die von X
nach diesen Punkten gezogenen Strecken (r^ und r^) Leit-
stralen (Radien Vectoren). — Da die Gleichung r^ — *'2 = **
durch Vertauschung von r^ mit r., die Form r^ — r^ = r, oder
rj — ^^2 "=" — ''' annimmt, und beide Gleichungen die ver-
schiedenen Hyperbelzweige darstellen, so folgt, dass die End-
punJdc jedes Durchmessers auf mvei verschiedenen Zweigen der
Curve liegen.

Die aus den Endpunkten eines Durchmessers der Hyperbel
gezogenen Leitstralen bilden ein Parallelogramm.

Sei S einer der beiden Durchschnittspunkte der Hyperbel
mit ihrer grossen Axe, und T sein Leitpunkt, so ist numerisch :

(0 - S) - (S -F) = (0- T).
Da aber diese drei Strecken auf derselben Geraden liegen

\

— 45 —

und dieselbe Richtung haben, sq drückt diese Gleichung auch
eine Beziehung zwischen den Punkten OS FT aus, und man
erhält:

d. h. : Jeder DurcJisclmittsjnmkt der Hyjperhel mit ihrer grossen
Axe liegt in der Mitte zivischen seinem Leitjjunkt und dem-
jenigen Brennpunlie , icelcher nicht Mittelimnlit des Leit-
kreises ist.

Ist S' der zweite jener Durchschnittspunkte, und T sein
Leitpunkt, so ist

.„ _ p-\-r .

demnach :

iS-S') = ^^',

d. h. : Die grosse Axe der Hyperlel (als Durchmesser betrach-
tet) ist numerisch gleich dem Radius des Leitkreises (r) oder
der Differenz (r^ — r^) der beiden Leitstralen eines Punktes
der Hyperbel.

Die in M auf der Hauptaxe errichtete Senkrechte heisst
Nebenaxe der Hyperbel. Da für jeden Punkt dieser Geraden
numerisch r^ = rj ist, so hat sie mit der Hyperbel keinen
Punkt gemeinsam; denn auch ihr unendlich entfernter Punkt
liegt in einer anderen Richtung, als diejenigen der Hyperbel.
(Mit anderen Worten: sie ist keinem der beiden Leitstralen-
paare parallel, welche nach den unendlich entfernten Punkten
der Hyperbel führen.)

Aus der oben angegebenen Construction eines beliebigen 25.
Punktes der Hyperbel folgt, dass diese Curve der Weg des
Durchschnittspunktes der durch die Strecken (0 — Ä) und
{B — X) bestimmten Geraden ist. — Man gelangt nun durch
eine wörtliche Wiederholung der im Anfang von Nr. 18 an-
gestellten Betrachtungen zu dem Resultat, dass die durch
{B — X) bestimmte Gerade stets nur den einen Punkt X mit
der Curve gemeinsam hat. — Diese Gerade ist daher eine
Tangente der Hyperbel.

Da während der Umdrehung der Strecke (0 — A) die
Gerade (B — X) beständig Tangente der Hyperbel ist, so hat
diese Tangente während einer ganzen Umdrehung die ganze

— 46 —

Ebene beschrieben , mit Ausnahme derjenigen beiden Räume^
in welchen die Brennpunkte liegen. — Die Tangente, in ihren
verschiedenen Richtungen, umhüllt also die Hyperbel, und
kann ebenso wie der Punkt X als das die Hyperbel erzeugende
Gebilde angesehen werden. — Man sagt von einem Punkte,
er liege auf der convexen oder der concaven Seite der Hyperbel,
jenachdem er von irgend einer Tangente getroffen wird oder
nicht. Man kann also nur von einem Punkte, welcher auf
der convexen Seite der Hyperbel liegt, eine Tangente an
diese Curve ziehen.

Da die Tangente den Winkel der Strecken (X — Ä) (oder
(X — 0)) und {X — P) halbirt, so kann man sagen: Die
Tangente im PtmMe X lialhirt den Winkel der zugehörigen
Leitstralen.

Hieraus folgt: Die Tangente in einem Endpunkte der
Hauptaxe ist der Nehenaxe xmrallel.

Da Jf == — i — und B = ~-^ — , so ist für jeden Punkt
der Curve

d. h. : die FusspunMe {B) der von einem Brennpunkte (P) auf
beliebige Tangenten gefällten Senkrechten liegen auf einem aus
dem Mittelpunkte der Hyperbel mit der halben Hauptaxe be-
schriebenen Kreise.

Dieser Kreis geht durch die Endpunkte der grossen Axe,
und hat dort mit der Hyperbel gemeinsame Tangenten; diese
Punkte sind aber auch die einzigen, in denen X und 5 (die
Endpunkte der stets parallelen Strecken (0 — X) und {M — B))
zusammenfallen. Alle übrigen Punkte {B) des Kreises liegen
ausserhalb (auf der convexen Seite) der Hyperbel! — Ver-
möge der ersten Eigenschaft sagt man, der Kreis berühre die
Hyperbel in den Punkten S und ä', vermöge beider: der Kreis
sei der Hyperbel umschrieben.

Wenn L ein beliebiger Punkt der Tangente ist', so ist
das Dreieck der Punkte iJBP stets rechtwinklig; also liegt P
auf der über {L — P) als Durchmesser beschriebenen Kreis-
linie, mithin da, wo diese Kreislinie den die Hyperbel in S
und >S" berührenden Kreis schneidet. Im Allgemeinen also

I

47 -

liefert ein Punkt zwei Tangeuteu an die Hyperbel, ebenso
wie eine Gerade zwei Durchschnittspunkte mit derselben.

Anmerkung. Hieraus folgt die Construction der Tangenten von
einem beliebigen Punkte L au die Hyperbel, indem die Tangeute durch
L und B bestimmt ist.

Rückt L in unendliche Ferne, so wird (P — • L) der Tan-
gente parallel, und der über (P — L) beschriebene Kreis geht
über in eine durch P senkrecht auf (P — L) gezogene Ge-
rade. In diesem Falle ist also der Punkt L durch eine Ge-
rade (Strecke) mit gegebener Richtung ersetzt.

Anmerkung. Mit dieser Modification geht die vorige Aufgabe
in folgende über: An eine Hyperbel die Tangenten zu ziehen, welche
einer gegebenen Geraden parallel sind. — Da P ausserhalb des Be-
rührungskreises liegt, so wird die in P auf P — L errichtete Senkrechte
den Kreis nicht immer schneiden ; die Aufgabe hat demnach , wie leicht
zu sehen, zwei, eine, oder keine Lösung, jenachdem der spitze Winkel,
welchen die gegebene Gerade mit der Hauptaxe bildet, grösser, gleich
oder kleiner ist als der spitze Winkel, den die Tangente eines unend-
lich entfernten Punktes mit der Hauptaxe bildet.

Die zu den beiden unendlich
entfernten Punkten der Hyper-
bel gehörigen Tangenten heissen
Asymptoten. Da die Asymptote
diejenige durch B gezogene Linie
ist, welche mit (0 — A) parallel
ist (denn beide Linien stehen auf
{A — P) senkrecht), so geht sie
auch durch M, weil, wie oben
bemerkt, {M — B) stets parallel
(0 — A) ist. Beide Asymptoten
schneiden sich also im MittelpunMe
der Curve.

Fig. 11.

Anmerkung. Aus der Definition
der unendlich entfernten Punkte und
der Tangenten der Hyperbel folgt die Construction der Asymptoten.
Man lege aus dem Brennpunkte P die Tangenten (P — A) an den Leit-
kreis, lind errichte in der Mitte derselben {B) senkrechte Linien.

Wenn X' der Endpunkt des durch X gezogenen Durch-
messers ist, so sind die beiden Linien, welche, die Winkel
der von X und X' ausgehenden Leitstralen halbiren , parallel ;

— 48 —

dies sind aber die Tangeuten; man hat also den Satz: Die
beiden in den Endpunkten eines Durchmessers gezogenen Tan-
genten sind parallel.

Die aus den Brennpunkten auf diese Tangenten gefällten
Senkrechten haben, wie schon gezeigt^ die Eigenschaft, dass
ihre Fusspunkte (B, C, JB', C) auf der Peripherie des die Hy-
perbel in S und S' berührenden Kreises liegen; also ist für
jeden Punkt der Hyperbel {B — C) eine durch P gehende Se-
cante dieses Kreises ; und das Product der numerischen Werthe
von {P — B) und (P— 6") ist (nach „Raumlehre" Nr. 99)
constant. Da nun, wie leicht zu sehen, (P — C) = (C — 0),
so kann man sagen, dass das Product der numerischen Werthe
der von den Brennpimlien auf eine beliebige Tangente gefällten
Senkrechten constant ist.
26, Jeder Punkt einer Tangente ist gleichweit entfernt von

dem Brennpunkte (P) und dem Leitpunkte (Ä) des Berühruugs-
punktes. Wenn daher X und Xj zwei beliebige Punkte der
Curve sind, A und A^ ihre Leitpunkte, und L der Durch-
schnittspunkt ihrer Tangenten, so ist:

{L-A,)iy = {L-P)',
{L — P)i-i' = {L — A)-,
also:

{L-A,)iy-!'={L — A).
Ferner :

{0 — A)i" = {0 — Ji).

(^0-L) + {L-A) + {A-0)

= 0;

^O-D + iL-A,)

+ (^,-0) = 0,

oder, wenn man (X — A^)

und {A^ — 0) durch die eben

Fig. 12. gefundenen Werthe ersetzt :

(0 — X) + {L-A)iß-y -]- {A — a)i" = 0.

Folglich ist das Dreieck der Punkte OLAi symmetriscli mit

dem der Punkte OLA, und (0 — L) bildet gleiche Winkel

mit (0 — A) und (0 — ^j). (Vgl. „Raumlehre" Nr. 92.) Man

kann also sagen : Verbindet man die Leitpunkte der Berührungs-

— 49 -

punhte zweier Tangenten mit deren Schnittpunkte, so wird der
Winhel dieser Verbindungslinien durch denjenigen Badius des
Leithreises halhirt, welcher durch den Schnittpunkt der Tan-
genten geht.

Aus {L-A)-{- {A - 0) + (0 - X) = 0 folgt:

{L-Ä)iß + {Ä~0)ii' + {0 — L)iß = 0.

Nun ist

{L-A)ii'^{L — F).
Sei ferner:

{A-0)v' = {F—C),
so folgt:

(0— Z)«/^= {C — L).

Also ist der Winkel der Strecken {L — A) und (L — P)
gleich dem der Strecken (i — 0) und {L — C). Ferner ist C
der Leitpunkt von Xj in dem aus P beschriebenen Leitkreise.
Man kann also sagen: Construirt man zu jedem von zwei
Funkten der Hyperbel den Leitpunkt in einem anderen Leit-
kreise, und verbindet den Schnittpunkt der beiden in jenen.
Punkten gezogenen Tangenten mit den Brennpunkten und den
beiden Leitpunkten, so sind die Winkel zwischen einer Ver-
bindungslinie der ersten und einer der zweiten Art einander

gleich. — Der Winkel der Tangenten ist "^ ~ , der Winkel
der nach den Leitpunkten gezogenen Geraden ist ^—- — ~ •

Man sieht ferner, dass die Winkel X^LXundOLP dieselbe
Halbiri ingslinie haben .

Derjenige Winkel der Asymptoten, zwischen dessen
Schenkeln die beiden Zweige der Hyperbel liegen , heisst der
Asijmptotenivinkel. — Von den durch M gezogenen Geraden
schneiden nur diejenigen, welche die Asymptotenwinkel thei-
len, die Curve in 2 Punkten, die Asymptoten selbst (als
Tangenten) treffen die Curve in je einem Punkte, alle übrigen
durch M gezogenen Geraden treffen sie gar nicht. — Aus
dem Begriff der Asymptoten folgt ferner: Zwei Tangenten,
die an denselben Hyperbelztceig gezogen sind, schneiden sich
in einem Punkte, der mit diesem Zweige zivisehen den Schen-
keln desselben Asi/mptotemvinkels liegt; zu-ei Tangenten, die an
verschiedene Hyperbelzivcige gezogen sind, schneiden sich in
einem Punkte, der ausserhalb der Schenkel der Asymptoten-

Schlegel, Elemente. 4

- 50 —

winket liegt. Umgekehrt: Die Tangenten, welche von einem
Punkte Innerhalb der SchenTxel des AsymptotenwinJcels ausgehen,
treffen beide den in demselben Baume liegenden Hyperbelziveig ;
die Tangenten, ivelche von einem Punkte ausserhalb der Schen-
kel des Asymptotemvinkels ausgehen , treffen jede einen anderen
Zweig der Hyperbel.

Unsere letzte Betrachtung setzte, wie die Figur zeigt,
den zweiten dieser beiden Fälle voraus. Wenn die beiden
Tangenten aus L an denselben Hyperbelzweig gehen, so hat
man nur ß überall mit entgegengesetztem Vorzeichen zu ver-
sehen, wodurch alle Formeln mit den analogen für die Ellipse
geltenden identisch werden.

Specielle Fälle. 1) y — ß = 2. — Dann ist (L — A)
= — (L — J.j); d. h.: die Punkte A^LA liegen in einer Ge-
raden, und der Winkel der Taugenten ist ein Rechter. —
Da der Asymptotenwinkel stets kleiner ist als der Winkel
zweier au denselben Hyperbelzweig gezogener Tangenten, so
kann der letztere nur dann ein Rechter sein, wenn der erstere
spitz ist. Und da der Nebenwinkel des Asyraptotenwinkels
stets grösser ist, als der Winkel zweier an verschiedene
Hyperbel zweige gezogener Taugenten, so kann der letztere
nur dann eiu Rechter sein, wenn der erstere stumpf ist. —
Ueberhaupt also kann der Winkel zweier Tangenten nur dann
ein Rechter sein, wenn der Asymptotenwinkel spitz ist. —
Ist dieser Winkel ein Rechter, so sind die Asymptoten selbst
die zugehörigen Tangenten. — Je nach der Beschaffenheit
des Asymptotenwinkels kann man die Hyperbel selbst s^ntz-
winklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig nennen.

2) a = 2. — Dann ist(0 — ^,)= — {0 — A); d.h. die
Punkte A^OA liegen in gerader Liuie, mithin auch X, OX;
d. h. die Verbindungslinie der Berührungspunkte geht durch
den Brennpunkt 0.
27. Anwendung der inneren Multiplication. — (Vgl. Nr. 20.)
Im ersten der soeben erwähnten speciellen Fälle ist der Win-
kel der Strecken {L — 0) und {L — A) ein Rechter, mithin:

(L-Of -{- (L- A)^ ^- {0- Af,

oder, da numerisch {L^ — A) = {L — P), und ferner (0 — A)
= r ist:

— 51 — '

2

(L — 0)- + (Z — P)- = r

Also liegen alle diejenigen PunJde, in denen zivei Tangenten
der Hyperbel sich unter rechtem Winkel schneiden, auf einer
Kreislinie mit dem Mittelpimlit M.

Anmerkung. Bezeichnet man numerisch die Hauptaxe mit a, die
Entfernung der Brennpunkte mit c, und setzt c- — r^ = b^, so ist

[— -| — (v) "^(v/^^It)' ^^^ wenn (i der Radius der eben
erwähnten Kreislinie ist , so i&t r^ = 2 ^^ -{- 2 l —-] ; folglich

a^ = 2(1^ 4" -IT ; ^f- = «* s~ = " 1 — i — I = — n — ; endlich

ft = -^ Ya^ — b^. — Der Radius fi ist also reell, imaginär, oder Null,
jenachdem a >, <i, = b ist. Im letzten Falle ist ilf der einzige Punkt,
in welchem sich zwei Tangenten unter rechtem Winkel schneiden ; und
da die aus 31 gezogenen Tangenten die Asymptoten sind, so stehen
diese senkrecht auf einander; d. h. die Hyperbel ist rechtwinklig. (Die
rechtwinklige Hyperbel entspricht als specieller Fall der allgemeinen
Hyperbel ebenso wie der Kreis der Ellipse.) Ist a > b, so ist die Hy-
perbel spitzwinklig, und wenn a <^h, stumpfwinklig.

Im zweiten Fall ist der Winkel der Strecken (0 — L)
und (0 — A) ein Rechter , mithin :

{L-A)^-{L-Or = {0-A)^,

oder, da numerisch {L — A) =^ {L — P), und ferner (0 — A)
==■■ r ist:

(i-P)- - {L—Of=r-.

Also liegen alle diejenigen PunJcte, in denen stvei Tangenten
sich schneiden, deren Berülirungspunkte mit einem Brennpunkte
in gerader Linie liegen, in einer auf der Hauptaxe senkrecht
stehenden Geraden. — Diese Gerade heisst die Diredrix der
Hyperbel. Eine zweite üirectrix entspricht dem Brenn-
punkte P. — Diejenige durch einen Brennpunkt gehende
Sehne, welche der Directrix parallel ist, heisst Parameter
der Hyperbel.

Wenn die in X gezogene Tangente die beiden Directrix- 28.
Linien resp. in L und i, trifll, so ist das Dreieck XLO
ähnlich dem Dreieck XLyP, da die Winkel bei X gleich
sind (Nr. 25), und die Winkel bei 0 und P Rechte sind.

■i*

— 52 —

(Vgl. „Raumlehre" Nr. 137.) Polglich ist numerisch

0 — X__ L — X _ H — X
P-X~~ Lt — X~ H^-X'

da auch die Dreiecke J3"ZX und H^L^X ähnlich sind. Wei-

ter folgt;

0 — A H—H,

oder:

XI I — X H — -Hj

d.h.

P - X ~ IT, - X ' """^ ' P — X 0 — A^
Für jeden Punkt der Hyperhel ist das Verhältniss seiner Ent-
fernung eil von einer Directrix und dem zugehörigen Brenn-
punM eine constante Grösse, nämlich gleich dem Verhältniss
sivischen der Entfernung der beiden Directrix-Linien und der

Fig. 13.

Hauptaxe. — Sei K der Schnittpunkt der Directrix (zu 0)
mit der Hauptaxe, so ist numerisch (K — Py — {K — Oy = r-,
oder, wenn (0 — P) = c gesetzt wird:

{K— Of — 2c{K— 0) + c"- - {K—Oy = r2;

d. h.:{K-0) = '^' ; ferner {H- H,)^c~-2 {K- 0)^'-x

folglich: ^ _ J

2c
r
c

• — Aus den obigen Gleichungen folgt :
Hi—X

H—^y

0 - Ä

O —X~~ P — X
oder, wenn (X — S) =- (H — K) gemacht wird;

o — x

— 53 —

Wenn endlich (0 — X) = q, und der Winkel zwischen q und
(0 — IC) gleich 9 gesetzt wird, so geht die letzte Gleichung

über in;

cos (p —

2CQ

oder

Sei

2 (r — c . cos cp)
(jP = 1 Rechter annimmt, so ist

f,' der Werth, den q für

— • Setzt man diesen Werth in die Gleichung für q

P =

P

ein, so folgt, wenn man noch — = e setzt : p = „ ,,

' ° ' r *^ 2 (1 — e . cos q»)

Diese Gleichung heisst die Polargleichung der Hyperbel; e die
Excentricität , und p ist, wie leicht zu sehen, der Parameter.
— Die Polargleichung lässt sich in eine auf rechtwinklige
Coordinatenaxen bezogene Gleichung umwandeln durch die
Substitutionen x = q . cos q)] y =^ q . sin (p.

Es seien (X — X') und {Y — F') zwei beliebige Durch- 29.
messer der Hyperbel; dann sind ihre
Endpunkte die Ecken eines Parallelo-
gramms, weil {Y — X) = {Y—]\f)
4- (Jf- X) = (M— Y') + (X— Jf)
=r (X' — Y') ist. Aber auch die in
diesen Endpunkten gezogenen Taugen-
ten bilden ein Parallelogramm (vgl.
Nr. 25 am Ende). Und der in Nr. 22
aufgestellte elementare Satz lehrt fol-
gendes: Die Diagonalen eines der Hy-
perhel umschriebenen Parallelogramms
schneiden sich im llittelpunM der Curve,
sind also Durchmesser (sofern man den
ßeffriff des Durchmessers auch auf die-
jenigen durch 31 gehenden Geraden
erweitert, welche die Curve nicht schneiden)
Durchmesser heissen conjugirfe Durchmesser.

Fig. 14.

Zwei solche

3. Bewegungsgesetz )\ + r, = oo.

Die Parabel.

Die Erzeugung der Ellipse und der Hyperbel beruhte 30.
auf der gemeinsamen Voraussetzung, dass der Radius des
Leitkreises eine endliche Grösse habe. Halten wir den Durch-
schnittspunkt dieses Kreises mit der durch 0 und P bestimm-
ten Geraden 0 fest, lasseu aber den Punkt 0 sich von diesem

54 —

Durchschnittspunkte auf der Geraden in's Unendliche ent-
fernen, so geht der Leitkreis in eine auf der Geraden 0 senk-
recht stehende gerade Linie über, r wächst in's Unendliche,
und die Lage eines Punktes X der zu erzeugenden Curve
wird jetzt durch das Gesetz bestimmt, dass X von P nyid von
der Leitlinie jederzeit gleicluveit entfernt sei. Da in der Lage
des Punktes P dieser Geraden gegenüber kein Gegensatz
zwischen ,, innerhalb" und „ausserhalb^' mehr stattfindet, so
bildet die von X beschriebene Curve einen speciellen Fall
sowohl der Ellipse als der Hyperbel. (Wenn P auf der Leit-
linie liegt, so erhält man wie früher die in P auf letzterer
senkrecht stehende Gerade 0 als Weg des Punktes X.) End-
lich ist klar, dass die durch 0 und X gehende Gerade, welche
früher um den Punkt 0 sich drehte, jetzt parallel mit der
Geraden 0 vorwärts rücken wird. (Vgl. Nr. 3.) — Tm All-
gemeinen ergeben sich die Eigenschaften der Parabel aus
denen der Ellipse oder Hyperbel durch die eben erwähnte
Specialisirung.

Wenn eine Gerade parallel mit einer festen Geraden 0
sich vorwärts schiebt, und ein auf ihr befindlicher Punkt X
sich inzwischen so auf ihr bewegt, dass er von einer auf 0
senkrecht stehenden festen Geraden und einem auf 0 liegen-
den Punkte P stets gleichweit ent-
fernt ist, so heisst die von X
beschriebene Linie Parabel. Die
Gerade 0 heisst Axe der Parabel.
Jeder Lage der sich schieben-
den Geraden entspricht ein Punkt
O X der Parabel, aber auch ein
Punkt A der Leitlinie. Zu jedem
Punkte der letzteren gehört also
ein Punkt der Parabel. Daher
heisst A der Leitpunkt zu X.

Man findet X, indem man
durch A die Parallele zu 0 zieht,
^i8- 15. und in der Mitte der Verbindungs-

linie von A und P die Senkrechte errichtet. Der Durchschnitts-
punkt der beiden Geraden ist X.

Da die Entfernung des Punktes X von der Leitlinie eine

— 55 —

eindeutige Grösse ist, so hat die durch X (d. h. jede) mit 0
gezogene Parallele auch nur einen Punkt mit der Parabel
gemeinsam. Man kann jedoch die Richtung dieser Parallelen
selbst den unendlich entfernten Punkt der Parabel nennen,
und dann sagen, der zweite gemeinsame Punkt sei dieser un-
endlich entfernte Punkt.

Aus der'Eutstehung der Curve folgt ferner, dass bei der
unbegrenzten Vorwärtsbewegung der erzeugenden Geraden
auch X sich mit derselben in's Unendliche von 0 entfernt,
ebenso aber auch von der Leitlinie. Die Parabel ist also eine,
wie die Ellipse, aus einem Zuge bestehende, aber, wie die
Hyperbel, unbegrenzte Curve.

Da zu jedem Punkte X der Parabel der entsprechende
Punkt X mit dem unendlich entfernten Punkte zusammen-
fällt, so vertreten die durch Punkte der Parabel mit der Ge-
raden 0 gezogenen Parallelen die Stelle der Durchmesser, und
der Mittelpunkt liegt im Unendlichen.

Der Punkt P heisst Brennpunkt der Parabel, und die
von X nach P, und parallel mit 0 (nach dem unendlich ent-
fernten Brennpunkt 0) gezogenen Linien {r^ und r^) Leitstrdlen.

Sei S der Durchschnittspunkt der Parabel mit ihrer Axe,
und T sein Leitpunkt, so ist

^ = —2 '

d. h. : Der DiirchscJinittspunkt der Parabel mit ihrer Axe liegt
in der Mitte ztvischen seinem Leitpunkt und dem Brennpunkte.

Während die erzeugende Gerade sammt dem Punkte Ä 3L
in fortwährender Lagenänderung begriffen ist, dreht sich die
Strecke {B — X) um den Punkt P, ohne jemals in eine vorige
Richtung zurückzukehren. Denn in dem Masse, als A nach
der einen oder anderen Seite sich von T entfernt, nähert sich
[B — X) der zu (0) parallelen, resp. entgegengesetzten Rich-
tung, und macht also überhaupt nur eine halbe Umdrehung.
— Demnach kann die durch {B — X) bestimmte Gerade in
jeder Richtung nur einen Punkt mit der Curve gemeinsam
haben, und heisst daher Tangente der Parabel.

Die Tangente beschreibt im Verlauf ihrer Drehung den-
jenigen Theil der Ebene, welcher den Brennpunkt der Pa-
rabel nicht enthält. Sie umhüllt die Parabel und kann als

— 56 —

erzeugendes Gebilde derselben angesehen werden. Ein Punkt
der Ebene liegt auf der convexcn oder der concavcn Seite der
Parabel, jenachdem er von irgend einer Tangente getroffen
wird oder nicht. Man kann also nur von einem auf der
convexen Seite der Parabel liegenden Punkte eine Tangente
an diese Curve ziehen.

Die Tangente im PunMc X steht scnJcrecJit auf der Linie,
welche den Winkel der mgehürigen Leitstralen halbirt, und
letztere bilden gleiche Winkel mit ihr.

Die Tangente im Endpunkte der Axe (Scheitel) steht auf
dieser senkrecht.

Da der Kreis, welcher die Ellipse, resp. Hyperbel in den
Endpunkten ihrer Hauptaxe berührte, für die Parabel in ihre
Scheiteltangente übergeht, so folgt weiter der Satz: Die
Fusspunkte der vom Brennpunkte auf beliebige Tangenten ge-
fällten Senkrechten liegen auf (/er Scheitelfangente.

Wenn L ein beliebiger Punkt der Tangente ist, so ist
das Dreieck der Punkte LB P stets rechtwinklig, also liegt B
auf der über {L — P) beschriebenen Kreislinie, mithin da wo
diese Kreislinie von der Scheiteltangente getroffen wird. Im
Allgemeinen also liefert ein Punkt zwei Tangenten an die
Parabel.

Anmerkung. Hieraus folgt die Constructiou der Tangenten von
einem beliebigen Punkte L an die Parabel.

Rückt L in unendliche Ferne, so geht die erwähnte
Kreislinie über in eine durch P auf (P — L) senkrecht ge-
zogene Gerade. Da diese Gerade mit der Scheiteltangente
nur einen Punkt gemeinsam hat, so kann man nur eine Tan-
gente parallel zu einer gegebenen Richtung an die Parabel
ziehen.

Anmerkung. Die Constructiou dieser Tangente geht aus dem eben
Gesagten hervor.

32. Jeder Punkt einer Tangente ist gleichweit entfernt von

dem Brennpunkt und dem Leitpunkt des Berührungspunktes.
Wenn daher X und X, zwei beliebige Punkte der Curve sind,
Ä und Ä^ ihre Leitpunkte, und L der Schnittpunkt ihrer
Tangenten, so ist das Dreieck der Punkte LAÄ^ gleich-
schenklig, und der Winkel an der Spitze desselben wird durch

57

die aus L auf die Leitlinie gefällte Senkrechte halbirt. Oder:
Verbindet man die LeitpunMe der Berührimyspimldr ziveier
Tangenten mit deren Schnittpimlcte , so ivird der Winliel dieser
Verhindungslinien durch den-
jenigen der Axe parallelen
Leitstral halbirt, welcher
durch den Schnittpunkt der
Tangenten geht.

Sei 0 die Richtung der
Axe, und C diejenige einer
Geraden, die so bestimmt
ist, dass, wenn

dann auch

{Ä — 0)i->'=^ (F — C)
ist. Dann folgt:

(L — 0)i-(* = (X- C).
Und nach Analogie mit den
entsprechenden Sätzen der
Ellipse und der Hyperbel wird
man schliessen, dass C der
Leitpunkt von X, auf einer unendlich entfernten, auf (P — X,)
senkrechten Geraden ist, die man als Leitlinie mit dem Centrum
P betrachten kann. Dann gestattet die letzte Formel folgende
Fassung: Verbindet man den Durchschnittspunkt L zweier
Tangenten an die Parabel einerseits mit dem Brennpunlit P
und dem unendlich fernen Punkt 0, andrerseits mit dem Leit-
punht des einen Berührungspunktes (X) und dem unendlich
fernen Punkte der Geraden (P — X,), so sind die Winkel
zwischen einer Verbindungslinie der ersten und einer der zivei-
ten Art einander gleich. — Der Winkel der Tangenten ist

'T^ , der Winkel der nach den Punkten A und C gezogenen

Geraden ist - ^7"^ ' ^^^ sieht ferner, dass die Winkel X^LX

und OLP dieselbe Halbirungslinie haben.

Der Winkel der von L nach (7 und P gezogenen Geraden

ist also ^^ftj' — ß = l^ ; mithin der Winkel der von P

Fig. IG.

— 58 -

- Andrer-
0) gleich

■L) und {Ä—O), oder von {P—L)

nach Xj und L gezogenen Geraden 2R — T "^ '
seits ist der Winkel der Geraden (L — Ä) und {L
~r ^ ; mithin der von {Ä

und (P- X) gleich 2R — ^ .

Specielle Fälle. 1) /3 -}- y = 2. — Dann ist {L — Ä)
= — {L — ^4j); d. h. die drei Punkte LAA^ liegen auf einer
Geraden, und da A und vi, stets auf der Leitlinie liegen, so
ist diese selbst die erwähnte Gerade. Da jetzt der Winkel
der Tangenten ein Rechter ist, so hat man den Satz: Die
von irgend einem Punkte der Leitlinie an die Parabel gezoge-
nen Tangenten hilden einen rechten WinTiel.

Da nun die Winkel, welche (P — L) mit (P — X) und
(P — X^) bildet, beide Rechte sind, so liegen die drei Punkte
PXXj in gerader Linie; mithin haben wir den Satz: Die
Berührung sseJine der von einem Punkte der Leitlinie an die
Parabel gezogenen Tangenten geht durch den Brennpimht.

Hiernach gehen die beiden, an entsprechender Stelle bei
der Ellipse und Hyperbel angenommenen speciellen Fälle bei
der Parabel in einen einzigen über; und wenn wieder die
aus dem zweiten dieser Fälle hervorgehende Gerade Directrix
genannt wird, so kann man sagen, dass für die Parabel die

Directrix mit der Leitlinie zusam-
menfällt. — Diejenige durch den
Brennpunkt gehende Sehne, welche
der Directrix parallel ist, heisst
Parameter der Parabel.

Für jeden Punht der Parabel
ist das Vcrhältniss seiner Entfer-
nungen von der Directrix und dem
BrennpiinJcfe gleich 1. — Sei K der
Schnittpunkt der Axe mit der Di-
rectrix, ferner q der numerische
Werth der Strecken {A — Z),
(P — X), q) der Winkel zwischen
(P- X) und (P-X), so ist
P); andrerseits: (P — S) = — q . cos gj;
Q . COS g), oder ^ (1 -|- cos cp)

iP-S)=Q-(K-

folglich Q - (K—P) =^ —

— 59 -

== {K — F). Sei y der Werth, den q für g? = 1 Rechter
annimmt, so ist ^ = (K — P) ; also p = ^ ,. . : • Diese

' 2 ^ -^ ' '^ 2 (1 + cos qp)

Gleichung heisst die JPolargleiclmng der Parabel; p ist der
Parameter. Sie geht aus derjenigen der Ellipse oder Hyperbel
hervor, wenn man dort c = + 1 setzt. Daher stellt die

Gleichunff p = ^^ ,, , r , wenn man darin e von 4- 1

^ ^ 2 (1 + e cosqo) ' '

bis — 1 variiren lässt, folgende Curven dar:

1>==(+1), <(+l)u.>0, =0, <Ou.>(-l), =(-1)
Parabel, Ellipse, Kreis, Hyperbel, Parabel.

Zweite Abtheilung.

Die Projectivität von Punkten und Linien.

Der Begriff der Involution von Punkten und Linien, nebst 34.
den Gleichungen, welche zwischen involutorischen Gebilden
bestehen, wurde in der ,, Raumlehre'^ Nr. 171 .aufgestellt, und
es wurde in Nr. 185 und 186 gezeigt, dass mittelst des Be-
griffes der reciproken Verwandtschaft jeder durch eine Glei-
chung zwischen Punkten darstellbare Satz einen reciproken
Satz nach sich zieht, welcher durch eine Gleichung zwischen
Linientheilen dargestellt wird. — Im Folgenden sollen nun die
verschiedenen projectivischen Beziehungen zwischen Punkten
und Linien abgeleitet werden, und es wird der Begriff der
Reciprocität in der Weise verwendet werden, dass jedem Satze
sein reciproker gegenüber gestellt wird.*)

*) Um dem Gegenstande dieser, wie dem der folgenden Abtheilung
seine Stelle im „System der Eaumlehre'' anzuweisen, erscheint es zweck-
mässig, die dort gegebene Reihenfolge der Gegenstände in folgender
Weise zu ändern:

II. Grössen im Gebiete der Ebene.

A. Abgeleitet aus einer beweglichen Geraden.
a. Einfache Bewegung (S. 23—69).

ß. Zusammengesetzte Bewegung (Abth. 1. des vorliegenden Buches).

B. Abgeleitet aus mehreren festen Strecken oder Punkten.
1. Einfache Grössen.

a) Einzelne Grössen (S. 70—129).

60 -

1. Halbirungspunkte und Halbirungslinien.

35. Betrachten wir zuerst den speciellen Fall, dass von vier

harmonischen Punkten auf einer Geraden der eine, D, in
unendliche Ferne gerückt sei, dann halbirt der ihm zugeord-
nete Punkt B die Strecke zwischen den beiden anderen, A
und C, und man hat:

^4- C ^ A—C

2

B

B

wobei B ein Punkt mit dem Coefficienten 0, d. h. eine Strecke
oder ein unendlich ferner Punkt ist.

Sind nun ah cd vier durch die Punkte ABCB resp.
gehende harmonische Linien, von der Art, dass h auf der
Geraden der vier Punkte senkrecht steht, so halbirt h den
Winkel der Geraden -\- a und + c, und d denjenigen der
Geraden -|- a und — c. (Vgl, „Rauml." S. 80 unten.)

Nun ist aber vermöge
der reciproken Verwandt-
schaft :

\

/

/

d

a/ s

\.

\

t

/ ,

\

h =

a -\- c

d =

man kann also sagen, dass
jy die Halbirungslinie des Win-
kels zweier Geraden -f a wnd
-f- c dargestellt werde durch

Fig. 18. a±_C if,s

2 ■ ^
Ist die Richtung von h eine andere, so sind h und d nicht
mehr die Halbirungslinien der Winkel {-{-(', + f) wud
{-{-a, — c) , sondern es besteht nur die allgemeine Gleichung:

b) Vereine von ürössen (S. 13:3 — 1.37, 141 — 153. Ahthcüung 1. des
■vorliegenden Buches).
2. Zusammengesetzte Grössen (S. 129—133, 137—141. Abthlfj. 'i
des vorliegenden Buches).
*) Wenn sonst die Halbirungslinie b des Winkels zweier Geraden
a, c (ihre Mittelrichtung) durch h = ya c bezeichnet wird (vgl. „Raum-
lehre" Nr. 83), so stellen die Buchstaben ahc in dieser Formel die Ge-
raden nur ihrer Bichtnng, nicht ihrer Lage nhch dar. Jene Bezeichnung
ist also in den gegenwärtigen Untersuchungen, wo es wesentlich mit
auf die Lage der Geraden ankommt, nicht mehr ausreichend.

61

sin (&«)
sin (h c)

sin (da)

sin (de)

Es gelten daher die Sätze von Halbirungslinien der
Winkel ebensowohl von allen Linien, welche die Winkel so
theilen, dass das Verhältniss der Sinus der beiden Theile für
alle Winkel dasselbe ist. Des bequemeren Wortausdruckes
wegen soll jedoch im Folgenden der Ausdruck „Halbirungs-
linie" (für welchen jenes Verhältniss den Werth 1 hat) bei-
behalten werden.

Wenn ABC drei Punkte der Ebene sind, und ahc die
durch die Linientheile BC, CA, AB resp. bestimmten Ge-

Fig. 19.

raden, so lassen sich a, h, c mit A, B, C reciprok verwandt
setzen, und mau erhält folgende identische Gleichungen und
Lehrsätze (s. zuerst die Anmerkung am Schluss dieser Sätze):
A — B , B-C . C — A

-B , B- C . C__

'i. i" 2 "^ 2

0.

Die unencUiclh entfernten PunMe
auf den Seitenlinien eines Drei-
ecks Hegen auf einer {^unend-
lich fernen) Geraden. (Vgl.

Nr. 120.)

+ m^)

-0.

& I b ~ c

I o

c — a
2

0.

Die Halbirungslinien der inne-
ren Winh'l eines Dreiecks
sehneiden sieh in einem Punkte.

a-]-h

) + M

+ ("4^') "

0.

DieVerhindungslinie der Mitten Die Halhirungslinien ziveier
ziveier Seifen eines Dreiecks ist \ äusseren und des dritten inne-

- 62 —

der dritten Seite parallel (liegt
auf derselben Geraden mit dem
unendlich fernen Punhte der
dritten Seite).

Die drei Tratisversalen eines
Dreiecks schneiden sich
einem Piinlie (-M).

in

N=^ (A -\- B)— C= (B - C)
-\-'ä = {ä-C)-\- B.

Eine Transversale und die aus
den zwei anderen Ecken mit
den Gegenseiten gezogenen Ba-
rallelen Schneidensich in einem.
Punkte (N).

ren Winkels eines Dreiecks
schneiden sich in einem Punkte.

3w = (ff 4- &) + c = (& + c)
+ a = (c +«,) + &.

Die Punkte, in welchen die
HaTbirungslinien der Äussen-
winkel eines Dreiecks die Gegen-
seiten schneiden, liegen in einer
Geraden (m).

n = {a-\- h) — c = (b — c)
-{-a = (a-c)^b.

Die Punkte, in welchen die
Halbirungslinien zweier inne-
ren und des dritten äusseren
Winkels eines Dreiecks die
Gegenseiten schneiden , liegen in
einer Geraden (w).

Anmerkung. Was die üebertragung der Formeln in Worte be-
trifft, so sagen die beiden ersten Formeln aus, dass drei Punkte,
zwischen denen eine Zahlbeziehung bestellt, in einer Geraden liegen,
resp. dass drei Geraden mit gleicher Eigenschaft durch einen Punkt
gehen. — Die beiden letzten Formeln sagen erstens aus, dass ein Punkt
(M, N) aus drei Puuktepaaren gleichzeitig ableitbar ist, woraus folgt,
dass die jene Punktepaare verbindenden Geraden durch denselben Punkt
gehen; zweitens sagen die Formeln aus, dass eine Gerade (wt, n) aus
drei Linienpaaren gleichzeitig ableitbar ist, woraus folgt, dass die
Schnittpunkte jener Liuienpaare auf derselben Geraden liegen.

2. Harmonische Punktreihen und Stralenbüschel.

36. Wenn A, B, C drei Punkte der Ebene sind, und X ein

beliebiger vierter Punkt, welcher durch die Zahlen mnp aus
den vorigen abgeleitet ist, sodass

X = mA-^ nB-^pC,

so sind die Schnittpunkte Xj X. Xg der Geraden {A X), (B X),
(CX) mit resp. {BC), (CA)] (AB), bestimmt durch die
Formeln :

— 63 —

X,

n -\~ p ' n -\- p '

X,

p -{- m 2i -\- in '

X,

(Vgl. „Raumlehre« Nr. 1 Uff.) Sind ferner Ä^B^ C, die Punkte,
in denen {BC), (CA),
(AB) resp. von {X^ X^),
(X3ZO, (XjX,) ge-
schnitten werden, so ist

(«/ — jj) i?, = m A — pC-^
(m — ^») (\ = nB—m A ;

folglich durch Addition :

+ (w — wOC, =0;

d. h.: ^, , B^ und Cj
liegen in derselben Ge-
raden.

Hieraus folgt reci-
prok, dass, wenn die
Seiten eines Dreiecks
von einer beliebigen Ge-
raden geschnitten werden, durch eine mit der vorigen reci-
proke Construction drei Geraden gefunden werden, die sich
in einem Punkte schneiden. — Ist die beliebige Gerade die-
jenige, welche in der letzten Figur durch A^B^C^ geht, so
ist der Schnittpunkt jener drei Geraden wieder X. Denn sei

Fig. 20.

so ist

{AB) = c, (BC) = a, {CA) = b,
{A,B,)^{B,G,) = {(\A,) = x,

(ax) = ^j, (Jbx) = B^ , {ex) = C, ;
{hc) = A, {ca) = B, ah = C,
und wenn folgerecht gesetzt wird:

{A,A) = x,, {B,B) = x,, {C,C) = x,,

— 64

so gehen die Linien {XÄ), {XB), (XC) resp. durch die Punkte
(x^x^)) (oc^Xi), (oc^x^) *) ; d. h. : die Verbindungslinien der Punkte
(ah) und (x^x^), (bc) und {x-^x^ , {ca) und {x^x^ gehen durch
denselben Punkt X.

Neben dieser allgemeinen Beziehung zwischen den Ge-
bilden X und X ergeben sich für unsere Figur noch weitere
Sätze.

die

1) Da die Linien {XA), {XB), (XC) nicht nur durch
Punkte (x^x^), (x^x^), {x^x^, sondern auch durch X^,

I

Xj, Xg gehen, und diese letzteren Punkte die vierten har-
monischen Punkte resp. zw. A^BC, B^CA, C\AB sind (nach
„Raumlehre" S. 80), so lässt sich das in der letzten Anmerkung
erhaltene Resultat in folgenden Sätzen aussprechen:

Werden die Seiten eines Drei-
ecks von einer Geraden geschnit-
ten, iind construirt man zu
einem Sclmittpunkt auf der
zugehörigen Seite den vierten
harmonischen Punkt, so geht
die Verhindungslinie dieses
Punktes mit der gegenüberliegen-
den Ecke, und die Verbindungs-
linien der beiden anderen Schnitt-
punkte mit den gegenüberliegen-
den Ecken durch denselben
Punkt.

2) Addirt man die Formeln:

- {n -\- 2^ X, =^ — nB — pC ,

(p -\- m) Xo =^ pC ~\~ mA ,

( n — m) C\ = nB — mA ,
so folgt:

(n — m) C, + (p + m) X, — (n + p) Xy = 0 ,

Verbindet man einen Punkt
mit den Ecken eines Breiecks,
und construirt zu einer Ver-
bindungslinie durch die entspre-
chende Ecke die vierte harmo-
nische Linie, so liegt der
Schnittpunkt dieser Linie mit
der gegenüberliegenden Seite,
und die Schnittpunkte der bei-
den anderen Verbindungslinien
mit den gegenüberliegenden Sei-
ten in derselben Geraden.

*) Au8 der Formel für Ai folgt: nB=pC — (p — n) Ai; ferner
aus der für X: otB = X ~ niA — pC; hieraus: mA — {p — «) -4,
= X — 2p Cf und da auch mA — (2}/f-n)Ai = {m — p)Bi-^nB ist,
so gehen die Geraden .(J.^,), {BB^), {CX) durch denselben Punkt;
desgl.: (^JS,), {CO,), {AX); {CG,), (AA,), [BX).

— G5 -

in Worten:

Werden die Seiten eines JDrei- Verbindet man eitlen PunJct
(cliS von einer Geraden ge- \ mit den EcTien eines Dreiecls,
schnitten, so liegen die zu^ so gehen die zu ziveien der
z IV e i e n der Durchschnitts- Verhindungslinien durch die
punkte auf den entsprechenden entsprechenden Echen gelegten
Seiten construirten vierten har- vierten harmonischen Linien
monischcn PunJde mit dem mit der dritten Verhindungs-
dritten SchnittpunM in gerader linie durch denselben FunM.
Linie. |

3) Aus den Formeln für X, X,, X.,, Xg folgt:
X= m A + {n + p) X^=nB-\- (p + m) X.^ =^p C + {m + n) Xg ,
in Worten:

Werden die Seiten eines Drei-
ecls von einer Geraden geschnit-
ten, und construirt man zu
jedem SchnittpunJd auf der
zugehörigen Seite den vierten
harmonischen Punkt, so gehen

Verbindet man einen Punkt
mit den Ecken eines Dreiecks,
und construirt zu jeder Ver-
bindungslinie durch die ent-
sprechende Ecke die vierte har-
monische Linie, so liegen die

die Verbindungslinien dieser Schnittpunkte dieser Linien mit

Punkte mit den gegenüberliegen-
den Ecken durch denselben Punkt.

den gegenüherliegenden Seiten
auf derselben Geraden.

3. Involutorische Punktreihen und Stralenbüsehel.

Drei Punktepaare auf einer Geraden (resp. drei durch 37.
einen Punkt gehende Linienpaare) AC, EF, GH sind in-
volutoriseh, wenn sie ein gemeinsames harmonisches Paar BD
haben („Raumlehre^' Nr. 171). Es bestehen dann die Be-
ziehungen : ^

B =

A—XC E—iiF G—vH

1 — V

j. _ A-\-XC _ E-\-fiF ^ Gjj- vH
1 -{- l ~ 1 + u- ~ 1 + r '

woraus man unter Anwendung der Substitutionen

• 1 — l , 1— /"• 1 — ■"

r+ A ~ '^' ' l-f^ ~~ ^' ' i-fv "~ ^1

leicht findet:

Schlegel, Elemente. 5

— 66

^- i + ^r

' ^^— i + fi, ' 1 + ^1 '

1 — Ai ' 1 — M-i ' 1 — r,

Sei nun M die Mitte zwischen i? und D, sodass

so findet sich:

(M- Ä\ _(-B--P)a-^i). /7|f r'^ - (-B--P)(i + ^i).
(^Jtx Ji.) — 2(1 + ^,) ' ^^^ ^^~ 2(1 -A,) '

also:

2 (M — ^) _ (jg - B)
{B - D) ~ 2(M— C) '
oder numerisch:

{M-Ä).(M— C) = i^J^^ .

Ebenso erhält man:

{M—E).{M—F) = {M-G) . {M—B) = ^^~-^^'-

Der Punkt M hat also die Eigenschaft, dass das numerische
Product seiner Entfernungen von zwei zugeordneten Punkten
der involutorischen Reihe constant ist, und gleich dem Quadrat
der halben Entfernung des gemeinsamen harmonischen Paares.
Vermöge dieser Eigenschaft heisst M das Centrum der In-
volution.

Nehmen wir nun an, dass unter den drei Paaren der
involutorischen Reihe das eine, z. B. GH sich auf einen Punkt
reducire, sodass

a = H=p.

Dann erhält die Bedingungsgleichung der Involution
(s. „Raumlehre'' Nr. 171):

-2 iG-A) (Ä~H)

(C-H) (G-C)

folgende Form:

2 (A-P)^,

~~ (C - P)2 '

d. h.:

1 X - ^^-^^

ITA— ^(j- P) > ■

oder :

p A-^ IC

1 + l

^1

A-IC

-p A + IC

P,=B;

P^^D.

- 67 -

Bezeichnen wir die beiden Werthe von P mit P, und P.,,
so ist

oder:

Jeder der beiden Punkte B und D bat also die Eigen-
schaft, dass er, als Boppelpunld hetracJdet , mit AC und EF
involutorisch ist.*) — Man nennt dieses Verhältniss die In-
volution von 5 Punlxten, und die Punkte B und B die Boppel-
punJcte oder BrennpunTite der Bivolution.

Haben also zwei Punktepaare AC und EF das gemein-
same harmonische Paar BB, so sind B und B die Doppel-
punkte der Involution, und sie sind mit jedem Paare GH
harmonisch, welches mit den beiden gegebenen Paaren in-
volutorisch ist.

Reducirt sich gleichzeitig das Paar GH &\x{ den Punkt Pj
und das Paar EF auf den Punkt P., , so geht die Bedingungs-
gleichung

{E-H) [G-C) [A-F] _ .
{E—C) ' (G—F) ' (A—H)

(„Raumlehre" Nr. 171 am Ende) über in

(^2 - P* (Pj - C) (A - P^) _ ,
(P2- C) ' iP^-P,) * (A-P,) '>
oder :

(Pj - C) _ _ (Pi - A) ,
(P2 - C) (P, - A) '

d. h. in die Bedingungsgleichung der Harmonie. — Bie Har-
monie ist hiernach ein specieller Fall der Bivolution.

Vertauscht man in den bisherigen Formeln dieser Nr. die
Differenzen der Punkte mit den Sinus der Winkel, die von
den entsprechend benannten Geraden gebildet werden, so
erhält man reciproke Resultate für involutorische Stralen-
büschel,

Brei Punkte auf einer Geraden, ^, , A.^, A.^ bilden die 38.
drei Gruppen:

^1-^2; -^2^3? -^3^1-

*) Dies Resultat folgt auch daraus, dass man sowohl B wie D als
ein Punktepaar betrachten kann, welches mit dem Paare {BD) har-
monisch ist.

5*

— G8 —

Seien drei Punkte X, Y, Z so bestimmt, dass

ZÄ^ mit A^Ä^

XAi mit A.2Ä.^

YA., mit A.^Ay
harmonisch ist. Dann ist

(^1. - A^) __ __ (X - A^) . (^2 - A,) ^ __ {Y- A,) .

(^3 - A,) ' {A, - X) ' (A, - Ä^) {A, - D '

(^3 -A,) ^ . (Z - A,)

[A^ - A,) {A^ - Z)

Diese Gleichungen geben multiplicirt :

(^JT^ (y-^3) (^-^.) _ -j

(X-^3) ■ (Y-A) ■ (Z-^2)

Da dies die Bedingungsgleichung der Involution ist, so hat
man die Sätze:

Construirt man zu jedem von . Constniirt man zu jeder von

drei PuuJden auf einer Geraden
den zugeordneten harmonischen
Punkt, so bilden die 6 Punkte
eine involutorische Reihe.

drei Geraden elurch einen Punkt
die zugeordnete harmonische
Linie, so bilden die 6 Linien
einen involutorischen Büschel.

Vier Punkte auf einer Geraden, A^, A^, A^, A^ bilden
die drei Doppelgruppen:

A^A._^, A^A^] AiA^, ^3^4 5 ^i^'^4' ^'i^s-
Ist nun Xj Y^ harmonisch mit den Paaren der ersten Gruppe,
so ist:

(Xi - A) _ _ (T, -^,) . (X, - A,) _ _ jY^-A,)
(X, - ^3) ( ^1 - A,) ' (X, - A,) ( r, - A,)

Durch Multiplication und Division dieser beiden Formeln er-
hält man:

(X, - Ai) (X, - A^) ^ iY,-Ai) (r, -A)

(X, _ ^3) (X, - A,) (Y, _ ^3) ■ (r, - ^4) '

(Xt - A^) (X, - A,) ^ (r, - A^) {Y,-A,)
(X, - A,) (X, - A^) (Y, - ^3) • (Y, - A^) '

Die erste dieser Gleichungen sagt, dass die Paare Xj Y,,
J.,A,, A^A^, die zweite, dass die Paare X^Y^j A^A^, A^A^
involutorisch sind. " Man hat demnach die Sätze:

Ordnet man 4 Punkte auf Ordnet man vier Geraden
einer Geraden auf dreifache : durch einen Punld auf drei-

GO

Weise m Gruppen von je sivei fache Weise in Gruppen von je
Faaren, so (jieht es zu jeder zwei Faaren, so gieht es zu
Grnppe ein l*nnJdepafn%ivelclies jeder Gruppe ein Linicnpaar,
mit den beiden Faaren dieser ivelchcs mit den beiden Faaren

Gruppe harmonisch und mit
denen der leiden anderen Grup-
pen involntoriscli ist.

dieser Gruppe harmonisch und
mit denen der beiden anderen
Gruppen involutoriseh ist.

Ist X^ Y2 harmonisch mit den Paaren der zweiten Gruppe,
so ist es auch mit Xj F, harmonisch, weil X, Y",, AtA^, A.,A^
invohitorisch sind, und folglich das den letzten beiden Paaren
gemeinsame harmonische Paar auch harmonisch zum ersten
Paare sein rauss. — D. h. :

Consfruirt man zu jeder der
drei Fun]d(jruppen des vorigen
Satzes das gemeinsame har-
monisehe Faar , so sind diese
Faare auch unter
harmonisch.

Construirt man zu jeder der
drei Liniengruppen des vorigen
Satzes das gemeinsame har-
monische Faar, so sind diese
einander . Faare auch unter einander
harmonisch.

4. Involutorisehe Punkt- und Geraden -Vereine.

Vier beliebige Geraden ab ex schneiden sich im All- 39.
gemeinen in 6 Punkten ABCA^B^t\ (Fig. 20). — Nun folgt
aus den in Nr. 36 angegebenen Ausdrücken für A^ i?, C\ ;

P iC-B)', {A,-C)-^;^(C

{A,-B)^
mithin :

Ebenso :

Multiplicirt:

p - n

P

^);

Ai-B

Ai-G ~

i>', - G

Bi~ A ~

C, -A

Gl- B ~

^.

~ B Bi~ G

A,

— G B.—A

JL .

n

m

n
in

G, - A
C, - B

1,

Da diese Gleichung, wenn die 6 Punkte in einer Geraden
lägen, die Bedingungsgleichung ihrer Involution sein würde
(nach „Raumlehre" Nr. 171 am Ende), so können Avir auch

- 70 —

den Verein dieser 6 Punkte einen involiitor Ischen nennen, und
sagen: Die 6 Punkte, in denen 4 Geraden in der Ebene sich
schneiden, bilden einen involutoriscJien Verein. — Reciprok:
Die 6 Geraden {abca^b^c^), welche man zivischen 4 Funkten
in der Ebene (ÄBCX) ziehen kann, bilden einen involuto-
rischen Verein.

Es seien- ^0, Bq, Oq die Punkte, in welchen drei Ge-
raden (a, b, c) eines beliebigen involutorischeu Vereins von
einer beliebigen Geraden Xq geschnitten werden, sodass

(y — a)B(^= yC— aA\
(a~ß)C, = aÄ—ßB.

Der Schnittpunkt X der drei anderen Geraden des Vereins
(a^, &,, c,) sei wie früher durch die Formel bestimmt:
X = mÄ -^nB -\-pC,

und es seien A^, B^, C'j die resp. Schnittpunkte dieser drei
Geraden mit Xq. — Um einen dieser Punkte, z. B. jB,, zu
bestimmen, ist auszudrücken, dass er gleichzeitig aus Oj und A^,
sowie aus X und B ableitbar ist. Nun ist

my(a — ß) 0„ — pa {ß — y) Aq = myaA — (mßy -{- paß) B
-\-payC=ya{mA-\-nB-\-pC) — {mßy-\-nya-\-paß)B '^

oder, durch ya dividirt, und (-—-[- i- = r gesetzt:

B, = '-^ia-ß)C,-fiß-y)A,= X-rßB.
Ebenso:

C, = ^(ß-y)A,~'^(y-a)B,=:X-ryC',

A,^f(y-a)B,~^(a-ß)C,=.X~raA.

Aus diesen Formeln folgt durch äussere Multiplication,
und nachherige Division:

(^2^0) _ p(v-ß)a(A„C,) ^ pa(ß-Y) .

(B^Äo) nncc-ß)yiCoÄo) myia-ß) '

(C.Aq) ^ m {u-y)ß (BpAo) ^ viß(y- k) ^

(C^B,) n{ß-Y)a(AoBj na{ß-y) '

(A-Bq) ^ n{ß-a)y(CoBa) ^ ny (a - ß)

UaC'o) p iy - cc) ß (BoC,) pßiy-a)'

— 71 -

Durch Multiplicatiou dieser drei Gleichungen folgt:

(-B2C0) (OjA,) (A^Bq) ^ . .
{B^Ao) ' (~C,Bo) ' (ACo) '

d. h. : Ein involutorischcr Gc-
radenverein wird von jeder
Geraden in einer involutorischen
FunJdreihe fjescJmitten.

Ein involutorischcr Funkt-
vercin giebt, mit einem heliehigen
PunJde verbunden, einen in-
volutorischen Stralenhüschel.

Ist a=ni, ß = n, 'y=p, so fallen A^^Bf^C(^ der Reihe
nach mit Ai i?, C, zusammen.

Wenn die beliebige Gerade durch einen Schnittpunkt
zweier Geraden des Vereins geht, so enthält die invohitorische
Punktreihe einen Doj^pelpunli. Ist die Gerade mit einer der
Geraden des Vereins parallel, so fällt ein Punkt der in-
volutorischen Reihe ins Unendliche. Reciprok: Wenn der
beliebige Punkt mit zwei Punkten des Vereins auf derselben
Geraden liegt, so enthält der involutorische Stralenhüschel
einen Doppelstral. Fällt der Punkt mit einem der Punkte
des Vereins zusammen , so wird ein Stral des involutorischen
Büschels unbestimmt.

Bestimmt man auf c {A — B) zu Oq den vierten har-
monischen Punkt C'o, und auf e^(C~ X) zu C2 den vierten
harmonischen Punkt (7.,, so ist

aA + ßB^{a + ß)C\

(vgl. den oben gegebenen Ausdruck für 0^ u. „Raumlehre"
Nr. 169). Weiter ist:

X + yrC=C\[\ +Yr).

Addirt man diese Formel zu der vorigen, nachdem die letztere
init r raultiplicirt ist, so folgt:

X^r{aA^ßB-\-yC) = r{a-\-ß)ü\ -f (l + yr^C,.

Macht man dieselbe Construction auf a und «, resp. h und &,,
so folgt:

X-^r{aA + ßB^yC) = r{ß-^y)A\ + (1 + ar) A\;
X + riaA + /3i>* + yO = r{y + a)B\ -\. (\-\- ßr)B\.

Folglich schneiden sich die Geraden (^'„^.'2), (B\B\^),
(CqCo) in dem Punkte, welchen die hnke Seite der Glei-
chungen ausdrückt, und man hat die Sätze:

72

Wird ein invohUorischer Ge-
radenverein von einer beliebigen
Geraden geschnitten, und con-
stniirt man auf jeder Geraden
din vierten harmonischen Funkt
zum Schnittpunkt(i, so gehen die
drei Geraden, welche die vierten
harmonischen Punlte auf je
zivei gleichnamigen Geraden
verbinden , durch denselben
Funlt.

Wird ein involutorischer
Punktverein mit einem belie-
bigen Punkte verbunden, und
construirt man durch jeden
Punkt den vierten harmonischen
Stral sur Verbindungslinie, so
liegen die drei Punkte, in denen
die vierten harmonischen Straten
durch je mvei gleichnamige
Punkte sich sehneiden, auf der-
selben Geraden.

40. Wenn iu der Ebene 6 beliebige Punkte A^^, Ä^, Ä^, Ä^,

Ar^, A(.^ gegeben sind, so giebt es ein einziges Pimktepaar X, Y,
welches sowohl mit A^A., und A^A._^ als mit A.^A.^ und A.^Aq
zusammen einen involutorischen Verein bildet. Denn aus
den Gleichungen

0)

(2)

iX - A,)

{A, - Y)
{A, - A,)

{A,-Y)

{A, - A,)

= 1

(A, - Y)

welche diese Eigenschaft von X und Y ausdrücken, sind diese
beiden Punkte in eindeutiger Weise bestimmbar. (Zu beach-
ten ist, dass die zweite Gleichung durch blosse Vermehrung
jedes Index um eine Einheit aus der ersten hervorgeht.)

Durch Ausführung der äusseren Multiplication (unter
Beachtung der Regel, dass ab = — ba) erhält man aus der
Gleichung (1):

+ XYA^ - XA.A, — XI A, — A.UiA^ + YA^A^
+ ^2-45^, = - XA, A, - XYA, + XYA, - A,A^ A,
+ A,A,A,~YA,A^,
oder, wenn zur Abkürzung

«I =- (Av — A) + {^^ - A) ;

d, = A,A,{A, - A,) H- A,A, {A, - A,)

= A^ A, {A^ - ^5) + -^4 ^5 (^1 — A) = &i «1
gesetzt wird:

(3) xr«! + (X- r)&, 4- fZj =0.

— 73 —

Durch Vergrösserung der Indices um 1 erhält mau liieraus
folgende, mit der Gleichung (2) äquivalente Form:

(4) X Ya, + (X- Y)h, + d, = 0 ,
worin

62 = A^A^ -\- A.^A^,

d, = .^3 ^(^^2 - A) + Ä,A,iA, - A,)

Durch Addition von (3) und (4) folgt:

(5) X Y{a, + a,) + (X- Y) (&, + h,) + (d, + d,) = 0.

Und es werden die Gleichungen (3) (4) (5) durch dieselben
Werthe von X und Y gleichzeitig befriedigt.

Wenn wir nun durch a.^h.;^d^ diejenigen Grössen bezeich-
nen, welche aus a^b^^^^ durch Vorwärtsschiebung der Indices
um eine Einheit (aus 6 wird 1) entstehen, so ist:

Erstens:

«1 + «2 = — -^3 + .4, — A^ -f A^ ;
d. h.:

(6) . «^ -f «2 = — «3 •
Zweitens:

Nun bedeutet aber das Produd ziveier PimMc den dazwischen
liegenden Linientheil , und es ist im Sechseck der 6 Punkte
(nach ,, Raumlehre" Nr. 130):

AyA^ + Ä,A^ + A^A, -f A^A^ + A^A,^ + ^g^, = 0;

folglich :

h,^b,= -{A,A,^A,A,)
oder:

(7) 6, + 6^ = _ Ö3 .

f7, + f?2 = -^2-^4^1 — A^iA -f A^iA — ^5^1-^2

Nun bedeutet aber das Product dreier PiinMe den dazwischen
liegenden Flächentheil, und es ist im Sechseck der 6 Punkte

74 —

offenbar (wenn man zur Abkürzung nur die Indices statt der
Buchstaben mit Indices hinschreibt)*):

(124) -f (235) + (346)
+ (451) + (562) -f (613)
f = (125) -h (236) + (341)

+ (452) + (563) + (614) ;
d. h.:

(124) — (J25)+ (235)

— (236) + (451) - (452)

+ (562) - (563) = — (346)

_|_(34l)_(613)+(614),

oder :

(8) d^ -\-^2 = — <^3 •
Setzt man nun die Werthe
(6) (7) (8) in (5) ei«, so folgt:

(9) xr.«3 + (x~r)&3 + r?3 = o.

Und da diese Gleichung ausdrückt, dass das Punktepaar XF
auch mit A^A^ und A^A^ zusammen einen involutorischen
Verein bildet, so hat man die Sätze:

Fig. 21.

Bildet ein Punktepaar einen
involutorischen Verein mit den
Ecken ziveier Gegenseiten-Paare
eines Sechsecks, so bildet es einen
solchen auch mit den Ecken des
dritten Gegenseiten- Paares.

Bildet ein Linienpaar einen
involutorischen Verein mit den
Seiten, ivelche in zwei Gegen-
ecken - Paaren eines Sechsseits
msammenstossen , so bildet es
einen solchen auch mit.den vom
dritten Gegenecken- Paar aus-
gehenden Seiten.

Liegen insbesondere die 6 Punkte in einer Geraden (resp.
gehen die 6 Linien durch einen Punkt), so verwandeln sich
die involutorischen Punktvereine in Punktreihen (resp. die
Geradenvereine in Stralenbüschel).**)

In diesem speciellen Falle haben die drei involutorischen

*) S. die Fig. 21, wo die jedem Flächeutheil eingeschriebene Zahl
angiebt, wie oft er auf jeder Seite der folgenden Gleichung vorkommt.

**) Vgl, die analytische Ableitung dieses speciellen Falles bei Hesse,
„Vorlesg. a. d. anal. Geom. d. geraden Linie etc. 1865". S. 68—74.

— 75 —

Puaktreiheu je eiu gemeiusames harmonisches Paar. Es
sei nun

X, F, harmonisch mit Äi Ä^, Ä^A^, XY ,

■X-^^Y'^ ,, ,, A^A^, A^A^, XY .

Dann haben die drei Paare XjY, , X^Y^, X^Y^ das gemein-
same harmonische Paar X Y, bilden also eine involutorische
Reihe, und da die Punkte dieser Reihe durch die 6 beliebigen
Punkte .-1, . . . Afi vollständig bestimmt sind („Raumlehre"
Nr, 170), ohne dass man nöthig hat, das Paar X F zu Hilfe
zu nehmen, so hat man die Sätze:

Liegen 6 Punkte, 1 ... 6 auf
einer Geraden, so bilden die
drei Finiktepaare , ivelche der
Reihe nach mit 12, 45, mit
23, 56, und mit 34, 61 harmo-
nisch sind, eine involutorische
Reihe.

Gehen 6 Geraden, 1 ... 6
durch einen Punkt, so bilden
die drei Linienpaare, welche
der Reihe nach mit 12, 45, mit
23, 56, und mit 34, 6 1 harmo-
nisch sind, einen involutorischen
Büschel.

5. Projeetivisehe Punktreihen und Stralenbüschel.

Darstellung der Venvandtschafts-Bezieliungen durch den 41.
Begriff des Quotienten*). — Gebiet der Geraden.

Ein Punkt ändert seinen Ort nicht durch Multiplication
mit einer reellen Zahl. Wir können aber eine Grösse A an-
nehmen, mit der Eigenschaft, dass sie als Factor einen
Punkt e, in einen anderen £y überführt, sodass

(la) Acy = £i

ist. Wenn nun auf der Geraden alle Punkte aus zwei Punkten
e, und 6-2 abgeleitet werden, so ist

(2a) £, = «„£', -f «,2C2**)

(3a) yi £,==«,, y/e, -j- «,.,^62 •

*) Der Inhalt dieser und der folgenden beiden Nrn., die dem in
der Ueberschrift bezeichneten Gegenstande nur zur Einleitung dienen,
ist eine tiefer begründete Darstellung der Nr. 181 — 184 (incl.) der
„Raumlehre". — lieber den Zusammenhang des Quotienten mit dem
in Nr. 8 aufgestellten „Lückenausdruck" s. Grassmann, Ausdehnungs-
lehre IL Nr. 382.

**) Setzt man £1 = «i, | e^ -(- cjj e^, so wird, da die Ergänzung eines

- 76 —

Um A unabhängig von Cj und e.^ ausdrücken zu können (was
durch Elimination dieser Grössen zu bewerkstelligen ist),
müssen Avir noch den Punkt e^ einführen, welcher aus e^
durch Multiplication mit A entsteht. Dann ist

(Ib) Ae, = f,

(2b) £2 = «21^1 + «22^2

(3b) y/fj = «21 ^^1 ~h ^22 '^'■'2 •

Nach den Formeln (1) ist also A eine Grösse, welche
mit gj multiplicirt das Resultat g,, dagegen mit e.^ das Re-
sultat «2 giebt. — Nach Analogie der algebraischen Operation
kann man hiernach A als Quotienten der Punktepaare f^, e,
und E.,, 62 bezeichnen, und schreiben:

(4) ^ = T^-

Anmerkung. Der gewöhnliche Begriff des Quotienten ist in dem
hier aufgestellten als specieller Fall enthalten. Gehen wir vom Ge-
biete der Geraden auf das des Punktes zurück. In jenem kann ein
Punkt in einen andern, in diesem nur in sich selbst übergeführt werden.,

Im Gebiet des Punktes nun ist A = ~ • Und da die zusammenfallen-

den Punkte e, und s, nur durch einen reellen Zahlcoefficienten sictl
unterscheiden können, so ist A eben dieser Zahlcoefficient , und als]
solcher der Quotient der beiden gleichnamigen Grössen st und Cj, die]
hier ganz in der Rolle der sogen, benannten Zahlen erscheinen. — j
Vgl. Grassmann, Ausdehnungslehre II. S. 241 ff.

Durch äussere Multiplication der Gleichungen (1) erhält]
mau, wenn A.A durch (A-) bezeichnet wird:

oder, da {c^Cj) == 1 ist, und indem man die Formeln (2) an-l
wendet:

(5) {A'^) = «1, «22 — «12^21 •

Die Grösse (A'^) , welche dem äusseren Producte der Zählerl
des Quotienten (4) gleich ist, heisst der Fotenzwerth dieses]
Quotienten. *)

Punktes auf einer Geraden wieder ein Punkt ist, weder an der Rech-
nung noch an ihrer geometrischen Bedeutung etwas geändert.

*) Da A eine Grösse 0. Stufe ist, so ist auch A . A oder [A'^) eine]
solche, wir können daher {Ä^) als algebraisches Product von A und AA

— 77 —

Die Grösse A ist hiernach im Gebiete der Geraden voll-
ständig bestimmt, wenn zwei beliebige Punkte (e,, e.^) gegeben
sind, und zwei beliebige andere (£,, s^, in welche jene über-
geführt werden. — Das Punktepaar e^e.^ heisst nun verwandt
mit dem Punktepaare £, e.^. Man kann also auf einer Ge-
raden zwei beliebige Punktepaare einander verwandt setzen.

Sei X ein neuer beliebiger Punkt der Geraden, bestiniuit
durch die Formel :

Dieser Punkt wird durch Multiplication mit A in einen ande-
ren Punkt Ä übergeführt werden. Und man hat:

AX = x^Ae^ -\- x.^Ae.^,
oder:

Folglich besteht zwischen den Punkten ^, s^, f^ dieselbe Zahl-
beziehung wie zwischen den Punkten X, e^, e.^. — Der Verein
sämmtlicher aus e^ und e., abgeleiteten Punkte heisst nun ver-
wandt mit demjenigen der aus s^ und s^ abgeleiteten Punkte.
Und jedem Punkte des ersten Vereins entspricht einer des
zweiten, welcher aus £j und fj mittelst derselben Zahlen ab-
geleitet ist, wie jener aus e^ und ßj-

Zwei Punlireihen auf derselben Geraden sind also ver-
wandt, tvenn die zivisclien den Punkten der ersten Reihe gel-
tenden Zaldheziehungen auch zivischen denen der zweiten Reihe
stattfinden.

Suchen wir nun einen Punkt X zu ermitteln, welcher
durch Multiplication mit A in sich selbst übergeführt wird.
Dann soll sein:

^X=AX,

wo X eine reelle Zahl bedeutet. Man zieht aus dieser Gleichung :

d. h. als algebraische Potenz vou A betrachten, und wie mit einer sol-
chen damit rechnen. Daraus ist aber nicht zu schliessen, dass nun

Ä = + Korn«22 — «12 «21 sei; denn die Einheiten e, und e^, welche bei
der Potenzirung verschwanden, müssten folgerichtig, als zum Begriff
von A gehörig, bei der Radicirung wieder erscheinen. Dies ist aber
nicht möglich, weil die Radicirung einen mehrdeutigen Ausdruck liefert,
während A durch die Gleichungen (1) eindeutig bestimmt ist. — Vgl.
auch Grassmaun, Ausdehnungslehre IL S. 246 u. 247,

- 78 —

(A — ^)Z = 0,
oder:

(A — A) (x^e^ -\- X2e2) = 0-^
oder:

(A — A) x^ Cj -|- (A — A) x^e^ = 0.

Da hiernach zwischen den beiden Grössen (A — A)e^ und
(A — ^)e2 ^i^^ Zahlbeziehung existirt, so ist ihr äusseres
Product Null. Oder: durch Multiplication dieser Gleichung
mit (A — A) c^ erhält man :

{iX-A)e,-]\il-A)e,-\==0;
oder:

(Ae, — Ae{) {Ke^ — Ae<^ = 0 ,
oder:

(6) A2(eje2) — A(^e, . 63 + % . y/ej) + Ae^^ . Ae.^ = 0.

Wenn wir nun, wie gewöhnlich, annehmen, dass {e^ e^ = 1
ist, so können wir diese Gleichung abgekürzt schreiben:

(7) A'^ — A(2^) + (^2) = 0.

Andrerseits kann man die Gleichung (6) mit Rücksicht
auf (1) auch schreiben:

A^ — A (f, 63 + e, £3) + £] £2 = ö .

Setzt man hierin für £j und e^ ihre durch (2) gegebenen
Werthe, so erhält man:

(8) A2 — A («11 + «22) + («14 «22 — «12«2l) = 0.

Durch Vergleichung von (7) und (8) wird die Bedeutung
der abgekürzten Bezeichnungen sogleich klar. Es ist nämlich

(9) (2^) = «11 + «22 5
(5) (^2) ^ «11 «22 — «12 «21 .

Da die Gleichung (8) für A zwei Werthe, Aj und A2 liefert,
so existiren in der ans e^ und e.^ ahgeleiteten Punktreihe zivei
Punkte, ivelche durch Multiplication mit A in sich seihst über-
geführt werden.

Um die Ableitungszahlen dieser Punkte zu finden, be-
trachten wir die oben gegebene Gleichung:

(A — A) x^ e, -|- (A — A)x^e^ = 0,
oder:

(A^i — «1)^1 + {^^2 — £2)^2 = ^ 7
oder, wenn wir £1 und £3 durch die Werthe (2) ersetzen:

- 79 -

[(A —ci^^)e^ — a^^c.^X^ + [(A — «22)^2 — «21 ^il^a = 0.

Da diese Gleichung zwischen den Punkten c^ und e^ eine Zahl-
beziehung begründet, welche in Wirklichkeit nicht existirt,
so müssen die Coefficieuteu von Cj und e.y einzeln Null sein.
Die letzte Gleichung zerfällt also in die beiden folgenden:

(A — «11)^1 — «21^2 = ^ 5

(A — «22)^2 — «12^1 = 0 .
Jede davon liefert, mit ä;, -\- x.^ = l verbunden, die ver-
langten Ableitzahlen, wenn man darin für A einen der aus
(8) genommenen Werthe setzt. — Dass beide Gleichungen
gleichbedeutend sind, erhellt, wenn man sie in der Form
schreibt:

Xf _^^ «21 i «22

X2 ^ — «11 «12

Die beiden Ausdrücke nämlich , welche kein x enthalten,
geben, einander gleich gesetzt, wieder die Gleichung (S).

Die beiden Wurzeln der Gleichung (8) heissen die Haupt-
zahlen des Quotienten A.

Gebiet der Ebene. — Es sei wieder A ein Factor mit der 42.
Eigenschaft, einen Funkt gj der Ebene in einen anderen £j
überzuführen. Dann ist

(la) Ae^ = £, .

Wenn nun alle Punkte der Ebene aus den drei Punkten
ejej'^s abgeleitet werden, so ist

(2a) fj = «1161 -f «1262 + «13^3*) ;

(3a) Aei = a^^Ae^ + a^^Ae^ -f «13^63 .

Um 6162^3 ^^ eliminiren und dadurch A unabhängig von
diesen Punkten ausdrücken zu können, müssen wir noch die
beiden Punkte «2 und £3 einführen, welche resp. aus ^2 und e.^
durch Multiplication mit A entstehen. Dann ist:
(Ib) Ae^ = 8., ; (Ic) Ae^ = £3 .

(2b) £2 = «21^1 + «22^2 (2c) £3 = «sie, + «3362

~r ^23 ^3 5 1 ^33 ^3 •

(3b) ^£2 = «21^^! + K-^iAe^ (3c) ^£3 = «3, Ae^ -j- a^^^^-i

+ «23^^3 1 -f«33^^3-

*) Führt man in dieser Formel statt e,, €2, €3 ihre Ergänzungen ein,

- 80 -

Der Quotient A, auf die Ebene bezogen, ist also analog mit
der vorigen Nr. durch folgenden Ausdruck zu bezeichnen:

(4)

wodurch gesagt ist, dass A, mit e, multiplicirt, das Resultat f j,
mit «2 *^^s Resultat s.^, mit Cg das Resultat s.^ giebt.

Durch äussere Multiplication der Gleichungen (1) erhält
man, wenn A . A , A durch {A^) bezeichnet wird:

oder, da {e^e^e^ = 1 ist, und indem man die Formeln (2)
anwendet, als Potenzwerth des Quotienten:

(5) {A^) = «11 («22 «33 — «23 «32) + «12 («23 «31 — «21 «Ss)
I «13 («21 ^32 «22 «31 ) •

Die Grösse A ist hiernach im Gebiete der Ebene voll-
ständig bestimmt, wenn drei beliebige Punkte (e, , e^, 63) ge-
geben sind, und drei beliebige andere (f,, £3? ^3); ^^ welche
jene übergeführt werden. Das Punktetripel 6,62^3 heisst colli-
near (verwandt) mit fi£2^3> und man kann in der Ebene zwei
beliebige Punktetripel mit einander collinear verwandt setzen.

Sei X ein neuer beliebiger Punkt der Ebene, bestimmt
durch die Formel:

Wenn nun X durch Multiplication mit A in S übergeführt
wird, so hat man

AX = x^Ae^ -J- x^Ae.^ -\- x^Ae^,
oder:

A = Ä^i f 1 + ^2 ^2 ~i '^3 ^3 •

Folglich besteht zwischen S und e^ e^ £3 dieselbe Zahl-
beziehung wie zwischen X und 6162^3' Jedem Punkte, wel-
cher aus 616363 abgeleitet ist, entspricht in dem verwandten
Verein ein andrer, welcher mittelst derselben Zahlen aus
£, £0 £3 abgeleitet ist.

Zwei Punktvereine in derselben Ebene sind verwandt,
ivenn die sivisclien den PunMen des ersten Vereins geltenden

so wird an der ßeclinung nichts geändert ; man erhält aber statt eines
verwandten Punktvereins einen verwandten Geradenverein.

— 81 -

Zahlbczielmngen mich zwischen den Punlien des zweiten Ver-
eins heslehcn.

Suchen wir uun einen Punkt X zu ermitteln, welcher
durch Multiplication mit A in sich selbst übergeführt wird.
Dann soll sein:

ylX = lX, .

wo A eine reelle Zahl bedeutet. Es folgt weiter:

(A — ^) X = 0 ,
(A — A) (iC] gj -\- x^e^-\- x.^ 63") = 0 ,
(A — Ä)x^e^ + (^ — A)x^e.^ + (^ — ^)x^e^ = 0 ,
oder, mit (A — Ä)e.t . (A — A)e^ multiplicirt:

[(A - J)c,-] [(A - J)e,-] [(A -J)e,-]=0,

(Ae, — Ae^) (Aej — Ae.,) (Acg — Ae._^) = 0 ,

(G) A3 (e, e.^ e^) — P {e^ e.^ . Ae^-\- e^. Ae^. e.^ -{- Ae^ . e^ e.^)

+ A(e, . Ae.y . Ae.^ -\- Ae^ . ßj • ^^3 + ^^1 • ^^2 • ^3)

— Ae^ . Ac.^ . Ae^ = 0.

Wir nehmen nun an, dass {cxe^e-^ = 1 sei, und können dann

abgekürzt schreiben :

(7) A3 — A2(3yi) + A(3^2)_(^^3)_o.

Andrerseits kann man die Gleichung (6) mit Rücksicht auf (1)
auch schreiben:

A3 — A2 (e^e.,^,^ -\- e^ e,e^ + «1^263)

+ A(e,£2f3 + ^i^zh + «1^263) — i^ihh) = ^^
oder mit Rücksicht auf (2) und (5)

(8) A3 _ («,j -f «22 + «33)^* + («=22«33 — «23 «32 + «33 «11

— «31 «13 + «11 «22 — «12«2l) '^ — (^'0 = 0.

Während die Bedeutung von (A^) schon aus (5) deutlich
wurde, ersehen wir durch Vergleichung von (7) und (8) noch,
dass

(9) (3^) = «11 + «22 + «33!

(10) (3^2j = «22 «33 — «23 «32 + «33 «1 1 " «31 «13

— |— «] 1 ^^22 CCj2«21'

Da die Gleichung (8) für A drei Werthe, ^i^-^h liefert,
so existiren in dem aus e^e.^e.^ ahgeleiteten FunMverein drei
PunJäe, icelche durch Mtdtiplication mit A in sich selbst über-
geführt werden.

Schlegel , Elemente. 6

— 82 —

Die Ableitungszahleii dieser Punkte werden in ganz ana-
loger Weise bestimmt wie in der vorigen Nr. Und es sind
Aj/lj/lj ä\e Hauptzalilen des Quotienten A.
43. Durch besondere Annahmen lassen sich nun specielle

Fälle von collinearer Verwandtschaft aufstellen. Insbesondere
Jrann man annehmen, dass den unendlich fernen Punkten
(Strecken) des einen Vereins ebensolche des andern Vereins ent-
sprechen. Die Verwandtschaft solcher Vereine heisst Affinität.
Seien XjXjXy die drei in sich selbst übergehenden Ele-
mente des einen von zwei affinen Vereinen, und zwar X, ein
Punkt, dagegen X^ und X^ Strecken; dann ist

(11) ^Xi = AiZi5 AX, = KX.,', AX^ = X.^X.,.

Und es sind X^X^ die einzigen Strecken des Vereins, denen
gleichgerichtete Strecken des affinen Vereins entsprechen.

Sind X, X^Xo Strecken, und ist X^== l.^ = Ag (= a), so
ist ^ = A , und es verhalten sich überhaupt die Strecken des
einen Vereins numerisch ebenso zu einander, wie die ent-
sprechenden Strecken des anderen Vereins. Diese specielle
Art der affinen Verwandtschaft heisst AehnUclikeit.

Ist {A"^) = 1 , so geben die Gleichungen (2) miteinander j

multiplicirt :
oder

(«1 ^2 «3) = (616263) •

Da das Product dreier Punkte den doppelten Flächen-
inhalt des durch sie bestimmten Dreiecks angiebt (,, Raum-
lehre'' Nr. 139), so findet in diesem speciellen Falle nochj
Gleichheit des Inhalts der entsprechenden Dreiecke statt. Der]
specielle Fall heisst, jenachdem er auf die Affinität oder die]
Aehnlichkeit angewendet ^ivd, InhaltsgleichJieit odexCongruens.

Das Verhältniss der vier Verwandtschaften lässt sich
daher durch folgende Zusammenstellung veranschaulichen:

1. Affinität. 2. Aehnlichkeit.

2. Inhaltsgleichheit. 3. Congruenz.

Hierin bezeichnet jede höhere Nummer einen speciellen
Fall der nächst niederen.

Ist {A"^) negativ, (also im Falle 3. gleich — 1) so heisst
AeJinlichkeit sowohl wie Congruenz symmetrisch.

- 83 -

Anmerkung. Hat die Gleichung in X imaginäre Wurzeln, z. B.
I2 und l^, so setzt man l2 = ^ -\- ^^ > ^3 = c( — ßi ; X2 = X -\- i Y ;
Xj = X — iY. Dann nehmen die beiden letzten Gleichungen (11) die
Form an:

AX-\-iAY ==(a + ßi) {X + i Y) ; AX- iAY= {cc-ßi) (X — i Y).
Aus jeder von ihnen folgt: AX=ctX — ßY\ AY == aY -^ ßX.
Nimmt man dann X und Y senkrecht aufeinander an, so ist A ^ i'f
(vgl.,, Raumlehre" S.119 dieFormeln a.i'^' = xa-\-yb ; b.i"'=^xb — ya),
worin qo den Winkel bezeichnet, welchen die Strecken X, Y des einen
Vereins mit den entsprechenden des andern bilden. — Es existiren
dann also zwei aufeinander senkrechte Strecken, die, statt iu sich selbst
überzugehen, sich um einen gleichen Winkel drehen. — Alle vier
Strecken gehen von einem gemeinsamen Punkte Xj aus, welcher, als
Drehungspunkt, in sich selbst übergeführt wird. Die aus X^, X, Y
abgeleiteten Gebilde sind mit den durch die gleichen Zahlen aus Xf,
Xi'^, Yi'^ abgeleiteten ähnlich oder affin, jenachdem das Verhältniss
der Strecken X und Y dasselbe ist wie das von Xi^ und Yi^, oder
nicht.

Es seien auf einer Geraden drei Punkte A, B, C aus 44.
gj und 62, und drei collineare Punkte Ä^, JB^, (7, aus £, und f.,
abgeleitet. Sei zuerst

(la) A = a^e^-\- a^e^'t J., = «j f j -f- «2 ^2 5 (^i"f""2=l)-
Dann kann man aus diesen Gleichungen a^ und a^ eliminiren:

(2a) {Ä — Co) = «1 (e, — ß.,) ; (A^ — a^) = cc^ (e^ — e^)
oder:

(3a) 4-^^^ = A^_£l .

Es existirt also zwischen den drei Punkten der ersten
und denen der collinearen Reihe eine von den Zahlgrössen
unabhängige Beziehung. Diese Betrachtung lässt sich so-
gleich erweitern. Sei

(Ib) B = ß,e,-\-ß,e,; B,=ß,s,+ß,8,- {ß^-^ß, = l)-

(Ic) C=r^e^-j-y.,e2] C*! = J'i ^i + ^2^2 i (71 + ^2=1)-

Dann kann man zwischen den Gleichungen (la), (Ib), (Ic)

die Grössen a, ß, y, e, a eliminiren. Wie oben (2a) aus (la),

so folgt jetzt aus (Ib) und (Ic):

(2b) (i?-.,) = /3, (.,-.,); {B,-a,) = ß,{a,~a,)',
(2c) {C - ^2) = ri (ei — ^2) 5 (<^'i - f 2) = Tx («1 - h) ;

- 84 —

und aus (2a), (2b), (2c):

A — c, _ B — cz _ C-e.

oder:

A—B __ ^4, — B^ _ JZt^ _ ^'i — J^\
B — Ci ~ -B, — f2 ' ^ - e, ~ J3, - f 2 '

daher endlich:

A- B _ Aj - J?)
C - JB ~~ Cj - jB, ■

Durch Subtraction von 1 auf beiden Seiten erhält diese
Gleichung die Form:

4j- C _ A^ - Ci
~C - B ~ Ci - Bi '

oder, beide Formen vereinigt geschrieben:

A — B _ Aj- Bj

(3b) B -C ~ Bj - C, .

C- A ~ Ci~ J ,

- Es existirt also zwischen den beiden collinearen Punkt-
reihen eine von den zu Grunde gelegten Punkten unabhängige
Beziehung. Vermöge dieser Beziehung heissen die beiden
Punktreihen projedivisch zu einander, und die Gl-eichungen (3b)
heissen die Gleichungen der Projectivität.

Durch das am Schluss von Nr. 37 angegebene Verfahren
erhält man den Begriff zweier projediviscJien Stralenhüschel
nebst den dazu gehörigen Gleichungen der Projectivität.
45. Die Gleichungen der Projectivität von Punkten bleiben

ungeändert, wenn die Paare Cjgj und £j£.,, demnach auch die
Punktreiheu ABC und J.jJjjCi auf verschiedenen Geraden
liegen. — Dasselbe gilt von den Gleichungen der Projectivität
von Geraden, wenn die Stralen des einen Büschels sich in
einem anderen Punkte schneiden als die des anderen.

Wie Punktreihen unter einander, und Stralenhüschel
unter einander, so können auch eine Punktreihe und ein
Stralenhüschel projectivisch sein, sobald nämlich dieselbe
Zahlbeziehung zwischen den Elementen der einen und denen
des anderen stattfindet. — Wenn nun von einem Punkte 0
der Ebene nach den Punkten einer Reihe, ABC die Stralen
abc gezogen werden, so besteht zwischen ahc dieselbe Zahl-
beziehung wie zwischen ABC („Raumlehre" Nr, 186); mithin
ist der Stralenhüschel 0 projectivisch mit der Punktreihe ABC.

— 85 -

Die Projectivitiit geht in den speeiellen P'all der Per-
spectivität über, sobald die gemeinsamen Punkte (Schnittpunkte
von Stralen) zweier projectivischen Gebilde auf derselben Ge-
raden liegen, oder die gemeinsamen Geraden (Verbindungs-
linien von Punkten) durch denselben Punkt gehen. Hienach
sind pcrspedivisch :

1) Zu'ci PtmJd reihen, sobald die Verbindungslinien je
zweier entsprechender Punkte durch einen Punkt gehen.

2) Eine Pimldreihe und ein Stralenbüschel , sobald jeder
Stral des Büschels durch den entsprechenden Punkt der
Reihe geht.

3) Zivei Stralenbüschel, sobald die Schnittpunkte je zweier
entsprechender Geraden auf einer Geraden liegen.

Anmerkung. Es ist leicht zu sehen, dass die hier gegebenen
Definitionen der Projectivität und Perspectivität mit den in der „Raum-
lehre" Nr. 176 stehenden
vollständig übereinstimmen.
Zwischen den Stralen des
Büschels A bestehen die-
selben Zahlbeziehungen wie
zwischen ihren Schnitt-
punkten mit der Geraden h.
Also sind Ä und b perspecti-
visch. — Zwischen den
Punkten auf & und dem
Büschel C bestehen diesel-
ben Beziehungen; also sind
auch b und Cperspectivisch.
— Und da die Schnittpunkte
je zweier entsprechenden Stralen von Ä und C auf derselben Geraden b
liegen, so sind auch A und C perspectivisch. — Ferner bestehen die-
selben Zahlbeziehungen zwischen den Stralen von C und den ent-
isprechenden Punkten auf der Geraden d. Also sind C und d per-
spectivisch. — Desgleichen b und d, da die Verbindaugslinien ihrer
entsprechenden Punkte sich in demselben Punkte C schneiden. — Da-
gegen sind A und d nur projectivisch. — Desgleichen b undi', A und E.

6. Projeetivisehe Punkt- und Geraden- Vereine.

Es seien in der Ebene vier Punkte A, B, C, D aus c,, 46.
6.2, 63, und vier collineare Punkte A^, i>'j, C,, D, aus £,, £.y, £3
abgeleitet. Sei zuerst:

- 86 —

( 1 a) Ä = «1 r, + «2 t'2 + «3 ^3 ; ^l = «1 f 1 + «2 ^2 + «3 ^ 3 5
(a, + «2 + «3 = 1).

Dann ist, wenn man die Grössen a eliminiren will, zunächst:

(2a) {A — t'a) = a^ (e,— c^) + a, (^2 — e^) ;

(-^1 — «3) = «1 («1 — ^3) + «2 («2 - ^3) •

Um nun «, und cc.^ zu eliminiren, und so eine von den

Grössen a unabhängige Beziehung zwischen den 8 Punkten

herzustellen, muss man in jeder der Gleichungen (2a) die

Factoren von a^ und k^ einander gleich machen. Dies ist,

ohne fremde Punkte einzuführen, nur möglich, indem man

die erste Gleichung mit (e^ — 63)? ^^^

j^j? . zweite mit (f j — e^) multiplicirt. Denn,

' \ / \ wie aus Fig. 23 erhellt, sind die Flächen-
— ^^- 1 theile {Ci — C3) {e^ — c^) und (^2 — %)

^ (^1 — ^2) (^^® beiden Parallelogramme)

einander gleich. Man erhält also weiter:

{Ä — 63) (e, — 62) = «1 (^1 — Ca) (ei - e^) + «2 (^2 — 63) (ej — Cj)
= «, (— 61 62 — % «1 + 63 ^2) + «2 (^2 «1 — ^3 «1 + «3 62)
oder :

(.1 — 63) (ßi —62) = (or, + f^2) (62^1 +6,^3 + 6362) ;

{Ä - e,) (^2— 63) = (a, + «3) (6362 + ^2^1+ e, ^3) ;

(.4 — 62) (^'3—61) = («3 + «1) (^1^3 + ^3^2 + e.^e^) .

Die letzten beiden Gleichungen folgen aus der ersten durch

circuläre Vertauschung. Durch Division dieser drei Gleichungen

folgt weiter:

(A — €3) (ei — €2) ^^ «I + t>2
jA — Cj) (Cj — 63) ^^ a2-\- «3 '
(A — e^) (€3 — e,) ofg + Kl

Ganz eben&o findet sich offenbar:

(^1 — fg) (£1 — £2) ^^ a, + Cg

{A, — fi) (fa — F3) 0^2 + a,

C-^i — ^2) (fa — fi) 0^3 + «1

Aus der Vergleichung beider Ausdrücke folgt:

( (A — 63) (ei — e.>) ^ (Ai — F3) (g, — fg)
(3a) ( J. - fi ) (eg — €3) ^ (^1- fi)(f2— O •

l (^ — e.,) (C3 - ej (^1 — Ej) (fg — fi)

Es existirt also zwischen den vier Punkten des ersten

— 87 —

und denen des collinearen Vereins eine von den Zahlgrössen
unabhängige Beziehung.

Jede der in (3a) enthaltenen drei Gleichungen stellt eine
Beziehung zwischen vier Streclienproducten (Flächenräumen)
dar. Liegen aber alle Punkte in derselben Geraden, so ist
es eine Beziehung zwischen vier Sfrcclcnqiiotienten (Zahlen).

So ist z, B. im Allgemeinen der Ausdruck , ~ ^^' , ~ ^^l

* {A — ei) (^2 — 63)

der Quotient der durch Zähler und Nenner bezeichneten
Flächentheile, jede Fläche gemessen durch (61^263). Dagegen
ist derselbe Ausdruck in dem besonderen Falle, geschrieben

in der Form r-, —^ ■ \ ' ^ das Product der durch die beiden

Facto ren bezeichneten Zahlen. (Denn der Quotient zweier
gleichgerichteten Stretiken ist eine Zahl.)

Im Gebiet der Ebene erhält man auch dann eine Be-
ziehung zwischen den acht Punkten, wenn man die Gleichungen
(2a) mit (e^ — 63) resp. (£2— ^3) multiplicirt. Dann ist:

(^ — 63) (e, — 63) = «1 (cj — 63) (e, — 63) ;
(-^1 — ^3) (^2 — ^3) = «1 («1 — ^3) («2 - ^3) ;
also durch Division :

(A — e,) (e, — 63) ^^ (Ai — f.,) (f., — b^)
(e, — 63) (Ca — 63) (£, — S3} (f2 — (3)

Liegen aber die acht Punkte in derselben Geraden, so
geht diese Gleichung nach der vorhin gemachten Bemerkung
über in:

(A — e,) _ (gg — es) ^^ (Ji — £.0 _ (gg — fa)

(Ci — Ca) (^2 — ^3) («1 — «3) (^2 — O'

oder :

(A — 63) ^ (Aj — £3)

(e, — 63) (S, — fg) '

welches wieder die Gleichung (3a) der Nr. 44 ist.

Die Beziehung (3a) lässt sich nun auch allgemein für
die collinearen Vereine AB CD und A^B^ ^'i-Dj herstellen. Sei

(Ib) B=ß,e,A-ß2e,^ß,e,', B,^ ß,8, + ß,e, + ß,s,',

(ßi + ß2 + ß3-^)-
(1 c) 6' = ^1 e, + y.,e, + y.^e.^ ; C, = 7, f , + y, f. + y._^ £3 ;

(^1+72 + ^3 = !)•

- 88 -

(kl) B = dj c, -f- <^2 ^2 + ^{^a */ -^1 =^ ^1 ^1 + ^9 «0 + ^3 ^3 ;
{^S, + Ö, + Ö,==\).

Dann ist:

(2a) {A — e,^ = rq (Cj — c,) + a.^ (e, — 63) ;

(2b) {B - 63) = /3, (ci - C3) + ß, {c, - e,) ;

mithin :

{A-B) = (a, - ß,) (c'i - 63) + («2 - ß2) {e-2 - e,) .
Ebenso :

(C - D) = (y, — d,) (e, — ci) + (j^3 - 0^3) (e, - c,) ;
also multiplicirt:

(,1 _ i>) (C - D) = 31 {c, e, -\-e,e, + c,e,) ; .
Ebenso:

(i? _ C) {A - D) = iV^(e, e, + ^2^3 + ^361) ;
und:

(C _ .i) {B-D) = F {e, e, + 6,63 + e,e,) ,
worin

ilf = («1 - /3,) (^2 - ^2) + («2 - ß-^ (72 - Ö2)

+ («2 -^2) (73-03),

während N und P aus diesem Ausdruck hervorgehen, indem
man darin die Buchstaben aßy zweimal nacheinander circulär
vertauscht. Da man offenbar ebenso erhält:

{A,-B,) (C, - A) = M{s,s,-{-e,e,-\-e,s,),

{B, - 0,) (.4^ -D,) = Nie, s, + e,s,^ s, £,) ,

{C, - A,) (i>', - D.) = P (e, ., + e,^, + s,8,) ,

so folgt aus den letzten beiden -Gleichungsgruppen:

,(Ä^B)_iC^I))

(3b) ] iB—C){A — D)

y^C— A) {B - D)

Es existirt also zwischen den beiden colliuearen Punkt-
vereinen eine von den zu Grunde gelegten Punkten unab-
hängige Beziehung. Vermöge dieser Beziehung heisseu die
beiden Punktvereine p-ojedivisch zu einander, und die Glei-
chungen (3b) heissen die Gleichungen der Projectivität. —
Brojectivisclie Geradenvereine. Vgl. Nr. 44 am Schluss. —
Ist EE^ ein fünftes projectivisches Punktepaar, so hat man

u.

-i?,)(C,-D,)

(1)

{B,

-COiAi-Di).

(^)

{Cr

-Ao{B,-D,)

Co)

- 89 —

nur iii (3b) jeden Buchstaben mit dem folgenden des Alpha-
bets zu vertauschen, um dieses Paar in die Gleichung ein-
zuführen.

Nach Nr. 42 besitzen zwei coUineare Punktvereiue drei 47.
gemeinsame Punkte. Es seien in den Vereinen AB CD und
AiUiC\l)i die beiden Punkte Ä und C zwei dieser gemein-
samen Elemente, sodass

(4) A,=A, c, = a

Dann geht die aus den Reihen (1) und (2) von (3b) bestehende
Gleichung über in:

(A — B) (C—D) (A — B,) [C - Di)

(1.2)

{B - C) [A — D) {Bi — C) {A — D,) '

d. h. in die Gleichung der Involution. Man hat also den Satz:

A H C T)
Wenn die beiden Punktvereine a-qct) pi'ojectivisch sind,

so bilden die Punktepaare ^j^ \a\b ^^*^® Involution.

Die Involution ist hiernach ein specieller Fall der Pro-
jectivität.

Ohne Anwendung von Buchstaben-Bezeichnung lässt sich
der vorige Satz auch ro aussprechen: Zivei von den Doppel-
elementen ztvcier projectivischcr Punktvereine bilden eine Invo-
lution mit ztvei aus je sivei zugeordneten Punkten gebildeten
Paaren.

Die beiden anderen in (3b) enthaltenen Gleichungen gehen
durch die Substitutionen (4) über in

(9 ':\\ (B-C) (A - D) [Bj - D^) _ .

l-;^; (JB-D) ■ {A-D,) ' [Bi-C]

V^J ^} {B -A) ' {C — D) ' [Bt - D.j '

welche Gleichungen die zweite Form der ßedingungs-
gleichungen der Involution darstellen.

Die Gleichung (1,2) bleibt ungeändert, und die Glei-
chungen (2, 3) und (3, 1) gehen in einander über, wenn man
A mit C vertauscht. Ebenso bleibt (1, 2) ungeändert, wenn
man B mit 7), , oder D mit ^, vertauscht. Daraus folgt der
Satz: 3Ian kann in jeder Involution die Punkte eines beliebigen
Paares mit einander vertauschen.

Die linke Seite der Gleichung (3b) ist ein Doppelverhält-

- 90 -

niss, welches man auf sechsfache Weise in einfache Verhält-
nisse zerlegen kann. Diese 6 Verhältnisse sind:

1) 2)

(A — B){C—D) {A-B){C-B)

a)

{B — C) {A — D)^ {ü — A){B ^ I)]'
(B — C) (A — D) _ {G — A) (B — D) .

3)

{B-

- C) (A -

- D)

(C-

-A)[B~

-D)

((7-

A)(B-

- D)

{A - B){C — D)' {A~ B) [C - D) ' {B - C) {A - D)

Durch Gleichsetzung von je zweien dieser Verhältnisse wird
man Beziehungen zwischen den vier Punkten erhalten. Es
sind aber dabei nur drei wesentlich verschiedene Fälle vor-
handen.

1) Jeder Zähler des einen Verhältnisses ist dem Nenner
des anderen gleich, (la = Ib; 2a = 2b; 3a = 3b). Bezeich-
nen wir das eine Verhältniss mit A, so ist das andre—; mit-
hin A = — ; oder A'^ = 1 ; A = + ^- J^^^^' A = -|" 1 ^'^^^^ ^^ß
vier PunJcte harmonisch, für A = — 1 fallen zwei derselben
zusammen.

2) Die Zähler oder die Nenner der beiden Verhältnisse
sind gleich, (la = 2a; 3a = Ib; 2b = 3b ; la = 3b ; 2a = 3a;
Ib = 2b). Dann fallen 3 Funkte zusammen.

3) Der Zähler des einen Verhältnisses ist dem Nenner des
andern gleich, (la = 2b; la = 3a; 2a = Ib; 2a = 3b;
3a== 2b; Ib = 3b). Dann heissen die 4 Punkte äquianJiar
manisch. Die Bedingungsgleichuug dieser Beziehung ist also

(f\\ (A-B)iC-D) _ iC-AMB^B)

K'^) 0 — C) {A — D) {A — B) {C — D)'

7. Das Pascal'sche Sechsseit und das Brianchon'sche SechseckJ

48. Wir betrachten im Folgenden drei Punktepaare, deren

Verbindungslinien durch einen Punkt gehen, und reciprok
drei Linienpaare, deren Schnittpunkte auf einer Geraden liegen.
Im ersten Falle bilden die drei Punktepaare ein Brianchon'-
sches Sechseck, und der Schnittpunkt ihrer Verbindungslinien
heisst JBrianchon' scher Punkt. Im zweiten Falle bilden die
drei Liuienpaare ein PascaV.sches Sechsseit, und die Gerade,
auf der ihre Schnittpunkte liegen, heisst Pascal'sche Linie.
Da wir die drei Geraden des ersten Falles, welche durch

J

- 91 —

ernew Punkt gehen , reeiprok verwandt setzen können mit den
drei Punkten des zweiten Falles, welche auf einer Geraden
liegen (,,Raumlehre'' Nr. 186), so genügt es, die Formeln
für das Brianchon'sche Sechseck aufzustellen, indem aus jedem
Satze über diese Figur ein andrer über das Pascal'sche Sechs-
seit folgt.

Es seien AA^, BB^, CC^ drei Punktepaare, deren Ver--
bindungslinien sich in X3 schneiden. Dann ist:

(I) X, = XA + (1 - l)A, = j. J^ + (1 - ii)B,

= vC+{\-v)C,,
Es sei ferner:

I (1) Ay == ßj A -f c(.,B -f «3 C; (c<^ -f a.-, + a.^ — 1) ;

(II) (2) B,=ß,A-{-ß,B + ß,C; (ß,-^ß, + ß, = l)-

1(3) C,=y,A+y,B-{-y,C. (y, + r, + ^3 = O-

Eliniinirt man C aus (1) und (2), A aus (2) und (3), B aus
(3) und (l), so folgt:

(A3«i — /^.«3)--i - ßiA = (/52«3 — /^a«.,)^ — f^s^n
(y^ß2 - 72/5i)-ß - r^B^ = i7,ßi - Ttßd C - ß, C,;

Da aber X3 der Schnittpunkt der Geraden AAi, BB^, CC^
ist, so ist X3 der gemeinsame Werth der in diesen drei
Gleichungen enthaltenen 6 Ausdrücke, und man erhält durch
Vergleichung der Coefficienten von A^ , B^ , C\ etc. die Be-
dingungen :

ßi = Vi ; 71 = «3 ; «2 = ^1 •
Durch diese Substitutionen gehen die letzten drei Gleichungen
über in

(III) X3 = XA- y,A^ = ^B~a.,B, = vC~ß,C\,
worin nun X^iv folgende Bedeutung haben:

^ = V'l^^l — ßl^3)

fl = «3^2 — VißlP

V = ßi?:) — (^72-
Bestimmt man nun mittelst der Gleichungen (III) die Punkte
P.^PiP^, m denen sich resp. die Geraden AiB^ und AB,
ByC\ und BC, C\Ai und CA schneiden, so folgt:

02

aV) \l\ = a,B,-ß,C

a.lJi = /l.i

ft^ -vC]
vC—XA.

Daraus folg't:

1\^I\-^I\ = 0;

d.h. Verbindet man in einem
BriancJion' selten SecJiseclv
die drei geraden und die drei
ungeraden Eclccn zu je einem
BreieeTx, so liegen die 3 Punkte,
in denen sich je zwei entspre-
chende Seiten dieser DreiecJce
schneiden, auf eine r Geraden. *)

Vervollständigt man in einem
Faseal' sehen Seehsseit die
drei geraden und die drei un-
geraden Seiten zu je einem
Dreiseit, so gehen die 3 Ge-
raden, welche je zwei ents^tre-
ehende Eelen dieser Dreiseitc
verbinden, durch einen Funld.

Da in dem ersten dieser Sätze die Ecken der beiden
Dreiecke auf drei Geraden (den Diagonalen des Sechsecks)
liegen, welche sich in einem Punkte schneiden, so kann
man die beiden Sätze auch so ausdrücken:

Liegen die Echen zweier Drei- \ Schneiden sich die Seiten
ecke auf drei Geraden , die sich] zw&ier Dreiecke paarweise in
in einem Punkte schneiden, drei Punkten, die auf einer

so schneiden sich die entspre-

Geradcn liegen, so gehen die

chenden Seiten der beiden Drei- Verbindungslinien der entspre-
ecJce in drei Punkten, welche] clmtden Ecken der beiden Drei-
auf einer Geraden liegen. [ecke durch einen Punkt.

Es ist demnach der reciproke Satz nur die Umkehrung
des ersten.

Da ferner die Seiten der beiden im ßrianchon'schen
Sechseck gezeichneten Dreiecke ein Sechseck bilden, in wel-
chem die Schnitt23unkte je zweier Gegenseiten auf einer Ge-
raden liegen, so hat man die Aveiteren Sätze:

Die Linien, ivelche die ge-\ Die Punkte, in tvelchen die
raden und diejenigen, tvelchc' geraden, und diejenigen, in
die ungeraden Ecken eines ivelchcn die ungeraden Seiten
Brianchon' sehen Sechs- eines PascaV sehen Sechs-

*) Identisch mit Ni*. 124 der „Raumlehre", wo ABCXi^X^X^ die
Ecken des Sechsecks sind.

93 -^

eclis mit einander verbinden, \seits sich untereinander schnei-
bilden ein Fase aVschesi den, bilden ein Brianchon' -
Sechsseit. \schcs Sechseck.

Es sind also die eine Gerade uud der eine Punkt, von
welchen in den vorigen beiden Sätzen die Rede war, nichts
weiter als die Pascal'sche Linie, resp. der Brianchon'sche
Punkt.

^^ a:^

Bestimmt mau endlich mittelst der Gleichungen (III) die 49.
Punkte Q^iQiQ.^,- in denen sich resp. die Geraden AB^ und
BA^, BC^ und CB^, CA^ und AC^ schneiden, so folgt:

j— Q^ = lA-\- a^B, = fiB + y,A^ ;

(V) -(2, = ^J5+/3,C, =vC-{-a,Br,
\~ Q, = vr-{-y,A, =XA-{-ßi(^\-

Elimiuirt man aus diesem System zuerst die Grössen ABC,
dann A^B^C^, und setzt die erhaltenen gleichen Ausdrücke
resp. gleich X, und Xo, so folgt, Avenn wir (III) vorausgehen
lassen, folgendes System:

{X.^ = kA — y.,A^ =[iB~ «3 jB, == vC —/)/', ;

(VI) X, = r,A, - Q, = a,B, - Q, = ß,(\ - Q, ;
( X, = Qy — IA = Q., - (iB= Q,, - vC .

Daraus fulgt:

X, + X,+ X, = 0;

94 —

d. h. : Die drei Funlte, in wel-
chen je ztvei Gegenseiten eines
Brianchon' selten Sechsechs sich
schneiden, bilden mit den ge-
raden soivohl ivie mit den un-
geraden Felden ein neues Brian-
rhonsches SechsecJi, nnd die
Brianchon' sehen Fimlie dieser
drei Sechseclie liegen auf einer
Geraden.

Die drei Geraden, welche je
0tvei Gegeneclen eines Fascal'-
schen Sechsseits verbinden, bilden
mit den geraden sowohl ivie mit
den ungeraden Seiten ein neues
Pascal' sches Sechsseit, und die
PascaVschen Linien dieser drei
Sechsseite gehen durch einen
Punlt.

Aus den Gleichungen (V) lassen sich ferner die Schnitt-
punkte der Geraden uiB und Ä^B^ ; BC und B^C\ 5 CA und
(\Ä^, die bereits durch die Gleichungen (IV) bestimmt waren,
aufs Neue ableiten. Man erhält nämlich:

(VIT)

-P3 = ^1 ~ Qi = lA - iiB = 72 ^1 — «3^1 ;

(?, =v('—kA

P, ^ Q,

P2 = Q,
Und die Formel

P^ + P, + P,
liefert jetzt folgende Sätze:

Von den drei PunJcten, in
tvelchenje zwei Gegenseiten eines
Brianchon' sehen SechsecJcs sich
schneiden, bilden je zwei 7nit
den EndpimMen der beiden nicht
verlängerten Seiten des Sechsecks
ein neues Brianchon sches Sechs-
ecTi, und die Brianchon sehen
Punkte dieser drei Sechsecke
liegen auf einer Geraden.

■.a,B,~ß,C\

ß,(.\-y,A,

0

Von den drei Geraden, ivel-
che je zwei Gegenecken eines
PascaVschen Sechsseits verbin-
den, bilden je zivei mit den in^
den nicht verbundenen Ecket
des Sechsseits sich schneiden^,
den Seiten ein neues PascaV-
sches Sechsseit, und die PascaV-
schen Linien dieser drei Sechs\
Seite gehen durch einen Punkt%

Diese Sätze lassen sich mit den vorigen beiden zu einen
Paare vereinigen, welches eine Erweiterung der Sätze (IV) ist:l

Verbindet man in einem
Brianchon' sehen Sechseck die
drei geraden, die drei unge-

Vervollständigt man in einer
PascaVschen Sechsseit die dre
geraden, die drei ungerader

raden Ecken , und die drei Seiten und die drei Geraden,t
Punkte, in denen je zivei Gegen- \ ivelche je zwei Gegenecken ver-^

— 95 —

Seiten sich schneiden , zu je einem
Dreiecl', so schneiden sich erstens
je drei entsprechende Seiten der
drei Dreieclie in einem Funkte,
und diese drei Funkte liegen
auf einer Geraden. Zweitens
schneiden sich die drei Verbin-
dungslinien der entsprechenden
Ecken je ziveier Dreiecke in
einem Funkte, und diese drei
Funkte liegen wieder auf einer
Geraden.

binden, zu je einem Dreiseit,
so liegen erstens_ je drei ent-
sprechende Ecken der drei Drei-
seite auf einer Geraden, und
diese drei Geraden schneiden
sich in einem Funkte. Zwei-
tens liegen die drei Schnittpunkte
der entsprechenden Seiten je
zweier Dreiseite auf einer Ge-
raden, und diese drei Geraden
gehen ivieder durch einen
Funkt.

Die beiden Geraden, auf welchen je drei Brianchon'sehe
Punkte der vorigen Sätze liegen, mögen hier Hesse'sche Ge-
raden genannt werden*); die beiden Punkte, in welchen je
drei Pascal'sche Linien sich schneiden, heissen Steiner' sehe
Funkte.

Mau kann die 9 Punkte ABC, A^B^C^, Q^Q.^Q.^, und
die G Punkte X^ X., X.,, F^ P^F^ in folgender Weise gruppiren:

Xo

ABC)^

p, Pl

Diese Figur drückt in Uebereinstimmung mit dem 3. Satze
auf S. 94 aus, dass durch jeden der 6 äusseren Punkte die
drei Verbindungslinien derjenigen Punktepaare gehen, welche
durch die zugehörige Klammer verbunden werden. Wir
kehren die erste Hälfte jenes Satzes nur um, wenn wir sagen:

Wenn die entsprechenden Sei- j Wenn die entsprechenden
ten von drei Dreiecken durch Ecken von drei Dreiecken auf
drei Funkte {F^F^F^ gehen, \ drei Geraden liegen, tvelche
welche auf einer Geraden lie- durch einen Funkt gehen, so

*} Diese Geraden scheinen bisher nicht benannt zu sein, wohl
darum, weil die Untersuchungen stets in erster Linie das Pascarsche
Sechsseit berücksichtigten. Der hier befolgte Gang nöthigte mich zur
Aufstellung eines besonderen Namens.

96

gen, so schneiden sich die Ver- liegen die Schnittpunhte der ent-
hindungslinien der entsprechen- sprechenden Seiten je zweier
den Ecken je zweier Breiecke Dreiecke auf einer Geraden,
in einem Punkte, und diese und diese drei Geraden gehen
drei Punkte (XjXjXg) liegen durch einen Punkt,
auf einer Geraden.

Dieser Satz lässt sich auch ohne Weiteres aus der soeben
betrachteten Figur ablesen.

Aus den Gleichungen : X, + X^ -f- X.j = 0 und Pj -j- P.,
+ P3 = 0 folgt:

. Xj = — Xj — X3 ; Xo = — X, — X, ;
p _. P p. p _p p.

X,

■ -Xj — Xoj
_p p

Dann sind die mit den 6 Punkten auf der linken Seite dieser
Gleichungen conjugirten vierten harmonischen Punkte:

X,' = — X2+X3; X2' = — X3 -(- X, ; X/ = — Xi-f-Xjj

p; = -p, + p,; p:=-p, + p,; p,'=^-p,+p,.

Nun ist:

^1' + ^1' = ^3 — ^2 + -^3

-2.Ä)

Durch dasselbe Verfahren erhält man im Ganzen folgendes
System :

X,' + P;=3y,Ar,

XV+P/=3«3i^i;

x.;-{-p,'=3ß,c\;

X,' + Pi' = 3Ayl;
X/+P,'=3fii^;

x,'+p,'=3vr;

und daraus die Sätze;

X3' + P/ = 3(2,;
X3' + P/ = 3(?,,;

^3' + ^3=3 ^3,

Construirt man auf den bei-
den Hesse'schen Geraden zu
jedem der drei Brianchon' sehen
Punkte in Bezug auf die andern
beiden Punkte den vierten har-
monischen Punkt, und verhindet

Legt man durch die beiden
Steiner' sehen Punkte zu jeder
der drei PascaVschen Linien
in Bezug auf die beiden ande-
ren Linien die vierte harmo-
nische Linie, so schneiden sich

diese Punkte der einen Geraden die durch den einen Punkt
mit denjenigen der anderen, so gehenden Linien mit den ande-
geht durch jeden Endpunkt des\ren in neun Punkten, und auf

97 -

BriancJion sehen ScchsrcJiS und
durch jeden SclmittiMnlt zweier
Gegenseiten eine dieser neun

jeder Seite des PascaVsehen
Sechsseits und auf jeder Ver-
bindungslinie zweier Gegenecken

Verbindungslinien. | liegt einer dieser neun Schnitt-

' punJite.
Die 9 Punkte 50.

A B C
A,B,C,

sind, wie aus den Sätzen VI und VII der vorigen Nr. hervor-,
geht, so beschaffen, dass je zwei senkrechte oder zwei wage-
rechte Tripel ein Brianchon'sches Sechseck bilden, sodass im
Ganzen 6 solcher Sechsecke existiren. — Diese Punkte bilden
aber nur einen Theil der sämmtlichen 15 Punkte, in welchen
die Seiten des ursprünglichen Sechsecks ÄBCÄ^B^C^ sich
schneiden. Ebenso bilden die eben betrachteten 6 Sechsecke
nur einen Theil sämmtlicher aus den 6 Seiten der ursprüng-
lichen Figur darstellbaren Sechsecke, die sich alle durch die
Aufeinanderfolge ihrer Seiten von einander unterscheiden.
Halten wir eine Seite (1) des gegebenen Sechsecks fest, so
steht der Uebergaug zu jeder der übrigen 5 Seiten offen.
Dies giebt 5 Combinationen. Ist die zweite Seite gewählt,
so steht der Uebergang zu jeder der noch übrigen vier Seiten
frei , also hat man 5 . 4 = 20 Combinationen. So fortfahrend
erhält mau im Ganzen 5.4.3.2,1 = 120 Combinationen,
von denen jedoch je zwei zusammenfallen, da sie nur durch
den entgegengesetzten Sinn der Fortbewegung verschieden
sind. (So ist z. B. (13456) = (1 G543).) Es bleiben demnach
CO Sechsecke.

Auf jene 15 Punkte und 60 Sechsecke soll nunmehr die
Betrachtung ausgedehnt werden.

Die 15 Schniffjntnlir der 6 Geraden. Bezeichnen wir die
6 Seiten des Brianchou'schen Sechsecks der Reihe nach mit
123456, so erscheint jeder der 15 Punkte als das plani-
metrische Product von zweien dieser Zahlen, und mit Rück-
sicht auf Fig. 25 gehen die Gleichungen II (Nr. 48) über in:

(1) (56) = «,(23) + «,(61) -f «,(45)

(2) (34) = /3, (23) H- ^,(61) + ß,{Vo)

(3) (1 2) = r, (23) + y, (61) -f y,(45) ._

Schlegel, Elemente. 7

- 98 —
Setzt man hierin, wie bereits oben geschehen:

^:i = y-> ; ri = «3 ; «2 = /^m

und ausserdem :

«1 =-=- ßi = r-i = '^ ,
so folgt:

((12) = «3(23)+ (40) + 7,(61);

1. j(34)==/3,(23) + r.,(4r))+ (61);

(56)=. (23) + f.,(45) + /3,(61).

Q

Es war ferner:

-Q,=iiB+ß,C, = (a,ß,-y,ß,)B+ß,a,Ä-{-ß,y,B^ß,r,Gl
= ß,a,A + a,ß,B-{-ß,y,C,

oder mit Berücksichtigung der Werthe von ß.^ und y.^, und
der neuen Bezeichnungen für die Punkte:

(14)=/ii«3(23) + /j,(45) + a,(61).

Dividirt man diese Gleichung durch ß^oc,,, setzt

A- _ ' ' _ /? '
o<z~ ^'^' ßi ~ ^' '

und unterdrückt links den Factor cc.^'ßi', so folgt:

99

II.

(14)= (23) + <(45) + /3/(61);

(25) = /i,'(23) + 7,'(45)+ (61);
(36) = «3'(23)+ (45) + r,>'(61).

Die letzten beiden Formeln dieser Gruppe entstehen anf die-
selbe Weise wie die erste, und es ist y.^ = •

72

Bestimmen wir nun noch die Punkte: (13), (35), (51);
(24)^ (46), (62). Eliminirt man aus den letzten beiden Glei-
chungen (I) den Punkt (23), indem (34) mit /3,' multiplicirt,
und (56) davon subtrahirt wird, so folgt:

(34) /3,' - (56) = (y,/i,' - «,) (45) + (^,' - ^,) (6 1)
oder :

(34)/i,'+ {a, - y,l5;) (45) = (yi,'-/5,)(61)+ (56) = (46),

weil die beiden Seiten der Gleichung einen Punkt bestimmen,
welcher gleiclizeitig auf den Linien 4 und 6 liegt, also den
Punkt (46). Da nun nach (I)

(34)/3,' = (23) + 7,/V(45)4-/3j\61)

(46) = (34)^; + {a, - r,^,')(45)
ist, so erhält man durch Addition:

(46) = (23) + «,(45) + /V(61).
Diese Gleichung würde alje.r aus der letzten Gleichung (I)
durch die Vertauschungen

4 mit 5, und (i^ mit ß^'
hervorgegangen sein. Man schliesst hieraus, dass auch durch
die analogen Vertauschungen

6 mit 1, und a.^ mit «./,
2 mit 3, und y.2 mit y.^'
aus den Formeln I richtige Formeln hervorgehen, und er-
hält so:

((4 3) = «3 (23)+ (45) + y,;(61)

(35) = /i,'(23) + y,(45)+ (61)

1(51)= (23)+.<(45) + /3,(61)

(62) = < (2 3)4- (4 5) + 72 (61)

(24)=^, (23) + y,' (45)+ (61)

1(46)= (23) + f.,(45) + /3,'(;6n

111.

IV.

— 100 —

Diese Systeme III uiitl IV würde man durch dieselben
Vertansehungen auch aus II erhalten, wie denn überhaupt
jedes der vier Systeme durch einmalige oder zweimalige An-
wendung jener Vertauschungen die drei übrigen liefert.

Die 60 ScchsecJic der 6 Geraden. — Im Anfang dieser
Nr. wurde bemerkt, dass die Vnnkie ABC, Ä^B^(\, Q1Q2Q3
G Brian ehon'sche Sechsecke bildeten. Diese Sechsecke sind
sämmtlich in dem Ausdruck

(135)

enthalten, wenn man hinter seinen drei Ziffern die übrigen
Zahlen 246 auf alle möglichen Arten vertheilt. Jede dieser
Permutationsformen giebt dann die Reihenfolge der Seiten
eines Brianchon'schen Sechsecks, und die Eckpunkte von
jedem dieser Sechsecke stimmen mit irgend 2 Puuktetripeln
aus dem im Anfang dieser Nr. gegebenen Schema überein^
wie aus der darauf folgenden Figur zu sehen ist.

Da nun durch die Vertauschungen 4 mit 5, 6 mit 1,
2 mit 3 die Beziehungen der 15 Funkte, wie eben gezeigt,
nicht geändert werden, so erhält man auch aus (135) durch
diese Vertauschungen 18 neue Brianchon'sche Sechsecke,
nämlich :

(134), (635), (125).

Denken wir uns jetzt in den Systemen I bis IV alle
übrigen 12 Funkte durch (12), (34), (56) ausgedrückt, an-
statt wie bisher durch (23), (45), (61), so werden die neuen
Gleichungen durch die Vertauschungen 1 mit 2, 3 mit 4,
5 mit 6 (verbunden mit entsprechenden Vertauschungen der
Coefficienten) in einander übergehen. Mithin werden auch
diese Vertauschungen das ursprüngliche Sechseck (135) in
18 neue Brianchon'sche Sechsecke überführen, nämlich in

(235), (145), (136).

Dasselbe wird schliesslich stattfinden, wenn man alle
Punkte durch (14), (25), (36) ausdrückt. Man erhält so die
letzten 18 Sechsecke:

(435), (132), (165).

Man erhält also im Ganzen 60 Brianchon'sche Sechsecke,
und demnach die Sätze: '

— 101 —

Sechs gerade Linien bilden Seclis Punkte hildcn 60 Sechs-
GO Sechsecl'c. Ist eins derselben i seile. Ist eins derselben ein
ein B r i a n c h on sclies, so sind \ Pascal' sches, so sind auch
auch alle übrigen solche. i alle übrigen solche.

Da die Brianchon'schen Punkte von je drei der 60 Sechs- 51.
ecke auf einer Hesse'schen Geraden liegen, so giebt es im
Ganzen 20 Hesse'sche Geraden in der Figur. Und zu jeder
der 10 Gruppen von Sechsecken in der vorigen Nr. gehören
2 solcher Geraden, z. ß. zu (135) die Geraden, auf welchen
die Punkte X^X^Xo und P^P.^P.^ liegen.

Drücken wir nun Xg und X^ mittelst der Formeln VI
und 11(1), resp. VI und V (2) durch ABC aus, so folgt,
wenn wieder «i == /52 = J^3 = 1 ist:

«3 ßi 72 72

oder in der neuen Bezeichnung:

- X3 . a^ß;y; = ^;(23) + /3,'(45) + <(61);
-X, = ;.,(23) + ^, (45) + «3(61)-,
und addirt:
- (X^ + «3'/3,'y,'. X3) = (y, + y,'K23; + (^, + /3;) (45)
+ («, + <) (61).

Da der Punkt, welchen die linke Seite dieser Gleichung
ausdrückt, aus X, und X^ abgeleitet ist, so geht die durch
die beiden letzteren Punkte bestimmte Hesse'sche Gerade auch
durch ihn. Und da die rechte Seite dieser Gleichung durch

iede der Vertauschungen '^^/i/fl L''^' ungeändert bleibt,
J ° 3,72 |5, Pi ll.ofg I ö '

so gehen durch diesen Punkt auch die Hesse'schen Geraden

derjenigen 3 Sechseck-Gruppen, welche man aus der einen

Hälfte von (135) durch die ebengenannten Vertauschungen •

erhält. Der Punkt, durch welchen vier Hesse'sche Geraden

gehen, möge Hesse'scher Punkt genannt werden.

Durch einen nveiten Hesse'schen Punkt geht dieselbe

Gerade (der Punkte X, X.^ X3) und die 3 Hesse'schen Geraden

derjenigen Sechseck-Gruppen, welche man aus (135) durch

die Vertauschungen L, erhält. Ein dritter Hesse'scher

Punkt geht endlich auf dieselbe Weise durch die Vertauschungen

102 —

2!3
5 6

hervor.

Alle drei Hesse'schen Punkte liegen auf

derselben Hesse'schen Geraden (X, X^ X.^) , und da dasselbe
von sämmtlichen Hesse'schen Geraden gilt, so liegen auf
jeder der 20 Hesse'schen Geraden 3 Hesse'sche Punkte. Da
endlich je vier Geraden einen solchen Punkt gemeinsam haben,

20 3 -

SO ist die Zahl sämmtlicher Hesse'schen Punkte -—^ = 15.

Fügt man noch die Erklärung hinzu, dass eine Gerade,
auf welcher vier Steiner'sche Punkte liegen, Steiner' sehe Ge-
rade heisst, so kann man die Sätze aussprechen:

Die Figur der 60 BriancJwn'- \ Die Figur der 60 Pascal' -
sehen Sechsecke enthäU20 Hesse'- \ sehen Sechsecke enthält 20 Stei-
sche Geraden, und \b Hesse' sclie ner' sehe Funkte, und 15 Stei-
Funkte. — Auf jeder Geraden ner'sche Geraden. — In jedem
liegen 3 Funkte, und in jedem ' Funkte schneiden sich 3 Ge-
Furikte schneiden sich 4 Ge- raden, und auf jeder Geraden
raden. \ liegcyi 4 Funkte.

Man überzeugt sich leicht, dass die Figur der 15 Plesse'-
schen Punkte mit derjenigen der 15 Punkte am Schluss von
Nr. 49 übereinstimmt.

Anmerkung. Die in dieser Abtheilung behandelten Gegenstände
pflegen bisher entweder durch die Methode der symbolischen Gleichungen
(Neuere analytische Geometrie), oder durch diejenige der binären For-
men (Moderne Algebra) erledigt zu werden.

Die Methode der symbolischen Gleichungen (wobei z. B. ein Punkt
durch die Gleichung A = 0 ausgedrückt wird) beruht auf einem Ab-
kürzungsverfahren , wonach die* linke Seite einer auf Null gebrachten
Coordinaten-Gleichung durch einen einzigen Buchstaben ersetzt wird.
Nur unter dieser Voraussetzung haben die symbolischen Gleichungen
einen Sinn , und sie können , so einfach sie auch aussehen , doch nicht
anders gedacht werden, als entstanden aus einem complicirten Au--
druck durch eine zwar glückliche aber doch willkürliche Symbolik. —
Dagegen hängen die im Vorstehenden gebrauchten Gleichungen mit
den einfachen Prinzipien der Raumlehre aufs" Engste zusammen, und
ihre einfache Gestalt ist nicht die Folge einer willkürlichen Abkürzung,
sondern beruht in der Einfachheit der durch sie dargestellten Be-
ziehungien. Es ist also bei der Bildung dieser Gleichungen der Umweg
durch ein Coordinatensystem , welches erst eingeführt, und dann (durch
die Abkürzung) wieder eliminirt wird, vermieden. Gleichzeitig ge-
statten die Zahlcoefficienten der Punkte ein leichteres Auffinden der-
jenigen Combinationen zwischen Gleichungen, welche zu einfachen

— 103 -

geometrischen Resultaten führen, während die symbolischen Gleichungen
in ihrer allzugrossen Aehnlichkeit unter einander die individuellen
Eigenthümlichkeiten der durch sie dargestellten Punkte zu sehr ver-
decken. — Es möge auch zur Vergleichung bieider Methoden auf die
iu Nr. 50 auftretenden Ausdrücke von der Form (12) aufmerksam ge-
macht werden, deren Einführung in der Darstellung desselben Gegen-
standes bei Hesse (Vorlesg. a. d. anal. Geom. der geraden Linie etc.)
wieder eine neue willkürliche Symbolik erfordert, während sie hier im
Zusammenhange mit der Disciplin einfach planimetrische Producte sind.

Die Methode der binären Formen ist aus mehrfachen Gründen zur
ersten Einführung in den hier behandelten Gegenstand ganz ungeeignet,
wie man denn überhaupt sich hüten muss, den Umfang desjenigen
Gebiets der Wissenschaft, welches irgend einer Methode unterworfen
ist, zu überschätzen (vgl. Nr. 16). Auch die Ausdehnungslehre erhebt
keineswegs den Anspruch auf allgemeine Anwendung im Gebiet der
Mathematik. Sie will sich nur diejenigen Gegenstände unterwerfen,
welche mit ihrer Hilfe leichter, einfacher und naturgemässer gefunden
werden können, als durch andere Methoden, und sucht, indem sie jeder
der ihr untergeordneten Special - Methoden ihr natürliches Gebiet an-
weist, und jede dieser Methoden aus allgemeineren Gesichtspunkten
ableitet, mehr Uebersicht und Zusammenhang in die ihr zugänglichen
Gegenstände zu bringen. Namentlich sucht sie der in neuerer Zeit
zum Schaden der üebersichtlichkeit immer mehr um sich greifenden
Methode der abgekürzten Bezeichnungen, durch welche bereits ein
wahres Chaos von Symbolen in der willkürlichsten Form geschaffen
worden ist, entgegenzutreten, und zu zeigen, dass auf dem ihr zugäng-
lichen Gebiete ausser den in Nr. 4 der Einleitung abgeleiteten 4 Product-
Inldungen jede weitere Symbolik überflüssig ist.

Um zur Methode der binären Formen zurückzukehren , sei bemerkt,
dass dieselbe in ihrer bisherigen Gestalt zunächst ebenso wie die vorige
ein Coordinatensystem voraussetzt, sodass schon der Nachweis, dass
die Invarianten und Covarianten der Formen die verschiedenen pro-
jectivischen Verhältnisse darstellen, sehr umständlich ist. Sodann giebt
die Covariante gar kein Bild des geometrischen Verhältnisses und ist
bei aller Kürze doch wenig brauchbar zur Ableitung der einfachen
geometrischen Sätze. Endlich ist die Eigenschaft der Invarianz, wenig-
stens für die harmonischen und involutorischen Verhältnisse, ganz
nebensächlich, und ihre Verwendung bei den allgemeinen projectivi-
scheu Verhältnissen gestaltet sich mit Hufe des Systems der ursprüng-
lichen Einheiten wesentlich einfacher, als sonst. — Die Methode der
modernen Algebra findet erst dann ihre natürliche Verwendung, wenn
man die Punkte, deren Projectivität man untersucht, als Schnittpunkte
von Geraden und Curven betrachtet, oder, anders gesagt, wenn man
die binären Formen als speciellen Fall der ternären betrachtet. Denn
erst in dem Abschnitt von den zusammengesetzten Grössen (Curven)
tritt in der Raumlehre die algebraische Multiplication auf, und mit
ihr diejenigen Bildungen, welche man Invarianten und Covarianten

— 104 —

nennt. — Nun lässt sich allerdings die Methode der binären Formen
von der Zuthat der Coordinaten befreien, und dadurch wesentlich ver-
einfachen; aber auch dann vsfird man eine Punktreihe in erstei' Linie
als f-ine Reihe einfacher Grössen betrachten müssen, und erst in zioeiter
Linie als eine einzige zusammengesetzte Grösse. Hierdurch rechtfertigt
sich die im Anfang dieser Anmerkung aufgestellte Behauptung.

Dritte Abtheilung.

Die Lehre von den zusammengesetzten Grössen.

52. Die Anfänge dieser Abtheilung sind bereits in der „Raum-

lehre" zusammengestellt (vgl. die Anm. zu Nr. 34 des vor-
liegenden Buches). Es ist daselbst in Nr. 164 die Art und
Weise angegeben, wie die zusammengesetzten Grössen in das
System, der Raumlehre eintreten-, sodann ist in Nr. 165 u. 166
der Kreis als einfachste der zusammengesetzten Grössen in
Betracht gezogen, und endlich ist in Nr. 172 — 174 der Be-
griff der Centralität und Polarität für Kegelschnitte im All-
gemeinen festgestellt worden.

Nachdem nun in Nr. 8 — 10 des vorliegenden Buches
unter Zugrundelegung einer neuen Bezeichnung die Betrach-
tung einer Curve als zusammengesetzte Grösse als ein Fort-
schritt gegen die frühere nachgewiesen wurde, soll zunächst
im Anschluss an jene Abschnitte der „Raumlehre" wiederum
der Kreis herausgehoben werden, welcher durch seine Doppel-
stellung als einfaches Gebilde und zusammengesetzte Grösse
gleichsam eine Vorstufe zu den allgemeinen Grössen der
letzteren Art bildet, und dessen Behandlung nur die aller-
einfacbsten unter denjenigen Hilfsmitteln erfordert, welche in
der allgemeinen Lehre angewendet werden.

Es werden darauf in einem gleichfalls vorbereitenden
Abschnitte die wichtigsten derjenigen Beziehungen untersucht
werden, welche zwischen dem äusseren Producte einer Reihe
von Grössen, und deren Ableitungszahlen bestehen (ein Ab-
schnitt, welcher sich mit der Lehre von den Determinanten
deckt). Diese Untersuchung wird, um in der Allgemeinheit
mit sonstigen Arbeiten über diesen Gegenstand Schritt zu
halten, für n Dimensionen geführt werden.

— 105 —

Es werden schliesslich die Functionen, welche Pimkt-
reihen (Stralenbüschel) oder Curven ausdrücken, betrachtet
werden, soAvie die äusseren und algebraischen Producte aus
den diese Gebilde erzeugenden Punkten und Geraden. (Dieser
Abschnitt entspricht der Theorie der Covarianten und der
denselben untergeordneten Bildungen.) Auch hier werden in
dem allgemeinen Theile Gebilde höherer Stufen (Dimensionen)
und Grade auftreten, dagegen soll bei den speciellen Beispie-
len das Gebiet der Curven 2. Grades nicht überschritten
werden.

I. Der Kreis.

1. Die aus stvei Kreisen ableitbare Reihe von
Kreisen.

Wenn r, und e^ zwei auf einander senkrechte Strecken 53.
von gleicher Länge (= 1) sind, die sich im Punkte c^ schnei-
den, und ein Punkt

(1) X==xc^-\-ye,-^e.i
gegeben ist, so sagt die Gleichung

(2) /; = (a;^-f r') + 2/3,0; + 2^,2/ + <J, = 0

aus, dass der Punkt X einen Kreis beschreibt, wenn x und y
sich so ändern, dass sie der Gleichung /", == 0 stets genügen. —
Denn man kann die Gleichung ^ = 0 in der Form schreiben :

(3) {X -I- /302 + (y _|_ y^)2 = ^^2 _|_ j,^2 _ ^^ _ .,.^

eine Form, welche bereits („Raumlehre" S. 111) als Gleichung
des Kreises detinirt ist.
Ist

0, = A,e, 4- ii^e, 4- C3

der Mittelpunkt des Kreises, so ist

(X— 0,) = (x— A,)e, + {y — ^{)e^,

folglich (nach „Raumlehre" S. 118)

(X- 0,)-^ = (^- A,)\cO- + i<J-'^^y(e,)-

oder, da (X— 0,)' = r,"^ und {e^)~ = {c,)' = 1 („Rauml."
S. 117): ^

— 106 —
mithin ist, mit der Kreisgleichung verghchen;

^\ = — ßi-, f^i = — ri ;

also:

(4) 0, = ~ßyC, -y^e, + e,.

Es seien ferner /2 = 0 und /^ = 0 die Gleichungen zweier
anderer Kreise; dann geht f^ durch die Schnittpunkte von
f^ und jTj, wenn

(5) f?, = (^\f\ -^ ci-ifi' («1 + «2 = !■)

ist („Rauml." Nr. 165). Setzt man die Specialwerthe der drei
Functionen in diese Gleichung ein, (indem man dieselben
durch die Indices der Zahlen ßyö von einander unterscheidet)
so folgt :

x^ + f + 2ß,x + 2y,y + ö,

= ^^i(^'"' + :'/') + -^«i/5|^ + ^«,2^,!/ + «1 ^\

+ ttjC^" + !/•) + 2a.,ß.,x -f 2a.,y.,y -f- a.,ö^ = 0,

woraus man schliesst:

ß-6 = ^\ßi + «2 ^i ; r:i = «1 ri + «■. 72 ; ^3 = f'i «^1 + «2 ^1 ;

mithin auch :

O'i = — /^a^i —^3^2 + ^3

=-«,(— /3| r, — 7, c, + C;,) + «2( ' /^a^i — J'2 e. + C3)

(6) 03=«,0, + a,(K.

Hiernach liegt der Mittelpunkt jedes aus zwei Kreisen
abgeleiteten Kreises auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte
jener Kreise. Oder: Die 3IiUeliyunkte aller diircli Btvei gegebene^
Funkte (jelienden Kreise liegen auf derselben Geraden.

Da zwischen den Mittelpunkten der Kreise dieselbe Zahl-
beziehung besteht; wie zwischen den Kreisfunctioneu selbst,!
so besteht zwischen der Kreisreihe und der Mittelpunktreihe'
eine Verwandtschaft insofern, als jedem Kreise der erstereni
ein Punl^t der zweiten entspricht.

Lässt man in der Function f^d^ so variiren, dass

ßr + yr -d,^o

wird, so zieht sich, wie aus (o) erhellt, der Kreis in seinen
Mittelpunkt zusammen.

- 107 —
Nimmt man an, dass

«2 == — «1,

SO geht die Gleichung (5) über in

fi = ^i(.f\ -f-i),
d. h., da in der Klammer die Grössen x"- und ip- sieh weg-
heben, in die Gleichung einer Geraden, welche die Verbindungs-
linie der Schnittpunkte (die gemeinsame Secante oder Potenz-
liiiie) der Kreisreihe ist. Der zugehörige Mittelpunkt rückt
also in unendliche Entfernung. Da nun in der Formel
O3 = — /Sgßi — y^e., + Cg die Punkte 0., und e, denselben
Coefficienten (hier Null) haben, so behalten auch die auf (5)
folgenden Formeln der vorigen Seite ihre Bedeutung, und
man erhält statt (6):

o, = cc,(0,-o.;),

wodurch, mit dem schon erhaltenen Resultat übereinstimmend,
die Grösse O3 als unendlich ferner Punkt, oder endliche
Strecke characterisirt wird.

Bezeichnet die B'ormel (1) einen beliebigen Punkt der
Ebene, so ist (nach ,, Raumlehre" Nr. 165) /, der Doppel-
ahstand des Punktes X von dem durch /j = 0 bestimmten
Kreise, oder auch das Quadrat des numerischen Werthes der
von X an den Kreis gezogenen Tangente („Raumlehre" Nr. 99-
am Schluss). Wenn also

und folglich

_^L = _ ül
/a «1

ist, so sagen diese Gleichungen aus, dass das numerische

Verhältniss der von X an die Kreise /', und f.^ gezogenen

Tangenten ungeändert bleibt, wenn X auf der Peripherie des-

durch die Schnittpunkte von f^ und f., gehenden Kreises f\

liegt. (Denn da ^"3 = 0 ist, so Hegt X auf der Kreislinie f.^,

und da /"j : /;, = — a., : Kj , so ist das Verhältniss der von X

an /", und f, gezogenen Tangenten constant.)

Ist speciell «, -f a., = 0, so geht /, in die gemeinsame

Secante der Kreise f^ und f., über, und die aus X an diese

Kreise gezogenen Tangenten sind gleich. Man hat also die

Sätze :

— 108 -

Geht ein Kreis durch die Schnittpunkte zweier anderer, so
ist das Verhältniss der von einem Punlte des ersten Kreises
an die anderen gezogenen Tangenten constant.

Die Tangenten , welche von einem Punlte der gemeinsamen
Secante zweier Kreise an dieselben gezogen tverden, sind ein-
ander gleich.

Auch die Umkehrungen dieser Sätze folgen aus den
Gleichungen. — Zu beachten ist, dass die Sätze auch be-
stehen, wenn die Kreise sich nicht schneiden, dass also auch
in diesem Falle ein die gemeinsame Secante vertretendes Ge-
bilde existirt.

54. Betrachten wir jetzt statt eines Kreises das ganze System

von Kreisen, welche durch die Schnittpunkte von /", und f^,
oder überhaupt durch zwei gegebene Punkte gehen. Die
Mittelpunkte aller Kreise liegen dann nach voriger Nr. auf
derselben Geraden, und zwar (nach „Raumlehre" Nr. 94) auf
der in der Mitte der Verbindungslinie der beiden Punkte
senkrecht stehenden Geraden.

Zieht man ferner von einem Punkte der gemeinsamen
Secante des Systems Tangenten an beliebige Kreise desselben,
so sind alle diese Tangenten (nach voriger Nr.) einander
gleich , und ihre Endpunkte liegen auf dem mit der Tangente
aus dem angenommeneu Punkte der Secante beschriebenen
Kreise. Jeder Radius dieses Kreises ist also Tangente zu
einem Kreise des Systems. Und jede Taugente dieses Kreises
steht auf dem zugehörigen Radius („Raumlehre" Nr. 96), mit-
hin auch auf der Tangente zu einem Kreise des Systems
senkrecht. Da nun die beiden Tangenten in den Berührungs-
punkten sich rechtwinklig schneiden, so kann man sagen, dass
dasselbe die beiden Kreise thun. Zwei solche Kreise heissen
orthogonal. Und weil der neu construirte Kreis jeden Kreis
des Systems rechtwinklig schneidet, nennt man ihn einen
Orthogonalkreis des Systems.

Man kann nun aus jedem Punkte der gemeinsamen Se-
cante des Systems einen Orthogonalkreis construiren. Diese
Orthogonallreise bilden ein neues System, dessen MitfelpunJde
auf der gemeinsamen Secante des erken liegen. Jeder Kreis
des einen Systems schneidet sämmtliche Kreise des anderen

— 109 —

reclitwinMig , und die Centrcdlmiv des einen ist die gemeinsame
Seeante des anderen.

Die Gleichungen der Kreise vereinfachen sich in beiden
Systemen, wenn wir annehmen, dass die Centrallinie des
ersten Systems mit e^ , die des zweiten mit e.^ zusammenfalle,
sodass der Schnittpunkt beider Linien 6*3 ist. Ferner mögen
die Endpunkte der Linien + f., und — e., die Schnittpunkte
des Systems sein. Unter dieser Annahme
ist in den Gleichungen (4) und (3) der
Nr. 53 offenbar

Y,=0; r,2 = /3i2 + e,-

folglich :

öj = — 1 .
Demnach geht die Gleichung (3) über
in folgende Gleichung, welche sämmt-
liche Kreise des erstem Systems (nur durch den Werth von
/3] verschieden) darstellt:

^e,

Fig. 26.

(7)

{X + ß^y + ?/- = ! + ß;-

rr.

K^S

Ist nun Q^ der Radius eines beliebigen Kreises im zweiten
System, so ist für einen solchen Kreis zunächst

/5, = 0.

Bezeichnen wir dann mit a den numerischen Werth des
Abstands derCentra beider Kreise,
so ist

a' = ßr- + yr-

Und da die nach einem Schnitt-
punkte der beiden Kreise gezoge-
nen Radien aufeinander senkrecht
stehen, so ist auch

((■' == ^V'' + 9i'-
Demnach ist:

Qr = ßr' + rr - ^-r

und aus (7)

Die Gleichung (3) nimmt nunmehr folgende Gestalt an,
in welcher sie sämmtliche Kreise des zürnten Systems (nur
durch den Werth von y^ verschieden) darstellt:

"X

Fig. 27.

— 110 —

(8) .T2_p(,y + ri? = ri^-l=?,-.

Um.nuu für jedes der beiden Systeme die Schuittpunkto
zu findeil, betrachten wir im ersten Systeme zwei Gleichungen
von der Form (7) mit den resp. Constanten /3, und ß.^- Schreil»!
mau statt (7)

^2 + 2ß,x + f- = + 1; a:^ + 2ß,x -^ ,f = -\- \ ,

so ist klar, dass die beiden Gleichungen nur das Werthsystem

a; = 0 ; ^/ = -j- 1

gemeinsam haben. Sind also S^ und >S., die beiden Schnitt-
punkte, so ist (nach (l)) :

S, = e., - e.^ ,
übereinstimmend mit der oben gemachten Annahme.

Für das ziveite System erhält man ebenso die Gleichungen:

f' + 2y, y + ^•■•' = - 1 ; ?/- + ^r.?/ + -»^ = -" 1 ,

und daraus die Lösungen :

^ = 0 ; a; = -j- f ,
Sind also U und 2J^ die Schnittpunkte des zweiten Systems,
so ist

^1 = e., + / . f,

U.> = e.y — i . e, .
Die Punkte 27, und 2^2 ^"i^^ hiernach aus den Einheiten r,
und ^'3 mit Hilfe der imaginären Grösse i (statt mit Hilfe
reeller Zahlen) abgeleitet. Dieser Umstand bedeutet nichts
weiter, als dass diese Punkte in der verlangten Eigenschaft
von Schnittjnmlicn nicht existireu. Man nennt sie daher auch
imaginäre SchnittpunMe. Als Funlite an und für sich hetrach-
tet, existiren sie aber allerdings. Denn da die Strecken r,
und e.^ gleichlang, und senkrecht zu einander sind, so ist

i . gl = + r^2 •
(,, Raumlehre" Nr. 69j, wo das obere Zeichen zu wählen ist,
wenn durch i diejenige Drehung ausgedrückt wird, durch
welche -|- f, in -|- e^ übergeht. Hiernach nehmen die Aus-
drücke für ZI und 2^, folgende Gestalt an :

^1 = f':\ + <'i = '^'i ;

i:,^e,-e,==S,.

— 111 —

In Worten: Wird ein System von Kreisen, welche sich in zivei
Punkten schneiden, von einem anderen Kreissysteme orthogonal
geschnitten, so hat das 0tveite System dieselben Schnittpunlie
wie das erste; aber diese Schnittpimlxte sind für das eine Sy-
stem reell, für das andere imaginär.'^)

Fig. 28.

Anmerkung. Um hiernach die Schnittpunkte eines Kreises O und
einer Geraden c zu construireu, fälle man aus O (dem Mittelpunkte des
Kreises) eine Senkrechte c, auf c, und ziehe aus irgend einem Punkte
O, auf c den Kreis, wek-her den ersten rechtwinklig schneidet. Die
Schnittpunkte des Kreises Oj mit c, sind gleichzeitig diejenigen des
Kreises 0 mit c. Sind sie für den ersteren reell, so sind sie für den
letzteren imaginär, und umgekehrt. Die nach der eben gemachten
Angabe gezeichnete Figur drückt gleichzeitig beide Fälle der Aufgabe
aus, da man in dem ganzen Wortlaut der Construction O mit O, uml
c mit c, vertauschen kann.

In jedem der beiden orthogonalen Systeme heissen die-
jenigen Punkte, welche sich als Kreise des Systems mit dem
Radius 0 darstellen, (Uintralimnkte. Setzt man in den Glei-
chungen (7) und (8) r, resp. q^ gleich Null, so folgt:

*) Ich beziehe also den Ausdruck „imaginär", im Gegensatz zum
sonstigen Sprachgebrauche, nicht auf die Existenz der Punkte, sondern
nur auf ihre Eigenschaft als Sc/miYipunkte. Nachdem man von dem
Vorurtheile zurückgekommen ist, die imaginären Zahlen als unmögliche,
nicht existireude zu betrachten, scheint mir eine ähnliche Aenderung
im Begrift' der imaginären Ptinkte nicht nur gerechtfertigt, sondern mit
Rücksicht auf den Text geradezu geboten. Von derjenigen geome-
trischen Eigenschaft, welche diese Punkte als Ersatz für die verlorene
erhalten , wird sogleich die Kede sein.

- 112 —

^i = + M r. = ±1;

Demuach sind die Centralpunkte des ersten Systems imaginär,
die des zweiten reell. Ausserdem fallen diese Punkte mit
den Schnittpunkten in der Weise zusammen, dass die reellen
Schnittpunkte des einen Systems gleichzeitig seine imaginären
Centralpunkte, und die imaginären Schnittpunkte des anderen
Systems gleichzeitig seine reellen Centralpunkte sind. So er-
scheint denn schliesslich ein einziges Punktepaar in dieser
vierfachen Bedeutung,
55. Wenn, wie in Nr. 53, ein Punkt

(1) X = xe^ + ye., + ^^

sich auf der Peripherie eines Kreises f^ bewegt, dessen Glei-
chung ist:

(2) f, = (x^- -f f) -f 2ß,x -f ^r^y + ö^ = 0,

so ist

(3) cp,=2ß,x-^2y,y-\-d = 0

die Gleichung der Polare des Punktes e.^, der nun P heissen
möge, in Bezug auf den Kreis (,, Raumlehre" Nr, 173). Ist «,
diese Polare, so ist demnach

(4) ci^ = 2ß,\e^-\-2y,\e,-{-d^\e,.

Denn durch äussere Multiplication von (1) und (4) folgt wie-
der (3), indem {Xa^) = 0 sein muss, weil X auf «, liegt.

Ist nun ein Kreis /!, aus zwei anderen, f^ und /!, durch
die Gleichung ahgeleitet:

/s = «i/i + «2^;
so ist auch nach Nr. 53 :

/53 = «i/5i+«>A2; r-ä = <^\r\-\-^>?>'i ^3 = ß^i^i + '^2^2;

mithin, wenn a^ci.,a.^ die Polaren des Punktes P in Bezug
auf die drei Kreise sind, und (p^ = 0, (p.i = 0, ^j^ == 0 ihre
resp. Gleichungen:

«3 = «1«1 + «2«2; (9'3 = «l'Pl + «29^2);

d. h.: Die Polaren eines FtinJctes P in Bezug auf alle Kreise,
ivelche sieh in demselben FunMepaare schneiden, gelien dureh
denselben Piinli Q. — P und Q heissen zugeordnete harmo-

- 113 —

yiische Pole des Systems. Schneidet daher die durch P und Q
bestimmte Gerade einen beliebigen Kreis des Systems in den
Punkten ä, und S^, so sind (nach der Definition der Pola-
rität, vgl. „Raumlehre" Nr. 17o) P und Q zugeordnete har-
monische Punkte in Bezug auf Ä, und S^- Sie sind es aber
auch in Bezug auf die Schnittpunkte jedes anderen Kreises
im System mit PQ. Diese Sclmittpunkt-Paare sind also in-
volutorisch. Und da der Punkt P (Anfangspunkt der Coor-
dinaten) beliebig ist, so hat man den Satz:

Drei Kreise, ivelche sich in denselhen zivei PunJäen schnei-
den, werden von jeder hcliehicjen Geraden in involidorischen
Punkten geschnitten.

Ist insbesondere «j -f- «^ = 0, so verwandelt sich der
Kreis f^ in die gemeinsame Secante des Systems, mit der
Gleichung f\ — /j = 0. Da nun

/l — /•> = 9^1—^2
ist, und {(p^ — (po) die Polare von P in Bezug auf f^ — f.,
ausdrückt, so haben wir den Satz:

Die Polare jedes Punktes in Bezug auf die gemeinsame
Secante des Systems ist diese Secante seihst.

In diesem besonderen Falle geht nun die allgemeine,
zwischen PQSyS^ bestehende, harmonische Gleichung

P — Si P—S2'

da Ä, in unendliche Ferne rückt, und somit ^ — 63 = P — S.^
wird, über in:

Q-S, _ _ 1

P-S,
oder:

d. h.: Die Verhindungsstrecke ziveier siigeordneter harmonischer
Pole tvird durch die gemeinsame Secante des Systems ludhirt.

Es seien O^ und 0.^ die Mittelpunkte zweier beliebiger 56.
Kreise. Dann ist die Strecke 0, — O.y auf doppelte Weise
in einem gegebenen Verhältnisse theilbar (,,Rauml." Nr. 119),
folglich auch auf doppelte Weise im Verhältnisse der beiden
Radien Vj und r.,. Sind P, und P, die beiden Theilpunkte,
so ist also:

Schlegel, Kiemente. 8

— 114 —

foloflicli ;

p,

- 0, r,

i^

- <h '2

P,-0,

Ps

0, -

-1\

1\-

~ü.

P2

-0,

Po

-0, '

wodurch P, und F., als harmonische Punkte zu 0, und 0.^
dargestellt sind.

Wenn nun aus 0, und 0.^ zwei sonst beliebige Radien
gezogen Averdeu, die entweder gleiche oder entgegengesetzte
Richtung haben, so liegen die Endpunkte A^ und A.^ dieser

Fig. 29.

Radien im ersten Falle mit P, , im zweiten mit Po in gerader
Linie. Denn da wir jetzt in den bisherigen Gleichungen die
numerischen Wertlie r, und r^ durch die parallelen Strecken
(0, — u4j) und (0.^ — A^) ersetzen können, so ist:

oder :

Pi-0,

P(I,2) — Ai

0,-

■P2

Pz-

-0,

P(l,2) -

-0,

0,

A. — O,

P(l,2) — A P(l,2)— O2

Und da die Strecken auf der rechten Seite dieser Gleichung
auf derselben Geraden liegen, so gilt dasselbe auch von denen
auf der linken Seite; d. h. : es liegt im ersten Falle Pj , im
zweiten P, mit A^ und A.^ auf derselben Geraden.

Die Dreiecke P(i,2)0i^, und P(i^2)0., ^2 ^^"^^ ^^^ ähnlich,
und P(i,2) ist ihr Aehnlichkeitspunkt („Raumlehre" Nr. 137).
Da diese Eigenschaft der Punkte Pj und P^ für jede Richtung
der beiden Radien stattfindet, so nennt man Pj und Pj auch
die AelmlicMeitspunJde der beiden Kreise, und zwar Pj den
äusseren, P, den inneren.

Man kann nun den eben gefundenen Satz, wie auch seine
Umkehrung in folgender Form aussprechen:

Die EndpimMe zweier paralleler Radien in zwei Kreisen

— 115 -

liegen, ivenn die lladien gleiche Richtung haben, mit dem
äusseren, ivenn entgegengesetzte, mit dem inneren
AehnlichheitsinmMe der beiden Kreise in gerader Linie.

Zieht man aus einem Ächnlichkeitspunkte ziveier Kreise
eine gemeinschaftliche Secante, so sind die nach den entsprechen-
den Burchschnittsinmlden gezogenen Radien parcdlel.

Steht also in dem einen Kreise der Radius auf der Secante
senkrecht (was der Fall ist, wenn die Secante in eine Tan-
gente übergeht), so findet dasselbe auch in dem anderen Kreise
statt; d. h.:

Die ans einem Aehnlichlmtspunkte zweier Kreise an den
einen gezogene Tangente berührt auch den andern.

Es sind also die Aehnlichkeitspunkte diejenigen Punkte,
in welchen sich die gemeinsamen Tangenten der beiden Kreise
mit der Centrallinie schneiden. Demnach heissen diejenigen
beiden Tangenten, welche vom äusseren Aehnlichkeitspunkte
ausgehen, die äusseren Tangenten, die andern beiden: die
inneren.

Die beiden Punkte J^, und A.^ können homologe Punläe
genannt werden. Bezeichnet P einen beliebigen der beiden
Aehnlichkeitspunkte, so sind zwei homologe Punkte durch die
Bedingung bestimmt:

P-^i ^ P— O,
P — A^~ P — 6»2 *

Diese Bedingung kann auch durch solche Punkte erfüllt Aver-
den, welche nicht auf der Peripherie der beiden Kreise liegen.
Namentlich sieht man sogleich, dass die Mittelpunkte Oj und
O2 selbst homologe Punkte sind.

Bezeichnet man die parallelen Radien 0, —A^ und 0., — A^
wieder durch r, und r.^, so kann die Bedingungsgleichung
der Homologie auch geschrieben werden:
P-A^_ r,

P-A^^Ti'

oder:

P{r^-r.,)^A.,r,~-A,r,.

Ist dann J5j und B.^ ein zweites Paar homologer Punkte, so ist

P{r,-r,) = B,r,--R,r,;
mithin :

— 116 —
oder :

(1. h. : Jede Linie , welche zwei Punkte eines Kreises verbindet,
ist parallel derjenigen Linie, welche die homologen Pmikte eines
anderen Kreises verbindet. — Die auf diesen Linien liegenden
Sehnen verhalten sich wie die Madien der zugehörigen Kreise.

Die beiden Linien , von denen die erste durch zwei Punkte
eines Kreises und die zweite durch die homologen Punkte
eines anderen Kreises geht, mögen homologe Secanten genannt
werden. Dann lässt sich der vorige Satz nebst seiner Um-
kehrung, wie folgt, aussprechen:

Homologe Secanten zweier Kreise sind parallel.

Zieht man . durch zivei homologe Punkte zweier Kreise
imrallele Secanten, so schneiden diese die beiden Kreise noch-
mals in homologen Punkten.

Zieht man aus den Schnittpunkten zweier homologer Se-
canten noch zwei neue Paare homologer Secanten, so schnei-
den sich, wie aus der Aehnlichkeit der entstehenden Dreiecke
leicht zu ersehen, auch diese in homologen Punkten. Man
hat also folgenden Satz:

Die heiden Punkte, von denen der erste der Schnittpunkt
zweier Secanten eines Kreises , und der zweite der Schnittpunkt
der homologen Secanten eines anderen Kreises ist, sind homo-
loge Punkte.

Abgekürzt kann man diesen und den reciproken früheren
Satz so aussprechen:

Die Verhindungslinicn homologer Punktepaare sind homo-
loge Secanten. — Die Schnittpunkte homologer Secantenpaarc
sind homologe Punkte.

Sollen zwei homologe Punkte A^ und A2 in einen {A)
zusammenfallen, so hat man:

P{r,-r,) = A{r,-r,)',
d. h. :

P = A.

Es sind also die Aehnlichkeitspunkte die einzigen homo-
logen Doppelpunkte; und demnach ist jede durch einen Aehn-
liclikeitsinmkt gehende Secantc eine homologe Doppelsecante.

Berühren sich zwei Kreise, so ist der Berührungspunkt

— 117 —

ein AehnlichJccitsptmAi, und die leiden durch ihn gehenden
Tangenten fallen in eine einsige zusammen. — Andere speeielle
Fälle, welche sich auf die gegenseitige Lage der Kreise be-
ziehen, übergehen wir hier.

2. Der aus drei Kreisen ableitbare Verein von
Kreisen.

Wenn fi = 0, f^= 0, /j = 0 die Gleichungen von drei 57.
beliebigen Kreisen in der Ebene sind, so schneiden sich die
drei gemeinsamen Secanten, deren Gcleichungen resp. f\ — /■> = 0,
/'^ — /s = ^j /a — /i =^ sind, in einem Punkte. Dasselbe
gilt von jedem Kreise f\, welcher aus den drei gegebenen
Kreisen abgeleitet ist, sodass

(i) fi = «i/'i + «2^ + «3/3 ; («1 + «2 + «3 = 1)

ist. Es haben also alle aus drei gegebenen Kreisen ableit-
baren Kreise einen Funld gleichen Doppelabstandes {Fotenz-
pimld)] alle aus diesem Punkte an Kreise des Vereins ge-
zogenen Tangenten sind einander gleich, und der Kreis,
welcher aus dem Potenzpunkte mit einer solchen Tangente
als Radius beschrieben wird, schneidet alle Kreise des Vereins
orthogonal. („Raumlehre" Nr. 165 u. 166.)

Das in Nr. 53 befolgte Verfahren führt auch hier zu dem
Resultate, dass die zwischen den Functionen /'^/2/'3/'4 bestehende
Zahlbeziehung (1) auch zwischen den Mittelpunkten O^GoOgOi
der zugehörigen Kreise stattfindet, sodass

(2) 0,==a,0, + <^,0,-^a,0,.

Es findet also auch hier zwischen dem Kreisverein und dem
Mittelpunktverein eine Verwandtschaft statt, insofern jedem
Kreise des ersteren ein Punkt des zweiten entspricht.

Wenn speciell

«1 + «2 + «3 = <^
ist, so stellt f^ eine Gerade dar, weil die quadratischen Glie-
der der in (1) enthaltenen Functionen sich nun wegheben,
und Oj stellt (nach „Raumlehre" Nr. 126) eine Strecke dar,
d. h. einen unendlich fernen Punkt (als Mittelpunkt des Krei-
ses /"j, der in eine Gerade übergegangen ist). Da die durch
f\ vorgestellte Gerade vom Orthogonalkreise senkrecht ge-

— 118 -

schnitten wird, so muss sie mit einem Durchmesser dieses
Kreises zusammenfallen. Umgekehrt: Jeder Durchmesser des
OrtlwgonaTkreises ist ein Kreis des Vereins mit unendlich fer-
nem Mittelpunkt. Vgl. hierzu noch „Raumlehre" Nr. 166.

Von drei gegebenen Kreisen besitzen je zwei ein Paar
Aehnlichkeitspunkte. Es seien diese Paare : P] P2 > -^1 ^2^
N^N^. Dann bestehen, wenn 0^0.^0.^ die Mittelpunkte und
r^r^r^ die Radien der drei Kreise sind, nach Nr. 56 folgende
Beziehungen:

Hieraus folgt:

d. h. : Die t^rei äusseren ÄehilichJceitspunkte dreier Kreise liegen
in derselben Geraden.
Ferner :

nebst zwei durch circuläre Vertauschung hieraus ableitbaren
Gleichungen. Alle drei geben den Satz:

Die inneren AehnlichkeitspunJde , welche ein Kreis mit
zivei anderen gemeinsam hat, liegen mit dem äusseren Äehn-
lichkeitspunMe dieser beiden letzteren auf derselben Geraden.

Die 6 Aehnlichkeitspunkte sind demnach die Schnitt-
punkte von vier Geraden. Diese heissen die AehnlichJceitsaxen,
und zwar diejenige die äussere, auf welcher die drei äusseren
Aehnlichkeitspunkte liegen, die anderen aber die inneren.
58. Specielle Sätse über Kreise, ivelche sich berühren*). —

Werden zwei Kreise von einem dritten berührt, so nimmt der
letzte Lehrsatz durch die Verwandlung der inneren Aehn-
lichkeitspunkte in Berührungspunkte folgende Form an:

*) Es ist im Folgenden überall von äusserer Berührung die Rede.

119 —

1) Der äussere Aehnlichlceitsimnlä stveier Kreise, die von
einem dritten berührt werden, liegt mit den Leiden Berühr ungs-
pimMen auf gerader Linie.

Wenn aus einem Punkte A eine den Kreis K^ in i?, und
(', schneidende Secante gezogen wird, so sind die in j&', und C\
o-ezogenen Tangenten die Polaren
der Punkte I)\ und C\ zu K^ ; und
die Verbindungslinie der Punkte,
in welchen die aus A gezogenen
Tangenten den Kreis berühren,
ist die Polare von A. — Da nun
die drei Pole AB^C\ in gerader
Linie liegen, so gehen die zuge-
hörigen Polaren durch denselben
Punkt Pj, den Pol der Secante.

Ist nun ^4 der äussere Aehn-
lichkeitspunkt zweier Kreise K^
und K^, und schneidet die Se-

■2)

Fig. 30.

cante J-i^i (\ diesen zweiten Kreis

in den Punkten B^ und O,, so

gehen auch hier die in B^ und (7, gezogenen Tangenten mit

der Polare von A zu K^ durch denselben Punkt P,, den Pol

der Secante zu K^-

Die beiden Polaren von A (zu Ä", und K^ heissen die
äusseren Aelmliclikeitspola ren.

Betrachten wir nun (nach Satz 1)) die Punkte C\ und B^
als Berührungspunkte der Kreise K^ und K.^ mit einem dritten
Kreise K^, .und nennen die Secante, auf welcher die Be-
rührungspunkte liegen, die Berährungssecante für K-^, so kön-
nen wir das letzte Resultat in folgendem Satze aussprechen:

2) Werden zivei Kreise von einem dritten berührt, so geht
jede ihrer äusseren AehnlicMeitspolaren durch den Pol der Be-
rührungssecante im zugehörigen Kreise.

In den beiden Kreisen Ky und K^ sind die Mittelpunkte
Ky und K^ homologe Punkte, demnach die durch A und K^
gehende Secante (^, PJ und eine durch K, parallel mit jener
gezogene Secante (K^L^ homologe Secanten. Zieht man
nun durch den Punkt L^, in welchem die Secante -4 /f, und
die Polare zu A sich schneiden, die homologe Doppelsecante

120

{L^L-^, so sind deren Schnittpunkte (Zj u. JL3) mit den ho-
mologen Secanten K^L^ und K^L^ homologe Punkte. Zieht

man endlich durch L.^ eine Paral-
lele zu der Polare P, i, , so ist sie
dieser Polare homolog. Und ebenso
sind die Schnittpunkte (P,, P3) die-
ser homologen Linien mit der ge-
meinsamen Tangente von K^ und
7^3 homologe Punkte.

Denkt man sich nun noch den
Kreis 7C hinzu, welcher von K.^
in C2 berührt wird, so sind die aus
Pg an Kl und K2 gezogenen Tan-
genten (P^B^ und P^C.^) einander
gleich (als Tangenten an K.^). Mit-
hin ist die Linie P^^ß gemeinsame
Secante der Kreise jBTj und K.^.
Wir haben also den Satz:
3) Werden zivei Kreise von
einem dritten berührt, so ist ihre gemeinsame Secante mit jeder
ihrer äusseren Achnlichkeitspolaren homolog in Bezug auf den
zugehörigen und den Berührungs-Kreis.

Wir nehmen jetzt au, dass ausser Z", und K2 noch ein

Fig. 31.

dritter Kreis Kn

von ^3 berührt werde.

Die äusseren Aehn-

lichkeitspuukte seien

Ä für K^ und K,

B

C

K.
K.

K,

Nach dem letzten Satze sind die Polare von A zu K^ und die
gemeinsame Secante von K^ und K2 homologe Linien in Be-
zug auf K^ und K^. Ebenso sind aber auch.^ie Polare von
C zu K^ und die gemeinsame Secante von TT, und K^ homologe
Linien in Bezug auf K^ und K^.

Folglich sind der Schniftpunlt der Polaren von Ä und von'
C zu K^ (d. h. der Pol der Linie AC zu K^), und der Schnitt-
punTct der gemeinsamen Secanten von K^, K^ und von K^, Kq
(d.h. der Potenzpunkt*) der drei Kreise K^^K 1X2) homologe j

*) Punkt gleichen Doppelabstaucles.

— 121 —

Punkte in Bezug auf K^ und Ky — Da nun die Verbindungs-
linie dieser homologen Punkte durch den inneren Aehnlichkeits-
punkt (Berührungspunkt) von Ki und K^ geht, so hat man
den Satz :

4) Werden drei Kreise von einem vierten herührt, so liegt
ihr PotenzpunM in gerader Linie mit jedem Berülirungspunkte
und dem Pol ihrer äusseren Aehnlichheitsaxe in dem zugehöri-
gen Kreise.

Da die drei im letzten Lehrsatze erwähnten Punkte in
gerader Linie liegen, so schneiden sich ihre Polaren in Bezug
auf einen der drei berührten Kreise K^ in demselben Punkte.
Da nun die Polare des Berührungspunktes von Ä", und K^ die
gemeinsame Tangente ist, so hat man endlich den Satz:

5) Werden drei Kreise von einem vierten herührt, so geht
ihre äussere Aehnlichheitsaxe durch denselben Punkt mit jeder
ihrer Berührungstangenten und der Polare ihres PotenspunMes
in dem zugehörigen Kreise,

Anmerkung. Der Satz 4) lehrt den Berührungskreis durch drei
seiner Punkte bestimmen, Satz 5) durch drei seiner Taugenten. — Mo-
dificirung der Aufgabe „einen Kreis zu construiren, welcher drei gege-
bene Kreise berührt" einerseits durch Hinzufügung der Berührung „Ton
innen", andrerseits durch Ausartung eines oder mehrerer der gegebenen
Kreise in eine Gerade oder einen Punkt. {Apollonisches Problem.)

Der Abschnitt über Berührungskreise ist hier aufgenommen worden,
um zu zeigen, mit welchem Vortheil man den Begrifi' der „homologen
PttnJcte und Secanten" zur Ableitung neuer Resultate verwenden kann.

Sonst gehört die Theorie der Aehnlichkeitspunkte , wie sie in
Nr. 56—58 vorgetragen wurde, noch in die Lehre von den einfachen
Grössen. Dagegen setzen die ,,Berübrungskreise" den Begriff der Pola-
rität voraus, und stehen daher hier an ihrer richtigen Stelle.

II. Determinanten.

1. Definition und allgemeine Eigenschaften der
Determinante.

Es seien n Grössen .XiX.^ . . . Xn aus den n Einheiten e^e<, 59.

. . . en mittelst der Zahlen «,, a,.^ . . . a^^a^^^ abgeleitet,

sodass

(1)

122

'*'l = ^11 «^'l + '^l-'^'-' + • • • + f^UiCn,
X._j = «,j Cj + «,2 t'2 + • • • + «2«e,i ,

[x„, = a„iei + ««2C2 + • • • + «««c«, •
Bildet mau nuu das äussere Product

und bringt in jedem Gliede das Product der n Einheiten mit-
telst des Gesetzes

auf die Form

(C| 69 • • • ^n) )

SO kann man dieses Product als gemeinsamen Factor heraus-
setzen. Der Zahlencoefficient dieses Productes heisst nun
Determinante, und soll durch z/ bezeichnet werden, sodass

(2) [XiX., . . . x„) = z/(e, Co . . . e«).

Eine Determinante ist also der ZaJdcocfficient eines äusse-
ren Productes aus n linearen Factoren, deren jeder aus den-
selben n Einheiten abgeleitet ist.

Wenn die Einheiten e, . . . e„ Strecken sind, so ist ihr
äusseres Product ein Gebilde n. Stufe. Dasselbe gilt von den
Grössen x^ . . . Xn- Will man nun diese geometrischen Ge-
bilde aus der Betrachtung entfernen, so braucht man nur das
Product (e, . . . en) als Einheit n. Stufe aufzufassen (vgl.
„Raumlehre'' Nr. 152), sodass

(^1 e., . . . Cn) = 1
ist. Dann ist

l tAy \ vh-y • • • JU ff j '— — ^J •

Und da jetzt die Einheiten c^ . . . e„ ein Normalsystem n. Stufe
bilden, so können wir sagen:

Eine Determinante ist ein äusseres Product von n Grössen
1. Stufe im Normcdsystcm n. Stufe.

Von dieser Definition macht man hauptsächlich Gebrauch,
um die Eigenschaften des Productes (ä^j . . . x'n) sofort auf die
Determinante zu übertragen.

Vermöge des Gesetzes CaC^i = — e^iCa ändert jedes äussere
Product sein Zeichen, sobald man darin irgend zwei benach-
barte Factoren vertauscht, oder, anders gesagt, einen Factor

• _ 123 —

über den beuachbarten hinwegsetzt. — Es erhält daher glei-
ches oder entgegengesetztes Zeichen, jenachdem ein Factor
eine gerade oder ungerade Anzahl von Factoren überspringt.
— Jedes Ueberspringen eines Factors durch einen benach-
barten mag eine Transposit'on genannt werden. — Da nun
solche Transpositionen nöthig sind, um in dem entwickelten
Ausdruck der Determinante jedes Einheitsproduct auf die
Form (C| . . . e«) zu bringen, so kann man sagen:

Ein Glied in dem entwickelten Ausdruck der Determinante
ist positiv oder negativ, jenachdem das darin enthaltene Einheits-
product durch eine rjerade oder ungerade Anzahl von Trans-
positionen in die Form (e^ . . . e„) übergeht.

Jede Reihe von Ableitungszahlen, die zu demselben Factor
X gehören , heisst eine Horisontcdreilie der Determinante. Jede
Reihe von Ableitungszahlen, die zu derselben Einheit e ge-
hören, heisst eine Verticalreihe der Determinante.

Betrachten wir nun neben dem Producte (ic, . . . ä;„), dessen
Factoren durch die Gleichungen (1) bestimmt sind, ein zwei-
tes (^1 . • . ifn), in welchem

Vs = «11^,-+ «21^2 H h «nie„,

/gN y-l = ^^12 ^1 + «22 ^2 + • ■ • + ««2^« ,

sodass die Horizontalreihen der einen Determinante gleich-
zeitig die Verticalreihen der anderen sind. Da nun in dem
entwickelten Ausdruck des Productes jedes Glied den Factor
(e, . . . e„) enthält, so sind in jedem Gliede des ersten Pro-
ductes (X| . . . ä;„) die hinteren Indices der a der Reihe nach
die Zahlen 12 ... w, während die vorderen Indices dieselben
Zahlen in allen Permutationen sind. Ordnet man nun in
jedem Gliede die Factoren a so, dass die vorderen Indices
der Reihe nach die Zahlen \2 . . . n sind, so sind nun die
hinteren Indices dieselben Zahlen in allen Permutationen.
Da nun dieser Umstand gerade in den Gliedern des zweiten
Productes {y^ . . . y„) stattfindet, so sind beide Producte iden-
tisch, und man kann sagen:

Eine Determinante hleiht imgeändert, ivenn man ihre hori-
zontalen Reihen als verticale und gleichzeitig ihre verticalen als

— 124 — •

liorizontale nimmt. — Oder: Eine Determinante bleibt unye-
änäcrt, ivenn man alle vorderen Inäices ihrer Zahlen mit den
hinteren Indices vertauscht.

Es können daher alle von den Horizontalreihen einer
Determinante geltenden Sätze sofort auf ihre Verticalreihen
übertragen werden. Beide Arten von Reihen sollen nun ein-
fach „Reihen'^ genannt werden.
60. Da das Product [x^ . . . x,i) sein Zeichen ändert, wenn

einer' seiner Factoren eine ungerade Anzahl von Factoren
überspringt, oder wenn, was hierauf hinauskommt, zwei be-
liebige Factoren vertauscht werden, so hat man den Satz:

Eine Determinante ändert ihr Zeichen, tvenn eine ihrer
Reihen über eine ungerade Anzahl von Reihen hinweggesetzt
uird, oder wenn man zivei beliebige Reihen mit einander ver-
tauscht. (Dasselbe Resultat ergiebt sich auch durch Betrach-
tung der Formel (2), worin z/ sein Zeichen ändern muss,
wenn dasselbe mit einem der beiden äusseren Producte ge-
schieht.)

Ist P(ah) ein Product, welches die beiden Factoren a und b
an irgend welchen Stellen enthält, so ist, wie eben bemerkt:

R(a b) = — P{b a) 5

folglich :

P{ab) -f- -Piöä) = 0.

Setzt man nun b = a, so folgt:

P(,aa) = 0 ;

d. h. , wenn wir den Satz sogleich auf die Determinante über-
tragen :

Eine Determinante, in ivelcher irgend zwei Reihen ein-
ander gleich sind, ist gleich Nidl.

Da das Zeichen eines äusseren Productes nur von der
Stellung seiner extensiven Factoren {x^, x^ . • •) abhängt, so
kann ein Zahlenfactor A jede beliebige Stelle darin einnehmen.
So ist also

f.\X^ . . . Xji) — K'^i ' ' ' '*' *~p • • • Xji) )

d. h.: Midtiplicirt man alle Glieder einer Reihe der Deter-
minante mit demselben Factor X, so tvird die ganze Deter-
minante mit ihm multiplicirt. Und: Haben alle Glieder einer

— 125 —

Reihe der Determinante einen gemeinsamen Factor, so ist die-
ser ein Factor der ganzen Determinante.
Wenn in dem Produete (x^ . . . Xn)

Xp = Vp -T ^p

gesetzt wird, wobei

llp = ßpiCi + ßp^Ci + . . . ; Sp = Ypici + 7^262 + • • • >
so folgt:

(Xj . . . Xj, . . . Xn) = {X^ . . . [tjp + ^^] . . . Xn)

= [x^ . . . yp , . . Xn) -\- [x^ . . . Zp . . . Xn) I

d. h.: Wenn alle Glieder einer Reihe der Determinante als
Summen von gleichviel Summanden dargestellt werden , so lässt
sich die Determinante selbst als Summe von ehensovielen Deter-
minanten darstellen.

Wenn insbesondere statt Xp gesetzt wird Xp -\- Xx^, worin
Xq ein anderer der n Factoren x^ . . . Xn ist, so erhält man:

yX^ . . . [Xp — |— A Xqj . . . Xn) = \p^\ • ' • -^p • • ' ^n) |~ ^ [ß^l • • ' •^q • • • "^n)
= (^X^ . . . Xp . . . Xn) 1

weil nämlicli das zweite Product den Factor Xq^ zweimal ent-
hält und folglich gleich Null ist. Demnach:

Fine Determinante bleibt ungeändert , ivenn man sämnit-
liche Flemente einer Reihe um dieselben Vielfachen der Elemente
einer anderen Reihe vermehrt oder vermindert.

Da im äusseren Produete beliebige Zusammenfassung der
Factoren gestattet ist („Raumlehre" 139), so ist

\Xi, . . . Xn) = \Xi , . . Xni) (X/n + 1 • • • ^n) •

Da alle Factoren aus den Einheiten Cj . . . e„ abgeleitet sind,
so enthält das Product {x^ . . . Xm) nur dann eine Determinante,
wenn die Ableitungszahlen seiner Factoren aus e„j+i, 6^+2,
. . . Cn gleich Null sind, d. h. wenn

«p(w+l) = CCpim+2) = . . . = CCpn = 0 -, (p = 1, 2, . . . m).

Ebenso enthält (x^+i . . . Xn) nur dann eine Determinante,
wenn

api = ap2 = .. . = ccprn = 0 ; (p = m-{- 1, m -\-2, . . . n).

Ist die erste Bedingung erfüllt, so enthält (xi . . . x,n) nur das
Einheitsproduct (Cj . . . e«) als Factor. Multiplicirt mau nun

— 126 —

weiter mit {x^+i . . . Xn), so kommen in allen Faetoren von
Xm^i bis Xn nur noch diejenigen Glieder zur Multiplication,
welche die Einheiten e,H + i, • • • e« enthalten. Das Resultat
der Multiplieation ist also dasselbe, als wenn die zweite Be-
dingung erfüllt wäre ; d.h.: Die Determinante zerfällt in das
Product zweier Determinanten, auch wenn nur eine der beiden
Bedingungen erfüllt ist. Oder:

Wenn in einer Determinante von n Reihen in den ersten
(letzten) m Reihen über all die letzten (ersten) n — in Glieder
gleich Null sind, so zerfällt die Determinante in das Product
zweier Determinanten. Die eine davon besteht aus den ersten
(letzten) m Reihen der gegebenen Determinante , die andere aus
den letzten (ersten) (n — m) Reihen, nachdem in jeder derselben
die ersten (letzten) m Glieder unterdrückt worden sind.

Anmerkung. Aus den bisher gewonnenen Resultaten lässt sich
Lereits erkennen, dass das System der ursprünglichen Einheiten die
naturgemässe Grundlage der Determinantentheorie ist. Indem man die
Determinante im Zusammenhange mit dem äusseren Product e betrach-
tet, dessen Zahlcoefficient sie ist, gewinnt man zunächst eine einfache
Bezeichnung für sie. Während die sonst üblichen Bezeichnungen alle
darauf hinauslaufen, einzelne Glieder aus dem entwickelten Ausdruck
der Determinante mechanisch zusammenzuschreiben, bietet sich hier
im äusseren Product ein bereits bekannter Ausdruck, dessen Theile
durch ein Rechnungsgesetz mit einander verbunden sind. Diese Be-
zeichnungsweise hat als systematische vor den übrigen, willkürlich
gewählten, mehrfache Vorzüge. Bei der üblichen Darstellungsweise
erscheinen die Eigenschaften der Determinante stets als Resultate einer
HJr fahrung , die sich nicht anders als durch Ausrechnung der einzelnen
Glieder der Determinante gewinnen lässt. Dagegen gestattet die An-
wendung des äusseren Productes eine deductive Begründung jener
Eigenschaften. — Ich glaube nicht zuviel zu behaui:)ten, wenn ich sage,
dass die Lehre von den äusseren Producten zur wissenschaftlichen Be-
gründung der Determinantentheorie ebenso unentbehrlich ist, und in
ähnlichem Verhältnisse zu dieser Theorie steht, wie die Lehre von den
Buchstaben-Polynomen zur gewöhnlichen Rechnung mit decadischen
Zahlen.

2. Beziehungen zwischen mehreren Determinanten.

61. Die Formeln (1) und (3) können verallgemeinert werden,

indem man jeden Zahlenfactor cc durch eine neue extensive
Grösse ersetzt, welche aus einem zweiten System von Ein-
heiten (s^ f -2 . . . £„) abgeleitet ist. Es sei

worin

— 127 —

n

statt Kp ^ gesetzt : .s 27 « ^ , f ,, ,

1 '' '

n

s2Ja?' f, == ß^, fi -f- «'\ fo + • • • + «^ £„ .

7 .« ■' 71'' ij 2 ' I ' (/ ?i "

Es mögen ferner durch diese Substitution die Grössen x
und y der Formeln (1) und (3) resp. übergehen in u und z\
dann ist

ih =-(sE a\^ f,j f 1 + [s 2; «J^ ^9 j ßa H \-\s2: f/ ^ £,j c„ ;

(4) ^ ^'^^ (^f ""'^ "^7 ^' + (•' f "'^' '7 '''^ i-- V'^f «!. ^.v)e« ;

(5)

w„= ( s 2; «"^ f J ei + (^s 2: «"^ 5 J ß2 H 1- ^s 2; «^ ^ £,j Cn .

1 = (^s 2; ßj^ f,j f'v + (s 2; «^^ f, j fo H L (^s 2; ß", £, j e„ ;

2 = (s 2: ßj^ f,j f 1 + (^s 2: «^^ £sje2-\ V\s^ «", £. j e„ ;

und wiederum ist

(G) {u^u.y . . . Un) = (s-j^a • • • ^'0-

Denn in jedem Gliede des entwickelten Ausdrucks sind die
hinteren Indices der Grössen a der Reihe nach die Zahlen
1,2 ... n, während die vorderen und die oberen Indices alle
Permutatiouen in allen Combinationen aufweisen, und zwar
ist dies sowohl bei dem aus (4) wie bei dem aus (5) gebilde-
ten Producte der Fall, weil die Ausdrücke in (5) aus denen
in (4) durch Vertauschung der vorderen mit den oberen In-
dices entstehen.

Es seien nun zwei Producte (a;, x^. . ■ Xn) v^nd («/, y^- • • ?/«)
gegeben , worin

\X,, = UpiCi + apid -!-••■ + ^pnCn ;

(7)

— 128 —

Das Product beider Producte

(r^j X2 • ' • oCfi) (j/i y^ • • . yn)
können wir durcli Umstellung der Faetoren auf die Form

(^l2/l) (^2^/2) • • • • {^nyn)

bringen. Um das Vorzeichen dieser Form zu bestimmen, be-
achten wir Folgendes: Xn muss {n — 1) Faetoren überspringen,
um vor </„ zu kommen; darauf ä;« — ! desgleichen {n — 2) Fae-
toren, um vor^/«-! zu kommen; zuletzt a;.^ eiwew Factor, und
iCj gar keinen. Da bei jedem Sprung ein Zeichenwechsel
stattfindet, so giebt dies

1 + 2 + 3 + . . . + (n-2) + (^- 1) = ^^^^

als Anzahl der Zeichenwechsel. Demnach ist

n(ra — 1)

(8) {x^...x,:){y^..Ajn) = {—l) 2 .{x^y^){x2y.^...{Xnyn\

Betrachten wir nun eins der Producte auf der rechten
Seite, {Xpyp), und setzen:

so ist nach Ausführung der Multiplication

n

11p ?*, S ^ Cip ■,. Pp g 6/- Sg ,

1

worin alle n^ Combiuationen der Werthe von r und s zu
nehmen sind. Sei ferner

dpr . Pps = O^^,

SO ist entwickelt:

tip = eiysi: df ^ £, j 4- e.> [s E §1^ f , j H f- e„ (s U d^^ £, j •

Setzt man nun

so ist nach den Formeln (4) (5) (6)

(10) (i*i ■. . . w„) = (^j . . . 0„) .

Setzt man ferner in dem Ausdrucke für ^p die Einheiten s
als gemeinsame Faetoren heraus^ so ist:

— 129 —

+

+ (^„^^ + ^«^^+-- +^«^»)^«
oder, wenn wir setzen:

oder:

(11) Yjyy. = CClp ßlxCl 4- CCij, ßiy. e> -\- • • • -\- a„p ß„y, Cn ,

(12) Zj, = y,n £i H- y,.2 «2 + • • • + ^i«« ^^ •
Nun folgt aus den Formeln (8) (9) (10), dass

n{n — l)

(13) {X^... Xn) (yi . . . Vn) = (- 1) ' (^1 • . • ^«)

ist, worin die Grössen xy0 durch die Formeln (7) und (12)
erklärt sind, während (11) den Zusammenhang zwischen den
Ableitzahlen der 2 einerseits, der x und y andrerseits aus-
drückt.

Der in Formel (13) enthaltene Satz heisst das Mtdtipli-
cationstheorem der Determinanten, und lässt sich vollständig
so ausdrücken:

Wenn

Xp = (y.p iCi -{- ap2e> ~{- • • • -\r (^jm e« ,

yp=ßl>\^l-\-ßl>i^-2-^--'^r ßpn f« ;

2p = ypl Si + yp2 £2 4- • • • + Tpn £n,

7py. = ^ip ßiy.Ci -\- CC2p ßz^ C^ + • • • + CCnp ßnx C,,

ist, so ist

n{n -1)

(a;, . . . x„) (y, . . . yn) = ( - 1) ' (^1 . • • ^n),
oder, ivenn man {x^ . . . x„) durch ^/„(ej . . . e„); (y, . . . y,i)
durch d^ {ß\ ' • • f «) ; (^1 • • • Zn) durch /iy (e, fj e^ b.^ . . . e„ £„)
ersetzt:

Anmerkung. Der das Vorzeichen bestimmende Factor auf der
rechten Seite von (13) findet seine Erklärung darin, dass iu jedem
üliede des entwickelten Ausdrucks das Product {e\i\,e-i,c^ . . . e,jf„) erst
auf die Form (6,^2 . . . e„fif2 • • • «„) gebracht werden muss. Diese

Schlegel, Elemente. 9

— 130 —
Operation verursacht, ebenso wie die umgekehrte, welche oben be-

n{n—l) n{n-l)

handelt wurde, s Zeicheawechsel, und der Factor ( — 1) 2 \jq.

wirkt nun , dass überhaupt kein Zeichenwechsel stattfindet.

Der hier gegebene, von den üblichen Methoden abweichende Be-
• weis des Multiplicationstheorems dürfte sich durch seine Uebersichtlich-
keit empfehlen, und durch den Einblick, welchen er in die bei der
Multiplication stattfindenden Gruppirungen der Elemente gewährt. —
Wenn man die Multiplication wirklich ausführt, so verhindern die
Einheitsfactoren das Auftreten solcher Glieder, welche sich nachher
wegheben, wodurch viel unnützes Rechnen erspart wird. — Die sonst
üblichen Beweise folgen weiter unten in modificirter Gestalt.

62. Es sei eine Reihe extensiver Grössen f\ . . . fn aus einer
anderen Reihe extensiver Grössen x^. . . Xn mittelst der Zahlen
« abgeleitet, sodass z. B.

(14) fp== KplXi^-\- Up^ X2-\- • ■ ' -\- a^n Xn-

Ferner seien die Grössen x^ . . . Xn aus einer dritten Grössen-
reihe y^ . . . yn mittelst der Zahlen ß abgeleitet, sodass z. B.

(15) a;5 = ^5i2/i + Ai2y2 H \r ßqnyn.

Ersetzt man nun in Formel (14) jedes x durch seinen aus
der durch (15) repräsentirten Gruppe genommenen Werth,
so folgt:

fp = {cCplßll -jr CCp2ß2l-\- ■ ■ • + Cip,ißnl)yi
+ {cCpißl2 + «i>2 ß22 -\- ■ ' ■ -\- CCj,nßn2)y2

+

+ {cCpißm + CCp2ß2n + • • • + 0^pnßnn)yn,

oder, wenn man

(16) ypx = Cipi ßx^ -{- ap2 ß2x -\r ■ • ' -\- f^pn ßnx

setzt :

(17) fp = ypxyi+Ypiy2-\ \-Ypnyn-

Bildet man nun die Producte der durch die P'ormeln (14) (15)
(17) repräsentirten GrösseD, und bezeichnet die aus den
Grössen aßy bestehenden Determinanten resp. mit^a^/^^y;
so folgt:

(y 1 • • • Jn) ^^^=^ ■^a (^1 • • • ^n) 5

(18) . (a?! . . . a;„) = z/^(2/i . . . 2/„) ;

— 131 —

Aber durch algebraische Multiplication der beiden ersten
Reihen folgt:

(/l • • •fn)=^^u . ^^(!/, . . .?/«);

folglich mit Rücksicht auf die dritte Reihe:
(19) z/^.z/^ = z/,.

Diese Formel drückt, verbunden mit der Bedingung (16)
wiederum das MtiltipUcationsthcorcm aus, für welches somit
in kürzester Form ein sivcitcr (bekannter) Beiveis erbracht ist.

Das System der Grössen a heisst das Originalsystem, das-
jenige der Grössen y das transformirte System. Ferner z/„
die Determinante des Original-, z/y diejenige des transforhiirfen
Systems, ^ß endlich Modulus der Transformation {Substitutions-
determinante}.

Wir betrachten nun den besonderen Fall, dass die Grössen 63.
y ein System normaler Einheiten bilden (vgl. „Raumlehre"
Nr. 152). Dann ist

(20) (2/1 ...?/„) = 1; {yp\yi^ = ^'-, {VpM^^-

Es sei nun in (18) §1 . . . 1« derjenige Grössenverein,
welchen man aus x^ . . . x„ erhält, wenn man in der Deter-
minante z/^ die Horizontal- und Verticalreihen vertauscht.
Dann ist z. B.:

Ul = ßi'iVi. + ß-2iy2 -\ h ßnqtjn •

Folglich, mit Rücksicht auf (20)

a,\^,) = ß,, ß,, + ß,, /3o, + • • . + ßnp ßu.

Nehmen wir noch au, dass auch die Grössen ^ ein Normal-
system bilden, so wird (i,p\ti) =0; {^,1,%^ = 1; mithin ist

(22) ß,,ß,, + ß2,ß2, + • • • + ßupßn, = 0;

(23) ßl, + ßl+--- + ßl,= ^-
Wenn man nun die Gleichungen:

Xi = ßiiyi-j- ßi2yi-\- " ■ -{- ßin yn ;
30^ = ß2\yi-\- ß2 2yi-\r ' • • + /52« ?/n ;

(24)

-Xn = ^«1 2/1 + /5«2 !/2 + • • • + ß^^n yn

9 =

— 132 —
der Reihe nach mit den Zahlen

ßlpßip • ' ' ßnp ' '

raultiplicirt, und dann addirt, so folgt:

ßlpXi-^- ß2p X2-\- ■ • • -\- ßnp ^n
= (j3ll^l^ -{-ß2lß2p H h ßnißnp)yi H

oder, da der Coefficient von yp nach (23) gleich 1 , und die
aller übrigen y nach (22) gleich 0 sind:

(25) yp = ßip Xi-\- ß2pX2-\- - • • + ßnp Xn .

Multiplicirt man alle in dieser Formel enthaltenen Ausdrücke
mit einander, so folgt:

Andrerseits ist nach (18)

{Xi . . . x„) == ^ßiyi . . . yn).

Durch algebraische Multiplicatiou dieser Gleichungen erhält
man

(26) ■ i^ßY=l.

Bildet mau endlich aus (24) die Ausdrücke x~^, x~ . . . x~
■und addirt, so folgt:

4 + 4 + ---\-^n=iß\r + A, + '-- + ßl,)yt

oder, da die Coefficienten aller y nach (23) gleich 1 sind:

(27) xf-\-xf^ )^x^ = yf+yf-^ \- y^ .

Wenn also zwischen den Elementen der Substitutionsdeter-
minante die Gleichungen (22) und (23) bestehen, so ist das
Quadrat dieser Determinante gleich 1 (26) und zwischen den
durch sie verbundenen extensiven Grössenreihen der x und y
bestehen die Gleichungen (27). Da die Vereine der Grössen y
und § Normalvereine sind, so heisst die Substitution, durch
welche der Verein f aus der Abhängigkeit von dem Vereine x
in diejenige von dem Vereine y übergeht: normale {orthogo-
nale) Sid)stitution.

In den Formeln {22) bis (26) können die Grössen x und y
auch Zahlen statt extensiver Grössen vorstellen. Dann ver-

— 133 -

waudelu sich iii (27) die inneren Quadrate iu numerische,
und die Formeln drücken bekannte Beziehungen zwischen
Zahlengleichungen aus.

Sei 64.

^2 = «21 ^\ + «22^2 ; 2/2 = ^21 ^1 + ^22 ^2 i

Dann sind die inneren Producta {x^\y^, {^iIVt)} (^2l^i)> (^21^2)
Zahlgrössen. Sei ferner:

^1 == (^1 1 2/1) e, + (:^'2 1 ^1 ) ^2 = ^1 (1 2/1 e,) + «^2 (1 2/1 e?) ;

^2 = (^1 12/2^^1 4- (^2 12/2)^2 = ^1(1 ^2^1) -1-^2(1 2/262) ■

Dann erhält man durch Ausrechnung der Klammern in den
Ausdrücken rechts:

2^ = ^1 Pil ^2^12 5

•^2 "^ ~ ^1 r21 ^2P22>

daher :

(^1^2) = (^i-'^2) (ßwß-i-i — ßnßn)
= (^1^2)1(2/12/2)-
Es ist nämlich z. B.

(12/1^1) = /3ii|ci .c, + ßn(^2-(^\ = — Ai^iki — /5i2ei|e2,

also, da e, ßj = 1; e^\e^=--Q \&i: {\yxG\) = — ßw Ferner
erhält man durch Multiplication von |i/, mit \tj.^, (welches Pro-
duct nach „Raumlehre'' 143 gleich |(y, iJ/j) ist) ßiiß-22~ ß\2ß2\-

Die eben gefundene Formel kann , wie man sieht, sofort
erweitert werden auf n Grössen x und n Grössen y, welche
aus den n Einheiten e^ . . . c« abgeleitet sind.

Wenn also

'x^ = a^^e^-\-a^^e.,-{ [-Ku.e,,-., ?/i = /^i 1 f, + /5,2 f, -] [- /^i « e„ ;

a:;2 = «2l6l + «22ß2H h«2nC„; 2/2 = /^2l ^1 + ^22 ^2 H h/^^nß«;

(28)

Xn = Ciniei-\-an2e2-\ h««««^«) yn = ßn\ei-{-ßn2C2-] l-ßnnCn,

(e, . . . en) = 1 ,
so ist

(29) {Xj,\7jq) = a^,i/3^i + ß^.2/3j2+ • • • + a^«^,«.
Wenn dann

(30)

- 134 —

h = (^1 1 2/2) Ci + (^2 M^i-i h i^n 1 2/2) Cn ;

gesetzt wird, so ist nach der Verallgemeinerung der Formel

(^1%) = (^1^2)1(2/1^2)

(31) (5!i ^2 • • • ^n) = (^1 ^2 • • • ^'0 I (!/l !/2 • • • 2/«) •

Da die drei Prodacte dieser Formel wegen der Annahme
(gj . . . c„) = 1 ZahlgrÖssen sind, nämlich gleichbedeutend mit
ihren Determinanten, so geht die innere Multiplication auf
der rechten Seite in die algebraische über, und die Formel
(31) stellt wieder das Midtiiüicationstlieorem dar, für welches
hier in abgekürzter Form ein dritter (bekannter) Beweis ge-
liefert ist.

Anmerkung. Die directe Vei'wandlung der linken Seite von For-
mel (31) in die rechte erfordert noch die Entwickelung einiger Hilfs-
formeln, und ist in Grassmann's „Ausdehnungslehre" II. Nr. 175 nach-
zusehen.

Wenn in den Formeln (28) überall « statt ß gesetzt wird,
so ist allgemein ijp == Xj, ; aus Formel (29) erkennt man , dass
in diesem Falle

ist, und Formel (31) nimmt die Gestalt an:

(32) {x^ x^. .. x„)- = (^1 ^2 • • • ^n) .

Eine Determinante, in welcher das Gesetz gilt, dass a^,, = a,^,
ist, heisst symmetrisclie Determinante. In einer symmetrischen
Determinante sind also die Horizontalreihen der ReiJie nach
identisch mit den Verticalreihen. Formel (32) drückt nun den
Satz aus : Das Quadrat einer jeden Determinante ist eine sym-
metrische Determinante. — Für p = q nimmt Formel (29) noch
die besondere Form au (die man auch unmittelbar aus (28)
erhält) :

(33) x,A=^al^-\-al^^-\ [-«'„•

Eine Determinante, in welcher a^.j = — ccgp ist, kann con-

gruentc Determinante genannt werden (gauche symmetrique).

Wenn in jedem Element einer Determinante der hintere

- 135 —

Index als Exponent geschrieben wird, so heisst die Deter-
minante altcrnircndc Fundion. — Die Ableitung der Eigen-
schaften aller dieser Specialformen ist für den Zweck dieses
Buches nebensächlich. ^

3. Unterdeterminanten.

Ersetzt man in dem äusseren Producte {x^. . . x„) (worin 65.
Xi, . . . Xn die in den Formeln (1) gegebeneu Bedeutungen
haben) einen Factor, z. B. Xp durch seinen Werth

Xp = CCpi Ci + «^>2 62 + • • • + Kpn 6'„,

SO erhält mau :

(34) {X^ ...Xn) =Kpl{Xi ... ei...Xn)p-\-CCp2{Xi.-. C.^...X^p
— (- • • • -|— Clp n (ä^j . . . 6n ' • ' Xfijp ;

Avorin der bei jedem Froduct stehende Index p die Stellung
des Factors e in diesem Producte angiebt.

Die durch ein solches Product dargestellte Determinante
heisst Unter (Jeferminante zu (x^ . . . x„). Man erhält ihren
Ausdri{cli, indem man in dem gegebenen Producte irgend einen
Factor durch irgend eine Einheit ersetzt. Da man dies auf n"^
verschiedene Weisen thun Tiann, so giebt es n^ solcher Unter-
determinanten.

Da die linke Seite von (34) ungeändert bleibt, wenn man
alle vorderen mit den hinteren Indices vertauscht, so muss
auch die rechte durch dieses Verfahren ungeändert bleiben;
d. h. mau hat:

(oO) (ä^j . . . X/i) = 0^1 p\X^ ... Cp ... X,i)i -f- C(2p{X^ . . . Cp ... Xn)^
— [- . . . — (— K^p \X^ . . . Cp , . , XnJTf

Die allgemeine Form einer Unterdeterminante ist

\X^ . . , Cq . . . Xjijp •

Anstatt den Factor Xp durch die Einheit Cq zu ersetzen, kauu
man, indem Xp als Function der unabhängigen Variablen
a^.iy ... Kpn betrachtet wird, Xp nach' Kpq differentiireu. Dann

ist

dxp

— " — e

d apq '^'

Und anstatt in dem Producte (x^ ... x,,) den Factor Xp weg-
zulassen, um nachher an seine Stelle Cq zu setzen, kann mau

. _ 136 —

dieses Product, indem es als Function der unabhängigen Va-
riablen x^, . . . Xn betrachtet wird, nach Xj, difierentiiren.
Demnach ist

. s r1(.r,...xn) dxp diXi^^.Xa)

(a^i . . . C, . . . Xn)p — - - ^^^^ ^~ — --^Vpq

3Iifhin ist eine Unferdeterminante gleich dem Differential-
quotienten des äusseren Productes nach irgend einem Elemente.
Jedem Elemente der Determinante entspricht somit eine Unter-
determinante,' und wenn wir die zu aj,q gehörige mit a^,,^ be-
zeichnen, so ist demnach

/OPN diXf . . . Xn) f X

(36) iV,-= — -^i~^^ — =^{x,...c,,...Xr:)p.

Das System der Elemente a heisst adjimgirt demjenigen der
Elemente «, und die aus den ersteren gebildete Determinante
reciprok zur Determinante der Grössen a. Wenn daher

Ip = (ipiCi + aj,2C2 + • • • + ^V"^«
gesetzt, und die Determinante der Grössen a mit ^ a bezeich-
net wird, so ist

66. Setzen wir den Werth (36) in (34) ein, so folgt:

(38) {X^... Xn) = Cij, 1 C\p 1 -f CCj, ■,ap2-\ h C(p n <\, n ■

Setzen wir nun in dem Producte {x^ . . . Xn) den herausgenom-
menen Factor Xp einem anderen, darin vorhandenen, Xq gleich,
so wird einerseits das Product gleich Null (Nr. 60); andrer-
seits erhält jedes a statt des Index ^) den Index q, während,
wie aus Formel (36) hervorgeht, jedes a den seinigen behält.
Wir erhalten also:

(39) 0 = Kq 1 Q;. 1 + a, 2 a^. 2 + • • • + «7 n (ip « •
Multipliciren wir jetzt die Gleichungen (37), so folgt:

ix^ .. .x„){^^ ... tO = (^1 ••• ^a), (31);

^p = (a^i I lp)ei + {X., ^j,) Cj + • • • + (a?„ ! ip) Cn (30).
Nun ist aber

{Xg 1 Ip) = ci,j 1 <[j, 1 -j- a,j 2(ip2-\ h ci,j „ ([j, „ = 0 (39)

i^pl^p) = cipiO.pl -f cij>2(Xp2-\ h ccj,n<Xp„ = {x^...Xn) (38);

137 —

also

Zj, = {X^ ... Xy^Cj, = AaCp

demnach mit Rücksicht auf (37)

^„ . z/o = (z/„)".

oder:

(40) - J, = (z/„)«-' ;

d.h.: die lleciprol-aldeterminantc ist die {n — \)te Potenz der
ursprünglichen Determinante.

Multiplicirt man die Formeln

^\ = '^ii^'i + (^\i^-> + • • • + «i«e„
X., = f/.^|C', + «,2^2 + • • • + ft2«e„

x„ = a„^ei -\- a,^^>e2-\' • • • + «„„e,,

der Reibe nach mit aij,, K\.2p . . . anp, und addirt, so wird der
Coefficient von ep nach (38) gleich z/«, während diejenigen
aller übrigen e nach (39) gleich Null sind. Mau erhält also:

(41) ^a ' Cp == (XxpXi -\- ^^pX^ + • V ^np^n\

oder :

f z/„ . ei = ai xXy\ <XixXi-\- Y ^n\Xn \

Bezeichnet man nun mit üpq die Unterdeterminanten von z/n,
sodass zwischen den Grössen a und a dieselben Beziehungen
bestehen, wie zwischen a und a, und multiplicirt die Glei-
chungen (42) der Reihe nach mit dpi, ap2 • . • apn, so erhält
man ähnlich wie vorher:

(43) zia-Xp = ^a{apiCi -i- ttp 2 e-i -{-••• -\- cipuen),

oder mit Rücksicht auf (40)

Z/a"-2 . Xp = üp^ei + «^2^2 + • • • + apnCn.

Nun ist nach (1)

z/«""- . Xp = /Ja'"'^c<piey + Zfa^'-'^cip^e-z H f- z/«"-^ «^„6«;

durch Vergleichuug der letzten Formeln ergiebt sich (da zwi-
schen e,; . . . Cn keine Zahlbeziehung existirt):

— 138 -

(44) aj,q = zJa""-^ . dpq.

Mittelst dieser Formel sind die Unterdeterminanten der
Reciprokaldetermiiiaute durch die ursprüngliche Determinante
ausgedrückt.

Ersetzt mau in dem Producte [x^ ... Xn) tn Factoren durch
ihre Werthe, und führt die Multiplication aus, so wird das
Product als Summe von ri'" anderen Producten dargestellt.
Jedes dieser Producte stellt eine ünterdeterminante m. Ordnung
vor. Die Behandlungsweise dieser Grössen ergiebt sich aus
dem Vorhergehenden ohne Schwierigkeit; sie gewähren für
die hier gewählte Darstellung kein neues Interesse, und wer-
den daher übergangen.

4. Anwendungen auf die Theorie der Gleichungen.

67. 1) Auflösung eines Systems von n linearen Gleichungen
mit n ünbehannten. — Erste Methode. Die Gleichungen seien :

-'2'

_ Multiplicirt man die Gleichungen der Reihe nach mit e^ e^
und addirt, so folgt, wenn wir

(iipei-\- <^2pe2-\- • ' • -\- f^npCn = a^,

/3ie, + ß^e^ H \- ßnCn =t>

setzen :

Multipliciren wir diese Gleichung mit (a^ (x^... ^p—i^pj^\ ... a„),
so kommt links nur das Glied o^pXp zur Multiplication, weil
alle anderen Producte Null werden, und man erhält:

+ Xp z/w == bai . . . a^,_ia;j-|-i . . . a«
oder

(6ai ... op— 1 ftp+i ttn)

Xp = +

z/a

Anmerkung. Dem Wesen nach stimmt diese Methode (die schon
in Grassmann's Ausdehnungslehre I. § 45 u. II. § 134 steht) mit der be-
kannten Determinantenmethode überein. Nur beruht sie wieder auf
erheblich einfacheren Betrachtungen als diese. Es kommen keine Unter-

- 139 —

determinanten zur Verwendung, mithin brauchen die Formeln (38) und
(39) nicht vorausgesetzt zu werden. Statt mit Unterdeterminanteu wird
hier mit Einheiten multiplicirt, in der Lösungsform endlich stellen sich
die Zahldimensionen von Zähler und Nenner auf den ersten Blick dar.
Historisch ist zu dieser Methode zu bemerken, dass dieselbe in
Frankreich von Cauchy (1853), welchem Grassmann vorher sein Buch
iibersandt hatte, als eignes Erzcugniss unter dem Namen ,,clefs alge-
briques" in den Comptes rendus veröffentlicht wurde (vgl. a. a. 0. II.
S. IX u. 107, und Grelles Journal Bd. 49. S. 123). Manche haben in
Folge dessen die gesaramte Ausdehnungslehre mit dieser Methode für
identisch gehalten (S. z. B. Jahrbuch üb. die Fortschritte der Mathem.
Bd. 3 (1871) S. 306, woselbst auch, wie hier gleich bemerkt sein mag,
die weitläufigen Rechnungen, welche die Umformung eines planimetri-
schen Productes in eine Coordinaten-Gleichung erfordert, irrthümlicher-
weise für weseutUche Bestandtheile der geometrischen Untersuchung
gehalten worden sind).

Ziveite Methode. Die Gleichungen seien

«10^0 + ^11^1 + • • • + CClnXn = 0,

«20^0 + «21^1 + • • • + ^'inXn = 0, ^ ^^

^0

Jede" dieser Gleichuugeu, z. B. «^;o^o+ ^;j i *'iH h <^pn^n = 0

ist das Produet von zwei Gleichungen:

(X, Co) -i- {Xi\e^)-\ h (Xn I Cn) = y\ „\—A

cCpoCo -\- ccpid + • • • + «/>«c„ = ßp,

sodass also

ßpij = 0

in Verbindung mit den beiden vorhergehenden Gleichungen
das gegebene System ersetzt. Da y, mit jeder der n Grössen ß
multiplicirt, Null giebt, so ist das äussere Produet dieser
n Grössen, nämlich (ßi . ■ . ßn) ein Factor von y. Dieser Factor
ist eine Grösse n. Stufe ; aber auch y ist aus Grössen n. Stufe
(je^ = + e^e^ . . ep^iCp+i. . . g„) linear zusammengesetzt, also
selbst eine Grösse n. Stufe; demnach kann der noch übrige
Factor von y nur eine Grösse 0. Stufe, d. h. eine Zahl (A)
sein; man hat also:

y = l{ß,...ßn).
Nun folgt aus dem oben gegebenen Ausdruck für y

c^y = X(j,

- 140 —

weil (Col^,,) = 1; U\)\<ip) = 0 ist; daher, weil x^^ =1 ist;
Ac,(^, .../?„)= 1;
1

Ferner :

mithin

Co (3, ... ßn

Cj, y = Xi,\
^epißi .. .ß,) = xjr,

'^^' (eoß,. ■../?«)■

Aumerkung. Diese Lö.sung gab Grassmann in der Ausdehuuugs-
lehre II. Nr. 134. Sie ist in mancher Hinsicht noch einfacher als die
vorige , und zeigt ebenso wie das Multiplicationstheorem , dasa auch die
innere Multijjlication sich mit Vortheil auf algebraische Aufgaben an-
wenden lässt.

68. 2) Bestimmung der Besultante eines Systems von n homo-
genen linearen Gleiehungen mit n UnheJiannten. — Eliminirt
man aus einem solchen System die unbekannten, so heisst
die zwischen den Constauten übrig bleibende Gleichung die
Resultante des Systems (auch wenn die Gleichungen nicht
linear sind).

Man erhält ein solches System, wenn man in den Glei-
chungen zu Anfang voriger Nr. ßi = ß^'^ ■ ■ • = ßyt = 0 setzt.
Dadurch werden die Gleichungen homogen; man kann eine
der Unbekannten, etwa Xp = 1 setzen, es wird dann identisch
b = 0, und die Gleichung

+ ocp . Au = l> . a, . . . aj,_iaj, + i . .•• a„
geht über in

Dies ist die gesuchte Resultante.

69. 3) Elimination der Unbekannten y aus den beiden Glei-
chungen

«0 + «1 2/ + «2?/^ + • • • + Cr.-y"' = 0 ;
% + &iy + &22/' + --- + &nr = 0;

worin a und b Functionen einer anderen Unbekannten, oder
Constanten sind. —

a) Sylvesters Methode. — Man multiplicirt die erste Glei-
chung mit 1, y, «/^, . . . y"~S die zweite mit 1, y, y"^, . . . y'"-'^
und erhält:

— 141 —

ö„y"'-^ + 4-6„y"'+"-^ = 0.

Aus diesen m-(-»i Gleichungen können nun die m-\-n — 1 Un-
bekannten y, iß, . . , ijm + n—i g^yf 2wei verschiedenen Wegen
eliminirt werden, welche den unter 1) angegebenen Methoden
entsprechen.

ß) Elimination mittelst äusserer Multiplication. — Man
multiplicirt die m -f- w Gleichungen der Reihe nach mit den
m -f- n Einheiten Cj, e.^, . . . 6«+«, und addirt. Setzt man dabei

SO erhält man:

Wj + «2^ + • • • -^- Ur„ + ny"' + "~'^ = 0 ;

und durch Multiplication mit {u.^'fi.^ • • • 'i^m+^i)
{u^U2 . . . u,a+,^= 0,

welches die verlangte Gleichung ist.

ß) Elimination mittelst innerer Multiiiilication. — Seien
e^e^ ... e,ft+„_i die anzuwendenden Einheiten (deren Product
gleich 1 ist), so zerfällt jede der m-\-n Gleichungen in das
Product der Gleichung

mit einer der Gleichungen

^'o^o + f*i<^i + -\r a,mG,n = Cq

tt{iGn—i-\- -{-a,u<',u + n—l = Gn — \'

— 142 —

ö()Cw-i"j~ -{- y,j6»(-j_;j_ i = a,n— 1 >

sodass also

Cp z =^ djyZ =^ 0

ist. Da nun die m-\-n Grössen Cq, . . , c„_i, c?„, . . . (?;„_i
aus m -\- n — 1 Einheiten abgeleitet sind, so wird, wenn man
das äussere Product dieser Grössen bildet, in jedem Gliede
ein Product von m-{-n Einheiten auftreten; es muss also eine
Einheit zweimal darin vorkommen; in Folge dessen ist jedes
dieser Producte, mithin auch das ganze Product Null, und

{c^yC^ . . . Cn-idod^ . . . f/„,_i) = 0
ist die verlangte Gleichung.

Anmerkung. Die beiden unter a) gegebenen Methoden stehen
in Grassmann's Ausdehnuugslehre I. § 93 und II. § 136. — Beide Metho-
den geben eine Determinante von m-\-n Reihen, welche sich durch
Ausführung der Multiplication auf das leichteste in ein Polynom ver-
wandeln lässt. Man bemerkt bei einfacheren Beispielen, dass dieses
Polynom sich rückwärts in eine einfachere Determinante verwandeln
lässt. Die directe Herstellung derselben wird nachher gezeigt.

70. Durch Betrachtung der eben gefundenen Gleichung er-

giebt sich, wenn a und h Constanten sind, unmittelbar der
Satz:

Die Residtante ziveier Gleichungen vom m. resp. n. Grade
mit einer TJnheliannten ist vom n. Grade in den Coefficienten
der ersten, vom m. in denen der ztveiten Gleichung.

Um die letzte Gleichung als Polynom darzustellen, gehen
wir aus von dem Gliede a^" (Cq . . . e„_i)&„"'(e„ . . . em+n-i)
oder «o"^«'"' D^ "^on den n ersten Factoren des Productes
(Cq . . . d„i-i) nur der erste e^, nur die beiden ersten gj, etc.
enthalten, so muss jedes andre Product aus den n ersten
Reihen (ausser ay"(eo . . . e„_i)) die fehlenden Factoren e aus
den letzten m Reihen zur Ergänzung erhalten. Ersetzen wir
also in dem Gliede Of^'^hn"' den Factor «q" durch a„i'% so muss
der Factor b^"^ hinzugefügt werden (s. die Ausdrücke für Cq,
c^, . . . in voriger Nr.). Demnach kann der Factor h„ nur
noch m — n^ mal in dem Gliede vorkommen, und dasselbe

f^m — M 1

Ü «1

qU — n2 J^m—nl
n l ' 11

fiii — ?j2 7)(/( — «1

]yn3^n2

- 143 —

lieisst «„i" *^«""~"^ Z^o"^- ^"11 ^^^^11 ^^^ ^^^ Factor 6o"^^»i"
dieses Productes ebenso behandeln , wie «„" &„'" u. s. f. Wenn
dann Mj, M3, . . . neue beliebige Zahlen (für a zwischen 0 und
m, für h zwischen 0 und n) bedeuten, so erhält man der
Reihe nach die Bildungen:

Summe der ludices:
a" h'" i mn

0 Hl'

Im Allgemeinen ist also die Summe der Indices gleich

npnp+i-{- (w — ni)n + (w — w.^)ni + {n^ — n^n^ -\

-\- {rip-i — np+i)np = mn.

Da man nun durch die eben beschriebenen Bildungen alle
Glieder des Polynoms finden kann , so ist der Satz bewiesen :

In der Resultante sivder Gleichungen vom m. resp. n. Grade
in y

«0 + «!?/ + «2!/^ + • • • + «-?/'" = 0 ;
h-\-h,y + h,y' -{-•■■ + Kir=0

ist die Summe der Indices in jedem Gliede gleich mn.

Setzt man y = ~ , so lauten diese Gleichungen, nachdem

sie mit w"*, resp. u"- multiplicirt sind:

«O^f™ + ff,M'"-l 4- «2«'""^ + • • • + am = 0.
&0«*" + &iW"-^ + &2«t"-2 _|- . . . -|- &„ = 0.

Sind nun ap und hp homogene Functionen p. Grades von
zwei Variablen x und ^, so sind die beiden Gleichungen selbst
homogen, und aus dem letzten Satze folgt, dass die Resul-
tante eine homogene Gleichung vom Grade mn zwischen den
Variablen x und b sein wird, oder, wenn mau 3=1 setzt:
eine Gleichung in ic vom Grade mn. Man hat also den Satz:

Eliminirt man aus zivei Gleichungen m. und n. Grades
zwischen zwei Variablen die eine derselben, so ist die Resul-
tante eine Gleichung vom Grade mn in der anderen.

b) Modiftcation der Bezout-Caylcy sehen Methode. — Man 71.
kann annehmen, dass die beiden Gleichungen denselben Grad

— 144 —

haben, da man nur in einer derselben die Coefficienten der
höchsten Potenzen gleich Null zu setzen braucht, um den
andern Fall herzustellen. — Man multiplicirt die beiden
Gleichungen

-B. = ^'o + hy + ^2^' + • • • + hnr = 0

resp. mit h^ und a^^, und subtrahirt, so folgt;

hfyÄn — a^Bn = 0.

Diese Gleichung ist durch y theilbar, also nach der Division
vom Grade n — 1. — Denn multiijlicirt man die gegebenen
Gleichungen resp. mit hn und «„, und subtrahirt, so folgt:

hnAn — ttaBa = 0.

Diese Gleichung ist ebenfalls vom Grade (n — 1). Ebenso
wie y^ wird man nun auch 2/"~^, y"'~^, • • • eliminiren, und
schliesslich eine Determinante von vier Elementen erhalten,
von denen jedes ein aus den Coefficienten der Gleichungen
zusammengesetzter Ausdruck ist. Man kann ferner auf jedem
Punkte der Elimination in die Sylvester'sche Methode über-
gehen, und dadurch Determinanten von grösserer Elementen-
zahl erhalten.

Anmerkung. Beisp iele :

1) üo + «i2/ + ^22/^ = 0 ; h -{- l>^y -{- \'iß = 0. — Man erhält:
feo(a, + a^y) - a^{h + hv) = 0 ; h{a^ + a^y) — a^iho + biy) = 0;

oder:

(&0«1— «ü^) + (^0«2- Ooh)y = 0; (&2«,) — «2&,i) + (^2^<l — «2^l)2/ = f>.

und hieraus:

(&o«i — ^ü^i) {l'-z'^i — «2^i) — (t'o'^z — '^oW)^ = 0.

2) «u + «1^ + «22/' + «32/' = 0; K + hy + hy"" + hy = o. -

Man erhält:

&ü(«i + «22/ + «32/-) - ao(&i + hy + hy^) = 0;

h{(^o + «i2/ + «22/') - «3(öü + öi2/ + &22/') = 0;
oder:

(Öuttj — «o^l) + (&0«2 — «0^2)2/ -f (^0«3 - «U&3)2/' = 0-
(ftjao — O3&0) + '&3«1 — «3^)2/ + ^3«2 — «3''2)2/' = 0.

Setzt man nun im Resultate der vorigen Aufgabe statt a;,a, «2 ^ü^i'^2
resp. die Coeificienten der eben erhaltenen Grleichungen , so erhält man
die Resultante in Gestalt einer viergliedrigen Determinante.

145 —

4) Die Functionaldeterminante eines Systems von p he- 72.
liehigen Gleichungen mit p Variablen.
Die Gleichungen seien

(1) ?/i=/i(a^i •••*>); }k=U{^^...Xp);
Setzen wir nun

-f Xj,i

• • Vp — Tp \P^\ • ' • "^p)'

(2) x = x^e^-^x.,e.,-\-
so ist

(3) {x\e^) = a?, ; {x\e.,) = X.,] . . .{x\ep) = Xjj.

Setzen wir diese Werthe von x^, x.^, . . . Xp in (1) ein,
so sind die Grössen y als Functionen einer einzigen extensiven
Variablen x ausgedrückt, d. h. es ist

(4) y^=F^{x)', y., = F,{x); . . . y^ = F^^ix).
Setzen wir ferner

(5) y = ?/, 'ei-\-y^\e.,-i \- y^^le^,

so ist

(6) y = F,(x)\e, + F,{x)\e, H + F^(x)\e,',

mithin ist auch y als Function von x ausgedrückt, oder:^

(7) y = F{x),

Es ist also das System der Gleichungen (1) durch eine ein-
zige Gleichung ersetzt. Aus dieser kann man das gegebene
System wiederherstellen mittelst der Formeln:

(7a) {y Cr) = ijr ; F{x) er = Fr {x) ;

Fr {X) = fr {X^ . . . Xp) .

Wenn wir nun die Gleichung (5) nach x^, x^, . . . Xp
dififerentiiren , so folgt:

(8)

dy

dXi
dy

dxx

1^. +

dx.

— dx^ l'^i ^

d^ji_
dx,

dx2

^.+••• + 4^1^^

e,+

^ dx^ i^*

> ~ dx. 1^' + dx. 1^2+ ^ de '^"

\da

'Xp

Die durch das äussere Product der Gleichungen (8) ge-
bildete Determinante heisst die Functionaldeterminante des

Schlegel, PHemente.

10

— 146 —

Systems (1). — Sie lässt sich noch in einfacherer Weise aus-
drücken. Es ist nämlich:

dy dy dx

oder, da pach (2) —. — = c,- ist

dxr dx dXr

Ix

dXr

dy ^^ dy
dxr dx

(9)

Es ist also -r-- eine Grösse, welche, mit e^, e.,, . . . Cp multi-
plicirt, der Reihe nach die Grössen ^ ^ ^

dxi ' dx2 ' dxp

hervorbringt, d. h.: -r^ ist ein Quotient in dem in Nr. 41

festgestellten Sinne. Wir können also nach der dortigen Be-
zeichnungsweise schreiben :

dy dy dy

/^j-vx dy dxi ' dXi ' dxp

dx gj, 62, . ■ ' . Cp

Das äussere Product der Zähler eines Quotienten, dessen Nen-
ner das System der ursprünglichen Einheiten ist, ist aber der

Poten^tverth des Quotienten, und wird hier durch (^— ) zu

bezeichnen sein.

Demnach ist die Functionaldeterminante des Systems (1)

gleicli dem Fotenzivertlie (— ^-) des Quotienten (10).

Wenn ^,, y.^, ■ • • yp sämmtlich Functionen 1. Grades sind,
so verwandelt sich die Functionaldeterminante in eine gewöhn-
liche Zahlendeterminante. (Vgl. die Ausdrücke (y/^) und {J^)
in Nr. 41 u. 42.)
73. Besteht zwischen ?/,, ?/., , . . . yp eiue Gleichung

Vr = fpiVx , y-i, ' ' ■ ?/,— 1 , 2//+1 » • • • Vp)y
so ist

dyr_ ^^ dy,- dyi , dyr dy^ i . . . 1 dyr dyp ,
dxs dyi dxs ' dy^ dxs ' "*" dyp ' dxs '

also ist nach (8):

dxs dx, ^ ^J + dyt 1^'-^ + dxs ^^^-i ^ dy, ^^'^ ^

+ dxs y^^K^ dyp l^'-^'

- 147 —

d. h.: die p Grössen -^^, -y^ , • • • ^~ sind aus den ip — 1)

extensiven Klammergrössen abgeleitet. Da nun in jedem Pro-
duct von jü Factoren, welches aus Q; — 1) Grössen gebildet
wird, irgend eine Grösse zweimal als Factor erscheinen muss,
so ist das äussere Product jener p Grössen gleich Null. Man
hat also den Satz: Wenn zivischen den Functionen des Sy-
stems (1) eine Gleichung besteht, so ist die Functionsdeterminante
des Systems gleich Ntdl.

Wenn im umgekehrten Falle die Functionsdeterminante
Null ist, so muss zwischen den Factoren des äusseren Pro-
ductes eine Zahlbeziehuug existiren. Dieselben müssen sich
also aus weniger als }) Einheiten ableiten lassen, und da sie
Ableitungen von y sind, so muss dasselbe mit y selbst der
Fall sein. Diese Reduction ist, wie aus (5) hervorgeht, nur
dann möglich , wenn entweder zwischen den Grössen j e oder
zwischen «/j, «/2> • • • Vp ^^^^ Zahlengleichung existirt. Und da
der erste Fall gegen die Annahme ist, so bleibt nur der
zweite übrig. Es gilt also auch die ümJcehrung des oben aus-
gesprochenen Satzes.

Anmerkung. Man beachte, dass alle, die Functionsdeterminante
betreffenden Ausführungen in Geltung bleiben, wenn man nicht
y = 2/i ki + • • • etc., sondern ?/ = i/jg, -f 2/2^2 + • • • ^^C- setzt.

Sei

(11) ^, =(?,(?/,...?/,.); ^i=fpÄyi-'-yp)j ■'^p=<pp(yi---yp)i
(1) 2/1 =/"i(^i ••••'»;>); y-i^f'A^i'-'^p)'-, "yp=fpi.^i'-'-^p)-

Wenn wir nun die Fimctionaldeterminanteu beider Sy-
steme mit einander multipliciren, so erhalten wir nach Nr. 62
Formel (16) eine Determinante, deren Elemente die Form
haben :

dyi dzx . dyz dzx . _, dyp dz^

dxr ' dif^ •" dxr ' dyz 1 ' ' ' "r dxr dyp

Dieser Ausdruck ist aber gleich

dZy.
dXr '

folglich ist die Determinante, welche aus diesen Elementen
besteht, die Functionsdeterminante des Systems, welches aus
(11) und (1) durch Elimination der Grössen y entstehen würde;

10*

— 148 —

mithin ist unter der Voraussetzung, dass die Gleichungen (11)
und (1) bestehen:

a^) m-m-^

In Worten: Wenn das System (11) durch die Substitutionen {l)
transformirt ivird, so ist die Functionsdeterminante des trnns-
formirten Systems gleich dem Prodncte aus denen des gegebenen
lind des transformirenden Systems. (Von dieser Transformation
ist die in Nr. 62 behandelte ein specieller Fall.)

Sind die Grössen x^ . . . Xp der Reihe nach identisch mit
^, . . . Sp, so sind auch x und s identisch, sobald sie nur ans
denselben Einheiten e^ . . . Cp abgeleitet sind; und Formel (12)
sfeht über in

CS) m)-(1^) = '-

Da der Potenzwerth eines Quotienten wirklich die Be-
deutung einer algebraischen Potenz hat (vgl. die Anmerkung
am Schluss von S. 76), so ergeben sich die Formeln (12) und
(13) ganz einfach auch dadurch, dass man das System (11)
durch ^= ^{y), und (1) durch y = F{x) ersetzt. Denn es
ist dann

dz dz dy ^ dy dx -. _

dx dy dx ' dx dy '

(dz^\ _ (dzP\ (dr\ . (d£\ (d^'\ _ ,
V dx ) \dy ) \ dx ; ' \dx) ' \dy )

Es seien /",, /!,, . . . fp homogene Functionen r. Grades der
Variablen x^, a;.^, . . ., und JP,, F.^, . . . Fp dieselben Functionen,
ausgedrückt durch die extensive Variable x. Setzen wir dann

dFs _ j^.
dx ~ "
SO ist

X . F\ = r . F, .

Multipliciren wir beide Seiten dieser Gleichung mit

F F i F' , . F'

so folgt:

X . F\F', . . . Fp = r . F, . F', . . . i^',_, . F,+ ,. . . F),.

Setzt man hierin s nach und nach gleich 1, 2^ . . . jj, und
addirt alles, so folgt:

— 149 —

p.x{F\F',...F',) = r[F,{F',...F',) + F,{F\F',..F',)^-.

+ F,{F\...r,^,)-].
8iiKl nun die Fuuctioueu F^, F.,, . . . Fp gleich Null, so ist
auch (i^, F'.^. . . Fp) = 0, d. lif: Die WertJie der Variablen,
welche einem System von p homogenen Gleichungen r. Grades
geniigen, machen auch die Functionaldeterminante dieses Sy-
stems gleich N'idl.

Durch Differentiation der letzten Gleichung nach x erhält
mau noch:

p(F\ F', . . . F'p) +px{F\ F\_ . . . F\)'

=r [p{F, F', . . . F'p)-^F, {F', . . . F^y-j-F, {F\ F\... F'p)'-^. • •

+ Fp{F\...F'p.,y^.

Wenn also F^ = F^^ ---Fp = 0, so ist nicht nur {F\ F., . . .
F'p), sondern auch {F\F\. . . F'p)' = 0-^ d. h.: Dieselben
Wcrthe der Variablen machen auch die nach den einseinen
Variablen genommenen Ableitungen der Functionaldeterminante
{zJ) gleich Nidl. Letzteres erhellt sofort, wenn man be-
denkt, dass

clxs clx dx. — y-^ i-^ -'"/-^ pj '(^s

ist, und dass das Verschwinden der rechten Seite die Gleichung

— — =.() zur Folge hat.
dxs °

Anmerkung. Die Reduction eines Systems von mehreren Zabl-
functionen verschiedener numerischer Variablen auf eine extensive
Function einer extensiven Variablen, wie sie oben ausgeführt wurde,
ist für die Theorie der Functionen überhaupt von grosster Wichtigkeit.
Die überaus einfache Darstellung der Functionaldeterminante auf Grund
dieser Reduction kann schon als ein Beleg für diese Behauptung gelten.
Diese Reduction, deren Vortheile in der Theorie der Covarianteii und
Invarianten noch besonders hervortreten werden, ist das charakteristische
Merkmal für die Art und Weise, wie die moderne Algebra vom Stand-
punkte der Ausdehnungslehre aus behandelt wird, und in ihr erblicke
ich einen wesentlichen Fortschritt gegenüber der gegenwärtig üblichen
Behandlung. Dieser Fortschritt aber ist es wiederum, welcher den
Anwendungen der Ausdehnungslehre auch heutzutage noch Anspruch
auf Beachtung seitens der Mathematiker verleiht. — Geometrisch be-
trachtet, verwirklicht die erwähnte Reduction in allgemeinster Weise .
den schon in Nr. 8 — 10 für einen speciellen Fall ausgeführten Gedanken:
ein geomeirisches Gebilde nicht von einer Eeihe von Coordinaten abhängig
zu machen., die auf ein, dem Gebilde ganz fremdes, System bezogen sind,

— 150 -

sondern dasselbe als Function eines Punktes zu betrachten, durch dessen
Bewegung das Gebilde entsteht.

Jene Reduction findet sich bei Grassmann, Ausdehnuugslehre 11.
Nr. 348—352; die Darstellung der Functionaldeterminante als Potenz-
werth daselbst Nr. 441. An beidfn Stellen sind die hinzugefügten An-
merkungen besonderer Beachtung werth.
74. 5) Die Hesse'sche Determinante einer homogenen Fundion
n. Grades von p Variablen.

Wenn wir in der vorigen Nr.

^w = ^

setzen , wo /" eine Function von x bezeichnet , «o ist nach (7)

•^ dx

df

dXr

df dx /o\
dx dxr -^ ^ '^

'

4t='J' (5)-

dH ^
dXrdXq

_ dyr , d^f _ dyq .

dXq ' dXqdXr dXr '

da die linken Seiten dieser Formeln gleich sind:

dyr __ dy,i
dxq dxr

ferner
also
Ferner :

mithin,

In diesem Falle ist also, wie aus (8) hervorgeht, die Functional-
determinante symmetrisch.

Die aus den zweiten Differentialquotienten einer Function
/' von J9 Variablen gebildete symmetrische Functionaldetermi-
nante heisst Hesse'sche Determinante der Function /".

Um für diese Determinante einen passenden Ausdruck
zu gewinnen, machen wir hinfort Gebrauch von der in
Nr. 8—10 begründeten Bezeichnung einer Function f durch
die Form:

CinX"" = 0,

worin
und

gleich einer Grösse a ist, welche rjmal den Index 1, rj mal
den Index 2 etc. enthält.

- 151 -

Wir bezeichnen ferner durch /'<'') die r. Ableitung der
Function /' nach x, sodass

(1) ^ = ^"

ist; dagegen durch fsq. . . die nach den r Variablen x^, Xq . . .
nacheinander genommene r. Ableitung von f, sodass

^^ dxsdxq... — i^'i- ' •

ist. Es ist nun nach (8) die Hesse'sche Determinante gleich

/ dy dy _^\ .

l dxi dxz dxpj

df „ 1

= n{n — l)««^'""^- 6/-;

Ferner ist

mithin :

dy

dXr

_ dy

dx

I

dx,-
also die Hesse'sche Determinante gleich

(3) [n{n—l)y'{a>,x^-K 6,) {anX'^-'K e^) . . . {a^^x^-^. e^),
oder mit Weglassung des numerischen Factors:

(4) a^PxP^^-^K

Dasselbe Resultat ergiebt sich auch, wenn man von dem
Ausdruck der Hesse'schen Determinante als Potenzwerth aus-
geht. Es ist nämlich:

mithin

(^^ = [n{n—l)ya,,PxPi''-^\

Hiermit ist für die Hesse'sche Determinante einer Function
f ein ganz analoger Ausdruck gewonnen, wie für die Function
selbst. Dies zeigt die Vergleichung der beiden Ausdrücke
«„^'^ und an^xP("-^K

Anmerkung. Wie der erste dieser Ausdrücke in eine Zalilen-
gleichuug verwandelt werden kann, ist an einem Beispiele in Nr. 10
gezeigt worden. Als Beispiel für die Umformung des zweiten mag hier
der Fall « = 3, p = B dienen. Es ist dann

a^3x^ ^ (^ci^x . e,) (a^x . Cz) (a^x . C3).
Nun ist nach Nr. 10 :

«3 = «m I ^1' + «222 I ^2' + «333 ^3^ + 3 a„2 ' C| '^ ^2 + 3 K223 Cj^ €3 -f 3 «3,, | 63' C,
+ 3 0:1221 6162^ + 3 «233 1^263^ +3 «311, 636,2 + 6 «,231616263.

— 152 —

Dieser Ausdruck ist, wie ebendorfc zu aehou, ohne Coefficienten zu
schreiben, wenn er nicht mit einer Potenz von x, sondern mit der-
jenigen von XfCi + ^2^2 + ■ ■ ■ multiplicirt werden soll, weil die letztere
die Coefficienten bereits enthält. Wenn man daher aus

X = x^Ct -f X2e2 + XgCi
zunächst bildet:

CI3X = Cl^XyCi + «3X262 + Ct^X^Cs,

und daraus:

a^x . ei = CI3 Xi Ci- + «3 X2 e, 63 + «3 ^3 «-'s «1 ;

a^x . 62 = oTa^t-'i C] €2 + '^^3'''^. <^2^ ~\~ f^a^sCj^s ;

«3^3 . €3 = ct^xie^ei + ci^XiCzes + o:3a;3e3S

und hierin den Werth von 0:3 rechts einsetzt, so erhält man:

ofjX- . fj = «, («m 1 (?i + d:,i2 i Cj + «1,3 1 63) + A-a («1 12 ! Ci-f «122 ; Cj-f «,23 ^3)

+ ^3 (oflTs 1 (-'l + «123 I ^2 + «133 ^3) ;

a3X.e2 = Xiiai2z \ ^a+ßua i ei + a^ | C3) + *'2(«222 «2+ «122 1 <-'i + «223^3)

+ ^'3(«223i^2 + «123iC, + «233.<'3) ;

a^x.e^ = a;i(aj33! 63+ a,23| e2+or]i3 1 ei) + a;2(or233| ej+cfajaiea + auai e,)

+ ^3 («333 ks + «233 I ^2+ «P3 ' eO .

Durch Multiplication dieser drei Reihen erhält man sogleich dieHesse'sche
Determinante in derselben Form , wie sie in Salmons „Vorlesungen über
die Algebra der lin. Transf." von Fiedler. Lpz. 1863. S. 229 steht. Da-
gegen liefert die Multiplication der drei vorhergehenden Reihen die
Coefficienten in einer abgekürzten Form. So ist z. B. der Coefficient
von Xi^ gleich «3' Cj^, und

agSei^ = aiuor,22o:i33 — «1110:1232 — «133 «112'+ «U2 «123 «131

~\~ «131 «112 «123 «113^ «122-

Dieses letztere abgekürzte Resultat ergiebt sich auch direct aus dem
Ausdruck «3^0;^, wenn man x^ durch Xi, ,X2 und x^ ausdrückt.

75. Wenn die Hesse'sche Determinante gleich Null ist, so

muss zwischen den Factoren des äusseren Productes, vs^elclies
ihr gleich ist, eine Zahlbeziehung existiren, d. h. wenn Xy...lp
constante Zahlen sind, so muss sein:

Nun ist

^ ^ dxr dx.dxr ^ dx

Integrirt man daher die vorige Gleichung nach x, so bleibt
nach Weglassung des gemeinsamen Zahlenfactors:

Ai {a,,x''-K Cj) 4- L^{ttnX''-K e,) -| (- A^ {cinX"-^ . ep) = 0-^

d. h. : Wenn die Hesse'sche Determinante einer Function gleich

— 153 —

Null ist, so existirt zwischen den ersten 'partiellen Ableitungen
der Function eine Zahlhesieliuny.

Weuu diese Ableitungen wieder, wie ol)eu, durch //,, ij.^,
. . . Up bezeichnet werden, so kann man nun, wie aus den
analogen Betrachtungen bei der Fuuctionaldeterminante (Nr.
73) hervorgeht, eine beliebige Einheit e, hervorheben, und
die Grössen von der Form

^'^* + 4^7 i^'-)' ^^^^^ ^^'- ^'' + ^''^'■^^

wo ö' = 1, 2, . . . (/• — 1), (>• -\- \), . . . p zu setzen ist, als neue
Einheiten betrachten. Es ist dann *■ aus p — 1 Einheiten
ableitbar; die Zahl der Variablen a'j, . . . a;^ lässt sich also
durch Einführung dieser neuen Einheiten um Eins verringern.
Aus den Formeln (8) in Nr. 72, in Verbindung mit der

Formel — r-M — = —r^ == fr,, aus Nr. 74, folgt, dass die
dx,-dx,j dxq ' ' ' ° '

Elemente der Hesse'schen Determinante die Form frq haben.

Bezeichnen wir durch (prq die Ableitung dieser Determinante

nach dem Elemente frq, so ist nach Formel (39) in Nr. QQ:

fj i(p.i + fq -1 9>.2 + • • • + fw ^'^P = 0 ;

fq l(p>l-{-fr2Cpr2-h---+ fqp (frp = 0 .

Hieraus folgt, dass

(fn '• fps2 : . . . : (fs q = fpr l ' (Pr2 '• • - ■ - (frp

ist. Wenn nun z. B.

ist, so folgt daraus:

'Pr2= 0;

d.h.: Wenn die Hesse' sehe Determinante gleich Null ist, und
ihre Ableitung nach einem, ihrer Elemente gleichfalls verschwin-
det, so verschivinden auch die übrigen Ableitungen dieser Deter-
minante nach den Elementen der Reihe, tvelche das verschwin-
dende Element enthält. Dafür kann man sagen: Es ver-
schwindet die Ableitung der Hesse'schen Determinante nach
derjenigen Einheit, ivelche gemeinsamer Factor der Elemente
jener Beihe ist. Also lässt sich die Zahl der Einheiten noch-
mals um eine reduciren.

Aus der Definition der Hesse'schen Determinante geht

— 154 —

endlich hervor, dass dieselbe für alle Fimctioueii zweiten
Grades eine blosse Determinante der Coefficienten ist.
76. 6) Die Hesse'scJic Determinante von p homogenen Functio-
nen n. Ch'ades von p Variablen.

Es seien p homogene Functionen n. Grades von p Va-
riablen gegeben:

f=ar,x'' = 0', cp = ßnX^ =0',

Wir verstehen dann unter der Hesse'schen Determinante
dieser Functionen den Ausdruck:

(1) [n(n—l)']p.a,ß„...xM>^-^^',

welcher die Summe aller Ausdrücke vorstellt, die man erhält,
wenn man die Einheiten ei . . . ep an die p Factoren von
[ji (,i — i)]p («,,a:;«-2) (ß^x""-^) ... auf alle möglichen Weisen
vertheilt, und die Factoren noch steigenden ludices von c
ordnet.

Dieser Ausdruck geht in die einfache Hesse'sche Deter-
minante über, sobald die p Functionen einander gleich wer-
den. Wir können ihn nach Analogie jener Determinante als
äusseres Product schreiben, wie folgt:

[n{n — \)y (««a;«-2) {ß^x""-^)

oder :

(2) /■<2)95(2) ...

Wir setzen ferner fest, dass

(3) fP^ . f('i^ = fp + 1), also if^^f = f 2)

sein soll; und wenn wir schliesslich noch zur Abkürzung

(4) P' = h <p^'^ = r],...

setzen, so können wir die Hesse'sche Determinante in der
Form

(5) • i^v-' -y

schreiben.

Anmerkung. Die Verwandhing des Ausdrucks (1) in eine Zahlen -
gleichung wird in derselben Weise ausgeführt, wie es in der Anmerkung
zu Nr. 74 gezeigt ist. "Wie der Ausdruck (5) zu behandeln ist, lässt
sich aus dem folgenden Beispiel, worin p = 2 ist, ersehen.

Aus (1) und (2) in Nr. 68 folgt zunächst:

AL — /•(!) . ^^ _ f .

dx ~~ ' ' dxs '*'

— 155 -

da nun

df

df dx ^ -dx

dxs

dx dxs ' dxs

ist, so folgt:

(6)

fs = e.,. p^

und ebenso:

(7)

fs, = e,.e,.r'^

Mithin ist im Allgemeinen

(8) § = /-"^ = /-,l«, +/2k', + ---+/,|e^.

l\\ dem besonderen Falle ^ = 2 ist also

(| rj) = (f] I e, + /j 1 62) (qpj kl + <3P2 i e.)

= /'i • <P2 — A • 9^1 ;

Nun folgt aus (6) allgemein:

/;./, = e. . e, . (/•(!))%
oder nach (3):

oder nach (7) :

(9) rs-n = fs,-

Durch Anwendung dieser Formel erhält, man :

(10) {ln? = fn<Pn-\-t\2^n — 2/',2qPi2.

Hier braucht man nur noch die aus den Gleichuugen f=0
und g) = 0 genommenen Zahlenwerthe der Ableitungen ein-
zusetzen, um den verlangten Ausdruck zu erhalten.

Um die Aequivalenz der Ausdrücke (1) und (5) noch
klarer darzulegen, bilden wir für das eben gegebene Beispiel
aus (8):

d^ /• I I /. I dri , , I

. :ä-^ = /iil^'i +/2ik2; ^ = 9'ii!ei + 9^21 1^2;

^ d^ / 1 _L /■ ^^ I _L I

~^ inl^i ~r /22i^'2 5 ^^ — 9^12 1^1 "r 9^22 1^2 •
Hiernach ist

(12) (W^{i^,^) + {^§;)

— 156 —
Da null nach (4)

SO sieht man, dass (|^)'* die Summe der beiden Ausdrücke
darstellt, die man erhält, wenn man die Einheiten e^, Cj an
die beiden Factoren von [n{n — 1)]- («„rü""^) {ßnX'^~^) auf alle
möglichen Weisen vertheilt. Dies war aber gerade die Defi-
nition des Ausdrucks (1); mithin ist die Aequivalenz beider
Ausdrücke nachgewiesen.

üeber das Verhältniss des Ausdrucks (5) zu der üblichen
symbolischen Bezeichnung der Hesse'sclien Determinante durch
(123..)* gilt das in der Anmerkung zu Nr. 10 Gesagte.

III. Die räumliclien Functionen.

1. Allgemeine Eigenschaften und Beziehungen.

77. Wir waren durch die Betrachtungen des vorigen xlb-

schnittes dazu gelangt, die Functionaldeterminante eines Sy-
stems von Gleichungen als abhängig von einer einzigen
Gleichung anzusehen j indem wir die Functionen des gegebe-
nen Systems als Diöerentialquotienten einer einzigen Function
f auffassten.

Wenn nun durch die Gleichung /" = 0 irgend ein geo-
metrisches Gebilde ausgedrückt wird, so Avird auch die gleich
Null gesetzte Hesse'sche Determinante der Function /" ein
solches vorstellen, da diese Determinante (vgl. den Ausdruck (4)
Nr. 74) ebenso wie /" eine Function des beweglichen Punktes x
ist. Und die Abhängigkeit der zweiten Gleichung von der
ersten wird auch einen Zusammenhang zwischen den ent-
sprechenden Gebilden zur Folge haben.

Wir erkennen aber auch leicht, dass die Hesse'sche Deter-
minante nicht die einzige aus einer Function ableitbare Bil-
dung ist. Denn welchen der beiden Ausdrücke (Nr. 76 (1)
und (5))

a,ß, . . . xp^—^\ {u . . .y

wir auch betrachten, jeder erscheint nur als specieller Fall

- 157 —

einer allgemeineren Bildung. Im ersten Ausdruck lässt sieb
der Exponent von x verallgemeinern, und der zweite Aus-
druck könnte statt aus zwei, aus einer grösseren Anzahl
algebraischer Factoren bestehen, die wieder nicht alle gleich
zu sein brauchten.

Wir sind hiermit zu der Aufgabe gelangt, nach der all-
gemeinsten Form zu forschen, in welcher die eben betrach-
teten Ausdrücke als sj)ecielle Fälle enthalten sind, und auch
die übrigen dieser allgemeinen Form untergeordneten Bildungen
aufzusuchen.

Jeder solchen gesetzmässigen Bildung wird ein geometri-
sches Gebilde entsprechen, welches mit dem durch die Function
f dargestellten in solchem Zusammenhange steht, dass mit
diesem auch jenes bestimmt ist. Da es sich aber zunächst
um ganz allgemeine Functionen handelt, so wird von geo-
metrischen Deutungen der Resultate (ebenso wie bei der
Hesse'schen Determinante) vorläufig ganz abgesehen werden.
Dieselben werden erst dann am Platze sein, wenn die im
gegenwärtigen Abschnitt behandelten Methoden auf specielle
Functionen angewendet werden.

Wenn wir zuerst den Ausdruck (^i? . . .)^ ^^ ^^i' oben
angedeuteten Weise verallgemeinern, so erhalten wir:

(1) {u..:f.{rii..:f...

Wenn r die Anzahl der gegebenen Functionen ist, und n den
Grad und p die Stufenzahl jeder einzelnen bezeichnet, so ist
dem Ausdruck (l) nur noch die Bemerkung hinzuzufügen,
dass jede Klammer ^7 unter sich verschiedene Factoren ent-
halten muss.

Aus der Form (1) lässt sich nun die allgemeinste Form
herstellen, die der Ausdruck tCn^n- •. .•r^^'*""-' annehmen kann.
Man erhält durch Anwendung der früheren Bezeichnungen
der Reihe nach die Ausdrücke:

Wenn wir hier die Werthe der verschiedenen Differential-
quotienten aus den Gleichungen /'== k«:?^" = 0, qp = /3„r" = 0,
ip = fnä'" = 0, . . . einsetzen, und die in Nr. 74 (4) einge-
führte abgekürzte Schreibweise anwenden, so ist zu beachten.

— 158 —

dass Dach Nr. 76 (3) jede Function so viele DiflFerentiationen
erleidet, als die Summe ihrer Exponenten augiebt. Wenn
diese Exponentensummen für f, cp, ijj resp. A, fi., v sind, so wird
der Factor x^ in den einzelnen Functionen resp. auf af"~^,
x^~^, x'^~'*' reducirt. Wenn also der Grad des ganzen Aus-
drucks mit n bezeichnet wird, so ist

n == {n — A) -|- (^^ — f*) + 0^ — v) -\- • • '
oder, da die Anzahl dieser Summanden gleich r ist:
n = nr — {l -\- ^ -\- V -{- ' ' ') .
Nun ist {X -\- ^ -\- V -{- ' ■ ■) gleich der Anzahl sämmt-
licher einzelnen Factoren des Ausdrucks (1), also, wenn die
Zahl der algebraischen Factoren (Klammern) dieses Ausdrucks
mit c bezeichnet wird :

^ -\- ^ -{- v -\- ' • • = cp-^
folglich

n = nr — cp,

und die allgemeine Form unseres Ausdrucks mit Weglassung
der durch die Differentiation erzeugten numerischen Factoren:

(2) «„/3„y„. . ..^'"-5^.

Ist insbesondere

A = /i = 7^ • • • = Jt ,

so heisst der Ausdruck

(3) dnßnYn^ . .a;'-(«-'').

Derselbe geht, wenn alle Functionen gleich sind, über in:

(4) «/•a:''^»-'".

Für r = p und x == 2 endlich gehen die beiden letzten
Ausdrücke in die Hesse'schen Determinanten von p, resp. von
einer Function über.
78. üebersicld der in den allgemeinen Formen (1) und (2) ent-

haltenmi speciellen Bildungen.

1) Covarianten. — Mit diesem Namen bezeichnen wir
jeden in der Form (1) oder (2) enthaltenen Ausdruck, sobald
er als Function von der einen Variablen x oder von deren
Coordinaten x^, x^, . . - betrachtet wird. Er stellt dar eine
Covariante einer oder mehrerer Functionen, jenachdem man
(entweder in (2) oder in der entwickelten Form von (1)) die
Functionen f, cp, tj; . . . einander gleichsetzt oder nicht. — In

- 159 —

der Form (1) werden künftig die den gleichzusetzenden Functio-
nen angehörigen Buchstaben durch einen darüber gesetzten
horizontalen Strich hervorgehoben werden.

Die Anzahl r der verwendeten Functionen (resp. der
Exponent von a„, wenn es sich um eine Function handelt)
heisst die Ordnung der Covariante; die Stufenzahl p der ge-
gebenen Functionen ist gleichzeitig die Stufenzald der Cova-
riante. Der Grad der Covariante ist nach (2) gleich r n — cp^
und, wenn in (1) jeder Buchstabe gleich oft als Factor vor-
kommt, nach (3) gleich r{n — /i).

Endlich soll c, die Anzahl der numerischen Factoren in
(1) der Charakter der Covariante genannt werden.*) In dem
Ausdruck (1) giebt also die Anzahl r der verschiedenen Buch-
staben die Ordnung, die Anzahl c der Klammern den Cha-
rahter, die Anzahl^) der Factoren in jeder Klammer die Stufen-
saJd, und (rn — c^j) den Grad der Covariante an. Aus diesen
Elementen aber kann der Ausdruck (2) ohne weitere Rechnung
zusammengesetzt werden, während die umgekehrte Operation
im Allgemeinen nicht ausführbar ist. Der letztere Ausdruck
giebt seinerseits den Grad und die Ordnung der Covariante
an, während die Stufenzahl ebensowenig wie in a^x'" erkenn-
bar ist.

Noch ist zu beachten, dass — ^ , resp. — ^ als

Anzahl der algebraischen Factoren stets eine ganze Zahl
sein muss.

Mit Rücksicht auf die geometrische Bedeutung der Cova-
rianten soll nun zunächst das Verhalten einer Function von x
gegenüber einer Transformation der Coordinaten untersucht
werden. Sei wieder

\^ ) J CCjiX I [X = X^ Gy — |— X2 Co ~]~ ■ ' ' ~\~ "^p ^p'i ßj . . . Cp iy

eine Function n. Grades, p. Stufe. Setzt man nun

«1 = ^w Vi + ^21 ?/•> H h ^PiVj^

X., = A,., ?/, -f A.,2 ?/o + • • • + ^p2 V,,

(2)

Xp = i^jjji -j- i2py> + • • • + KpVp

*) Diese Benennung ist nur die Erweiterung einer bereits bestehen-
den, indem man Formen von geradem oder ungeradem Chai'akter
unterscheidet, jenachdem c gerade oder ungerade ist.

— 160 —
so ist, wenn

(3)

^plßl -\- ^p2ß-2 -\- • • • 4" ^PP ^P = ^P

gesetzt wird:

(4) x = y, £, + 2/2£2 H h ?/;^f;^-

Setzt mau diesen Werth in der gegebenen Gleichung ein,
so haben die Coefficienten der einzelnen Glieder die Form
UnE^'' s^'->^ . . . s/p . Diesen Ausdruck kann mau gleich einer
Grösse ß setzen, welcher ^j mal den Index 1, ^2 mal den
Index 2, etc. enthält. Ersetzt man darin die e durch ihre
obigen Werthe, so erhält man die betreffende Grösse ß durch
die Grössen a ausgedrückt. Endlich ist noch zu bemerken,
dass (f , E^ . . . Ep) = /li (Cj ^2 • • . 6/*) = ^i ist.

Es ist nunmehr x durch die Coordinaten «/, . . . y^ be-
stimmt, wie früher durch x^ . . . Xp. Da man aber in dem
entwickelten Ausdruck von «„ic" überall nur y,. statt Xr und
gleichzeitig Sr statt Cr zu setzen hat, um die transformirte
Gleichung zu erhalten, so sieht mau, dass die Form der
Gleichung durch diese Transformation sich nicht geändert
hat. Der geometrische Inhalt dieses Resultates ist die von
selbst einleuchtende Wahrheit, dass ein geometrisches Gehilde
durch eine Coordinaten- Transformation Iceine Aenderung er-
leidet.

Wenn z. B. p = 3 ist, so stellt anX^'^O eine Curve
vor, welche von dem variablen Punkte x beschrieben wird.
Für diesen Punkt, wie für die Curve ist es nun ganz gleich-
giltig, ob er vermittelst der variablen Zahlen rCja^j^^g aus den
drei festen Punkten e^e.^eo, oder mittelst 2/12/22/3 a-us drei ande-
ren Punkten e^e^e^ abgeleitet wird; denn die einen haben
ebensowenig wie die anderen eine Beziehung zu der Curve.
Mithin bleibt auch die Gleichung «„ic" = 0 von jener Trans-
formation unberührt.

Ganz dasselbe gilt nun aber auch von jeder Covariante
von KnX'^, die ja ebenfalls nur eine Function von x ist. Unter-
wirft man also eine Covariante einer Function und die Function
selbst derselben Transformation, so bleibt die gegenseitige

I

— IGl —

Beziehung beider Functionen uugeändert. (Daher der Name
„Covariante".) Daraus folgt, dass die Covariante der trans-
formirten Function (auch in ihrem Ausdruck durch die Coor-
dinaten) gleich ist mit der ebenso tronsformirten Covariante
der Originalfunction.

Der geometrische Inhalt dieser Betrachtung lässt sich
wieder in den selbstverständlichen Satz zusammenfassen, dass
die Begehungen ztveier geometrischer Gebilde zu einander von
dem Coordinatensystem , auf welches die Gebilde bezogen sind,
unabhängig sind.

2) Invarianten. — Eine Covariante 0. Grades heisst In- 79.
Variante. Dieselbe ist also ein Ausdruck, welcher die Variable
X gar nicht enthält, sondern nur die Coefficienten der ge-
gebenen Function. Sie stellt daher auch kein neues geome-
trisches Gebilde vor, sondern nur eine Eigenschaft des durch
die gegebene Function ausgedrückten Gebildes. Sie ist selbst
ebensowenig, wie die durch sie dargestellte Eigenschaft, von
den Coordinaten abhängig. (Daher ihr Name.)*)

Es sind nun die Bedingungen anzugeben, unter welcheji
der allgemeine Ausdruck der Covariante eine Invariante dar-
stellt. Zunächst ist klar, dass jede in diesem Ausdruck vor-
kommende Function sich auf eine Constante reduciren muss.
Da nun alle Functionen von gleichem Grade (w) sind, so
müssen sie alle einer gleichen" Anzahl von Differentiationen
(nämlich n) unterworfen werden; folglich muss jeder Buch-
stabe «mal vorkommen. Man hat also in der Formel (2)
Nr. 77 zu setzen

l = ^ = V • • • = n,

und erhält als Ausdruck der Invariante von r Functionen das
aus r Factoren bestehende Product:

*) Der stete Gebrauch der Coordinaten bei der Betrachtung geo-
metrischer Gebilde hat zu der Unterscheidung geführt zwischen solchen
Eigenschaften eines Gebildes, welche bei einer Coordinaten -Transfor-
mation erhalten bleiben, und solchen, bei denen dies nicht stattfindet.
Im letzteren Fall handelt es sich also um Beziehungen zwischen dem
Gebilde einerseits und dem willkürlich gewählten Coordinatensystem
andrerseits, mithin keineswegs um Eigenschaften des Gebildes an sich.
Aus diesem Grunde gebrauche ich das Wort ,, Eigenschaft" in dem
obigen engeren Sinne.

Sclilesel, Elemente. 11

— 162 —

Dem Ausdruck (1) Nr. 77 zufolge lässt sich die Invariante
r. Ordnung von einer Function 'p. Stufe und n. Grades dar-
stellen als ein algebraisches Product von — Klammern , deren

jede p unter sich verschiedene Buchstaben enthält. Sie ent-
hält überhaupt r verschiedene Buchstaben, deren jeder nmal
vorkommt.

Man sieht, dass die Invariante nur dann existirt, wenn
rn durch p theilbar ist.
80. 3) Concomitanten. (Sonst „gemischte Concomitanten" oder

„Zwischenformen'' genannt.) In dem allgemeinen Ausdruck
der Covariante (1) Nr. 77 waren die Grössen |, »^, ^ • • •
Functionen vona;, und man konnte durch Entwickelung die-
ses Ausdrucks die Covariante auch direct als Function von x
darstellen. Man kann aber auch eine jener Grössen, z. B. |
als neue Variable betrachten, und den Ausdruck als Function
von X und |, oder, wenn man will, von ;r, , x,, . . . und f^,
f^... (nach (8) Nr. 76) darstellen. Dabei macht man natür-
lich für die Function /^ von dem Gesetze f^ .fc^=^fp^ ((9) Nr. 76)
keinen Gebrauch. Eine solche, als Function von x und % auf-
zufassende Covariante heisst Concomifanfe (weil darin die Va-
riable X von I so zu sagen begleitet wird). Zur Unterscheidung
von der Covariante kann die Concomitante äusserlich dadurch
ausgezeichnet werden, dass die als neue Variable zu betrach-
tende Grösse durch \y bezeichnet wird. Es ist dann nach (8)
Nr. 76:

also

y = f\(u +/2^j + • • •

Was die Form (2) der Covariante (in Nr. 77) anlangt,
so überzeugt man sich leicht, dass sie als Contravariante
lauten wird:

ßnyn • . . a;(«-^0 + («-i1 ... 1^.

Es wurde oben gezeigt, dass eine Function von x durch
lineare Transformationen ungeändert bleibt. Weil nun | selbst
eine Function von x ist, so bleibt auch die Concomitante bei
solcher Transformation ungeändert. Es soll aber noch ge-
zeigt werden, welche besondere Gestalt jene Transformation
annimmt, wenn man sie auf | anwendet.

— 163 —

Drückt man in den Formeln (3) die Grössen e durch die
Grössen b aus (was durch Benutzung der Formebi (1) und (42)
in Nr. 66 ausgeführt wird), und setzt

SO folgt:

'J)

^l ■ fp= llp^i + l2p£2 + • • • 4- h^P^p-

Multiplicirt man nun

X = a;, fj -f" ^v^'2 + • • • + ^i'^j>
mit z/;. und wendet die Substitutionen (6) an, so folgt:

J, .x = x^ (/, , f , + ?.„ £, -] p Ip 1 f^,) I 1 (/, , a;, + /,., .r,-| h ^ v^i^^ «1

Durch Vergleichung dieser Formel mit (4) findet sich:

(8) Z/;. . y,- = IriXi -\- lr2X2 + ' • • + IpCCp-

Multiplicirt man andrerseits

^ = /"i|e, +/v:^-' H \-fp\cp

mit z/;i und wendet die Substitutionen (6) au, so folgt:

/9) + (^21 /i + ^22/2 H h hpfp) £■>

-\- ih'\U 4- ?/'2/? -h • • • + Ippfp) £p'
Endlich ist

/• = ^U ^ JLL . ^'^L I AL . 1^2/2 I ... I AL . ^lyjL .
' '' ilxr dyx dxr '^ dy^ ' dsr.r * ' dyp äx,- '

mithin, wenn man

d y,-

('«) vfl = V.

setzt, und (8) benutzt:

(11) zix . /',• ==li, ■ (pi -{- 1-2, qj> -\- ■ • • Ip,(pp-

Vergleichen wir diese Formel mit (2), so zeigt sich der

11"

— 164 —

Zusammenhang zwischen der Transformation der Grössen .r,,
X.,, ... in ?/|, ?/2> • • • und derjenigen der Grössen /", , /!>,...
in 9?!, 9)5, . . . Bildet man nämlich aus den Coefficienten der
beiden Transformationen die Determinanten, so ist die zweite
Determinante die Reciprokal- Determinante der ersten (nach
Nr. 65). Man sagt daher, dass die Grössen a?,, a:.„ . . . und
/",, f\, . . . durch reciprohe Stihstifutioncn transformirt werden.

81. Die Variable x wurde als ein Punkt aufgefasst, welcher
durch seine Bewegung ein geometrisches Gebilde beschreibt.
Es ist nun noch die geometrische Bedeutung der Variablen ^
darzulegen. Wenn

/■= a^x" = 0,
so war

I =/■(» = ?2 . «„if"-i;
mithin ist

xi, = n . f(„x" = nf = 0.

Während nun die Gleichung «„ rr" =0 aussagte, dass der
Punkt X das Gebilde «„ beschreibe, sagt x^ = 0 aus, dass
der Punkt x stets auf dem Gebilde | liege. Der Werth von |,
nämlich nanX"~'^ muss, um ein Zahlenwerth zu werden, noch
mit irgend einer der zu Grunde gelegten Einheiten, d.h. mit
einem Punkte multiplicirt werden; denn x"~'^ enthält nur ein
Product von n— 1 Einheiten, während a« erst durch Multipli-
cation mit einem Product von n Einheiten in einen Zahlen-
factor übergeht. Demnach ist | ein Gebilde, welches, mit
einer Einheit multiplicirt, eine Grösse von der Stufe des
Hauptgebietes liefert, d.h. | ist dieErgünmng eines Pimlies
im Hauptgehict. (Vgl. ,, Raumlehre" Nr. 143.) Z.B. fürp = 3
ist /' eine Curve und | eine Gerade, für j9 = 4 ist /" eine
Fläche und ^ eine Ebene. Da nun x gleichzeitig auf f und
auf I liegt, so haben beide Gebilde diesen Punkt gemeinsam,
und da mit x auch ^ sich bewegt, so dass jedem Punkt x ein
besonderes Gebilde | entspricht, so haben beide Gebilde ntir
diesen Punkt gemeinsam, und | kann im Allgemeinen das
Tangentialgehilile von f genannt werden (Tangente für2>== 3,
Tangentialebene für p = 4).

82. 4) Contravarianten. Eine Coneomitante, welche in Be-
zug auf die Variable x vom 0. Grade ist, also nur noch ^
enthält, heisst Contravariante. Ihre Beziehung zur Original-

- 165 -

function bleibt ungeäiulert, wenn man die Coordinaten der
Variablen x und § reciproken Transfurmationen unterwirft.
(Daher der Name Coutravariante.) Aus der oben gegebenen
Form der Concomitante geht hervor, dass die Contravariante
jeden Buchstaben, ^ ausgenommen, niaal enthalten muss.
Denn nur unter dieser Bedingung wird der Exponent von x
gleich NulL Zu beachten ist, dass die allgemeine (in It;^ . .
ausgedrückte) Invariantenform stets eine Contravariante liefert,
sobald man einen ihrer Buchstaben als neue Variable be-
trachtet.

Man kann hiernach sowohl von einer Reihe gegebener
Functionen gleicher Stufe und gleichen Grades, als auch von
einer einzigen Function vier verschiedene Arten abgeleiteter
Functionen bilden , nämlich :

Functiouen von

X

Constanten

i

Concomitanten

Contravarianten

Constanteu

Covarianten

Invarianten.

Bildung der abgeleiteten Fcn-men. Erste Methode. Da die 83.
i Concomitanten und Coutravarianten aus den Covarianten resp.
Invarianten nur durch eine specielle Aunahme hervorgehen,
und da die Invarianten nur einen besonderen Fall der Co-
varianten darstellen, so wird die Aufsuchung der letzteren
als die Aufgabe übrig bleiben, welche an einer gegebenen
Function zu lösen ist. Wir lernten zwei Formen der Co-
variante kennen, nämlich die Ausdrücke (1) und (2) in Nr. 77.
Da der erstere sich in den letzteren verwandeln lässt, aber
nicht umgekehrt, und da auch nur der erstere zur Verwand-
lung in einen Coordinatenausdruck sich eignet, so werden
wir die Covarianten zunächst in dieser ersteren Form dar-
zustellen haben. Für die dabei zu beachtende Reihenfolge
ist die Gleichung (in Nr. 77) massgebend:

n = nr — cp.
Da n der Grad und p die Stufenzahl der gegebenen Function
ist, so haben wir noch über r und c zu verfügen. Man
wird, um alle möglichen Covarianten zu finden, in dieser
Gleichung r = 2, 8, . . . und in jedem einzelnen Falle wieder

— 166 —

c = (1), 2,r,,... ZU setzen haben, wobei c nur so lange
wachsen kann, als n positiv bleibt. Man hat dann jedesmal
die /• Buchstaben | »j . . . in die c Klammern so zu vertheilen,
dass jede Klammer i^ unter sich verschiedene Factoren ent-
hält. Die Anzahl der auf diese Weise möglichen Bildungen
lässt sich aber durch folgende Bemerkungen beschränken:

1 . Zivei Ausdrücke , ivelche durch irgend eine zwischen den
Buchstaben vorgenommene Vertauschung in einander übergehen,
liefern identische Restdtate, wenn die su den Buchstaben ge-
hörigen Functionen einander gleich gesetzt werden, weil es
gleicbgiltig ist, welchen von den vorkommenden Differential-
quotienten man ^, und welchen man rj nennt, u. s. w.

2. Ein AusdrucT:, welcher durch Vertauschung zweier gleich-
zusetzender Buchstaben sein Vorzeichen ändert, hat den Werth
Nidl, weil eben nach 1. diese Vertauschung seinen Werth
nicht ändern soll, während er doch das Zeichen wechselt.
(Demnach ist der Ausdruck (|f/^...)2«+' stets gleich Null,
und der Fall c = 1 überhaupt zu übergehen, sobald es sich
um die Formen einer einzigen Function handelt.)

3. Ein ÄusdrucJc, dessen algebraische Factoren {Klainmeni)
so in zivci Gruppen vertheilt werden Jcönncn, dass Jcein Buch-
stabe'der einen Gruppe in der anderen enthalten ist, ist dem
algebraischen Producte dieser Gruppen gleich, also direet als
Product zweier Ausdrücke von niederer Ordnung darstellbar,
weil kein Factor der einen Gruppe durch die Beziehung /^ . fg
= fs,j mit einem Factor der anderen Gruppe verbunden ist.

84. Ziveite Methode. Die so eben behandelte Methode giebt

zwar die Formen in einer bestimmten Reihenfolge , lehrt aber
nicht, aus gegebenen Formen neue nach einem bestimmten
Gesetze zu bilden. Um ein solches herzustellen, denken wir
uns (zunächst für binäre Formen) die complicirteren Formen
aus einfacheren zusammengesetzt, wie folgt:

1. Wir nennen (i,riY die x. TJebersehiebuny der Function^

über die Function f (wobei % = -~~ , ri = -~ ist) : mithin

(^i^y die K. Uebersehiebung der Function f über sich selbst.

2. Wird einer bereits vorhandenen Form ein Factor (rj^)
hinzugefügt, dessen einer Buchstabe (rj) in der Form bereits
vorhanden, dessen anderer {t) neu ist, so heisst die neue

— 167 —

Form die erste Ueherschiebung der Function % (zu t, gehörig)
über die gegebene Form. Durch Hiiizufüguiig eines ziveiten
Factors, welcher keinen neuen Buchstaben mehr enthält/ ent-
steht die sivcite Ucherscliiebimg , u. s. f.

3. Mau bildet endlich die erste Ueherschiebung einer Form
über die andere, indem mau die beiden Formen (die jedoch
keinen gemeinsamen Buchstaben enthalten dürfen) multi2)licirt
und einen Factor (rj^) hinzufügt, dessen Buchstaben aus bei-
den Formen genommen sind. Durch Hinzufügung von x sol-
chen Factoreu entsteht die x. Uebcrschiebung der einen Form
über die andere.

Sind die, beiden Formen in der Bezeichnung a^x" und af^x"
gegeben, so ist die erste Ueberschiebung der einen über die
andere :

a^ + '" . x''+'--,

und die x. Ueberschiebung:

a"x' == «''+'' j^'+*-^'«.

Man überzeugt sich leicht, dass dieser Ausdruck alle drei,
oben einzeln behandelten, Fälle umfasst, und es kann hier
genügen , die Erläuterung für den dritten (allgemeinsten) Fall
zu geben.

Da die Ordnungszahl einer Form a^'x' einerseits gleich v,
andrerseits gleich der Zahl der in ihrem Productausdruck ent-
haltenen Buchstaben ist, so muss die Ordnungszahl einer
Form , welche die Buchstaben zweier anderen enthält (keinen
mehr und keinen weniger), gleich der Summe der Ordnungs-
zahlen der beiden anderen sein, d. h. in unserem Falle:

v = A -f- jtt.

Da ferner das Product zweier Formen, die keinen Buch-
staben gemeinsam haben, ihr algebraisches Product ist, so
ist zunächst t = r -{- s. Durch Hinzufügung des Factors {r}^),
in welchem jeder Buchstabe eine Differentiation bedeutet, er-
niedrigt sich nun der Grad des ganzen Ausdrucks um 2, und
durch X solcher Factoren um 2x] mithin ist
t = r-{-s — 2x.

Dritte Methode. Bei der soeben behandelten Methode 85.
wird die Hinzufügung des Factors, welcher zu dem Producte
der beiden Formen treten soll, oft nur auf eine einzige Weise

- 168 -

ausführbar sein, nämlich dann, wenn es nur noch zwei Buch-
staben giebt, welche nicht schon so oft als möglich in den
beiden Formen vorkommen, — Es können ferner, wenn man
zwischen mehreren Buchstaben die Wahl hat, durch ver-
schiedene Wahl Ausdrücke entstehen, welche nach Regel 1.
der ersten Methode dieselbe Form darstellen. Es kann -aber
endlich diese verschiedene Wahl auch auf Ausdrücke führen,
welche zwar gleichen Grad und gleiche Ordnung haben, aber
nichtsdestoweniger von einander verschieden sind. In diesem
Falle wird die Bezeichnung a^x'- vieldeutig, indem sie nicht
nur jede dieser verschiedenen Formen, sondern auch jede
linear aus ihnen zusammengesetzte Function ausdrückt. Es
fragt sich dann, welche dieser Formen, oder Avelche der aus
ihnen zusammengesetzten Functionen man als Ueberschiebung
definiren soll, und es wird eine weitere Methode uöthig, um
diese Ueberschiebung auf eindeutige Weise zu erhalten. Wir
haben zu diesem Zweck nur diejenige Methode zu erweitern,
welche uns die ?c. Ueberschiebung von /' über ^ gab.

Wenn /■=o;^"-, t(j= ßx" war, so bildeten wir /" = |= -^5

tl^' = r^ = — ^ j stellten das Product (| rj) auf, und bildeten

für die a, Ueberschiebung (Itj)".

W^eun nun 31 und N zwei Formen sind, von denen die
erste einer Function sreilie f, 4', X • ■ ■ f ^^^ andere einer Reihe

F, 'f, X angehört, so bilden wir 31' = -^ : N' = -^ — : dann
' ' ° ' dx ' dx '

ist (M' N') die erste Ueberschiebung von 31 und N, und

{31' Ny die X.

Um diese Rechnung im Einzelnen auszuführen, müssen
wir den Formen Jf und N, welche in der Gestalt {^r])"(r]t,y' ...
gegeben sind, die Gestalt (ax^ . ßxf . . .) geben. Es sei also

a) 31 = (I rjY Crj ^f...', N^ (aH)"' {^HZf^ . . .

Wenn dann in 31 die Functionen /== aa;"; if) = ßx'^'., % = yx"
durch die Differentiationen ^, >;, ^ . . . resp. auf den Grad
A, ^, y . . . erniedrigt werden, und Analoges für iV stattfindet,
so ist

b) 31 = {ax^- . ßxf'.yx'.. .)•, iV= {Jx^' . Bxt'' . Fx"' . . .).

— 169 -
1 dM

X + ^-{-v + -

lax^-\ßxf' ■ ■ •)-\- ii ßxf" -^ {ax^- ■ • •)-\-

Das Product dieser beiden Ausdrücke, welches aus einer An-
zahl von Summanden besteht, ist nun die erste Ueberschie-
bung von 31 über N. Jeder Summand unterscheidet sich von
dem Product illfiV dadurch, dass in den Ausdrücken b) sowohl
bei 31 als bei N irgend einer der Factoren eine Differentiation
erlitten hat. Dasselbe würde aber in dem Producte der Aus-
drücke a) durch Hiuzufügung eines Factors erreicht werden,
welcher aus jeder der beiden zu 3£ und N gehörigen Buch-
stabenreihen irgend einen Buchstaben enthielte. Hieraus folgt,
dass jeder der Summanden eine Ueberschiebung im Sinne der
zweiten Methode ist, und dass alle Summanden gleichzeitig
die sämmtlichen überhaupt möglichen Ueberschiebungen jener
Art vorstellen. — Wir nennen den Ausdruck (31' N') die
Gesammt -Ueberschiebung , und die einzelnen Summanden des
Ausdi'ucks: die Theile der Ueberschiebung.

Ebenso, wie (|)^)- die zweite Ueberschiebung von i^ über /'
war, so ist (31 Ny, oder (iLfi-^iV'^^) die zweite Ueberschiebung
von N über 31, u. s. f.

Anmerkung. Wenn 31 und N sich nur auf eine einzige und

zwar auf dieselbe Function beziehen, so können sich -^ — und —5 —

' dx dx

auf je ein Glied reduciren, und es besteht dann auch {M' N') nur aus

einem Summanden. Es kann ferner vorkommen, dass alle Summanden

bis auf einen sich als algebraische Producte niederer Formen darstellen

lassen; in diesem Falle ist jener eine Summand als Repräsentant der

ganzen Ueberschiebung anzusehen. In beiden Fällen wird man zur

Herstellung der Ueberschiebung die ziceite Methode benutzen können,

deren Anwendbarkeit immer daran zu erkennen ist, dass die Hinzu-

fiigung des die beiden Formen verbindenden Factors nur auf eme Weise

möglich ist. — Die dritte Methode stimmt überein mit der von Clebsch

a. a. 0. S. 100—108 beschriebenen Polareubildung. Um den formalen

Unterschied beider Methoden hervortreten zu lassen, füge ich das bei

Clebsch S. 108 unten stehende Beispiel im Gewände obiger Methode

hinzu.

Es soll die zweite Ueberschiebung von f= yx" über (^ry)^ gebildet

werden.

M^i^riy^^ax"-^ .ßx"-'^; N=yx''.

— 170 —

l (131 «—2 , „_3 ^ „_.i , „_2 r, «-3 l dN „_i

{ax"- ■" . ßx"-' -\- ax"-' . ßx''-'') - • ^ = y.r''

•J71-4: dx •2n-4 H (ia;

■2n—b dx^ 2w— ö"-' ^ "^ I \ / f ji ,j(,i— 1) da;^ ^

Um schliesslich die in der Klammer enthaltenen Productc wieder durch
I, rj, J auszudrücken, vergleichen wir sie einzeln niitM. In dem ersten
Bind die Exponenten der beiden ersten Factoreu um je 1 erniedrigt;
dies bedeutet das Hinzutreten von | und rj. Ferner ist yx^ mit einem
um 2 verminderten Exponenten hinzugekommen; dies bedeutet ein
zweimaliges Hinzutreten von ^; man erhält also, wenn man eine ähn-
liche Betrachtung am zweiten Producte anstellt:

2 Ui — 21

(M'Ny= ^^^_^ [(n--J) . {^r]rHU){n'C) + («-3) . (^»2)-^(/?DM.

Zu beachten ist, dass der zweite Summand, welcher den Factor t] vier-
mal enthält, verschwindet, sobald n •< 4 ist. In diesem Falle wird also
die Ueberschiebuug einfach durch i^rj)^ i^t) i^lt) repräsentirt. — Die
weitere, bei Clebsch gegebene Umformung beruht auf einem ^ weiter
unten zu besjjrechenden Verfahren, welches mit der vorliegenden Me-
thode nichts zu thuu hat.

86. Vierte BIcfliode. Vermöge der dritten Methode köunen

wir jede üeberschiebung zweier Formen M und N durch Co-
varianten der gegebenen Formen (/*== ccx"- = 0; j/; = ßx"-= 0;
etc.) unmittelbar ausdrücken. Dieses Verfahren wird jedoch
oft umständlich, namentlich, wenn weder M noch N- eine
der gegebenen Functionen selbst ist. Wir werden aus diesem
Grunde Ueberschiebungen complicirter Formen durch solche
niederer Formen auszudrücken suchen, und auf diese Weise
oft einfachere Resultate erhalten.

Wir betrachten zunächst die x. Ueberschiebung von /"
und i/». Dieselbe wurde in der Gestalt (1^)'' geschrieben. Da
nun I = /'(^) und r] = ^^^^ ist, so kann man dafür auch
(/■(U )/;(i')'^ oder (J'ipY setzen. Für x = 1 erhält man dann
wieder (/'t/>)^ oder /'(i'^/;'^) = (Irj). Da sowohl f wie i/» eine
X malige Differentiation erleiden, also auf ax'^''^ resp. ßx'^~''
reducii-t werden , so mag nun dem Ausdrucke (fty noch der
Factor ccx'^~'' . ßx"'~^- hinzugefügt werden. Diese Hinzu-

— 171 —

fügung geschieht lediglich im Interesse der Bildung weiterer
Ueberschiebungen, und es ist besonders zu beachten, dass in
dem nunmehrigen Ausdrucke der x. Ueberschiebung von /'

und ip:

jeder der beiden Tlieile für sich allein die Ueberschiebung
vollständig und genau darstellt.

Wir bildeten oben die x. Ueberschiebung von 31 und N,
indem wir den Ausdruck {MN}" = M*^"-^ N^"-^ bildeten. Dem-
nach wird die 2(n — x). Ueberschiebung des oben gebildeten
Ausdrucks A mit j(^==yx"' entstehen, wenn wir (^^^y-^ ('»-")
bilden. Wenn wir nun festsetzen*), dass die Ausdrücke

Ä und Äx'^"-"^,
also auch

a und ax"' oder /

ß und ßx" oder t(j

gleichbedeutend sind, so geht der Ausdruck Ax^'-'^—"^ in seine
Ueberschiebung mit x über, wenn wir darin % statt x setzen
und X u^it dem vorangehenden Buchstaben in Klammer setzen.
Dasselbe Resultat muss sich nun auch ergeben, wenn wir
diese Substitution in dem mit Ax^^"'~''l gleichbedeutenden
Ausdrucke vornehmen. Wir erhalten also für die 2(n — x).
Ueberschiebung von A mit x den doppelten Ausdruck:

(AxY^"-'^ = {fi^Y . {fiY-"- . {i'xY-"-

Mittelst dieser Formel aber ist die Ueberschiebung von ^und x
durch die einfacheren zwischen f^x gebildeten Uebersehie-
bungen ausgedrückt.

Wenn ferner statt der ursprünglichen Functionen /und ^
zwei Formen M= MxP] N= Nx'' gegeben sind, so wird man
die X. Ueberschiebung von M und N in der Form schreiben :

S = SxJ^+'i-->'= (3JNf . Mxi'-" . Nx'i--"-.

Und die {p-\-C[ — 2x). Ueberschiebung von S mit einer neuen
Form P wird sein:

Anmerkung. Die bei dieser vierten Methode angewendete Schreib-

*) Siehe die Anmerkung in Nr. 8.

— 172 —

weise einer Ueberschiebung unterscheidet sich von derjenigen bei
Clebsch nur dadurch, dass x hier nicht als Index sondern als Factor
erecheint, und dass nicht die Coordinaten von x durch diejenigen von P
ersetzt werden , sondern x selbst direct durch P.

Beispiele: l)jp = 4, 2 = 4; v.= l. — / = kx'; i/) = ßa;'; H=^llx^
= [ftp;- . ax'- . ßx'-, {H'Iiy = ifip/' . {fll}^ . (rpllf. (Vgl. Clebsch a. a.
0. S. 138 oben )

2) 31= f= ff.r'; N= 11= Hx'; x = 1. — T = Tx'^ = ifH)
. cix-" . Hx^; {T'Tf = ifH) . {fTf . {HT)\ (Vgl. Clebsch a.a. 0. S. 148
in der Mitte.)

Für die vorliegende Darstellung, deren Zweck es nur ist, die Theorie
der binären Functionen soweit zu verfolgen, als dieselbe ein geome-
trisches Interesse bietet, wird fast durchgängig die zweite der vier
Methoden ausreichen, die dritte nur ausnahmsweise, die vierte gar
nicht anzuwenden sein. Im Interesse einer klareren Einsicht in das
Verhältniss der Ausdehnungslehre zur modernen Algebra schien es
jedoch nötliig, auch die letzte, für die Umformungen besonders wich-
tige Methode beizufügen. Dieses Vei'hältniss lässt sich nun so präci-
siren , dass die Methoden der modernen Algebra durch die Ausdehnungs-
lehre eine um so grössei'e Vereinfachung erfahren, je enger der Gegen-
stand, auf welchen diese Methoden angewendet werden, mit der
Geometrie zusammenhängt, dass dagegen Untersuchungen von rein
algebraischem Interesse nur nach Massgabe des Umstandea vereinfacht
werden, dass die Reihe der numerischen Variablen Xi, x^-, ■ . . durch die
eine extensive Variable x ersetzt wird.

'7. Redudion einer Form auf Stammformen. Jede ganze
algebraische Function der durch eine der obigen Methoden
gebildeten Formen wird wiederum (als ganze algebraische
Function von x) eine Covariante sein. Durch diese Bemerkung
wird man rückwärts zu den Fragen geleitet, durch ivieviele
und welche Covar lauten einer Function sich edle übrigen l) als
algebraische, 2) als ganze algebraische Functionen darstellen
lassen.

Um die erste dieser Fragen zu beantworten, nehmen wir
eine Function p. Stufe und n. Grades als gegeben an, sodass

(1) f==ax'' = Q.

(2) X ^ x^e^ -\- x^Cj -\- • • • -\- Xp ep 5 {e^e^. . . Cp) = 1 .

Es seien nun ausser x noch (j) — 1) andere extensive
Grössen y,z, . . .iv angenommen, welche ebenfalls aus den
Einheiten e, . . . f> durch reelle Zahlen abgeleitet sind, und
der Bedingung unterworfen

- 173 —

(3) n = [xyr. . . . «;) = 1.

Man kann nun aus (2) und den entsprechenden Glei-
chungen für y, z, . . . w auch die Grössen e^, c.,, . . . Cp als
lineare Functionen von x, y, z, . . . w darstellen, indem man
dieses Gleichungssystem nach c^ . . rj, auflöst, und es kann
daher jede aus den ^J Einheiten e^ . . . Cp abgeleitete Grösse h
auch aus den Grössen x,y,0,... ir abgeleitet werden. Sei also

(4) h = &,e, -f hoC, + • • • + hpCp,
so wird man haben:

(5) h = ß,x + ß,y-{- [-ßpw.

Nun bleibt nach Nr. 78 sowohl die Function f, wie jede
ihrer Covarianten durch eine lineare Transformation der Ein-
heiten ungeändert. Sei eine solche Covariaute in Function
der Coefficieuten und Coordinaten von f:

n{a^, a,,, . . . a^, />,, ]>.,, . . . ]»p) ,
worin

Setzen wir in diesen Formeln statt e, . . . Cp resp. x . . . tv,
so mögen die daraus hervorgehenden Grössen durch tp be-
zeichnet werden, sodass:

(7) 9^0 = «*"(=/'); fP\ = ax"-Uj] (p., = ax'^-^ii-^ . . .

(py.-x = a«f" .

Durch die Transformation gehen also in unserer Covariante
die Grössen h in ß (4 u. 5), und die Grössen a in (p (6. u. 7)
über, sodass

(8) /Z(a„ß,., ...u,,, hj),, . . . hp)=n[cp,,, (p^,...cp,, x,ß^,ß.,,... ßp).

Da wir über die Grössen ß beliebig verfügen können, so
setzen wir nun

(9) /i, = 1; ß, = ß.^ = ...ßp==i).
Daher wird nach (5) und (2)

(10) h = x =^ x^c^ -f .r., f., + • • • + XpCp,
und nach (4)

V fVj J j ^ O.^ == X.) ^ • . ■ Uj, JCp y

und, wenn wir die gegebene Covariante kurz mit 77 bezeichnen:

(11) 77 = 77(rro,qPi...(jP.-i, 1,0,0,...0).

- 174 —

Entwickelt mau n{ay,a.,, , . . Uy, x^, x.y, . . . Xp) nach Po-
tenzen der Grössen .r,, , . Xjj, so ist, wenn n der Grad der
Covariante ist:

(12) n = F{a^ ...«;,). x/ -\

Da durch die Transformation die Grössen « in 93, und die
Grössen x (oder h) in ß übergehen, so werden sämratliche
Glieder auf der rechten Seite von (11), mit Ausnahme des
ersten, verschwinden, w^eil sie alle mit den verschwindenden
Factoren ß.^ . . ßp behaftet sind, und da /3j = 1 ist, so bleibt:

(13) 77 = i^(g)„, (jD„ . . . g5^_i).

Hierdurch ist 77 als Function der durch die Gleichungen
(7) bestimmten x Formen qy« . . . tp^- 1 ausgedrückt. Die ganze
Untersuchung bleibt ungeändert, wenn 77 nicht Covariante
einer Form /) sondern Covariante mehrerer Formen ist. Nur
ist dann % die Anzahl sämmtlicher in diesen Formen auf-
tretenden Coefficienten.

Die Zahl der Functionen cp lässt sich noch verringern,
indem man die extensiven Grössen y,2,...iv passend be-
stimmt. Zu diesem Zwecke setzt man

(14) ax^-^y = az'^-'^y = . . . = aW - h/ = 0,
d. h. bis auf einen Zahlenfactor :

y = «ip«— 1 = «0'»— > =...== ««t;«-!.

Da die Anzahl der Gleichungen (14) gleich p — 1 ist,
und jede das Verschwinden einer Function (p ausdrückt, so
bleiben von diesen Functionen noch x — p -\- \ übrig, und
man hat den Satz:

Alle Covarianten einer gegebenen Function oder eines Ver-
eins von Functionen p. Stufe mit im Ganzen x Coefficienten
lassen sich aus {ü—2)-{- l) von einander unabhängigen Stamm-
formen cds rationale Functionen ahleiten. Man erhält diese
Stammformen, indem man in den gegebenen Functionen statt
der einen extensiven Variablen x p extensive Variablen x, y,
z, . . . w einführt, von denen eine (y) durch die übrigen und
durch eine der gegebenen Functionen nach Massgahe der Glei-
chungen (14) bestimmt ist, während ausserdem u = {xys..w)=--\
ist. Wenn dann eine beliebige Covariante Tl als rationale
Function der Stammformen dargestellt werden soll, so gelingt

— 175 —

dies nnmittelhar , indem man in TI statt der Einlinten e^,...Cp,
von denen die y. Coefjicienten abhängen, x,y, . . iv einführt,
eine der ve^'änderliehrn Zahlen (x^) von denen x ahhängt,
gleich 1 , iind die idjrigcn gJeieli NnJl setst.

Ist die erhaltene Gleichung nicht homogen, so hat man
jedem Gliede den Factor ii so oft hinzuzufügen, bis die Homo-
genität erreicht ist.

Diejenigen Covarianten 77, welche hei diesem Verfahren
selbst mit einem Factor behaftet werden, also, wenn dieser
Factor durch Division weggeschafft wird, nicht als ganze,
sondern als gebrochene Functionen der Stammformen er-
scheinen, heissen miahhängige Covarianten und bilden in ihrer
Gesammtheit das sogenannte Formensystem der gegebenen
Functionen.*)

Wenn, wie wir oben angenommen haben, die Covarianten
einer Function durch Ueberschiebuugeu hergestellt werden,
so kann man, wenn man nur unabhängige Formen erhalten
will, alle Ueberschiebungen über abhängige und vei'schwin-
dende Formen übergehen. Denn da die Ueberschiebung im
Wesentlichen eine Multiplication ist, so kann man die Ueber-
schiebung über eine abhängige Form durch Ueberschiebungen
über diejenigen Formen ersetzen, aus denen sie abgeleitet ist,
d. h. durch Ueberschiebungen, die schon früher betrachtet
wurden. Eine verschwindende Form aber lässt sich als Diffe-
renz von zwei einander gleichen niederen Formen betrachten,
die man wieder einzeln mit einer anderen Form überschieben
kann. Das Nähere hierüber wird bei Betrachtung der einzel-
nen Functionen festgestellt werden.

Es bleibt noch übrig, die in dem oben ausgesprochenen 88.
Satze enthaltene Regel zur Ableitung einer Covariante aus
den Stammformen auf den Fall auszudehnen, dass die Co-
variante in der Form {i, r] . .) (jit^ . .) . . . gegeben ist.

Wir betrachten zunächst eine Function von zwei Variablen
{Jtinäre Form) :

f = ax''\ X = x^ e, -\- x.^e., ; (r-, e.^ = 1 .

*) Es kann jedoch vorkommen, da&s ein sclieinbar unabhängiger
Ausdruck sich als abhängige Function von anderen, Ijereits gebildeten
Formen darstollen lässt. Vergl. Nr. 109.

— 176 —
Dann ist nach Nr. 76 (8. 6) :

oder in anderer Bezeichnung (/", = ^^ = ^f,; /o = i-, = ^f^-,)

Ebenso für eine zweite Function ß.r":
mithin

Da nun (^^;) als Covariante ungeändert bleibt, wenn man
X und ?/ statt e, resj). f.^ setzt, so ist

(!>;) = (ga;) (j^y) — {rix) {ly),

oder, da {i,x) = ?^/, und (t^.t) für den Fall gleicher Functio-
nen ebenfalls gleich nf ist, nach Weglassung dieses gemein-
samen Factors:

{In) = (>??/) — ih/)-

Wenn wir nun (^>j)™ bilden, für ij und | wieder /C> schrei-
ben, und die Formel (3) Nr. 76 beachten, so folgt:

(tyjY" = /■('"> y'" - -^ . /■('" - 1> ?/'" -'./*• ^ ?/' + "'^"'~^^ . /■'"' - ^> ?/'" ^ . /■(-' ?/- -

oder, da /'('' = ßic'"~'" ist:

(^')^)"' == «-?/'" _ ~ axy'" ' ^ . ax^"—^y-{- ^ - . ax^-y"'~^ .ax"^~'^y--

Setzen wir nun nach Formel (7) dieser Nr.:

(p^ = ax"' '''y ,
bestimmen y durch die Bedingung

y = ax'"^~^ oder « /'" ~ ^y = qoj = 0,

und fügen zur Herstellung der Homogenität im ersten Gliede
den Factor g)„ =f= «•'^*' hinzu, so folgt:

(15) (|?^)'" = (jP„y,,+ - \^^ ' .(p^(p,n-2 1.2.3 y3y»>-3 +

wodurch zunächst (| »;)"' als Function der Stammformen aus-
gedrückt ist.

Da nun aber jede Covariante einer binären Form als
Product von Ausdrücken in der Form (S?;)'" erscheint, so er-
giebt sich folgende Regel zur Darstellung dieser Covariauten
in Function der Stammformen :

— 177 —

Man ersetze in jeder Klammer das Product der heiden
Factor en durch ihre Differenz, führe an diesen Differenzen
die Potenzirung aus, setze ^^ = rj'' = • ■ = cp,., und g)^ = 0.

Anmerkung. Den oben gegebenen allgemeinen Satz nebst der
speciellen Regel für binäre Formen veröffentlichte H. Grassmann im
7. Bd. der „Mathematischen Annalen" S. 538 ff. Seine sonstigen in
diesem Aufsatz (welcher zufällig gerade erschien, als die gegenwärtige
Arbeit bis Nr. 80 vorgerückt war) niedergelegten Bemerkungeu über
den Zusammenhang der Ausdehnungslehre mit der modernen Algebra
bestätigen durchaus das, was ich über denselben Gegenstand in frühe-
ren Anmerkungen gesagt habe. — Jener wichtige Satz aber, den Grass-
mann mit Recht einen Fundamentdisatz nennt, zeigt selbst am
deutlichsten die ungemeinen Vortheile der für die Ausdehnungslehre
charakteristischen Behandlungsweise. Er zeigt uameutlich, dass auch
von dem gegenwärtigen Standpunkte der modernen Algebra aus diese
Behandlungsweise nicht nur zur Ableitung neuer Resultate brauchbar
ist, sondern dass sie wegen der grösseren Klarheit, welche sie über
bereits bekannte Resultate verbreitet, zur Ableitung auch dieser Re-
sultate vor anderen Methoden den Vorzug verdient.

Sei ferner eine Function von drei Variablen (ternäre Form) 89.
gegeben :

f = aoc"] X = x^e^-\- x, e.^ + ^3 ^3 ; {e^ e^ e.^ = \.

Dann ist

i=n'^=U\e,+f,\e,-^f,\e,,

oder in anderer Bezeichnung (/^i = li == le/; /a = I2 = ^^2?

/3 = 13 = ^^3)

l = ilk, + 12^2 + 13^3 •

Ebenso für zwei andre Functionen ilf = ßx^ und ;^ = y^c«:

'? = »?i kl + ^21^2 + ^3^3; ^=^iki +t.Ie2 + ^3i«35
mithin :

= {Ui)ine2){ted+ ae2){rie3){M + {le,)irie,)ae,)

-(^e,)(^ 63)^62)- {Udivei){te,) — {ie,){rie,)itei),

oder, wenn man statt e^ , e^, e.^ resp. x, y, z setzt, und die
Factoren {Ix) = {^x) = {t,x) = nf (für den Fall gleicher
Functionen) weglässt:

(170 = (w)a^) + a^)(^^) + {ly){n^) ^

Schlegel, Elemente. 12

— 178 —

Dieser seclisgliedrige Ausdruck ist nun mit m zu poten-
ziren, wodurch man schliesslich eine mit (15) analoge Formel
erhalten wird. Wir übergehen dieselbe ihrer Weitläufigkeit
wegen und begnügen uns damit, das weitere Verfahren an
dem Falle m = 2 zu zeigen. Demnach ist

(IY^)2 = {y^yy-it^y + . • • + (tyyin^y +

+ 2ir]y){t^).ity)(^z) + . • • -{-2{7}y){t^).ay)ir]z)-f---

-2{ny){^z).{ty){riz) 2{riy){t^),{ly){iz) — -

- 2{riy){lz) . {riy){U)

wobei aus jedem der ausgeschriebenen Glieder durch circuläre
Vertauschuug von ^^7i,t, zwei weitere, durch Punkte ange-
deutete Glieder hervorgehen. Da nun die drei Functionen
ax'\ ßx^', yx^ zuletzt einander gleich gesetzt werden, so wer-
den in der letzten Formel die 6 Quadrate untereinander gleich,
und ebenso jedesmal diejenigen drei doppelten Producte,
welche durch jene circuläre Vertauschung in einander über-
gehen. Wir können also schreiben:

^.(My==inyyit^y+{ny)(t^)mil^)+ivy)it^){^y)in^)
-{vy){i^)i^y)in^)—iny)(l^){^y)i^^)-{vy){^^)ivy){i^)-

Wenn wir nun für |, t], l, resp. f^\ ip^^\ %(^) setzen, und
Formel (3) in Nr. 76 beachten, so folgt:

i.(^ty==t''^y-'X^'^^'+^^'^y-x^'^y^'f^'^^+t^'^y^'X^'^^'^^^^^

— ^(2) y0 . 2^2) 2/0 _ ijjW y . f^) z- . f^hj — t^(2) y2 , j^w ^ ^ ^XD^
= ßx'^-^y'^ . yx^-^s"^ -f- ßx"-^y . yx"-~^y2 . ax'^—'^s
_|_ ßx^—'^ys . yx''~'^2 . ax''~^y
— ßx^'-'^yz. yx^-^y^ — ßx"-hj . yx'^^'^z^ , ax'^-^y

— ßx"-^hj' . yx''-^2. ax'^-^Z.

Wir setzen schliesslich a == /3 = y, und aic""'^ ~''«/^ 0^ = 9);.^,
oder speciell:

ax'^-^y- = (p2(i'i ax^-^yz = cp^i', ax^-^z"^ = g),^^'^

ax"" = 9)00 5
bestimmen dann z durch die Bedingung

Ccx"-'^0 __ ^^^ __ Q^

i

— 179 —
und erhalten so, indem drei Glieder verschwinden:

wodurch die Reductiou auf die Stammformen vollendet ist.

Aus diesem Beispiel ist nun leicht folgende allgemeine
Regel zur Reduction einer beliebigen Covariante irgend wel-
cher Formen auf die Stammformen zu entnehmen:

Man drücke die verschiedenen Buchstaben der Covariante
durch die Einheiten aus (z. B. | ^ IJci -{- l^k.» + • • •)? ^^'
rechne jede Klammer durch Ausführung der äusseren Mul-
tiplication, setze |e/. statt ^,., etc., darauf statt e,, e.^, . . . die
extensiven Variablen x, y, . . ., führe darauf an jeder Klammer
die angedeutete Poteuzirung aus und multiplicire die Resultate,
wobei die Factoren (|x) = (^rr) = • • • = nf weggelassen
werden. Endlich setzt man statt |, ?^, . . resp. /*'^\ t^(i>, . .,
führt die Multiplication der gleichnamigen Potenzen in jedem
Gliede des Polynoms aus, setzt die Werthe der Differentiale
ein, macht dann die Functionen gleich, und bestimmt eine
der extensiven Variablen durch die Bedingungen (14).

In welcher Weise diese Methode, zunächst für ternäre
Formen, vereinfacht werden kann, wird weiter unten gezeigt
werden (Nr. 122).

Anmerkung. Nachdem oben die Grundzüge der Determinanten-
Theorie für den allgemeinsten Fall (n Variablen) entwickelt waren
(vgl. Nr. 52), liess der enge Zusammenhang, in welchem diese Theorie
mit der Lehre von den räumlichen Functionen steht, es angemessen
erscheinen, auch den ersten Ueberblick über diese Lehre in derselben
Allgemeinheit zu geben. Es wird nunmehr im Folgenden durch die
specielle Betrachtung der räumlichen Functionen wieder in diejenige
Form der Darstellung eingelenkt, welche für das „System der Raum-
lehre" von vornherein massgebend war.

2. Betrachtung der einzelnen räumlichen
Functionen.

A. Gebiet der Geraden. Functionen 2. Stufe. (Binäre Formen.)

a) Die Function 2. Grades. (Quadratische Form.)

u) Eine Function.

Die allgemeine Form dieser Function ist 90.

(1) ax""- = 0,

12*

— 180 —
oder, wenn

gesetzt wird, unter Anwendung der in Nr. 10 festgesetzten
Bezeichnung

Da diese Gleichung für den Quotienten —^ zwei be-

stimmte Werthe liefert, so giebt es zwei bestimmte Punkte,
welche ihr genügen. Und da die Gleichung (1) aussagt, dass
ein variabler Punkt x auf dem Gebilde a liege, so ist dieses
Gebilde a. eben jenes Punktepaar.

Die binäre quadratische Form ist also der ÄusdrucJc für
zwei auf einer Geraden liegende feste Punkte.

Durch besondere Annahmen, die man hinsichtlich der
ursprünglichen Einheiten macht, kann die Form (2) verein-
facht werden. Eine solche, auf möglichst geringe Gliederzahl
reducirte Form heisst canonische Form.

Anmerkung. Da die canonische Form stets eine Beziehung
zwischen den Grössen e und dem durch die Function dargestellten
Gebilde voraussetzt, so ist ihre Verwendung ^lur dann vortheilhaft,
wenn man die Beziehungen dieses Gebildes zu solchen Grössen, welche
sich durch die Einheiten darstellen lassen, untersuchen will. Im All-
gemeinen aber ist die Form (1) sowohl der Form (2) wie jeder daraus
abgeleiteten canonischen Form vorzuziehen. Vgl. Nr. 8.

Canonische Formen. Wenn erstens e^ und e, so gewählt
werden, dass sie mit dem Punktepaare f zusammenfallen, so
müssen e^ und e.^, statt x gesetzt, der Gleichung (1) genügen;
d. h. man hat

«gj^ = 0; ae<{- = 0,
oder

*) Wir nehmen hierbei an, dass e, und gj Punkte sind. Die Grösse
X ist aber auch dann vollkommen bestimmt, wenn ej und e^ zwei
Strecken in einer Ebene bedeuten (vgl. ,, Raumlehre" Nr. 152). Dann,
ist X ebenfalls eine Strecke, oder, da es auf ihre Länge nicht ankommt,
eine Gerade; die binäre quadratische Form repräsentirt zwei sich
schneidende Geraden, und alle Resultate der Untersuchung lassen sich
sowohl auf Punkte einer Geraden, wie auf Geraden einer Ebene an-
wenden. Hiermit hängt der durch die zweite Abtheilung dieses Buches
sich hindurchziehende Dualismus im Ausdruck der Sätze eng zusammen.

— 181 —

mithin nimmt (2) die Form an:

(3) x^X2 = 0.

Da diese Gleichung durch die Werthe r»j = 0 und ^.j = 0
befriedigt wird, so ist in der That, wie aus (la) hervorgeht,
entweder x = x^ßi oder x = x.yC^-

Weun siveitens e^ und e.^ so gewählt werden, dass sie
mit dem Puuktepaare f harmonisch sind, so müssen die beiden
Punkte X (nach „Raumlehre" Nr. 169) einzeln den Bedingungen
genügen :

und jeder dieser beiden Werthe muss der Gleichung (1) ge-
nügen; man hat also:

• «(ic^ßj 4-^2^2)^ = 05 oder: ay^x{^-\-2a^2^^x.^-\-a^^x.^ = 0]
a{x^e^- — 0^262)^=0; oder: «^0;,- — '2a^^x^X2-\-ci.22X2=^-

Damit nun die Gleichung (2) beide Punkte x gleichzeitig aus-
drücke, muss, wie aus den beiden letzten Formen zu sehen
ist, aj2 = 0 sein; und die Gleichung (2) nimmt daher die
Form an:

(4) «ii^jj^ -|- «22^2^ = 0-

Anmerkung. Man kann auch umgekehrt von den algebraischen
Bedingungen «,, = «22 = 0, resp. «12 = 0 ausgeben, und ihre geome-
trische Bedeutung ableiten.

Statt der Gleichung «12^== 0 können wir auch schreiben:

«6,62 = ^>
welche Gleichung, ebenso wie die vorige, ausdrückt, dass
das Punktepaar e, , e., mit dem Punktepaare a harmonisch ist.
Ebenso wird, wenn x, y irgend ein variables Punktepaar
ist, die Gleichung

(5) axy = 0

ausdrücken, dass dieses Paar mit k harmonisch ist. Hieraus
können wir weiter auf die Bedeutung des Ausdrucks ax
schliessen. Da nämlich

2«^ = /'(0 = |,

und I (nach Nr. 81) die Ergänzung eines Punktes im Haupt-
gebiet ist, so ist I zunächst ein Punkt („Raumlehre" Nr. 32).
Wenn aber 2axy = ^ij=0 ist, so bedeutet dies nichts

— 182 -

anderes, als dass die Punkte | und ij zusammenfallen, mithin
ist bis auf einen Zahlfactor
(6) y = cix,

oder : Wenn a ein Fmiktepaar und x ein heliehiger Fimht auf
derselben Geraden ist, so ist ax der vierte harmonische Tmikt,
oder harmonisches Centrum erster Ordnung {wegen /"(*>)
2u dem PunJitepaare a in Bezug auf den Pol x.
91. Covarianten. Nach Nr. 83 ist die erste Covariante (für

r = 2 und c = 2)

Da n {= nr — cp) = 0 ist, so ist sie eine Invariante, und
nach Nr. 76 (5) ist sie die Hesse' sehe Determinante der Function".
Wenn sie den Werth Null hat, so kann (nach Nr. 75) x aus
einer einzigen Einheit, statt aus zweien, abgeleitet werden;
d.h.: die beiden Punkte x fallen mit demjenigen, welchen
diese Einheit ausdrückt, zusammen. Die Function f stellt also,
wenn ihre Hesse sehe Determinante Nidl ist, zwei zusammen-
fallende Punlie {oder zivei parallele Geraden) dar.

Specielle Ableitungen dieses Besultates. 1) Es ist | = ao;; r]= ßx;

(1 7?) = (a ß) rc^ ; (1 7J)2 = (a |J) ; {fn)' = («') = (« e^) (a e^) (nach Nr. 74,
Formel 3). Wecn nun (a ej) (a ^2) = 0 ist, so muss zwischen diesen
beiden Grössen eine Zahlbeziehung bestehen, etwa Iziccei) — ^1(0:62) = 0,
oder, nach x integrirt: Izi^'-'^^i) — ^.liccxez) ^ 0; oder ^2/1 — ^1/2 = 0
(nach Nr. 76, Formel 6). Nun ist (Nr. 76, Formel 8} § = f, .ej -\- f^ e^,

oder mit Benutzung der letzten Gleichung: | = /\(|ej-|- -7^ 1^2), oder,

wenn wir Cj + ^ ^2 = -^ setzen: | = -^ ] a. Ebenso wie ^ aus der
einzigen Einheit | s, muss nun x aus a ableitbar sein. Da aber x = Xiei
-\- Xze, ist, so muss Xi'. X2 = Xy: hi sein; dann ist x = x, (Cj + -y- ^2)

= Xi — ; oder, wenn wir Xi = i, setzen: x = e. Es fallen also beide

Punkte X mit s zusammen.

2) Aus Nr. 76, Formel 10 folgt: (f^)^ = 2(/',if22-/i2^) = 2(a,i«22-ai2*)-
Ist nun oriio;22 — «12^=0; oder «,2 = Vau . «22? so kann Formel (2) der
Nr. 90 geschrieben werden: (^«11 . Xi + ^«22 • ^2)^ = 0. Diese Gleichung
hat zwei gleiche Wurzeln, stellt also zwei zusammenfallende Punkte dar.

Anmerkung. Die Hesse'sche Determinante ist, als specieller Fall
der Functionaldeterminante, nach Nr. 72, gleich dem Potenzwerth eines

— 183 —

Quotienten, und kann daher auch in der Form

\dx ) \dxj \dxz)

geschrieben werden (vgl. Nr. 76, Formel 12). Dieser Potenzwerth ist
derselbe, welcher in Nr. 41 durch [Ä^) bezeichnet wurde; demnach ist
die Hesse'sche Determinante der binären quadratischen Form gleich dem
Fotenziverth desjenigen Quotienten , durch tvclchen die Punkte e, und e^

in die Punkte Si und fj (Nr. 41 , Formel 4) d. h. -^ und -j^ ver-

tvandelt tverden. Setzt man ^ = fiCi -{- fzCi, so ist -,— = fuCi-^- fztC^

a x^

= «11^1 + £^21^2) j — = /i2ßi+ /2ä^2 = «12^1 + ^=^22^2) Übereinstimmend

OL Xn

mit Nr. 41, Formel 2a und 2b. — Eine weitere Anwendung der binären
quadratischen Form nebst ihrer Hesse'schen Determinante findet sich
in der Anmerkung zu Nr. 7.

Bedudion c{uf die Stammformen. — Alle Covarianten 92.
unserer FuDctiou lassen sich nach Nr. 87 aus x — p + 1, d. h.
aus 3 — 2 -f- 1 = 2 Stammformen ableiten, von denen eine,
(p^) die Function /' selbst ist.

Für (I r]y erhalten wir nach der in Nr. 88 gegebenen Regel :

(1^)2 = (^ - rjy = ^^-^rj^-2lri = cp, + 9^2~ ^^,'
oder, da (p^^O ist:

Die Hesse'sche Determinante ist daher selbst die zweite
Stammform.

Andere Covarianten, die man bilden würde, könnten
keinen quadratischen Factor, etwa (|>?)- enthalten; denn da
jeder Buchstabe in der Covariante einer quadratischen Function
nur zweimal vorkommen kann, so müssten | und Tq in dem
übrigen Theile der Covariante fehlen, man könnte also {i,r]Y
nach Nr. 83, Regel 3 als algebraischen Factor absondern.
Bildet man nun einen Ausdruck von der Form (|?^)(^^) .. .,
so giebt derselbe bei der Reduction theils Glieder, die irgend
einen Buchstaben in der ersten Potenz enthalten, also (wegen
rp^ = 0) gleich Null sind, theils solche, die das Product einer
Reihe von Quadraten sind, also die Form cp./'' annehmen. Es
sind daher alle anderen Covarianten nicht nur als rationale,
sondern auch als ganze Functionen von ^., darstellbar; d. h.:
Bas Formensystem der Function enthält ausser ^y selbst nur
die eine Function rp^.

— 184 —

Noch einfacher ergiebt sich dieses Resultat durch folgende
Betrachtung: Jede Covariante, die man bilden kann, hat die
Form Wx'^', und da n =2r — 2c stets gerade ist, so kann
man schreiben:

n n n

Ist nun c gerade, so ist die Covariante, bis auf einen Zahleu-
factor, gleich

n' c

d. h. eine ganze Function der beiden Stammformen. Ist aber c
ungerade, so kann man schreiben:

[ax^y^ . (a'^x-) . a'^-^,
und da a'^x'^ = (^rj) = 0 ist, so verschwindet dieser Ausdruck.
Dritter Beweis: Da (1»?)^ als Invariante keine Tleber-
schiebung duldet, und (h,r]) als verschwindende Form auf
keine unabhängige Form führt (vgl. Nr. 87 am Schluss), so
ist (^^)' neben /' die einzige unabhängige Form. Es möge
jedoch an der Ueberschiebung von f über (i,r]) noch gezeigt
werden, wie man beim Beweise jener Eigenschaft der ver-
schwindenden Formen zu veriPahren hat. Esist(^?^)=(| — rj)

={i-t)-(v-t)={m-ivi)', also {rri)(ü)=m-{mM-

Vertauscht man in dem letzten Gliede | und £;, so lautet es:
(t,h,)(r]^), oder, wenn man in jeder Klammer die beiden Buch-
staben umstellt (was einer doppelten Zeichenänderung ent-

spricht): mifr^y mithin 2 (f^) {U) =- Öly ] (J~rj)iE) = KW-

ß) Zioei Functionen.
93. Zwei Functionen

(1) «a;2 = ü; ßx'^ = 0,

worin

(la) X = Xyß^ -f- x,^e.,

ist, und die man auch schreiben kann

"11 1 ~i 12 1 2 l~" ^22 ^2

(2) i"-^^^

repräsentiren zivei Punhtepaare auf einer Geraden.

— 185 —

Covarianten. 1) Das System der beiden Forineu besitzt
zunächst die gemeinsame Hesse'sche Determinante

{U)\

welche sich von den entsprechenden Formen der einzelnen
Functionen nur dadurch unterscheidet, dass die beiden Functio-
nen in ihr nicht gleichgesetzt werden. In der Bezeichnung
der Gleichungen (1) ausgedrückt, ist sie gleich (c:/3) (vgl.
Nr. 91), und es ist nun die geometrische Bedeutung der
Gleichung

(3) («/3)==0

zu untersuchen. Nun haben wir in Nr. 90 gesehen, dass die
Gleichung axy = 0 die harmonische Beziehung zwischen dem
Paare a und dem Paare xy ausdrückt. Bezeichnen wir dieses
Paar durch ß, so geht die harmonische Gleichung über in
[aß) = 0-^ mithin ist diese Gleichung die Bedingung dafür,
dass die beiden, durch die Functionen (1) dargestellten Paare
harmonisch sind.

Da die Formel (3) aussagt, dass das äussere Product von
« und ß Null ist, so besteht zwischen diesen Grössen eine
Zahlbeziehung. Man kann also auch schreiben:

(3a) Aa-{-(iß = 0,

woraus durch Multiplication mit ß wieder (3) folgt.

Anmerkung. Des Vergleichs wegen möge hier noch die Ableitung
desselben Resultates auf dem gewöhnlichen Wege der Coordinaten
hinzugefügt werden. Es ist

arjY = «„fe - 2«i2(3,2 + «jaßi, = 0;

oder:

_?^ii 2 -^^ • -^ + -^ = 0.

Die Gleichungen (2) können geschrieben werden:

und wenn i, und l^, die Wurzeln der ersten , /u.i und ^^ die der zweiten
sind, so ist

«22 "22

2-f^ = -(f^l + f^2); 4- = ^.^2.

— 186 —

Setzt mau diese Werthe in die Form (^rjy ein, so folgt:

Xilz — Uh + ^2) (^1 + 1^2) + ^ift2 = 0;
oder:

Wenn nun A und C die Punkte des Paares a, JS und D diejenigen
des Paares ß sind, so sind ^ii2f^if2 ^^^ Reihe nach die Coordinaten
dieser Punkte, d. h. ihre Entfernungen von einem festen Punkte 0;
also ist

(O — Ä) — {0 — B) ^ _ [0 — C) — {0~B)
{0 — A) — [0—D) {0—ü)-{0-D]

oder:

B -A _ B — C
D- A D-C '

wodurch das Paar (A C) als harmonisch mit dem Paare {B D) nach-
gewiesen ist.

2) Da I und r] nicht gleichbedeutend sind, so wird der
Ausdruck (i,ri) nicht identisch Null sein; denn (i,ri) ist nicht
dasselbe wie (j]^). Wir haben daher noch die Covariante

zu betrachten, für welche r = 2, c=\, und deren Grad
n = fir — cp = 2 ist. Sie ist nach Nr. 72 die Functional-
determinante des Systems der beiden Functionen. In der Be-
zeichnung von (1) ausgedrückt ist sie (aß)x'^, und es handelt
sich noch um die geometrische Bedeutung der Gleichung

(4) (a/3)a;2 = 0.

Dieselbe drückt als binäre quadratische Form zunächst ein
Punktepaar aus. Sei dasselbe mit y bezeichnet, so ist yx^^O
dieselbe Gleichung, mithin

(5) («/5) = y.

Fügen wir den beiden Seiten dieser Gleichung a oder ß als
äusseren Factor hinzu, so wird die linke Seite jedesmal Null
(nach den Gesetzen der äusseren Multiplication) ; mithin ist

(6) {ay) = 0 und {ßy) = 0.

Diese Gleichungen aber sagen, wie oben gefunden wurde,
aus, dass sowohl das Paar a wie das Paar ß mit y harmonisch
ist. Mithin stellt (a ß) x- = 0 dasjenige Fimhtepaar dar,
ivelches mit den Paaren a und ß gleichzeitig harmonisch ist,
oder (nach Nr. 37) die DoppelpiinMe der durch die Faare a
und ß bestimmten Involution.

- 187 —

Bediiction auf die Stammformen. Alle Covarianten des 94.
Systems lassen sich aus 6 — 2 -|- 1 == 5 Stammformen ab-
leiten, von denen vier bereits bekannt sind, nämlich die ge-
gebenen Functionen (p(^ und i^o, sowie ihre Hesse'schen Deter-
minanten (f., und rp2- Die Reduction der beiden oben gegebenen
Covarianten liefert:

(6a) {aß)x^' = (Irj) = (| - ^) = 9,, _ r/., ;

Zu den vier bekannten Stammformen kommen also noch zwei,
nämlich (p^ und t^-, hinzu, von denen jedoch eine willkürlich
bestimmt werden kann. Wir bilden zu diesem Zweck

und erhalten durch Subtraction dieser Gleichung von der
vorigen :

(6b) arjy - [(|^)]2 = ^, + 4,.^ - (cp,^ + t^^).

Darauf bestimmen wir qpj und ^^ durch die Gleichung

in Verbindung mit (6a), woraus folgt:

während (6b) übergeht in :

(6c) («^) = ^^ + ^-f^+[(«ß)^^P-

Um diese Gleichung schliesslich homogen zu machen, müssen
wir ihren drei ersten Gliedern resp. die Factoren ax"^ . ßx"^,
(ßx'^y, (ax'^y hinzufügen, und erhalten:

(7) ax^-.ßx\{aß) = ^[{a-^).(ßx''y+{ß').iaxr']-\-[{aß)x-']\
oder in der früheren Bezeichnung:

(8) cp.t.iirjY = <t/,, 4- v^2 + mvw-*)

Bei der Bildung weiterer Covarianten trifft das an ent-
sprechender Stelle in Nr. 92 Gesagte auch hier zu. Da nun,
wie aus der letzten Formel hervorgeht, (l?;)^ nicht als ganze,

*) Identisch mit den Formeln in Clebsch, Binäre Formen, S. 119,
(10) u. S. 197,(1). — Auch für Formen von höherem als zweitem Grade
giltig.

- 188 —

und {^rj) nicht einmal als rationale Function der übrigen
5 Formen auftritt, so sind beide Formen unabhängig (nach
Nr. 87 am Schluss). Das Formensystem der beiden Functionen
enthält demnach ausser den vier Formen (p^^, cp^, i>o, ^2 **^^**
noch die beiden Formen {^rjY und {^r}). ■

95. Unter den abhängigen Formen des Systems sei noch er-
wähnt die Hesse" sehe Determinante von {^rj). Um dieselbe
durch andere Formen auszudrücken, nehmen wir aus der
Formel (7) den Werth

Da links die gleich Null zu setzende Function {^rf) steht, so
ist auch die rechte Seite der Gleichung Null, und wenn wir
setzen

SO erhält die Gleichung die Form

Da dieselbe mit (2) in Nr. 90 übereinstimmt, so ist ihre
Hesse'sche Determinante (welche gleichzeitig diejenige von (§?/)
ist) nach S. 182 2) gleich 2(^1,^22 — ^12')- Andrerseits ist
dieselbe gleich [(«/S)^], Wir erhalten mithin, wenn wir die
Grössen A durch ihre Werthe ersetzen:

(9) [(aßy^ = i [(«^) . iß^) - [iaß)f]. *)

Die Hesse'sche Determinante der Functionaldeterminante
zweier binärer quadratischer Formen heisst die Bestdtante des
Systems der beiden Formen. Berechnet man sie nämlich in
Function der Coefficienten der Coordinaten - Gleichungen , so
nimmt sie die Form an, zu der wir im ersten Beispiel am
Schluss von Nr. 71 gelangten, d.h.: sie ist das Resultat der
Elimination von x^ und x., zwischen den beiden Formen.

y) Drei Functionen.

96, Drei Functionen

(1) ax' = 0] /3a;2 = 0; yx'^ = 0,

*) Identisch mit der Formel bei Clebsch a. a. 0. am Schluss vom
§ 57.

— 189 —
worin

( 1 Ut) 00 =^ 00* ßt I OCn ßn

ist, repräsentiren drei Funliepaare auf einer Geraden.

Covarianten. Um eine gemeinsame Covariante der drei
Functionen zu finden, haben wir in der Formel w' = w r — cp
zu setzen r = 3. Die Annahme c = 3 führt auf die Form

oder in andrer Bezeichnung (ccßy). Dieselbe ist, da n = 0,
eine Invariante, und ihr Verschwinden bedeutet das Vor-
handensein einer geometrischen Beziehung zwischen den drei
Punktepaaren. Nach Gleichung (5) der Nr. 93 bedeutet nun
die Gleichung (aß) = d, dass das Paar a und das Paar ß
beide mit einem Paare d harmonisch sind. Fügen wir auf
beiden Seiten dieser Gleichung den äusseren Factor y hinzu,
so ist (ccßy) = (dy). Wenn nun

(2) (aßy) = 0

ist, so ist auch

{8y) = 0;

d. h. nach Formel (3) der Nr. 93: auch y ist mit d harmonisch.
Die Gleichung (2) drücM also ans, dass die drei Faare a, ß, y
alle 7nit einem Faare ö harmonisch sind, d. h. (nach „Raum-
lehre" Nr. 171), dass sie involutorisch sind.

Da die Formel (2) aussagt, dass das äussere Product von
cc, ß und y Null ist, so besteht zwischen diesen Grössen eine
Zahlbeziehung, Man kann also auch schreiben:

(2a) Xa-\- ^ß -\-vy = 0,

woraus durch Multiplication mit ßy wieder (2) folgt. Liegen
die Paare a, ß, y auf drei verschiedenen Geraden, so drücken
die Formeln (2) und (2a) aus, dass a, ß, y einen involutori-
schen Verein bilden. (Vgl. Nr. 39).

Reduction auf die Stammformen. — Alle Covarianten des 97.
Systems lassen sich aus 9 — 2 + 1 = 8 Stammformen ab-
leiten, von denen sechs bereits bekannt sind, nämlich die
gegebenen Functionen cp^^, il^^, Xo: ^^^^ i^^^ Hesse'schen Deter-
minanten gpj? ^'2> X2- Durch Reduction der oben gegebenen
Covariante erhalten wir:

— 190 —

oder, da Anfcaugs- und Endglied sich heben:

Von den drei neuen Stammformen cpii^xZ^ kann die eine be-
seitigt werden; wir ersetzen sie jedoch sämmtlich (ähnlich
wie in Nr. 94) durch andre Formen, indem wir aus (6a) in
Nr. 94 entnehmen:

^1 - 9^1 == - («^)^'; Zi — ^1 = — (/^r)^';

Ersetzen wir ausserdem q).^, ^2; X2 ^^^ ^^^ linke Seite der
Gleichung durch ihre Werthe in Function von x, so folgt:

{aßy) = - ^[(«2) . {ßy)x'^ + (/32) . (y a)^2 _|_ (^2) . ^aß)x''\.

Um schliesslich diese Gleichung homogen zu machen, mul-
tipliciren wir ihre Glieder resp. mit ax- . ßx-.yx-, ßx-.yx"^,
yx'^.ccx'^, ax-.ßx"^, und erhalten:

(3) ax'' . ßx'' . yx"- . (aßy) = — ^ [ßx"" .yxK (a^) . (^j,)a;2

+ yx\ ax'^. (/32). (j/ß)a;2 + ax"-. ßx\ {y^). {aß)x'']
oder in der früheren Bezeichnung:

(4) (Po-4'oXo(^V){vt)i^l,) = — ^[toXo^2{vt) -\- Xo9>ot2ii^)

+ 9'o^oZ->(^^)]-*)
Die Covariante {ccßy) ist nach diesem Resultat eine unabhän-
gige Form.

Es ist nun noch der Fall r = 3 , c = 2 zu untersuchen.
Dieser führt auf die Form

Die Reductiou liefert:

miU) = (I- ^)(i -^) = ^'-7}i-u+v^

= 9^2 — ^1 9^1 — ^1 ;ti + V'iZi

oder, mit 2 multiplicirt:

2{aßy)x^ = («2) _ 2^1 qp, - 2(pai + ^^^i-

*) Auch für Formen von höherem als zweitem Grade giltig.

— 191 —
Nun ist nach den Formeln (6b) und (6c) der Nr, 94:
- 2t,cp, = [{ßa)x'^Y = ißa) - ^.^^l±m.

+ 2^ay = - m)^'Y = - ißr) + ^^^^5

mithin durch Einsetzung dieser Werthe:

2l^aßY)x''- = ißa) + (ay) - ißy),
oder, homogen gemacht:

(5) 2{aßy)x^ = yx"^ . {ßa) + ßx"^ . {ay) — ax^ . (ßy),
oder in der früheren Bezeichnung:

(6) 2{^ri){U) = Xoitvy + MUY - VoiV^Y'*)

Die Form (| rj) (| 5) erweist sich hiernach als eine abhängige.
Nimmt man r grösser als 3 an, so muss man schliesslich
durch Gleichsetzung die Zahl der verwendeten Buchstaben
auf 3 reduciren. Es entstehen dabei in ähnlicher Weise wie
früher Factoren von der Form g).^" und alle Neubildungen
erscheinen als ganze Functionen der bisher betrachteten.
Das Formensystem der drei Functionen enthält hiernach ausser
den Formen (p^, ip^^, Xo, (p-„ ^2; X2, (^ v), (^ S); iv t), Ü vY, (1 tf, (vt)'^
nur noch die eine gemeinsame Form (^7])(r]^)(^^).

d) Vier und mehr Functionen.

Im Falle von 4 Functionen gestattet die Formel n'=nr—cp, 98.
oder w'= 8 — 2c die beiden Annahmen c = 4 und c = 3.
Für c = 4 hat man

wobei aus dem letzten Gliede durch circuläre Vertauschung
der Buchstaben noch drei neue Glieder hervorgehen. Diese
Gleichung kann mau schreiben:

{aßyd) = (P2X2 + ^2«2 + 29',^iZi"i

— 9P2(^i;ci + Zi«i — ^i«i)

oder nach den Formeln der vorigen Nr. :

*) Siehe Anm. zu Formel (4).

— 192 -

(aßyd) = S^Ml±m^l _f_ 2 U^l+m. _ ML]

Diese Gleichung lässt durch ihre Homogenität bereits erken-
nen, dass (aßyd) als ganze Function niederer Formen dar-
stellbar, also keine unabhängige Form ist.

Dasselbe Resultat würde sich für die aus dem Falle c = 3
entspringende Form {^r})(7j^)(^Q-) ergeben, sodass hiernach
ein System von vier Functionen IrJne unahhängige gemeinsame
Covariante besitzt. Wir schliessen hieraus , dass dasselbe auch
für Systeme von mehr als vier Functionen zutrifft.

Ein System von n binären quadratischen Functionen be-
sitzt hiernach folgendes Formensystem:

a) Aus je einer Function gebildet:

1 . Die n Functionen selbst.

2. Die n Hesse'schen Determinanten von der Form

{Vnf-

b) Aus je zwei Functionen gebildet:

3. Die -~ — - Hesse'schen Determinanten von der
Form (|??)2.

4. Die — ^ — - Functional - Determinanten von der

Form (|i^),

c) Aus je drei Functionen gebildet:

5. Die ^^^^— - — ^— — - Invarianten von der Form

b) Die Function 3. Grades. (Cubische Form.)
a) Eine Function.

99. Die allgemeine Form dieser Function ist

(1) ax^ = 0,

oder wenn man

(la) X = ^1 ^1 + x.;^e.2

setzt :

— 193 —

Durch eine ähnliche Betrachtung wie bei der binären
quadratischen Form findet man , dass die cnhisclie Form eine
dreigliedrige FiinltreiJie {oder einen dreigliedrigen Stralen-
hüsehcl) vorstellt.

Canonisclic Formen. — Um für die Gleichung (2) eine
canouiselie Form zu finden , nehmen wir erstens an , dass zwei
der dargestellten Punkte mit e^ und c, zusammenfallen. Dann
ist nach (1)

oder

sodass Gleichung (2) die Form annimmt:

oder

Der dritte Punkt der Function ist also dargestellt durch die
Gleichung:

Ist auch aj,2 = 0, so folgt aus dieser Gleichung x., = 0;
d. h. der dritte Punkt fällt mit dem ersten (e,) zusammen.
In diesem besonderen Falle also reducirt sich die canonische
Form auf

Um eine siveite canonische Form zu finden, stellen wir
eine Betrachtung an, welche der bei der quadratischen Form
gemachten analog ist. Dort wurden gj und e^ als harmonische
Punkte zu den beiden Punkten (X, und X.J der Function
angenommen. Die Bediugungsgleichung dieses harmonischen
Verhältnisses kann nun („Raumlehre" Nr. 172) geschrieben
werden :

g| — ^1 I ^1 — ^2 __ r\.

und diese Gleichung lässt sich für die drei Punkte (X, XjXg)
einer cubischen Function zu folgender Form erweitern:

(4)

Schlegel, Elemente. 13

^2.

71

Vi

— 194 —
Setzen wir nun

(«, + «2) ^1 = «i<^i + «2 '^2 i

folglich :

(4q\ ^i — ^i ^^ _ ,^2, ei — X.^
^ ' 62 — -X", or, ' «2 — -^2

SO gellt Gleichung (4) über in

«. "^ ßi "^

Nun sind -^, 4^, ^- als Coordinaten der Punkte X X, X,

die drei Wurzeln der Gleichung (2). Wenn also die Summe
dieser Wurzeln gleich Null ist, so ist

(5) «,22 = 0.

Durch die Gleichung (4) ist der Punkt e^ bestimmt, so-
bald man e^ irgendwie bestimmt hat. Um die Functions-
gleichuug noch weiter zu vereinfachen, stellen wir eine neue
Gleichung zwischen e^ und e.^ auf, welche dann in Verbindung
mit (4) beide Punkte vollständig bestimmen wird. Wir be-
merken für diesen Zweck, dass die Bedingungsgleichung des
harmonischen Verhältnisses auch geschrieben werden kann:

^2 — -^1 _L_ ^2 — Xo r\

und diese Gleichung giebt Anlass zu der erweiterten BWm:

fn\ ^2 -^11 ^2 ^2 I ^2 ^3 n

Die Substitutionen (4a) geben:

_?Li _L ^i- 4- ^L _ 0

oder, mit '^^^^^^ multiplicirt :

ßi Ti yi «1 f>fi ßi
Diese Gleichung, welche aussagt, dass die Summe der Pro-
ducte je zweier Wurzeln der Gleichung (2) gleich Null ist,
ist gleichbedeutend mit

(7) «1,2 = 0.

— 195 —

Bestimmt man also die Punkte c^ und e.^ durch die
Gleichungen (4) und (6), so lautet die cauonische Form von (2) :

Die Gleichungen (5) und (7) können geschrieben werden:

Da a die Punktreihe X, X^ X^ vorstellt, so ist die geometrische
Bedeutung dieser Gleichung in der That dieselbe wie die von
(4) und (6). Dieselbe geometrische Beziehung wie zwischen
dem Paar e^ c.^ und der Reihe Xj X.^ X.^ wird nun obwalten
zwischen irgend einem Punktepaar xy und, der Reihe X^X.^X.^,
wenn man hat :

(9) axy- = 0; ax'^y = 0.

Es ist aber weiter:

Die Gleichungen (9) können also geschrieben werden:

Wir sagen hiernach, in Uebereinstimmung mit Nr. 90: Wenn
a eine dreigliedrige PimJdreiJie , und x ein beliebiger FunM
auf derselben Geraden ist, so ist ax"^ Qiarmonisches) Cen-
trum erster Ordnung zu der PunTctreihe a in Bezug
auf den Pol x. Und es ist ax (Itarmonisches) Centrum
ztoeiter Ordnung zu der PunJctreihe a in Bezug auf
den Pol X.

Die geometrische Bedeutung der Gleichungen (4) und (6)
als Bedingungen für die canonische Form (8) lässt sich also
wie folgt aussprechen: Damit eine binäre eubische Form sich
auf die canonische Form (8) reducire, müssen die Punkte e^
und e.2 so geivählt werden, dass jeder von ihnen harmonisclies
Centrum erster Ordnung zu der Punhtreihc cc ist, in Bezug
auf den andern als Pol.

Covarianten. Zur vorläufigen Uebersicht mögen alle den 100.
Wertheji r = 2, 3, 4, 5 entsprechenden Bildungen aufgestellt
werden, soweit dieselben durch Ueberschiebungen über un-
abhängige Formen zu Stande kommen.

13*

— 196 —

Ueberschiebung

Form der Covariante

oder

r

c

wie-
vielte

von

über

w

2

f

f

(1^)^

icc^)x^

2

2

2

.3

f

f

*(|7?)3

(«^)

2

3

■ 0

1

f

iU?

ifnrHÜ)

(a')a;3

3

3

3

2

f

[Vnf

*i¥n)HÜ){r]t)

(«3)0?

3

4

1

1

f

{fn?{Ü)

*ifn)HÜ)it^)

{a*]x*

4

4

4

2
1

f

ifriY

|*(W(W(fI)

{a*)x^

4

5

2

2

f

} (Tr}y(r&'jHTt){v~^)

(«*)

4

6

0

1

f

Kfnn

*(ll)^(W(^»')*)

(a!5)a;5

5

5

5

2

1

f

|*(f^)^(W(R(^^)

{a^)x^

5

6

3

3
2

f

|+(i^)^(^)'(TH)(^){^^)

{ci^)x

5

7

1

Von Formen höherer Ordnung fehlen in dieser Tabelle
(in der die abhängigen Formen durch einen Stern hervor-
gehoben sind) nur noch die üeberschiebungen über die
S.Potenz von (|?^)^ und die zweite von (^j^)'(|^), weil diese
Potenzen, wie unten gezeigt wird, abhängige Formen sind,
und die üeberschiebungen von (|?y)^(|^) über sich selbst und
über das Quadrat von (^r/)-.

1) Wir betrachten zunächst die Form

die Hesse'sche Determinante der Function. In andrer Bezeich-
nung, mit Null gleichgesetzt, lautet sie:

*) Diese Form ist sofort als abhäogige zu erkenuen uach Nr. 83,
Regel 3. Von den folgenden beiden wird nur die letzte in Bezug auf
ihre Unabhängigkeit untersucht zu werden brauchen.

— 197 -

Um ihre geometrische Bedeutung zu finden, multiplicireu
wir die Gleichungen (9), nachdem wir sie auf die Form
gebracht :

y- = ax-^ x^ =■■ ay ,
und erhalten

{xijf = a^{xy)

oder, falls nicht x und y zusammenfallen, durch Weglassung
des Factors {xy):

(10) {xy) = a\

Demnach repräsenUrt a- diejenigen zivei Ptmlcte, ivclchc in
Bezug auf einander harmonische Centra erster Ordnung zu der
Punldreihe a sind, und a-x^ = 0 ist die Gleichung dieser PunJcte.
Eine weitere Eigenschaft dieser beiden Punkte ergiebt
sich durch folgende Betrachtung: Es seien XYZ die drei
durch a vorgestellten Punkte. Construiren wir zu jedem der-
selben den vierten harmonischen Punkt in Bezug auf die
beiden andern, sodass X^ zu X, Yj zu Y und Z^ zu Z con-
jugirt ist, dann ist, nach Nr. 90 (6) und der darauf folgenden
Erklärung

(11) X = {YZ)Xr, Y={ZX)Y^; Z={XY)Z,;
multiplicirt:

{XYZ)^{YZ){ZX){XY).{X,Y,Z,) = {XYZf.{X,Y,Z,),
oder, wenn wir X, Y^Z^ durch a bezeichnen:

a = (a^) . a']

d. h. : jeder der Punkte a ist vierter harmonischer Punkt zu
dem entsprechenden Punkte a in Bezug auf das Paar «-.
Das Paar a^ ist also harmonisch mit jedem der drei Paare
(XXj), ( YFj"), {ZZ^), und ist das Doppelpunldpaar der durch
jene Paare gebildeten Involution. Vgl. Nr. 38.

Es mag noch beachtet werden, dass die Hesse'sche üeter- .
minante der Hesse'schen Determinante gleich [(a"')"^] = (ß^) ist.

2) Wir betrachten ferner die Form: 101.

{üym),

oder in anderer Bezeichnung, und gleich Null gesetzt:

(«3)^3^0.

— 198 —

Die geometrisclie Bedeutung von a^ findet sich, wenn wir,
Avie oben, a = XY Z setzen. Dann können wir schreiben:

«3 = (YX)Z . {ZY)X . (XZ)Y.

Vertauscht man aber in jeder der Formeln (11) die beiden
Punkte jedes conjugirten Paares mit einander, so folgt:

X, = iZY)X- Y, = {XZ)Y', Z,=^{YX)Z',
mithin ist

(12) o? = {X,Y,Z,)',

d. h. : Die Covariante d^x'^ = 0 stellt die drei Funkte dar,
ivelche man erhält, wenn man zu jedem der Punltte a den
vierten harmonisclien PtinM in Bezug auf die beiden anderen
bestimmt.

3) Die dritte der zu betrachtenden Fornjen ist

oder in andrer Bezeichnung, und gleich Null gesetzt:

(«4) = 0.

Sie ist hiernach mit der oben gefundenen Hesse'schen Deter-
minante der Hesse'schen Determinante identisch. Ihr Ver-
schwinden bedeutet^ dass das Punktepaar {er) in einen Punkt
zusammenfällt. Mithin werden die vierten harmonischen
Punkte (XjFjZj) zu diesem Punktepaar und den Punkten
XY^ unbestimmt. Da aber Xj, Yy,Zy auch die vierten har-
monischen Punkte zu den Gruppen (XF),^; {YZ),X', {ZX),Y
sind, so müssen irgend zwei von den PimMen XYZ zu-
sammenfallen, und dies ist die geometrische Bedeutung der
Invariante («*).
102. Beduction auf die Stammformen. — Alle Covarianten der

Function lassen sich aas 4 — 2 -|- 1 = 3 Stammformen ab-
leiten, von denen eine, 9)q die Function selbst ist. Es ist
ferner nach Nr. 92:

(13) («2)^2 _(|-y._ 29^2,

mithin (^tj)' die zweite Stammform. Gehen wir in der Reihe
der oben aufgestellten Covarianten weiter, so findet sich

(a^-) = (1^)3 = 0,

nach Nr. 83, Regel 2. Sodann :

— 199 —

oder mit Weglassung der Glieder, die einen Factor in der
ersten Potenz enthalten, und nach der Bedingung cpi =^ 0
verschwinden :

(14) {a^)x^=il^fiY{U) = V = <P;-
Weiter findet man:

(«^) X ={iny öl) ® = - 2 r-' rf' + r^ r^ + v' t' = o

(a^)x^ = (f7/)2(e)(^) = - rg2_^2,^2 _ _ 29,,2

^^ -}-\(a')x'Y*)

(«4)^2 _ (1^)2(^^)2(1^) _0,

weil die Vertauschung von | mit ^ und von t^ mit d- die Form
ungeändert lässt, nach Nr. 83, Regel 2. Endlich:

(«4) = (|^)2(f:^)2(|l;)(^) = __ (1^)2 (1^) . (^ÖH^^)
= [|3 - 2^2^ + 7?2| _ |2.,^ + 2|l?^ - fj't]

oder, ausmultiplicirt, mit Weglassung der verschwindenden
Glieder:

(ß4)__|3^3_2|2^2^2_2^2,^2^2_2^2^2g2_2^'-'>j2^2_^:<^.-5
= -29932-89)2^

= -2[(«3)a;3]2 _ [(a2)^2]3^

Um diese Gleichung homogen zu machen, müssen wir ihre
linke Seite mit (ax^y multipliciren, und erhalten schliesslich:

(15) [CCX^'^ . («^) = - 2[(a3)a;3]2 _ [(«2)^2]3^

oder in der früheren Bezeichnung:

(16) 9^0^. [(W(W(IÖ(^)] = - 29)32-89)./'.**)*
Hiernach ist («*) eine unabhängige Form.

*) Auch auf folgende Art, nach Analogie von {^v)(H) in Nr. 92,
zu finden : {f^)' (Ü) (fÖ^) = ifn)Hf^) i^) - (4l)' i^~^)^=-i^v)'ii^) m)
— {¥v)'i^^y- Vertauscht man rechts 'C "nd &, und bringt das erste
Glied nach links, so folgt: 2 (f^)« (H) (?#) = — (|^)M^^)'; oder

**) Identisch mit den Formeln bei Clebsch a. a. 0. S. 118 (7) und
S. 337 unten.

— 200 —

Wir haben bis jetzt nur die den Werthen r = 2, 3, 4
entsprechenden Covarianten betrachtet. Jede andere Covariante
Avird wieder in der allgemeinen Form

enthalten sein, worin r und n durch die aus n ^=Zr — 2c

folgende Bedingung

3r — n

2

zunächst in der Weise beschränkt sind, dass r und n ent-
weder gleichzeitig gerade, oder gleichzeitig ungerade sein
müssen, und dass 3r^w' sein muss.

Es können nun alle in der so definirten Form a^ x"^ ent-
haltenen Ausdrücke auf eine oder mehrere Weisen als Froducte
aus folgenden Formen dargestellt werden :

ax^ \ (oP-)x''-\ {a^)x^ \ (^^) 5

d. h. aus der Function selbst, und ihren bisher ermittelten
unabhängigen Covarianten. Diejenigen Formen, welche eine
derartige Zerlegung nicht gestatten, sind identisch gleich Null.
Sind P,, P2 . . . die verschiedenen Zerlegungsweisen einer
Form a^ x""' , so ist

a'-x'' = AjPj + A2P2 + . . .,

worin Aj A^ . . . reelle Zahlen sind. Um die Abhängigkeit einer
Form nachzuweisen, genügt es offenbar, die Möglichkeit einer
einzigen Zerlegung darzuthun.

Bei der Aufstellung der verschiedenen möglichen Formen
haben wir noch zu beachten, dass, wenn nicht schon von
vornherein zerfallende Formen entstehen sollen, c minde-
stens gleich r — 1 sein muss; das Maximum von n ist also
3r — (r — 1) 2 = r-|- 2. So erhalten wir folgende Reihen.
Formen ungeraden Grades. Formen geraden Grades,

[cix^],

(a^a;), [a''x% a'^x^, (a^), [^-x"], {ar-x%

a^x, a^x'^, a^x^, cc^x"^, [a^], (a*x-), a*x*j a^x*^,

a^x, a'x^, a'x^, et' x"^ , a^ x"^ , a^, a^x-, a^x^, a^'x^, a^x^,

Hierbei ssind die unabhängigen Formen in eckige, die als
verschwindende bereits bekannten (incl. (^ t]) = a-x*) in runde

— 201 —

Klammem geschlossen. Die übrigen lassen sich der Reihe
nach als Producta von a^ oder a^x^ und einer bereits be-
kannten Form darstellen (mit einziger Ausnahme von a^x),
und sind daher entweder abhängige oder verschwindende
Formen (letzteres in dem Falle, wo der eine Factor selbst
eine verschwindende Form ist. Der Ueberschiebungs-Ausdruck
der Form verschwindet alsdann nach Nr. 83, Regel 2).

Anmerkung. In der oben gegebenen Uebersicht über die den
Werthen r == 2 bis 5 entsprechenden Formen kam es wiederholt vor,
dass derselbe Ausdruck Resultat von mehreren Bildungen war. Es ist
hiernach denkbar (und kommt bei den Formen von höherem als dem
4. Grade wirklich vor), dass verschiedene Bildungen auf unabhängige
Formen von gleichem Grade und gleicher Ordnung führen. Insbesondere
können Covarianten einer Form in Grad und Ordnung mit Covarianten
ihrer eigenen Covarianten übereinstimmen, ohne doch mit ihnen iden-
tisch zu sein. In diesem Falle verliert der Ausdruck a'x" seine Ein-
deutigkeit, und seine Zerlegbarkeit in Formen niederer Art erlaubt
nur den Schluss, dass, wenn iü,, i?2 zwei gleichzeitig durch a' x"' dar-
gestellte Bildungen sind, eine Gleichung von der Form

besteht, d. h. dass die eine unabhängige Form i?, durch die andre i?2
ersetzt werden kann. Ein Beispiel giebt Formel (11) S. 283 bei Clebsch
a. a. 0. Vgl. auch Nr. 85.

Es ist nun noch a^x zu untersuchen, oder

(|^)2(p)2(§^)(^^)(^^).

Berechnet man die beiden Theile (|^)-(5'9')'^ und (^ ;<)(>;%) (^;f)
einzeln, so können alle Glieder, welche ö" und % in der ersten
Potenz enthalten, wegbleiben, und die Multiplication der
übrig bleibenden Ausdrücke zeigt, dass auch diese Covariante
gleich Null ist.

Hiernach enthält das vollständige Formensystem der cu-
hischcn binären Form nur vier Formen, deren Charactere (c)
in Abhängigkeit von Grad (n) und Ordnung (/-) in folgendem
Schema dargestellt sind.

%

0

1

2

3

1

2
3
4

6"

2

0
3

103.

— 202 —

ß) Zwei Fuuctionen.
Zwei Functionen:

repräsentiren zwei Punktetripel auf einer Geraden.

Covarianfen. Ausser den acht Formen, welche den beiden
Functionen, jede für sich genommen, angehören, nämlich:

ßX^- {ß^')x^; OT^3. (^4),

sind noch sämmtliche in Nr. 100 aufgestellten Ueberschiebun-
sren zu bilden, und zwar so, dass die beiden Theile der
Ueberschiebung je einer Form angehören. Dadurch entsteht
folgendes System:

Uebers

chiebg.

Uebers chiebg.

1.

2.

3.

1.

2.

3.

von

über

von

über

ax^

ßx^

aßx*

aßx^

aß

a^x^

ß'x^

a^ß^x^

a^ß^

ax^

ß^x^

aß^x^

aß^x

a^x^

ß^x^

*a^ß^x^

a^ß^x

ct^x^

ßx^

u^ßx^

a^ßx

a^x^

ß^x^

*a^ß^x^

a^ß^x

ax^

ß^x^

tuß^x*

aß^x^

aß^

a^x^

ß^x^

*a^ß^x*

*a^ß^x^

„3ß3

«3^3

ßx^

*a^ßx'

a^ßx^

a^ß

a^x^

[ß'-x^y

*a^ß^x'''

*a^ß^x^

a'^ß'x

ax^

[ß'x^]'

taß*x^

* aß*x^

aß^x

[cc^x^Y

ß^x^

m^ß^x'^

*a2|33^3

a^ß^x

[a^x^y

ßx^

<:(x'ßx^

*a*ßx''

a*ßx

Die abhängigen Formen sind wieder durch einen Stern
hervorgehoben. *)
104. Redudion auf die Stammformen. Alle Covarianten des

Systems lassen sich aus 8 — 2 + 1 = 7 Stammformen ableiten,
von denen sechs bereits bekannt sind, nämlich ^o9'2 9'3^o'^2^3-
Es ist ferner, wie früher:

(|i?)= iccß)xi = (pi — iJi]

und man kann bei der Reduction auf die Stammformen mit-
telst dieser Gleichung eine der Formen cp^ und i\ eliminireu
und die andere willkürlich bestimmen. Es ist dann {^rj) selbst
die siebente Stammform. Nachdem in Nr. 94 Formel (8) be-

*) Vgl. Clebsch a. a. O. §. 61.

— 203 -

reits die Ableitung von {^r])'^ gegeben ist, möge hier noch
als Beispiel die von (|?^)^ folgen.

(^7])'-^ = g'j + 3{(pytp.y — 4'i(p2) — ^'3- — Man erhält zu-
nächst durch die Substitutionen:

9^1 = (^ >?) + ti ; i'i = (pi— (l>?)

Aehnlich wie in Nr. 94 subtrahirt man hiervon :
und erhält:

iw - am' = 9^3 - ^3 + H^v) i<P2 + 12)

— [(Pi^ — ^g)iti{g}i — ti) + 3(9)1 9?, - ^1^2) — ^\'-^]'
Man bestimmt nun 9), und ^j durch die Gleichung:

oder:

{^i — 'PiJ = — 3 (9^1 9'2 — ^'1 ^2)
in Verbindung mit

9i — ^1 = {in),

woraus folgt:

g'iCT'^ -^2) = - ^[.{U)f- Mir]);

ti (9^2 — ^^2) = — i [(I V)f — 92 (^ ^) •
Die Hauptgleichung aber geht über in :

ilrjf = 9,3 - ,^3 + 3(1,?) (9,, + t,) + [(^/)1-^
oder :

homogen gemacht:

oder in andrer Bezeichnung:

(2) cp.-^to'i^vY = ^9^3- V'^'3+3(V<P2 + <'/'2)(i>?)

Nach diesen Resultaten sind die Formen (|^); (l>?)^; (1'?)^
sämmtlich unabhängig.

*) Auch für Formen von höherem als drittem Grade giltig.

— 204 —

Anmerkung. Für die Bestimmung der Functionen qp, und ipt,
welche in jedem einzelnen Falle durch eine besondere Gleichung erfolgt,
mangelt es einstweilen noch an einem festen Principe. — Andere,
zwischen den Covarianten bestehende Beziehungen, wie sie bei Clebsch
a. a. 0. S. 223 — 228 abgeleitet worden, sind specielle Fälle solcher
Beziehungen, welche zwischen den Covarianten binärer Functionen von
beliebigem Grade stattfinden, und werden theilweise in Nr. 112 ihre
Erledigung finden.

c) Die Function 4. Grades. (Biquadratische Form.)

105. Die allgemeine Form dieser Function ist

(1) ax' = 0,

oder, wenn man

setzt :

\u) Ci ittACC* — I — 4rOIijj2*^i' 00t) '~Y~ OfCjjrto^^i**^')" ~i~ ^ 1222 1 2

l~ ^22'.'2'^2 ^^^^

Sic stellt eine viergliedrige Punhtreilie oder einen viergliedrigen
Stralenhüscliel vor.

Canonisclie Formen. Um für die Gleichung (2) eine
canonische Form zu finden, nehmen wir erstens an, dass zwei
der dargestellten Punkte mit e^ und Cj zusammenfallen. Dann
ist nach (1):

oder

^1111 ^^ ^i ^2222 ^"^^ ^'

sodass Gleichung (2) die Form annimmt:

(3) x^X2{2a^^^2^^'^-{- 3aii22^i^2 + ^^^22^2^) = ^•
Die beiden übrigen Punkte der Function sind also dargestellt
durch die Gleichung:

Ist auch «1122 = Ö? ^0 ^^^^ diese beiden Punkte (nach
Nr. 90) mit Cj und e^ harmonisch, und die canonische Form
reducirt sich auf

1119*^^1 2 "1 1922 1 2 ■ ^ •

Um eine ziveite canonische Form zu finden, bezeichnen
wir die vier Punkte der Function mit X^ X^ X^ X^ , und

- 205 —

bestimmen (analog mit Nr. 99) r', und c.^^ durch die Be-
dingungen :

(4') ^2 — -^i «^a — -^2 *" ^2 — X3 "' Cj — X4 '

gj — ^1 _i ^2 — ^2 I <'2 — ^3 1 ^2 — ^4 n

ey-X^'^ e^-X,~^'e\- X, "T e^ _ X4 " '^•

Wenn dann

(«t + «2)^1 = «1^1 + «2^2;

(^, + d2)X, = (y,c, + ^2^2
gesetzt wird, woraus folgt:

Cy — X, tt.2 . e, — X2 ßg

(4a) ^2 — ^t *^i ' ^2 — ^2 ßi '

^1 — ^3 _^^ 72 . ^1 — ^4 ^^ ^2

^2 — ^3 yi ' ^2 — -X^4 ^1 '

SO gehen die Gleichungen (4) über in

«. ^ ß. ^ yi ^ ^1 ~ ' C.2 ^ (?2 ^ y2 ^ ^2 ~

Multiplicirt man die zweite derselben mit -^^-^^ so lau-

tet sie:

^ y2 ^ I y2 ^ ^ _i_ *^2 o^J ^21^ f 2 Zi ^^ 0
(?. ■ yi ■ <yi "^ yi ■ ^1 ' «1 "^ ^, ' «. * (Ji "^ ''i * Pi ' yi

Nun sind ^, §^, — , ^ als Coordinaten der Punkte X, X,XoX.

ort' (?,' y,' <y, 12 3 4

die Wurzeln der Gleichung (2). Mithin sind die beiden letzt-
erhaltenen Gleichungen gleichbedeutend mit

(5) «111,^ = 0; «,222 = 0.

Bestimmt man also die Punkte e, und e.^ durch die Glei-
chungen (4), so lautet die canonische Form von (2)

(6) «1111^1"' + 6«,,.,2a;,2:r._,2 _[_ «.^222^2" = ^•
Die Gleichungen (5) können geschrieben werden:

und dr\icken auch in dieser Gestalt die geometrische Be-
ziehung aus, welche zwischen e, und 62 einerseits und den
Punkten der Function andrerseits besteht. Setzt man zwei

— 206 —

beliebige Punkte x und y an die Stelle von e, und e^, so ist
dieselbe Beziehung ausgedrückt durch die Gleichungen:

(7) a.x^y = 0'^ a3'Aß = 0.

Da nun

4ßa;3 = /•('); 24aiC = p)

ist, so können die Gleichungen (7) auch gesehrieben werden :

Wir sagen demnach (übereinstimmend mit Nr. 99) : Wenn a
eine viergliedrige Pmiktreihe, und x ein heliehiger Pimli auf
derselben Geraden ist, so ist ax^ Centrum erster, und ax
Centrum dritter Ordnung su der PunMreihe a in Bezug
auf den Pol x.

Damit also eine binäre biquadratische Form sich auf die
canonische Form (6) reducire , müssen die Punkte e^ und e.y so
gewählt werden, dass jeder von ihnen harmonisches Centrum
erster Ordnung 2u der PunJitreihe a ist, in Bezug auf den
andern als Pol.

Bemerkenswerth ist noch, dass die Gleichungen (4) auch
befriedigt werden durch das System

(8) 'i^l^^+^LZlZi^O; ^L^+ ^1^11^ = 0.

Denn durch Addition dieser Gleichungen erhält man die obere
der Gleichungen (4), und da die eben aufgestellten Gleichungen
auch geschrieben werden können

^2 — X, , gj -^2 __ Q , ^2 ^3 [ ^2 ~ ^4 __ Q

' />. — IT. ' p. — y. '

ei — X, ' e, — Xa ' <>, — X3 ' e, — X4

so zeigt sich, dass man durch Addition dieser Gleichungen
auch die untere (4) erhält.

Durch das System (8) sind aber e^ und e.^ als Doppel-
punkte der durch die 4 Punkte der Function gegebenen Invo-
lution bestimmt. Es reicht cdso diese Bestimmung zur Her-
stellung der canonischen Form (6) aus.

In einem speciellen Falle gestattet die Form (6) noch
eine weitere Vereinfachung. Dieselbe tritt ein, Avenn die
vier Punkte der Function so beschaffen sind , dass

^1122 ""^^ ^*
Die cauonische Form ist dann

(9) ß,,,,a:,4 + «2222 V = <^-

— 207 —

Nun haben wir oben gesehen, dass, wenn «,,22 = 0 ist, das
eine Punktepaar der Function mit dem anderen (oben e^ und e^)
harmonisch ist. Diese geometrische Beziehung der vier Funkte
ist also die Bedingimg für die Vereinfachung der Gleichung (6)
auf die Form (9). *)

Covarianten. Zur vorläufigen Uebersicht mögen alle den 106.
VVerthen r = 2 und 3 entsprechenden Bildungen aufgestellt
werden, soweit dieselben durch Ueberschiebungen über un-
abhängige Formen zu Stande kommen.

üeberschiebung

Form
der Covariante

oder

r

c

wie-
vielte ^«^

über

M

1
2 f

f

(f^)^

(a2)a;t

2

2

4

3 f

f

^ifriY

(a2)a;2

2

3

6

4 f

f

{¥ny

(cc^)

2

4

0

1 f

ifri)-

(friyiH)

(«3) a;«

3

3

6

2 f

iur-

*{^riyiU)'

{a^)x*

3

4

4

3 f

(ü?

*{^v)'iU)'{nt)

(a3)a;2

3

5

2

4 /•

iVv)'

i^nnur-iv^r

(«3)

3

6

0

*) jlntZere Ableitung dieses Resultates. — Wenn das Paar XiX^
gleichzeitig mit X3X4, und mit ei^j harmonisch ist (die zweite An-
nahme kann stets gemacht werden) dann ist nach „Raumlehre" Nr. 170
(am Schluss):

^1

X^ Ci — X^

e, - X

ea — X4

oder, mit Rücksicht auf (4a)

^ ' «, • ßj -^ y, • d,

Ferner liefert die Annahme, dass XfX, mit X3X, harmonisch ist, für
sich allein die Gleichung:

= 0.

oder:

— 208 —

Die abhängigen Formen sind in dieser Tabelle wieder
durch einen Stern hervorgehoben. Die Formen höherer Ord-
nungen sind weggelassen, weil, wie sich unten zeigen wird,
nur noch eine derselben, nämlich die vierte Ueberschiebung
von /"über (1^)2(11) [in Zeichen: {f^y- (t^f {U)Hv^) = {c^') x""]
einer besonderen Untersuchung bedürfen wird.

1) Wir betrachten zunächst die Form

die Hesse' sehe Determinante der Function. In anderer Be-
zeichnung, mit Null gleichgesetzt, lautet sie:

(a2)a;4 = 0.
Um ihre geometrische Bedeutung zu finden, bestimmen
wir zu je dreien der vier Punkte {XYZU) der Function die
vierten harmonischen Punkte (Xj Y, Z^ U^), sodass (nach Nr. 90,
Formel G)

X={UZ)Y,', Y={XZ)Ur,
Z=(UY)X^; U--={XY)Z,.
Durch Multiplication dieser vier Gleichungen erhält man:

{XYZU) = {UZ){XZ){UY){XY) . {X,Y,Z, ?7,);
oder, wenn man {X^Y^Z^ ü^ = a setzt:

a = {a~)a.
Wenn nun oben ax harmonisches Centrum dritter Ord-
nung zu der Punktreihe a in Bezug auf den Pol x war, so
können wir jetzt sagen: Jeder der PunJäe cc ist harmonisehes
Centrum dritter Ordnung mi der Punlctreihe (cc-) in Bemg auf
den entsprcehenden Punlt a als Pol.

oder wegen (a)

^ ^ «1 * 71 ßi Vi '^ «. d\ "^" ß, ■ d\

Durch Additiou von (a) und (b) aber erhält man

«1122 = 0-

Da ferner Cie^ mit XjXj harmonisch ist, so ist, wenn man 6,^2 durch
die fernere Bedingung bestimmt, dass es auch mitXjX^ harmonisch sei,

0^1112 == 0; «^1222 = o>

wie schon oben gezeigt wurde; mithin ist durch diese Annahmen die
Form (2) auf (9) reducirt.

— 209 —

2) Wir betrachten ferner die Form 107.

(i^r(il),

oder in andrer Bezeichnung, und gleich Null gesetzt:

Ihre geometrische Bedeutung ergiebt sich unmittelbar, wenn
wir («3) in der Form schreiben:

M = [{XY){ZU)] . [(XZ){YU)] . [{XÜXYZ)].

Es ist nämlich (nach Nr. 93, Formel 5) {XY){ZU) das Paar,
welches gleichzeitig mit {XY) und mit {ZU) harmonisch ist.
Bezeichnen wir dasselbe mit (^,2-^34), und wenden auf die
beiden anderen eckigen Klammern analoge Bezeichnungen
an, so ist

(«3) = {A^.,A,,)(Ä^,A^,){Ä,,A,^).

Bildet man also aus den vier Punkten der Function auf
dreifache Weise je zivei Paare, und sucht mi jedem der drei
Boppelpaare das gemeinsame harmonische Paar, so sind diese
drei neuen Paare durch die Covariante {a^) x^' = 0 dargestellt. *)
Vgl. Nr. 38.

3) Die dritte der zu untersuchenden P^ormen,

{fnY,

oder in andrer Bezeichnung und gleich Null gesetzt:

(a^-) = 0
ist eine Invariante; ihr Verschwinden drückt also eine zwischen
den 4 Punkten der Function bestehende Beziehung aus. Wir
finden diese Beziehung, wenn wir sie in der Form schreiben:

2(a2) = {XY){ZU) . {XZ){Yir) + {xuy- . {Y Zf =^ 0 .

*) Wenn man von der Form (a^).x* die Covariante (|»j)*(^&)* bil-
det, so lautet dieselbe (a''')rc'"'. Dieser Ausdruck ist aber das Product
aus a' und a^x*^, (weil^ wie sich unten zeigen wird, die andere Zu-
sammensetzung aus u^x* und a*x^ wegen a'a;^ = 0 hinfallig wird),
unterscheidet sich also von a^x^' nur durch eine Invariante, und stellt
daher die nämlichen 6 Punkte dar, wie a^x'''. In dieser Beziehung liegt
der Satz: Bildet man aus den vier Punkten (a-J auf dreifache Weise
je sivei Paare, und sticht zu jedem der drei Paare das gemeinsame har-
monische Paar, so erhält man dieselben drei Paare, als tcenn man von
den Punkten cc ausgeht.

Schlegel, Elemente. 14

— 210 —

Betrachtet, man in dieser Gleichung die Producte je zweier
Buchstaben als äussere, so stellen dieselben Linientheile vor.
Ersetzt man dieselben durch die entsprechenden Strecken
{XY durch X — Y etc.), so geht die Gleichung in die Be-
dingungsgleichung äquianharmouischer Punkte über. (Vgl.
Nr. 47 am Schluss.) Mithin seigt das Verschtvinden der In-
variante («') an , dass die vier FunMe der Function sich in
äc[ui anharmonisch er Lage befinden.
4) Die letzte Form

OriYiWivlr',
oder in andrer Bezeichnung und gleich Null gesetzt:

(«3) = 0,

ist ebenfalls eine Invariante. Ihre geometrische Bedeutung
geht unmittelbar aus der unter 2) gegebenen Form hervor:

(«3) = [[XY){ZU)] . [{XZ){Yir)] . [{XU)(YZ)] = 0.

Diese Gleichung wird nämlich befriedigt, wenn irgend
einer ihrer drei algebraischen Factoren gleich Null ist, z. B.

wenn

{XY){ZÜ) = 0.

Diese Gleichung sagt aber (nach Nr. 93, Formel 3) aus,
dass das Paar XY mit ZU harmonisch ist; mithin zeigt das
Verschwinden der Invariante {a^) an, dass die vier Punlie
der Function sich auf irgend welche Weise in harmonischer
Lage heßnden.
108. Bcduction auf die Stammformen. — Alle Covarianten der

Function lassen sich aus 5 — 2 -}- 1 = 4 Stammformen ab-
leiten, von denen eine, q)^ die Function selbst ist. Es ist
ferner

(10) (a'')xi = {ftjY = 29?2; (Nr. 102, Formel 13).
[a^)x'' = {Irjy = 0; (Nr. 83, Regel 2).

(11) {a'^)x'' = il^ViU) = (p-i-, (Nr. 102, Formel 14).
Weiter ist

= fPi + 69^2* + ^'-i;

(IIa) {a''-) = {f^y = 2{cp,-\-3<p,^).

— 211 —
Hieraus folgt:

oder, homogen geniacht:

oder iu andrer Bezeichnung:

(12) ^4 = i9'oHa'-3g),,2;
oder:

(13) i9'o'(f^)* = 9^4 + 3g>./,*)

wodurcli sich {^f})* als unabhängige Form kennzeichnet.

Die nächste Form ist (vgl. das Beispiel in Nr. 85. Anm.)

= 1(^4 + 392^) = iM,
oder, homogen gemacht:

also eine abhängige Form.
Die nächste Form

verschwindet nach Nr. 83, Regel 2, wie sich zeigt, wenn man
rj mit t, vertauscht. Es bleibt noch zu betrachten:

Bei der Multiplication der ersten beiden Klammern können
die Glieder, welche | in erster Potenz enthalten, wegbleiben.
So erhält man:

(fr')=(i^-2|3^-2r7?+4r-^e+r-^^+r'r'+'?-r')(T-2»?^+^-)

( 1 3a) (a^) = G ^4 g).2 — G 95.5- — G q).,^ .

V(«3) = i(«2)[(«2)a;^J - |[(a2)a,'M^- [(a3^a;«r-- i[(«')^']'

*-J Identisch mit der zweiten Formel auf S. ;^37 bei Clebsch a. a. 0.

14*

— 212 —
oder, homogen gemacht:

i [CC^] \_aX*f = i («2) [(«2)^4] ^ [-«^4p _ A [(«2^ x*f - [(«»jiC^J^,

oder in andrer Bezeichnung:

(14) icp,^ . (a2(IT)'^(^Tr- = 9^0^ . cp.ifnY - 4.<p.^ - <p,V)

wodurch («^) als unabhängige Form nachgewiesen ist.

Die übrigen aus der Function ableitbaren Covarianten
lassen sich entweder als Producte der Formen

aX^, {CC-')X\ («2), («3)^0^ («3)

darstellen, oder sind, sofern sie diese Zerlegung nicht ge-
statten, gleich Null. Wir erhalten mit Rücksicht auf die
Bedingung, dass das Maximum von n gleich Ar — (r — 1)2
= 2r-\-2 ist, die Reihen:
[ax*],

[«2]^ («2-^2)^ [«2^4]^ («2^6)^

[«3], (a^x"^), a^x^, [cc^x*^],

a^x"^, a^x*, a'^x^, a^x"^, a^x

10

worin die unabhängigen Formen in eckige, die bereits als
verschwindend bekannten (incl. {i,r}) = a'^x''') in runde Klam-
mern geschlossen sind. Es ist ferner a^x* bereits als ab-
hängig nachgewiesen. Alle übrigen Formen aber sind als
Producte früherer Formen darstellbar, mithin theils abhängige,
theils verschwindende Formen (letzteres in dem Falle, wo
der eine Factor selbst eine verschwindende Form ist. Der
Ueberschiebungs- Ausdruck der Form verschwindet alsdann
nach Nr. 83, Regel 2).

Hiernach enthält das vollständige Formensystem der 'bi-
quadratischen binären Form nur fünf Formen, deren Cha-
ractere (c) in Abhängigkeit von Grad [n) und Ordnung (r)
in folgendem Schema dargestellt sind:

%l 0

2

4

6

1 1

2 4

3 ( 6

0
2

3

^) Identisch mit der zweiten Formel auf S. 143 bei Clebsch a. a. 0.

— 213 —

Unter eleu abliäugigeu Formen verdieueu noch zwei eine 109.
nähere Betrachtung.

1) {cc^)x^, ein Theil der dritten Ueberschiebung von /"über

{^*])'{^t)' — Nach der bei den cubischen Formen gegebenen
Uebersichtstabelle ist

und nach Nr. 102, Formel 16 ist (ohne Homogenität):

{ai)x' = ~2(p.;'—8(p.^.

Hiernach wäre {a*)x^ eine unabhängige Form, da man zur
Herstellung der Homogenität links qp^^ hinzufügen nuiss. Wir
können aber {a^)x^ durch die invarianten Bildungen (IIa)
und (13a) der Nr. 108 ausdrücken. Zu diesem Zweck addiren
und subtrahiren wir rechts 2q).yq)^ und erhalten:

(«^)^' = 2(^2 9^4 — 993- - cpJ) — 2(p, (gp, + 39)2^),

oder, nach Formel (IIa) und (13a) Nr. 108:

oder, homogen gemacht:

(15) («^)^^ = 9'o^-9'2M-

Es liegt also hier der Fall vor, dass ein Ausdruck, wel-
cher den Stammformen gegenüber unabhängig erscheint, als
abhängige Function andrer Formen darstellbar ist. Combinirt
man bei der Herstellung der Ueberschiebung die Buchstaben
anders als oben, so entstehen Formen, die gleichfalls durch
(a*)x^ ausgedrückt werden, sich aber sogleich als abhängige
Formen darstellen, indem sie entweder in 9?o(a^) oder in q>i{ct^)
übergehen. Es verdient bemerkt zu werden, dass «^ic^ un-
mittelbar die Zerlegungen {a-^){ax^) und {d'){a-x*) liefert.

2) (a^), die sechste Ueberschiebung von (^)^)2(|g) über
sich selbst. Aus der Form dieser Invariante schliessen wir
auf eine Zerlegung von folgender Gestalt:

(«'0 = A[(a2)]3-f i^[(a^')P.

Für den Fall, dass {a}') gleich Null ist, wird man haben:

l^Z _ _ A

— 214 —

Wenn die Function f, statt auf (e,, e.^, auf zwei andere
Punkte (fj, fj) bezogen wird, so ist nach Nr. 78:

wobei z/ der Modulus der Transformation (nach Nr. 012) ist.
Um nun die beiden Ausdrücke

auf das neue Punktsystem zu beziehen , hat man jedem alge-
braischen Factor noch z/ als Factor hinzuzufügen; daher
geht über

(«2) in («2) ^'5 («3) in («3)^6.

[a^f in [«2J3^12. ^^3-]2 ijj («3)^12.

mithin bleibt der Ausdruck ^ 3' bei der Transformation gänz-
lich unverändert (während sonst eine Potenz des Modulus der
Transformation hinzutritt). Dieser Ausdruck heisst daher eine
absolute Invariante . Er ist also A^on den Coefficienten aj,,j etc.
der Coordinatengleichung von /' durchaus unabhängig, und
besitzt einen absoluten Zahlenwerth, der sich lediglich nach
der gegenseitigen Lage der vier durch die Function dar-
gestellten Punkte richtet. Wir wollen diesen Werth bestim-
men für den Fall dass zwei dieser Punkte zusammenfallen.

Wenn wir zu diesem Zweck auf die erste der oben auf-
gestellten canonischen Formen zurückgehen, so finden wir,
dass, wenn e^ und e^ das eine der beiden Punktepaare ist,
das andre durch

^1112'^l ~l 2 ^'^1I22"^1 "^2 \ ^1222"^2 ^^^ ^>

oder in kürzerer Bezeichnung durch

(16) a^x{^ -\- - a.^x^x^ -\- a.^x.^ = 0

ausgedrückt ist. Man findet ferner:

(17) {a"^) = 2 (3 «2' — 4a^a3) ; (a^) = 6a2(2aia._^ — a,^)-

Soll nun (16) ein Paar zusammenfallender Punkte ausdrücken,
so muss die linke Seite dieser Gleichung ein vollständiges
Quadrat sein; d. h. man muss haben

\a2 = 2yaia^,

— 215 —
oder

(18) «,-'== y «j «3 .

Dieser Werth, iii (17) eingesetzt, giebt:

(fr) = - «1 «3 ; {k'^) = 8 ^«, «3 . - «^ «3 = -^ (rt, «3) - ;
denmaeb :

[«•^J^ = -^ (a, a,y ; [a^f = f- («, «3)^ ;
WY _ a

Hiernach ist

(«6) = [a2]3 _ 6 [a^J2

diejenige Invariante der Function, deren Verschivinden das
Zusammenfallen von siveien ihrer Funlde bedeutet.

Diejenige Invariante einer binären Function, welcbe 110.
diese Eigenschaft besitzt, heisst ihre Discriminante. "Da nun
n Punkte, von denen zwei zusammenfallen, in Wirklichkeit
nur n — 1 verschiedene Punkte vorstellen, so folgt, dass das
VerscliAvinden der Discriminante einer Function ax" = 0 mit
der gleichzeitigen Geltung der Gleichungen

f=ax'' = 0-^ fW =n . ttx"-^ = 0

zusammenfällt. Aus der zweiten dieser Gleichungen folgt nun

/'j = n . «ic^^^Ci = 0; /a = waa^^-^ßj = ^•

Eliminirt man zwischen diesen beiden Gleichungen ic, und x^,
so bleibt eine zwischen den Coefficienten der Gleichung /' = 0
bestehende Gleichung, welche mit der gleich Null gesetzten
Discriminante identisch ist. Nun ist nach Nr. 70 das Resultat
der Elimination der Variablen aus zwei Gleichungen vom
m. und n. Grade eine Gleichung vom Grade m + n in den
Coefficienten. In unserem Falle also, wo diese Summe gleich
2(« — 1) ist, wird die Ordnungszahl der Discriminante
r = 2(n — 1) sein". Wir können daher auch sagen : Wenn
cix'^ =0 eine binäre Function n. Grades ist, so ist ihre
Discriminante eine Invariante von der Form

— 216 —

Hiernach sind die Discriminanteu der quadratischeu, cubischeu
und biquadratischen Form resp. ausgedrückt durch

«2, a*j a^.
Für alle drei Formen ist oben die geometrische Bedeutung
ihres Verschwindens bereits nachgewiesen worden.

111. Wir schliessen hiermit die systematische Betrachtung

specieller binärer Functionen. Die für das vollständige Formen-
system der cubischen und biquadratischen Function gegebenen
kleinen Tabellen lassen eine gesetzmässige Anordnung der
unabhängigen Formen nicht erkennen, da die Zahl der For-
men zu gering ist. Dass aber ein solches Gesetz existirt,
wird wahrscheinlich, wenn man in den bei Clebsch a. a. 0.
auf Seite 277 u. 296 gegebenen Tabellen des Formensystems
der Functionen 5. u. 6. Grades jede Form durch ihren Cha-
racter bezeichnet, was mittelst der Gleichung n = rn — 2c

oder c =

leicht ausführbar ist. Diese Tabellen neh-

men dann folgende Gestalt an:

Vollständiges Formensystem der Function fünften Grades.

IM-^-*

-3,-2|-r| 0

1 2

3 [4

5

6

7

8

9

1

0

2

4
5

4

2

6
11

8

5

7

3

■

10

12 ;

9

6
7
8
9
10

16

18

20

(25)

17

14
19

21

13

15

22

24

26

23

11
12
13
14
15
16
17
18

29

31

28

30

27

135

34

33

32

•

37

36 1

40

42

39

41

38

44

^3

45

— 217 —

In dieser Tabelle sind die Formen mit negativem n des
Zusammenhanges wegen hinzugefügt. Der Wertli c = 25
liefert eine abhängige Form.

Vollständiges Formensystem der Function sechsten Grades.

n =

\

1-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

1

6

4

0

6
9

!

3

2

2
5

7

3

4

12

8

10

5

16

18

14

(17)

13
19

15

11 1

6

20

i

1 !

7

24

22

(21)

8

i 9
10
11
12

36

26
32
38

28
31

(27)
30

23
29

25

34
37

(33)

35

13

41

(39)

14
15

43

45

Ueber die Formen mit negativem n' vgl. oben. Die ein-
geklammerten Formen sind abhängige. Zwei Formen haben
den Character 6.

In beiden Tabellen muss mau die Formen von geradem
und diejenigen von ungeradem Character für sich allein ver-
folgen.

d) Beziehungen zwischen den Covarianten einer oder mehrerer
Functionen n. Grades.

Ausser den Beziehungen, durch welche die Covarianten 112.
einer Function mit den Stammformen verbimden sind, exi-
stiren noch mannigfache andere Beziehuugen zwischen den
ersteren, von denen oben gelegentlich Beispiele gegeben
wurden. Wählt man zur Bezeichnung einer Cova'riante die
Form (^r]y(^^y . . . , so kann man diese Beziehuugen un-
abhängig von dem Grade der gegebenen Function dadurch
herstellen, dass man irgend einen Factor (^rj) als Differenz
(5 — tj) schreibt, dieselbe durch Einführung eines anderen

— 218 —

Buchstabens g iii (| — ^) — (i? — ^) oder (| _ ^) + (g _ rj)
verwandelt, und in der gegebenen Co Variante (Itj) durch
(^t) — iv^) i'esp. (l^)-f-(^/?) ersetzt. In einer so erhalteneu
Formel, welche für ein System von soviel gleichzeitig ge-
gebenen Functionen gilt, als sie verschiedene Buchstaben
enthält, kann man nun Buchstaben einander gleich setzen,
und solche Glieder der Gleichung, welche durch Vertauschung
zweier gleichgesetzter Buchstaben in einander übergehen, ver-
eiuigeu. In jedem einzelnen Falle wird mau schliesslich die
Formel auf die bekannte Art homogen macheu.

Beispiele:

cc) r = 3.

l)c=l. - ari). Manhat(^->j)=(|-0 + (e->y);
also : (^ rf) = (ß, ^) -{- (^ rf) , oder (als Grundformel) :

homogen gemacht, wenn gpg, ip^, %^^ die zu |, )^, g gehörigen
Functionen sind:

2) c = 2. - {uy = liU) - {nt)? = {Uy + {rilf

— 2 (i rf) (r] ^). Andere Zerlegung : (^ tj)'' = (| r]) [(^£;) — (ij g)]

Die erste dieser Formeln geht für rj = t, über in (rj^)-
= 2(|'»^)('>j^j; die zweite für ^ = rj in die gleichbedeutende:

3) c = 3. — (^^)'. Man kann einen, oder zwei, oder
alle drei Factoren auflösen. Die beiden ersten Fälle geben:

arjY = i^rjY a ^) - i^vy m ; ^id (i^)^ = (g^) {uy

*) Die Ableitung dieser Grundformel mag liier noch auf einem
zweiten Wege ausgeführt werden, welcher den Vorzug hat, dass er
auch hei Functionen höherer Stufe zum Ziele führt. Die Grössen (x^),
{XT}), (x^) sind nach Nr. 81 gleich Null; mithin ist auch

{x^)(xr}){x^) = 0,
oder:

ix^)x^rit) + [xri)xHn) + {x ^) x"- {^ r,) = 0,

oder, durch x^ dividirt, und mit Ersetzung von (x'|), [xr]), (x^) durch
ihre resp. Werthe qpp, ipo, xo-

— 219 —

-2arj)(M){r]i)-\-ayi){^ay- Hieraus folgt: 2(i^)(|£;)(i;g)
+ {l^iYiU) - ilri){Ur = (lr]){rity - avfivt). oder, rla
man statt arjfiU) - it>])m'' wieder (|>j)(|^)(^;) schreiben
kann, (| r]) (| t) iv t) = (^ *?) in ^f — (I V)'' iv b- Man würde diese
Formel auch erhalten, indem mau die der vorigen Nr. mit (rj^)
multiplicirte.

4) c = 4. Sei (^ri)- {^t,) (rjt,) gegeben. Löst mau (^rj)

auf, so folgt: övymivt) = {fn)m'int) + Oä)m){ri^r

Da die beiden Glieder rechts durch Vertauschung von | und t]
in einander übergehen, so hat man schliesslich:

Für zwei cubische Functionen ist diese Formel gleich-
bedeutend mit einer der beiden, bei Clebsch a. a. 0. S. 223
unter Nr. 5 gegebenen, jenachdem man rj durch | oder | durch
rj ersetzt.

ß) r = 4.

1) c = 2. Wenn man die Grundformel des vorigen Falles
in der homogenen Form yx'^i^rj) -j- KX"{y]^) -f- ß^'"^(ti) = 0
schreibt, und mit einer neuen Function dx^~'^ multiplicirt,
so folgt: yöx^'^-^^r]) + ccdx^^-^{7]^) + ßdx^'^-^t^) = 0,
oder, wenn ■0' der neuen Function entspricht:

als neue Grundformel, die bereits homogen ist.

2) 6- =5. Durch die Substitution {U) = iW — {W
geht {Ufm){W- in {Wii^){l^y-{U)\m' über. Setzt
man | == -»^ = ^, so ist:

m^miw = irnf{Wi%^) - {Ufi^^?- ''■)

Anmerkung. Wir haben in dem Abschnitt über binäre Functio-
nen die runktreihen als zusammengesetzte Grössen kennen gelernt,
und gesehen, welche Gleichungen zwischen diesen Grössen bestehen
müssen, damit sie die in der zweiten Abtheilung dieses Buches be-
handelten geometrischen Eigenschaften besitzen. Da diese neue Be-
handlungsweise einer Punktreihe keine neuen geometrischen Resultate

*) Für n = 3 ist diese Formel, jenachdem man § oder ri stehen
lässt, analog den bei Clebsch a. a. 0. S. 223 zwischen (6) und (7) stehen-
den Formeln. Der Unterschied rührt davon her, dass oben nur ein
Theil der Ueberschiebung zu Grunde gelegt ist.

- 220 —

liefert, so ist sie nur als Vorstufe für die ;in zusammengesetzten Grössen
in der Ebene anzustellenden Untersuchungen wichtig, als solche aber
auch unentbehrlich. Ueber das Verhältniss der oben gegebenen zu
der bishei'igen Darstellung ist bereits in der Anmerkung zu Nr. 86 das
Nöthige gesagt worden. Mau vergleiche auch die Anmerkung am
Schluss von Nr. 51.

B. Gebiet der Ebene. Functionen 3. Stufe. (Ternäre Formen.)

Die Function 2. Grades. (Quadratische Form.)

k) Eine Function.

113. Die allgemeine Form dieser Function ist

(1) ax^ = 0,
oder wenn

gesetzt wird,

(2) a^^x^^-\-a.^^x^'^a.y^x^^'2 («^.^ x^x^-^a.,.^x^_x.^-^a^^ ^■>,^\) = 0.
Da diese Gleichung zwei unabhängige Variablen enthält,

— und — , so entspricht jedem beliebigen Werthe der einen

ein bestimmter Werth der anderen, und jede stetige Aenderung
der einen bewirkt eine stetige Aenderung der anderen. Die
Gleichung stellt daher eine stetige Reihe von Punkten oder
Geraden vor, jenachdem e^e.^e,^ Punkte oder Strecken sind.
Im ersten Falle sagt die Gleichung (1), dass der Punkt x,
welcher durch seine Bewegung jene stetige Punktreihe be-
schreibt, stets auf dem Gebilde a liege; also ist a eben jene
Punktreihe, die wir nun Curve nennen, und zwar Gurve
zweiten Grades {Kegelsclmitt) weil die bestimmende Gleichung
eine Gleichung zweiten Grades ist. Im zweiten Falle kann
man e^e.^e^ und x als Ergänzungen von Punkten betrachten,
und X ist dann nach Nr. 81 Tangente an die Curve «. Die
Gleichung (1) sagt also, dass die Gerade x, welche durch
ihre Bewegung die oben erwähnte stetige Reihe von Geraden
beschreibt, stets Tangeute an die Curve a sei, die somit von
jener Reihe von Geraden umhüllt wird.

Anmerkung. Da die Ergänzung eines Punktes im Gebiet der
Ebene nicht mehr, wie im Gebiet der Geraden, wieder ein Punkt,
sondern ein Linientheil ist, so sind die durch die verschiedenen Auf-

- 221 - ■ -

fassuugsweisen von e , e^ etc. bedingten Erzeugungen einer zusammen-
gesetzten Grösse in der Ebene wesentlich von einander verschieden und
daher gesondert zu betrachten. Die zweifache Entstehung der Kreis-
linie wurde bereits in der „Raumlehre" Nr. 103 besprochen.

Setzt man iCg = 0, so stellt x nach (la) einerseits ein
Punktepaar vor, welches sowohl auf dem Kegelschnitt wie
auf der Geraden ic^c.^ hegt, und welches durch die Gleichung
(2), die nun eine binäre Function wird, genau bestimmt ist.
Da Cj und e^ beliebig gewählt sind, so sclmeidet nicht nur
die Gerade {e^e^, sondern jede Gerade den Kegelschnitt in
2 Punlien. — Andrerseits stellt x ein Geradenpaar vor, wel-
ches gleichzeitig durch den Punkt (e^e.^) geht und den Kegel-
schnitt berührt. Man schliesst hieraus , analog wie oben, dass
man aus jedem PunJite an einen Kegelschnitt 2 Tangenten
ziehen hann.

Canonische Formen. 1) Wenn e^ßj^ so angenommen 114.
werden, dass sie auf der Curve selbst liegen, so müssen diese
Punkte, statt x gesetzt, der Gleichung (1) genügen. Man

hat also:

aej2 = 0; «e.,^ = 0; ae./ = 0]
oder

«jj = 0; «22 = 0; c;.{3 = 0;

mithin nimmt (2) die Form an :

eine Gleichung, welche durch je zwei der Werthe x^ = 0,
a^j = 0, x^ = 0 befriedigt wird. Es ist also in der That,
wie aus (la) hervorgeht, x = x^Cy oder x^e^ oder x^e.^.

2) Für die binäre Function 2. Grades wurde die zweite
canonische Form bestimmt durch die Bedingung a e^ e.^ = 0,
oder e, ^ «^j*); e^ ^ oce^. In analoger Weise mögen nun-
mehr die drei Punkte ejCj^ bestimmt werden durch die Be-
dingung :

ae, 6063 == 0,
oder:

(ej 62) = a 63 ; {e.^ 63) = a e^ 5 (63 e, ) ^ « ^2 •

Multipliciren wir diese Gleichungen resp. mit r, , c.^, c.^,
so wird die linke Seite als äusseres Product, welches zwei
gleiche Factoren enthält, jedesmal Null; man erhält also:

*) Das Zeichen = bedeutet: „gleich, bis auf einen Zahlfactor".

— 222 —

(^1^2)^1 = «Cgej = 0; (606.5)62 == «6162 = 0;

(«3^1)^3 = a62% = 0;
oder:

«31=0; «12 = 0; «23 = 0-
Demuacli nimmt (2) die Form an:

(4) «J 1 ^1^ + «22 ■'^2' + «33 Ä^g^ == 0 .

Es fragt sich nun weiter, in welcher geometrischen Be-
ziehung die so gewählten drei Punkte Cj , 62 , c., zur Curve
stehen. Seien x, y, z drei beliebige Punkte der Ebene. Die-
selben werden in derselben Beziehung zur Curve stehen, wie
Cj, e^, 63, wenn man hat:

axys = 0,
oder:

{yz)^ax'^ {zx)^Eiiccy] {xtj)^^az.

Da /" = ^ = 2ax, so ist die Gerade {yB) dasselbe wie
die Gerade f . Nimmt man nun an, dass x auf der Geraden
{ßy 62) liege, so geht die Formel x = x^e^-\- x.^e^ + ^3^3 ^ber
in x = x^e^ -\- x^e.^. Die Gerade (6162) schneidet dann den
Kegelschnitt in einem Punktepaar a' und die Gerade {ijz) in
einem Punkte x . Aber wenn man in der Gleichung {\jb) ^ax,
oder f'^ccx, worin man sich x durch 6^6263 ausgedrückt
denken mag, x^ = 0 setzt, so verwandelt sich (/") in den
Schnittpunkt dieser Geraden mit (Cj 62) , und a in das Punkte-
paar, in welchem (6^62) die Curve schneidet. Also ist

OC ■■ ■ — CC lA/ »

d. h. (nach Nr. 90 (6)): x' ist der vierte harmonische Punkt
zu X in Bezug auf das Paar «'. Da nun ej und e.^ beliebig
angenommen werden können, so hat jede durch x gezogene
Gerade die Eigenschaft, dass ihre Schnittpunkte mit der Curve
harmonisch sind zu ihrem Schnittpunkte mit (ys) und zu x.
Anders ausgedrückt: Die Gerade ax ist der geometrische Ort
des vierten harmonischen Punktes zu dem Paare der Schnitt-
punlite einer beliebigen durch x gezogenen Geraden mit der
Curve a , in Bezug auf den Punkt x. — Vermöge dieser Eigen-
schaft heisst (ax) (harmonische) Centrale erster Ordnung
(wegen f^'>) zu der Curve a in Bezug auf den Pol x. Es
heissen ferner x und sein vierter harmonischer Punkt zu-
sammen harmonische Pole des Kegelschnitts.

- 223 —

Anmerkung. Bei einer Curve w. Grades wird das durch /^'^ dar
gestellte Gebilde Centrale p. Ordmcng in Bezug auf den Pol x genannt,
dagegen das durch /"'"""^'^ dargestellte Gebilde Polare p. Ordnung in
Bezug auf das Centrum x. Da für n = 2 und p = l die Gleichung
^ii^) —. ^(.n—p) ijesteht, so fallen für die Kegelschnitte die Begriffe Cen-
trale und Polare, sowie Pol und Centrum zusammen. Wir werden
daher, dem Sprachgebrauche gemäss, die Bezeichnungen Pol und Po-
lare anwenden. (Vgl. ,, Raumlehre" Nr. 174.) — Es mag bei dieser Ge-
legenheit bemerkt werden, dass die ^). ,, Polare" andrer Autoren bei
Grassmann ,, Centrale" von jj. Ordnung heisst, während die (« — p). Po-
lare hier Polare p)- Ordnung genannt wird.

Hieraus geht hervor, dass die allgemeine Gleichung (2)
eines Kegelschnitts sich auf die canonische Form (4) reducirt,
ivenn die Pimhte e^e.^e.^ so geivcihlt iverdcn, dass in dem JDrei-
ecJc derselben jede Seite die Polare des Kegelschnittes ist, in
Bezug auf die gegenüherliegcnde Ecke cds Pol.

Sätze iiber Pol wul Polare. — Wenn in der vorigen Nr. 115.
die Buchstaben e^, e^, e.^, x, y , s Strecken bedeuten, so ist a
das Tangentenpaar, welches man von dem Punkte {e^e^ an
die Curve a ziehen kann, und x die Verbindungslinie zwi-
schen den Punkten (e^c^) und {ys). Wenn dann wieder in
der Gleichung /' ^ ax für x^ der Werth Null gesetzt wird,
so verwandelt sich f in die Verbindungslinie dieses Punktes
mit dem Punkte {e^e^, und a in das Tangentenpaar, welches
aus (Cj c) an die Curve gezogen wird. Und die Gleichung
x' ^ a X bedeutet: x ist die vierte harmonische Linie zu x
in Bezug auf das Tangeutenpaar «'. Es hat dann jeder auf x
gewählte Punkt die Eigenschaft, dass die von ihm an die
Curve gezogenen Tangenten harmonisch sind zu seiner Ver-
bindungslinie mit {yz) und zu x. Man kann in Folge dessen
{ax) (harmonisches) Centrum erster Ordnung zur Curve a in
Bezug auf die Polare x nennen. Es heisseu ferner x und die
zugehörige vierte harmonische Linie zusammen harmonische
Polaren des Kegelschnittes.

Anmerkung. Die doppelte Auffassung der Variable x als Punkt
und als Strecke bewirkt, dass jeder Untersuchung über Curven sich
eine reciproke zur Seite stellen lässt, sofern eben die Curve als zu-
sammengesetzte Grösse betrachtet wird. Die soeben auf doppelte Weise
gewonnenen Begrifte von Pol und Polare bieten ein Beispiel dafür. —
Man kann jedoch im vorliegenden Falle das Kesultat der zweiten Unter-

— 224 -

suchung auch direct aus dem der ersten ableiten. Dies soll im Folgen-
den geschehen.

Sei P ein beliebiger Punkt auf der convexen Seite des
Kegelschnitts, und p die zugehörige Polare. Es entstehen
dann auf einer beliebigen durch P gezogenen Secante r die

5^--"

Fig. 32.

harmonischen Punktepaare (PQ), (S^S.^). Wenn die Secante
in eine Taugente übergeht, d. h. wenn 6\ und ä., zusammen-
fallen, so fällt auch Q mit diesen beiden Punkten zusammen,
d. h. Q ist der Berührungspunkt der Tangente. Da man
durch P zivei Tangenten (mit den Berührungspunkten T^ und
T^) an den Kegelschnitt legen kann, so ist die Verhindungslinie
ihrer Berührungspunlie die Polare zu P.

Anmerkung. Construction der Polare zu einem auf der convexen
Seite des Kegelschnittes gegebenen Punkte, uud des Pols zu einer
Secante.

Multiplicirt man die harmonische Relation

Q

Si [ Q — S<,
"T P - &

P — S

so ffeht sie über in

= 0 mit

P - S,

+

P-Sj

Q-S,

!■ = 0. Dieselbe Form

Q_S^ ^ Q-S,
würde man aber auch durch Vertauschung von P mit Q er-
halten; mithin lässt diese Vertauschung die harmonische Re-
lation ungeändert. Man kann daher sagen : Dreht sich die
Secante r um den einen der leiden harmonischen Pole {Q, P),
so heschreiht der andere eine Gerade. — , Hat sich nun r um
Q bis in die Richtung p gedreht, so wird R, der vierte har-
monische Punkt zu {T^T.^ in Bezug auf Q, die neue Lage
von P bezeichnen, und PR ist die Gerade, welche P be-
schreibt, während r sich bis p dreht. Anders ausgedrückt :

— 225 —

Dreht sich eine Gerade um einen ihrer Punkte, so heschreiht
ihr Pol eine Gerade. — Aber ebenso, wie vorher ^j als Ort
des Punktes Q die Polare von P war, so ist nun (PjR) = q
als Ort des Punktes P die Polare von Q. Der letzte Satz
kann daher so ausgesprochen werden:

Dreht sich eine Gerade um
einen ihrer Punkte, so heschreiht
ihr Pol die Polare dieses Punktes.

Beschreiht ein Punkt eine Ge-
rade, so dreht sich seine Polare
um den Pol dieser Geraden.

Die Verbindungslinien des Punktes P mit den harmo-
nischen Paaren {Q, R) und (T, T^) sind (nach „Raumlehre"
119) harmonische Linien. Da nun zu jedem Punkt auf der
Linie g eine durch Q gehende Polare gehört, deren Schnitt-
punkte mit der Curve harmonisch sind zu Q und dem Schnitt-
punkte der Polare mit g, so wird für jeden Punkt auf q das
an die Curve gezogene Tangentenpaar harmonisch sein zu q
und der Verbindungslinie des gegebenen Punktes mit Q. Es
ist also nach der im Anfang dieser Nr. gegebenen Definition
Q harmonisches Centrum erster Ordnung zur Curve in Bezug
auf die Polare q. Da aber Q bereits als Pol zur Curve in
Bezug auf die Centrale q nachgewiesen ist, so zeigt sich aufs
Neue, dass für Kegelschnitte die Begriffe Pol und Centrum,
sowie Centrede und Polare sich decken.

Unmittelbar aus der Figur lassen sich die Sätze ablesen :

Die Polaren {r, q) siveier
harmonischer Pole (R , Q) eines
Kegelschnittes sind harmonische
Polaren.

Die Pole {R, Q) zweier har-
monischer Polaren (r, q) eines
Kegelschnittes sind harmonische
Pole.

Anmerkung'. Consti'uction der Polare q zu einem auf der con-
caven Seite des Kegelschnittes gegebenen Punkte Q mittelst zweier
beliebiger durch Q gehenden Secanten r und j;. — Construction des
Pols Q zu einer den Kegelschnitt nicht schneidenden Geraden q mittelst
zweier beliebigen auf q liegenden Punkte R und P.

Construirt man auf der Geraden jp dasjenige Punktepaar 116.
(R^Q^), welches gleichzeitig mit {T^T^ und mit {QR) har-
monisch ist, so ist die Linie {PRi) = ^i die Polare von Q^ ,
und (PQi) = >'i die Polare von P, . Man hat also die Sätze:

Die Polaren von zwei har-
monischen Punktepaaren sind
harmonische Linienpaare. —

Die Pole von zwei harmo-
nischen Linienpaaren sind har-
monische Punktepaare. — Der

Schlegel, Elemente. 15

— 22G

JDk Polare jedes FmiJdcs geht
durch den zugeordneten Punkt,
wenn der erstere PunM nicht
auf der Curve liegt.

Die Polaren von drei involu-
forischen Punktcpaaren sind in-
volutorische Linienpaare.

Pol jeder Linie liegt auf der
mgcordneten Linie, ivenn die
erstere Linie nicht Tangente an
die Curve ist.

Die Pole von drei involii-
torischen Linienpaaren sind in-
volutorische Ptmktepaare.

Wenn drei Punktepaare ß, y, d, die auf verschiedenen
Geraden gegeben sind, eiuen involutorischen Verein bilden,
so ist nach Nr. 96 :

A/3 + fi7 + vd =^0;
daher, mit a multiplicirt, wenn ax- == 0 die Gleichung des
Kegelschnittes ist:

X.aß-\-ii.ciy-\-v.ad = 0.

Nun sagte oben die Formel ccxyz = 0, dass x und (yz)
harmonische Polaren von a seien. Ist also ß ein Linienpaai*,
sa sagt aß = 0, dass diese Linien ein Paar harmonischer
Polaren, und wenn ß ein Punktepaar ist, dass diese Punkte
harmonische Pole des Kegelschnittes sind. Da nun aus aß = 0
und ay = 0 vermöge der letzten Formel sich ergiebt: a d = 0,
so hat man die Sätze:

Wenn die GegenecTcen- Paare
eines Vierecks harmonische Pole
eines Kegelschnittes sind, so sind
die Schnittpunkte der Gegensei-
ten ebenfalls harmonische Pole.

Wenn die Gegenseiten-Paare
eines Vierseits harmonische Po-
laren eines Kegelschnittes sind,
so sind die Diagonalen eben-
falls harmonische Polaren.

Wenn die Secante, zu welcher man den Pol suchen soll,
ein Durchmesser des Kegelschnittes (Ellipse oder Hyperbel)
ist, so wird, da die in den Endpunkten eines Durchmessers
gezogenen Tangenten parallel sind, der zugehörige Pol der
unendlich entfernte Punkt dieser Tangenten sein. Und da
die Polare des Schnittpunktes zweier Linien die Verbindungs-
linie ihrer Pole ist, so ist die Polare des Mittelpunktes eines
Kegelschnittes die unendlich entfernte Gerade. — Da die Ver-
bindungslinie eines Pols mit einem beliebigen Punkte der
Polare den Kegelschnitt in einem zu den beiden Punkten
harmonischen Paare schneidet, so wird in der That auf jeder
durch den Mittelpunkt gezogenen Secante der dem Mittel-

- 227 —

punkte zugeordnete harmonische Punkt in unendlicher Ent-
fernung liegen müssen („Raumlehre" Nr. 1G9). — Umgekehrt
ist die Folare des unendlieh entfernten Punlies einer Geraden
derjenige Durchmesser, welcher die Berührungspunkte der
beiden mit der Geraden parallelen Tangenten verbindet. —
Man kann daher die beiden reciproken Sätze auf S. 267 so
specialisiren :

Die Pole aller parallelen Ge-
raden liegen auf dem Durch-
messer, welcher die Endpunhte
der beiden^ diesen Geraden par-
allelen, Tangenten verbindet.

Die Polaren aller Pimläe
eines Durchmessers sind den
beiden im Endpunkte des Durch-
messers gezogenen Tangenten
parallel.

Von den vier harmonischen Punkten, die auf jeder der
parallelen Geraden entstehen, sind zwei die Schnittpunkte der
Geraden mit der Curve, d. h. die Endpunkte der auf der
Geraden abgeschnittenen Sehne; der dritte ist der unendlich
ferne Punkt der Geraden, der vierte also der Mittelpunkt der
Sehne. Dieser vierte Punkt aber beschreibt, wenn die Gerade
sich um ihren unendlich fernen Punkt dreht, die Polare dieses
Punktes, d. h. den in beiden Sätzen erwähnten Durchmesser;
hiermit ist also der Satz bewiesen:

Die MittelpunMe aller parallelen Sehnen eines Kegelschnitts
liegen auf dem Durchmesser, ivelcher die Endpunkte der beiden
mit diesen Sehnen parallelen Tangenten verbindet.

Wenn die Endpunkte zweier beliebigen Durchmesser eines
Kegelschnittes mit einander verlmnden, und in denselben
Endpunkten Tangenten gezogen werden, so entstehen zwei
Parallelogramme, von denen das eine dem Kegelschnitt ein-,
das andre umschrieben ist. (Siehe die Figuren zu Nr, 22 u.
Nr, 29.) Es ist dann jeder Eckpunkt des äusseren Parallelo-
gramms der Pol zu derjenigen Seite des inneren, welche die
Endpunkte der von ihm aus gezogenen Tangenten verbindet.
Die Pole zweier Gegenseiten der inneren Figur sind also die
Endpunkte einer Diagonale des äusseren. Da diese Gegen-
seiten aber parallel sind, so liegen ihre Pole auf dem Durch-
messer, welcher die Endpunkte der beiden, diesen Gegenseiten
parallelen Tangenten verbindet. Dieser Durchmesser fällt
also mit jener Diagonale zusammen, oder, da der Durchmesser

15*

— 228 —

alle mit jenen beiden Gegenseiten parallelen Sehneu (und
diese Gegenseiten selbst) lialbirt, so kann man sagen :

Jede Diagonale des äusseren Parallelogramms halhirt das
eine Seitenpaar des inneren, und ist (in Folge dessen) dem
anderen Seitenpaare parallel.

Da endlich die Diagonalen des äusseren Parallelogramms,
als Sehnen des Kegelschnittes betrachtet, conjugirte Durch-
messer genannt wurden, so hat man schliesslich den Satz:

Von zivei conjugirten Durchmessern eines Kegelschnittes
halhirt jeder die dem anderen parallelen Sehnen. (S. d. Anm.
zu Nr. 22.)
117. Covarianten. — Die erste Covariante der Function (für

r = 3 und c = 2) ist

Da n (= nr — cp) = 0 ist, so ist sie eine Invariante,
und nach Nr. 76, (5) die Hesse'sche Determinante der Function.
Wenn sie den Werth Null hat, so kann (nach Nr. 75) x aus
zwei, statt aus drei Einheiten abgeleitet werden. Die Function
ax^ ist also in diesem Falle eine binäre Function, und stellt
als solche ein Ptmktepaar oder ein Linienpaar vor.

Wenn noch die Ableitung der Hesse'schen Determinante
nach einem ihrer Elemente verschwindet, so lässt sich die
Function aus einer einzigen Einheit ableiten, und stellt ein
Paar zusammenfallender Punlie oder paralleler Geraden vor.

Speeielle Ableitungeti dieses Mesultates. Es ist {^r^^f = [a^]
= (ae,) (acj) («63). Nun sind (aei), (0:62), («^3) die Polaren der Punkte
e,, ^21 ^3 üi Bezug auf die Curve a. — Die Gleichung (aej) (0:62) {ae^)
sagt aus, dass diese drei Polaren durch einen Punkt gehen („Raum-
lehre" Nr. 144). Wenn aber die Polaren dreier Punkte durch den-
selben Punkt gehen, so liegen die Punkte selbst auf derselben Geraden.
Dann besteht zwischen Ci, ^2, 63 eine Zahlbeziehung, und man kann x
statt aus drei, aus zwei Punkten ableiten.

Ist nicht nur die Hesse'sche Determinante selbst, sondern auch ihre
Ableitung nach einer der Einheiten (vgl. Nr. 75 am Schluss), z. B. nach

Cg gleich Null, so ist —^ — - = (ae,) {cce^ = 0; d. h.: (a') = 0. Wenn

aber (a^), die Hesse'sche Determinante der nunmehr binären Function
ax^ = 0, verschwindet, so stellt diese Function ein Paar zusammen-
fallender Punkte oder paralleler Geraden vor.

Zwei andere Methoden, analog den in Nr. 91 für die Hesse'sche
Determinante der binären quadratischen Form angewendeten, führen

— 229 —

zu demselben Resultate. — Eiu besonderes Interesse bietet nur die
Reduction der Function auf einen Doppelpunkt mittelst der ersten jener
Methoden; dieselbe möge daher hier noch Platz finden. Es ist
(ae,) = ofiißi + 01)2^2 + «,363; (ccei) = a^iei + «22^2 + «23^3;

(a f 3) = «3, ej + 0-32 (-2 + «33 63 .

Ist nun das Product dieser drei Grössen Null, so besteht zwischen
ihnen eine Zahlbeziehung:

^i(«ei) + hiocez) + ^3(0: 63) = 0.
Ersetzt man (ore,), (ccCz), (cce.^') durch ihre Werthe, so müssen die
Coefficienten von Cj, €2, e^ einzeln Null sein, da sonst zwischen diesen
Grössen eine Zahlbeziehung existirte. Man hat also:

^l«a + ^2«21 + -IsCfsl = 0; ^l«12+ ^2«22+ ^3«S2 = 0;

h^ta + ^2a23 + ^3 «33 = 0-
^3(««i) = «11(^361 — ^i^a) + «12(^3^2 — -^263);
Igiaez) == «21(^361 — liCs) + «22(^3^2 — ^2^3);

^sC^^s) = «31(^3^1 — '^■1^3) + «^32(^3^2 — ^2e3)>

oder, wenn X^ei — ilies = ^3«! und ;i3e2 — h^3 = h^z gesetzt wird:

(a ßj) = «1, f 1 + «12 £2 ; (« ^2) = 0^21 f 1 + «22 f2 ; (a eg) = Ofg, f, + «32 f 2-

Führt man in der Formel x = XiCi -{- XzCz -\- x^e^ die Werthe Si
und fj ßio. so folgt:

I3X == Xii'i3 8i + ^163) + Xzi^aS^ + X2C3) + 13X363.
Da sich aber x ebenso wie die Grössen (ac,) etc. durch s, und ^2 allein
ausdrücken lässt, mithin nunmehr von e^ unabhängig ist, so muss der
Coefficient von 63 verschwinden. Es ist also:

^1 ^l ~l 2 ^2 i~ ^3 *^3 ^^^ ^*

Dies ist die Gleichung einer Geraden, die von dem Punkte

beschrieben wird, d. h. die Gleichung der Geraden (eif2)- ^^ ^.us
ax^ = 0 zwei Werthe für — folgen, so zerfällt die Curve in zwei sich

Xi

schneidende Geraden (resp. zwei Punkte).

Wenn auch noch —j — - = (ae,) (««2) = 0 ist, so verfährt man nun
«63

ebenso, wie an entsprechender Stelle bei der binären quadratischen

Form, und findet, dass die Curve in zwei zusammenfallende Punkte

oder parallele Geraden zerfällt.

Anmerkung. Die Hesse'sche Determinante kann nach Nr, 72
geschrieben werden : (j^j i'dx') \dx')' ^^ ^' *^^ Potenzwerth eines

Quotienten. Dieser Potenzwerth ist derselbe, welcher in Nr. 42 durch
(Ä^) bezeichnet wurde. Demnach ist die Hesse'sche Determinante der
ternären quadratischen Form gleich dem Potenzwerth desjenigen Quo-

— 230 —

tienten, durch welchen die Ptcnkte Cj, e^, e^ in die PunJcte £,, fj, f^

(Nr. 42. Formel 4), d. h. -^ , y-^- , -r^ verwandelt tverden. Setzt

man ^ = /"i^i + /icj + f^e^, und bestimmt die Ableitungen von g nach
^ir •''''2) •'^'3» so erkennt man aus Nr. 42. Formel (2 a), (2 b), (2 c), dass
dieselben mit fj, s^, B3 übereinstimmen. Eine weitere Anwendung der
ternären quadratischen Form nebst ihrer Hesse'schen Determinante
findet sich am Schluss dieses Buches.

118. Für die binäre quadratische Form stellte es sich heraus,

dass ihre Hesse'sche Determinante gleichzeitig ihre Discrimi-
nante war (Nr. 110), d, h. diejenige Invariante, deren Ver-
schwinden das Vorhandensein eines Doppelpunktes in dem
durch die Function dargestellten Gebilde anzeigte. Da nun
das Verschwinden der Hesse'schen Determinante eines Kegel-
schnittes anzeigt, dass derselbe in ein Linienpaar zerfällt,
dessen Schnittpunkt als Doppelpunkt, oder in ein Punkte-
paar, dessen Verbindungslinie als Doppeltangente des Gebildes
zu betrachten ist, so folgt, dass auch hier jene Determinante
gleich der Discriminante der Function ist.

Es ist jedoch erforderlich, die Bestimmung der Dis-
criminante unabhängig von dieser zufälligen Bemerkung, uud
nach einer Methode auszuführen, welche allgemein auf eine
Function n. Grades anwendbar ist. Wir bestimmen zu diesem
Zwecke die Durchschnittspunkte einer Geraden mit der Curve,
und untersuchen, unter welcher Bedingung zwei (oder meh-
rere) Schnittpunkte zusammenfallen.

Seien a und b zwei beliebige Punkte der Ebene; dann
ist jeder Punkt x der Geraden (ah) durch

X =-- a -{- Xh
ausgedrückt, worin A ein variable Zahl ist.

Setzt man diesen Werth von x in der Gleichung der
Curve

ax"^ = 0

ein, so giebt dieselbe zwei Werthe für A, und diese Werthe,
in die vorige Gleichung eingesetzt, geben die beiden Schnitt-
punkte der Curve und der Geraden (a&). Entwickelt lautet
die letzte Gleichung:

a{a + Xhf = aa^ -f 2Xaab + Pa¥ = 0.

— 231 —

Ist hierin aa^ = 0, so liegt a auf der Curve; dasselbe
zeigt auch der Umstand, dass einer der beiden Werthe von
l Null, also einer der Werthe von x gleich a ist.

Ist aah = 0, so ist das Punktepaar, in welchem die
Gerade die Curve a schneidet, harmonisch mit dem Paare
(a&); d. h.; a und h sind harmonische Pole der Curve. Das-
selbe zeigt auch der Umstand, dass in diesem Falle die beiden
Werthe von A sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden,
sodass die beiden Schnittpunkte der Geraden und der Curve
durch die Ausdrücke:

x^ = a -\- kh'^ x^ = a — Xh
gegeben und damit als harmonische Punkte zu a und h be-
stimmt sind.

Ist gleichzeitig aa- = 0 und aah == 0, so fällt a mit
einem der Schnittpunkte, z. B. x^ , und (nach der Eigenschaft
der harmonischen Punkte) auch mit dem andern, x., zusammen.
Die Gerade ist daher Tangente an die Curve im Punkte a,
und h hat auf dieser Tangente eine beliebige Lage. Da in
diesem ^aWe beide Werthe von A Null sind, so lehrt auch die
Gleichung x = a -\- Ih, dass beide Schnittpunkte der Geraden
und der Curve mit a zusammenfallen.

Wenn endlich die Gleichungen aa- = 0 und aah = 0
für jeden Werth (jede Lage) von h gelten, so heisst dies nichts
andres, als dass für jede durch a gezogene Gerade die Schnitt-
punkte mit der Curve mit a zusammenfallen. In diesem-Falle
aber ist a ein doppelter Punkt der Curve. Die Grösse aa
kann aber nur dann mit jedem Punkte h der Ebene das Pro-
duct Null geben, wenn sie selbst gleich Null ist. Es ist also,
wenn f= ax"^ == 0 wieder die Gleichung der Curve ist,

f = ax = 0
die Bedingung für das Vorhandensein eines Doppelpunktes.
Aus dieser Gleichung folgt weiter:

/"j = axe^ = 0; /j = axe.^ = 0; /s = axe^^ = 0.
Eliminirt man zwischen diesen drei Gleichungen x^, x.^, x^,
so bleibt eine zwischen den Coefficienten 9er Gleichung /'=0
bestehende Gleichung, welche mit der gleich Null gesetzten
Discriminante identisch ist. Nun ist nach Nr. 68 das Re-
sultat der Elimination der Variablen aus drei linearen Glei-

— 232 —

chungen eine Gleichuug vom 3. Grade in den Coefficienten;
mithin ist die Discriminante eine Invariante von der Form

und, da diese Invariante die Invariante niedrigster Ordnung,
also ein eindeutiger Ausdruck ist, so ist die Discriminante
gleich («"*), d. h. gleich der Hesse'schen Determinante.

Anmerkung. Die in dieser Nr. angewendete Methode der Schnitt-
punkte einer Geraden mit einer Curve, welche, wie wir gesehen haben,
einerseits zur Theorie der Polaren und Centralen, andrerseits zu der-
jenigen der vielfachen Punkte führt, gab Grassmann für Curven
n. Grades (nebst Beispielen für n = 3, 4, 5) in den Göttinger „Nach-
richten" 1872. Nr. 28. S. 567 flf. — Mit Hilfe des Satzes über den Grad
der Resultante aus 3 Gleichungen beliebigen Grades (vgl. z. B. Fiedler,
,,Vorlesg. z. Einführung i. d. Algebra d. lin. Transf." Nr. 34) lässt sich
leicht zeigen, dass die Discriminante der ternären Form n. Grades eine
Invariante von der Ordnung 3 (n — 1)^ ist.

119. Unter den Punktepaaren und Linienpaaren, in die der

Kegelschnitt zerfallen kann, sind noch zwei wegen der be-
sonderen Eigenschaften ihrer Pol- resp. Polarenpaare hervor-
zuheben. Es sind dies die in unendliche Entfernung ver-
setzten Gebilde eines Parallelenpaares und eines Doppel-
punktes.

Zieht man durch ein endlich entferntes Parallelenpaar
eine schneidende Gerade, so sind die Schnittpunkte harmo-
nisch mit ihrem Mittelpunkte und dem unendlich fernen Punkte
der Geraden, und letztere beiden Punkte sind harmonische
Pole des als Kegelschnitt betrachteten Parallelenpaars. Es ist
also jedes Paar von Punkten, von denen der eine in der Mitte
zwischen den Parallelen, der andre in unendlicher Entfernung
liegt, ein harmonisches Polenpaar dieses Kegelschnittes. —
Rückt nun umgekehrt das Parallelenpaar in unendliche Ent-
fernung, und der unendlich ferne Punkt der Geraden ins End-
liche, so schneidet jede durch diesen Punkt gezogene Gerade
das Parallelenpaar in zwei Punkten, deren Mitte der dem
gegebenen Punkte zugeordnete harmonische Pol ist.

Das Parallelenpaar ist aber vermöge seiner unendlichen
Entfernung als ein'fe einzige Gerade (die unendlich entfernte
Gerade der Ebene, vgl. Nr. 3) zu betrachten; mithin fallen
seine beiden Schnittpunkte mit der Geraden, und der Mittel-
punkt dieser Punkte in den unendlich fernen Punkt der Ge-

— 233 —

raden. — Hiernach sind auf jeder Geraden in der Ebene ein
beliebiger PtinM und der unendlich entfernte Punkt zusammen
harmonische Pole desjenigen Kegelschnitts, welcher durch die
unendlich ferne Gerade der Ebene (als doppelte Gerade be-
trachtet) repräsentirt wird.

Verbindet man zweitens einen Doppelpunkt mit einem
beliebigen Punkte der Ebene, so ist diese doppelte Verbin-
dungslinie als Tangenten paar an den Kegelschnitt zu be-
trachten, welcher durch jenen Doppelpunkt repräsentirt wird.
Nun bildet die Linie, welche den Winkel zweier Tangenten
halbirt, nebst der auf ihr senkrechten Linie ein harmonisches
Polarenpaar des Kegelschnittes. In unserem Falle aber fällt
die Winkelhalbirende mit dem Tangentenpaare zusammen.
Es ist also jedes Paar senkrecht zu einander stehender Li-
nien, von denen die eine durch den gegebenen Doppelpunkt
geht, harmonisches Polarenpaar dieses Kegelschnittes. — Rückt
nun der Doppelpunkt auf irgend einer Geraden in unendliche
Ferne, so kann jede Gerade der Ebene als solche betrachtet
werden, deren unendlich entfernter Punkt mit diesem Kegel-
schnitt zusammenfällt, und jede auf ihr senkrechte Linie bildet
mit ihr selbst ein harmonisches Polarenpaar. Hiernach ist
jedes Paar senkrechter Linien in der Ebene harmonisches Po-
larenpaar desjenigen Kegelschnittes, welcher durch den unend-
lich fernen Punkt der einen Linie (als doppelten Punkt be-
trachtet) repräsentirt ivird.

Anmerkung. Der Doppelpunkt-Kegelschnitt kann als Kr eis mit
dem Radius Null betrachtet werden, und die unendlich ferne Gerade
als Kreis mit unendlich grossem Radius , der erstere mithin als Central-
punkt (Sj), die letztere als grösster Kreis eines Systems von Kreisen,
die von einem zweiten System rechtwinklig geschnitten werden (S. die
Figur S. 111). Da nun die Centralpunkte die imaginären Schnitt-
punkte aller Kreise des ersten Systems sind, mithin auch der Ki-eise
mit unendlich kleinem und unendlich grossem Radius, und da ferner
das Paar der Centralpunkte (<S\ und S^), in unendlicher Entfernung be-
trachtet, in einen Punkt zusammenfällt, so kann man sagen, „der un-
endlich ferne Doppelpunkt -Kegelschnitt sei das imaginäre zusammen-
fallende Punktepaar, in welchem die unendlich ferne doppelte Gerade
von einem unendlich kleinen doppelten Kreise geschnitten werde".

Dieser Satz bezeichnet wohl den Gipfelpunkt dessen, was die syn-
thetische Geometrie in der Anwendung paradoxer Begriffe leistet.
Denn die Begriffe „unendlich ferner Punkt" und „imaginärer Schnitt-

234 —

punkt" sind und bleiben paradox, solange mau sie wörUich nimmt,
statt in ihnen nur andere Ausdrucksformen für anschauliche geome-
trische Begriffe zu sehen. Nur unter diesem letzteren Gesichtspunkte
lässt sich ihre Anwendung rechtfertigen, und der vielseitige, wohl-
berechtigte Widerstand, welcher diesen Begriffen ausserhalb des Kreises
der Synthetiker entgegengesetzt wird, wird erst dann gegenstandlos
erscheinen, wenn man sich bescheiden wird, den „unendlich fernen
Punkt" als andre Ausdrucksform für ,, Strecke", den „imaginären Schnitt-
punkt" zweier Kreise als andre Ausdrucksform für ,,Centralpuakt" an-
zusehen.

Auch der oben gegebene Satz verliert seine n)ystische Form, und
lässt einen äusserst einfachen Inhalt erkennen, sobald man die eben
erwähnte Umschreibung auf ihn anwendet. Da ist zunächst ein un-
endlich ferner Doppelpunkt nichts weiter als ein endliches paralleles
Streckenpaar. Wenn ferner ein Punkt und eine ausserhalb desselben
liegende Gerade als Centralpunkt und grösster Kreis eines orthogonal
geschnittenen Kreissystems betrachtet werden, d. h. als Gebilde, die
sich in imaginären Punkten schneiden, so wird, wenn man beide Ge-
bilde mit dem Prädicat ,, unendlich fern" versieht, der Punkt in eine
Strecke, und die Gerade in einen mit dieser Strecke parallelen Flächen-
theil verwandelt. Da aber in unendlicher Entfernung schliesslich beide
Centralpunkte zusammen in die doppelte unendlich ferne Gerade fallen,
so heisst dies nichts andres, als: das Paar der parallelen Strecken (als
Kegelschnitt betrachtet) fällt in die Ebene des doppelten Flächentheils.
Und der oben gegebene Satz hat den Inhalt: Ein Parallelenpaar kann
man betrachten als dasjenige Gebilde, welches die durch dasselbe be-
stimmte Ebene mit eben diesem Parallelenpaar gemeinsam hat.

120. ^^^ ^^^ Eigenschaften der beiden eben besprochenen

Kegelschnitte können wir Gebrauch machen, um die beiden
reciproken Sätze von Vierecken in Nr. 116 zu specialisiren .
Wir zeichnen zu diesem Zweck für den ersten Satz ein so-
genanntes überschlagenes Viereck (ABA^B^), für den zweiten
ein Vierseit, dessen Gegenseiten auf einander senkrecht stehen

A

.V

Fig. 33.

Nach dem ersten
{B , jB|) harmonische

Fig. 34.

jener Sätze wird, wenn (Ä, Ä^) und
Polenpaare eines Kegelschnittes sind,

— 235 -

auch (0, C'j) ein solches sein. Dieser Fall tritt aber ein,
wenn J., und B^ in unendliche Entfernung rücken, wobei
die unendlich entfernte Doppelgerade der zugehörige Kegel-
schnitt ist. Beide Punkte liegen dann auf der unendlich ent-
fernten Geraden, und unser Satz sagt, dass auch C^, der zu
C zugeordnete harmonische Pol, auf derselben liegt. Man
kann daher sagen: Die unendlich fernen PunJde dreier Ge-
raden, welche die Seiten eines Dreiecks bilden, liegen auf der-
selben (unendlich entfernten) Geraden. Umschrieben lautet
dieser Satz : Drei Strecken auf den Geraden, welche die Seiten
eines Dreiecks (ABC) bilden, liegen in demselben Flächen-
theil. Oder, da es hierbei auf die Grösse der Strecken und
des Flächentheils nicht ankommt:

Drei Geraden, von welchen sich je zivei in einem Punkte
schneiden, liegen in derselben Ebene.

Nach dem zweiten jener Sätze wird, wenn (a, a^) und
(b, &i) harmonische Polarenpaare eines Kegelschnittes sind,
auch (c, Cj) ein solches sein. Dieser Fall tritt aber ein, wenn
«1 auf a und b^ auf b senkrecht steht, wobei ein unendlich
ferner Doppelpunkt der zugehörige Kegelschnitt ist. Unser
Satz sagt dann, dass auch (c, c^) ein harmonisches Polenpaar
dieses Kegelschnitts, und als solches ein paar senkrechter
Linien ist. Man kann daher sagen : Die aus den Ecken eines
Dreiecks {a b c) auf die Gegenseiten gefällten Senkrechten gehen
durch denselben Punkt. Reciprok sind also folgende beiden
Sätze :

Die Seiten eines Dreiecks
liegen in derselben Ebene.

Die Höhen eines Dreiecks
schneiden sich in demselben
Punkte.

Anmerkung. Das hier gegebene Beispiel einer Umsclireibung
zeigt uns die Bedeutung 'der unendlich fernen Gebilde in einem neuen
Lichte. Ebenso vpie der unendlich ferne Punkt als gemeinsames Ge-
bilde paralleler Linien uns aus dem Gebiet einer Linie in das der
Ebene hinausführt, so auch die unendlich ferne Gerade als gemeinsames
Gebilde paralleler Ebenen aus dem Gebiet einer Ebene in das des
Raumes. In der That giebt es zu dem Satze von den Höhen eines
Dreiecks im Gebiet der Ebene keinen reciproken Satz, sofern man un-
endhch entfernte Gebilde ausschliesst. Wohl aber sind die beiden
letzten Sätze reciprok in Bezug auf das Gebiet des Raumes. Denn in
diesem Gebiete entsprechen sich die Gebilde : Punkt und Ebene, Gerade
und Gerade. Mithin sind drei Geraden, die in einer Ebene liegen.

— 236 —

reciprok mit drei andeiu Geiaden, die durch einen Punkt gehen. —
Die unendlich fernen Gebilde können also benutzt werden , um einen
Ausdruck für eine Reciprocität in der Ebene zu gewinnen, die that-
sächlich nur im Räume besteht. — Vgl. über diesen Gegenstand auch
die Bemerkung bei Hesse, ,, Sieben Vorlesg, a. d. anal. Geom. d. Kegel-
schnitte". S. 43 unten.

121. Contravarianten. — Aus der oben betrachteten Invariante

(Xriiy entstebt nach Nr. 82 eine Contravariante, indem man
einen ihrer Buchstaben, z. B. |, als neue Variable betrachtet.
Wenn dann der Punkt x den Kegelschnitt « beschreibt (dessen
Gleichung ax^ = 0 ist), so beschreibt die Gerade | als um-
hüllende Linie ein zweites Gebilde, das im Allgemeinen noch
unbestimmt ist, aber durch Aufstellung einer Beziehung
zwischen den Variablen x und | definirt werden kann, und
dessen Gleichung {i, . rilY = 0 ist, eine Gleichung, die offen-
bar vom zweiten Grade in | ist, und daher ebenfalls einen
Kegelschnitt repräsentirt. — Die zweite Form dieser Glei-
chung ist offenbar:

Von jenen Beziehungen zwischen x und | mögen nun
^ die einfachsten betrachtet werden. — Wenn erstens | == /(^^
ist, dann ist nach Nr. 81 (^|) = 0, und | ist Tangente an
die gegebene Curve. Die von | umhüllte Curve ist also mit
der von x beschriebenen identisch, und ebenso wie die Glei-
chung aa;' = 0, wenn man x = x^e^ -\- x^e^ -^ x^e^ setzt,
auf die in Punktcoordinaten ausgedrückte Gleichung der Curve
führt, so die Gleichung {i, . Tqt,)"^ = 0 durch die Substitution
^ "^ ^iki + ^2^2 + iaks ^uf die Gleichung der Curve in
Liniencoordinaten. *)

*) Ausgeführt: Aus i = |i ki-flalea-f- ^ajeg-; ?? = 77i|ei4-^2l«2 + ^3 l^a;
t=^Aei + ti\e-, + U\e^ folgt:

= «lll + «2I2 4- «3i3•
worin

«11 = C^Ja^S — •»?3^2)^ = ^22^38 — 27]2,^32 + 7^33^22

«12 = (»72^3 — »?3^2) (Vstl - Vl^^) = ^23^31 — -^33^21 — ^21^33 + »731 ^23

ist, während die anderen Coefficienten aus diesen beiden durch circuläre
Vertauschung der Indices gefunden werden. — Da aber r] und J sich

— 237 -

Nimmt man ztveitens an, | sei die Ergänzung von x in
Bezug auf das Dreieck der Punkte e^e^e^, also | = jic; dann
folgt aus der Gleichung x = x^e^ -\- x^e.y -\- x.^e^ (nach „Raum-
lehre" Nr. 142)

I X — X* ßt ~"j Xt) o.> ~] Xo ßo %

man hat also statt |j, |o, I3 resp. zu setzen x^j X2, x^. Zwi-
schen den durch die Gleichungen

ax- = 0; (|a;. ^1)2 = 0
dargestellten Curven besteht also die Beziehung, dass ein Punkt
der ersteren aus den Einheiten gj, 62, 63 mittelst derselben
Zahlen abgeleitet wird, wie eine entsprechende Tangeute der
zweiten aus den Ergänzungen dieser Einheiten. Dasselbe
gilt auch, wenn man die beiden Curven vertauscht, da, wenn
^ die Ergänzung von x, auch x diejenige von ^ ist. — Ver-
möge dieser Beziehung nennt man jede der beiden Curven
die Reciprokalcurve der anderen. Um den Ausdruck der
zweiten Curve in Punktcoordinaten zu finden, hat man nur
in der Darstellung der letzten Anmerkung statt Iil2^3 i^esp.
XyXf^x^ zu setzen.

Beduction auf die Stammformen. Alle Covarianten der 122.
Function lassen sich aus x — P -\- ^f d. h. 6 — 3-}-l=4
Stammformen ableiten. Für die eine oben betrachtete Co-
variante {irji,)- ist diese Reduction bereits in Nr. 89 aus-
geführt, und gefunden worden:

iiinty = 9^20 <Po2 — 9^n' — 9^10*902 •
Da die Function keine weiteren unabhängigen Covarianten

auf die gegebene Function ax^ beziehen, so ist

«11 = 2(or22a33 — «23-;; a,2 == 2 («23 «31 — «33 «,2);
mithin die Gleichung der Curve in Liniencoordinaten:

(«22 «33 — a23^)^i^ + {oCssdn — 013,^)1^' + («i, «22 — CCii') ^3^

+ 2 [(a23o;3i — a33ai2) ^ , ^2 + («3i«i2 — a|i«23) I2 13 + («lattas — «aattsi) ^a 4i] = 0.
Da diese Gleichung, wie aus ihrer oben gegebenen Form erhellt, aus
den Grössen a und 4 gerade so zusammengesetzt ist, wie die Gleichung
in Punktcoordinaten aus u und x, so kann man die erstere auch
schreiben: a^^ = 0; d. h. man kann gleichzeitig a mit cc und 4 mit x
vertauschen. Also ist auch

du = 2(022 . «33 — «23^); "12 = 2 (023 «31 — «33«l2)> ^tC.

— 238 —

besitzt, so bleibt nur noch übrig, die in Nr. 89 erwähnte Ver-
einfachung der Reduction vorzunehmen, um diese letztere für
Functionen höherer Grade ausführbar zu machen.

Wenn | = f('\ rj = ip*-^), g = x^'\ ^ = «(i' die Ab-
leitungen von vier ternären Formen nach x sind, so ist

{x^) = {A'n) = {x^) = ix&) = 0,
mithin auch

{x^)(xrj){xt){x&) = 0,
oder:

{x^)x^{7]t^)-}-{xfj)x^^&^)-^{xt)x\&^^j)-^{xd-)x'ar}t)==0,
oder, durch x^ dividirt:

ixi){7jt») + (xri){^^l) + {x^){&^r]) + {x&)ar]t) = 0.

Dies ist für vier ternäre Functionen eine ähnliche Grund-
formel, wie sie in Nr. 112, Beispiel 1) für drei binäre Func-
tionen aufgestellt wurde. — Betrachtet man nun -9' als un-
abhängige Variable, d. h. als Linie, welche nicht durch den
Punkt X geht, so ist auch {xd') nicht gleich Null, und man
kann aus der Gleichung nur die drei Homogen itäts-Factoren
{x^), (xrj), (x^) weglassen. Setzt man noch, *um die Natur
der einzelnen Formen besser hervortreten zu lassen,

0-= \u,
wo n ein Punkt ist, so lautet die letzte Formel:

— ix\u) {^rj^) = (|W . 7]^) -^{\u.U) + (|w . ^7]).
Bei der weiteren Rechnung wollen wir uns wieder auf das

Beispiel (1^^)'^ beschränken, aus welchem das allgemein zu
beobachtende Verfahren vollständig zu ersehen ist. Mau hat
also zunächst:

{x\uy. {l^^y = 3i\u . nty + Qi\n . 7it)i\u . ei),

da bei der Gleichsetzung von ^, 7y, ^ sowohl die drei Qua-
drate, wie die drei doppelten Producte einander gleich werden.
Nun werden in die auf der rechten Seite der Gleichung
stehenden Klammerausdrücke die Hilfsgrössen y und x ein-
geführt, und zwar mittelst der in Nr. 89 abgeleiteten Formel :

- (|^)(e^)U0) - {^x){rjy){^0) - (r}x)(^y){t0),

— 239 —

wobei die an jener Stelle weggelassenen Homogenitäts-Factoren
beibehalten sind. Man braucht zu diesem Zweck in dieser
Formel nur |, resp. rj durch \ti zu ersetzen. — Zur weiteren
Vereinfachung nehmen wir aber vorher an, die bis jetzt un-
bestimmt gelassene Linie d- sei die Verbindungslinie der
Punkte y und z. Dann ist

1/^ = 0; ^^ = 0,
oder:

(y\u) = 0', {z\u)=0.

Es werden demnach in der obigen Formel auf der rech-
ten Seite alle Glieder gleich Null, welche die Grösse |, resp.
r] enthalten, und man erhält:

(|H . H) = {x\u) . imaz) - {UMz)\.

Setzt man diese Werthe in dem oben gegebenen Aus-
druck für (§>?^)^ ein, so hebt sich {x\iif- beiderseits weg,
und es bleibt:

• .\[Xy){U)-iXy){U)\'

Wir schreiben nun wieder, wie an entsprechender Stelle
der früheren Methode, für ^, r;, t, den Ausdruck aa;""^, für
|(2)^ r^(-^, g(2) j^[gQ c^^n — 2^ uii(j bestimmen z durch die Be-
dingung

arr"-!^ = 0.

Wenn dann in der letzten Gleichung die Klammern gelöst
werden, so verschwinden drei von den vier Gliedern, welche
der zweite Summand liefert, weil sie ax^~'^z als Factor ent-
halten, und es bleibt:

i d''?^)^ = ccx^'-'^y'^ . ax'^-'^z- — \ux^-^yzY
— \aoc;"^—^yY . ax^-^z"^,
oder, wenn wir wieder setzen:

ax^-^—f^y^z^ = cpx^,
■l{lrit,)- = 920 9^02 — ^ii"' — ^io'9'o2;
übereinstimmend mit dem früher gefundenen Resultate.*)

*) Die hier durcbgeführte abgekürzte Methode verdanke ich einer
brieflichen Mittheilung von Hrn. Grassmann.

240

ß) Zwei Functionen.
^^^* Zwei Functionen

worin

/y» ■ , . /y* p . I . /y> /y \ /y* />

ist, repräsentiren zwei Kegelschnitte in einer Ebene.

Covarianten. — Jenachdem man in dem Ausdrucke {i,ri^Y
die drei Grössen |, ij, ^ säramtlich aus der ersten, oder
sämmtlich aus der zweiten Function ableitet, erhält man die
bereits bekannten Invarianten («■') oder (/3'*). Jenachdem man
ferner zwei dieser Grössen aus der ersten, und die andre aus
der zweiten Function . ableitet, oder umgekehrt, erhält man
zwei neue Invarianten (a^/S) oder (a/3^). Hebt man in dem
Ausdruck (|^^)^ diejenigen Buchstaben, welche aus der zwei-
ten Function genommen werden sollen, durch einen oberen
Index hervor, so kann man die vier Invarianten in folgender
Weise unterscheiden:

(«3) _ (1^)2. («2^)_(i^2.

Um die geometrische Bedeutung der beiden neuen In-
varianten zu erkennen, gehen wir von den drei Formeln
(Nr. 114) aus, welche sagten, dass in dem Dreieck der Punkte
xyB jede Seite die Polare des Kegelschnittes a in Bezug auf
die Gegenecke sei:

{yz)^ ccx'^ {zx) ^ ay] (xy) ^ az.
Durch Multiplication von je zwei dieser Formeln folgt:
{xy)z'^ EZ3 a-{xy)\ {yz)x^ ^ a^{yz)-^ C^^)^/^ ^ a^izx)-^
daher, wenn keine zwei Punkte zusammenfallen :

z"^ ^ «-; x"^ ^ cc^'^ y-^^a^,
und durch Multiplication mit ß :

ßz'^ = a^ß; ßx:^ = a^ß; ßif = a^ß.
Ist nun («2/3) = 0, so ist ßx'- = ßy''- = ßz"^ = 0; d. h.: die
drei Punkte xyz liegen auf dem Kegelschnitt ß.

Bas Verschivinden der Invariante {cc^ß) zeigt also an,
dass der Kegelschnitt ß durch die Ecken eines Dreiecks geht,

- 241 — .

dessen Seiten Polaren des Kegelschnitts a in Bezug auf die
gegenühcrlirgenden Ecken sind. — Durch Vertauschung von
a und ß erhält man aus diesem Satze die Bedeutimg der
anderen Invariante.

Contravarianten. Ausser den beiden Contravarianten der 124.
einzelnen Functionen, nämlich {\x . i]^)- und (\x . rft)' kann
nur noch eine Form dieser Art -gebildet werden, nämlich da-
durch, dass man den einen der beiden Buchstaben r] und t,
aus der ersten, den andern aus der zweiten Form nimmt.
Man hat also im Ganzen folgende drei Contravarianten, worin
^ = \x sein solJ :

Die mittlere dieser Formen repräsentirt ebenso wie die
beiden anderen einen Kegelschnitt. Um denselben näher
kennen zu lernen, nehmen wir an, es sei | = |^., . Dann
würden bei der Ausrechnung des Productes Q, . rjt,') die-
jenigen Glieder von i] und ^', welche den Factor \r., enthalten,
nicht zur Verwendung kommen. Es ist daher

vorausgesetzt, dass man 7] und t,' nur aus |^, und |e.^ ableitet,
und in Folge dessen x nur aus e, und e., . Unter letzterer
Voraussetzung aber bedeuten a und ß die Punktepaare, in
denen die Curven cc und ß von der Linie ^ geschnitten wer-
den. Wenn nun

{fltr = (aß) = 0

ist^ so sind die Punktepaare u und ß harmonisch (Nr. 93).
Es schneidet also die Linie ^ (= | e.^) die beiden Curven a und
ß in harmonischen Punktepaaren; und da jede der Lagen
von I, die der Gleichung (a/3)|2 = 0 genügt, als Linie {\e^)
angenommen werden kann, so repräsentirt die Gleichung
(aj3)^2 ^^ 0 denjenigen Kegelschnitt, dessen sämmtlirhe Tangen-
ten die Curven u und ß in harmonischen PunJcfepaaren
schneiden.

Bezeichnen wir die zu a und ß reciproken Kegelschnitte
mit a. resi^. h, so ist

(«^)|2 = a|2. (^•>)|2_;,|2.

Schlegel, Elemente. . 16

_ 242 -

Nun erhält mau den ursprünglichen Kegelschnitt wieder durch
Vertauschung der griechischen und lateinischen Buchstaben;
mau hat also:

(a"^) x' = a X- ; (¥)X' = ßx"^.
Es wird ferner der zu (a ß)^- = 0 reciproke Kegelschnitt
ausgedrückt sein durch

(« byx- = 0.

Und dieser Kegelschnitt hat die reciproJce Eigenschaft, dass
die aus irgend einem seiner PunMe an die beiden gegebenen
Curven gezogenen Tangentenpaarc harmonische Linienpaare
sind. — Seine Gleichung ist eine Covariante der beiden ge-
gebenen Functionen, wie man sogleich erkennt, wenn man
darin a und b durch die gleichbedeutenden Werthe a? resp.
/3'- ersetzt, wodurch die Gleichung die Form erhält:

a'ß'-x'^O.-
Man wird diese Covariante unmittelbar aus den gegebenen
Functionen erhalten durch die Bilduug

wobei ^' und -&' aus der einen, t] und t, aus der' anderen
Function entnommen werden.

y) Drei Functionen.
125. Drei Functionen

ux''- = 0, ßx'^ = 0, yx^-^O,
worin

ist, repräsentiren drei Kegelschnitte in einer Ebene.

Covariantcn. 1) Ausser den neun bereits bekannten In-
varianten :

kann noch eine gemeinsame Invariante der drei Functionen
gebildet werden, nämlich:

Die geometrische Bedeutung ihres Verschwindens findet

— 243 —

sich, wenn man bedenkt, dass die Gleichung (ccßy) = 0 nichts
weiter sagt, als dass zwischen den drei Grössen a, ß, y eine
Zahlgleichung existirt, sodass man statt dieser Gleichung auch
schreiben kann :

Xa -\- iiß -\- vy = 0,

oder, mit dem Quadrat eines beliebigen Punktes x mul-
tiplicirt:

Xax"^ -\- y.ßx'^ -\- vyx' = 0.

Wenn nun x einer der Schnittpunkte der Curven a und ß
ist, so ist

ccx^-^^O, ßx' = 0',

mithin nach der letzten Gleichung auch

d. h.: auch die Curve y geht durch diesen Punkt.

Denkt man sich nun aus den iu entwickelter Form ge-
schriebenen Gleichungen ax- = 0 und ßx- ^=^ 0 eine der

beiden Variablen ~ und -^ eliminirt, so erhält man nach

X^ Xg

Nr. 70 eine Gleichung vom vierten Grade in der anderen,
mithin auch vier Werthe für diese Variable, deren jedem ein
Werth der anderen entspricht. Zivei Kegelschnitte Jiahen also
im Allgemeinen vier gemeinsame Punhte, und, reciprok, vier
gemeinsame Tangenten.

Demnach ist das Verschwinden der Invariante (ccßy) die
Bedingung dafür, dass die drei Kegelschnitte a, ß, y durch
die nämlichen vier PunJcte gehen (dem nämlichen Viereck um-
schrieben sind), und das Verschwinden der Invariante (ahc)
die Bedingung dafür, dass die drei Kegelschnitte a, h, c, vier
gemeinsame Tangenten haben (dem nämlichen Vierseit ein-
heschr leben sind).

Wir haben früher die Gesammtheit der durch einen
Punkt gehenden Geraden, von denen also je drei der Glei-
clmng [cißy) = 0 genügten, einen Stralenbüschel, und die
Gesammtheit der auf einer Geraden liegenden Punkte, voji
denen also je drei der Gleichung {abc) = 0 genügten, eine
Puuktreihe genannt. — In entsprechender Weise können wir
jetzt die Gesammtheit der durch dieselben vier Punkte gehen-
den Kegelschnitte, von denen also je drei der Gleichung

IG*

— 244 —

(« ßy"j = 0 genügen , einen Kcgelsclmitthüschcl nennen , und
die Gesaramtlieit der dieselben vier Geraden berührenden
Kegelschnitte, von denen also je drei der Gleichung {ahc) = 0
genügen, eine Kcgelsclmittreihe.

Anmerkung. Auf den Begriff des Kegelsclinittbüschels führte
uns schon früher die Darstellung des Kegelschnittes durch ein plani-
metrisches Product. S. „Raumlehre-' Nr. 178. 179. — Die Darstellung
von Curvenbüscheln und Curvenreiheu nach beiden Methoden hat Grass-
raaun ausgeführt in Crelle's Journal Band 42. S. 193 ff.

Wird in den Gleichungen der drei Kegelschnitte a, ß, y
die Variable x nur aus den Einheiten e^ und e.^ abgeleitet,
so stellen a, ß , y die Punktepaare vor, in welchen die gleich-
benannnteu Kegelschnitte von der Geraden (e^Cj) geschnitten
werden. Und die Gleichung (aßy) = 0 sagt aus, dass diese
Punktepaare involutorisch sind. (Nr. 96.) Man hat daher die
beiden reciproken Sätze:

Die Pimläeimare, in welchen
ein CurvenhüscJiel ziveiten Gra-
des von einer heliehigen Geraden
gesclinitten tvlrd, sind involu-
torisch.

Die Tangentenpaare, tvelche
an eine Curvenreilie zweiter
Klasse von einem beliebigen
Punlde aus gelegt werden, sind

involutorisch.

126. Die Function y= ka -{-jiß. — In der Gleichung la -f- ^t/3
-j- vy = 0 können wir v == — 1 setzen,' und erhalten dadurch
y als Function der beiden Curven cc und ß, nämlich

y = IcC -]- ^ß .

Man Jcann cäso einen Kegelschnitt des Büschels aus zivei
andern (durch ivelche ein Büschel vollständig bestimmt ist) eben-
so ableiten, ivie einen PunM auf einer Geraden aus zivei
Punläen auf derselben, oder eine Gerade in einem Stralen-
hüschcl aus sivei Geraden dieses Büschels.

Die Hesse'scJie Determinante von y. — Die Curve y zer-
fällt in ein Linienpaar, wenn ihre Hesse'sche Determinante
(y^) verschwindet. Dann ist nach der letzten Formel

Diese Gleichung giebt, wenn a und ß feste Curven, also

Constanteu sind, für die Variable — drei Werthe. Es existi-

."•

ren also drei Linienpanre, dir, als Kegelschnitte betrachtet,

— 245 —

dem Büschel mKjelwren. SiucI xi, B, C, D die vier Sclmitt-
puiikte vou a imcl ß, so sind diese Linieupaare:

{AB), {GL); {AC),{BDy, {ÄB),{BC),

Die Gleichung (y-*) = 0 (als Function von A und ^i ge-
schrieben) kann augenscheinlich als binäre cuhischc Function
betrachtet werden. Wir lernen daher für diese Function eine
neue geometrische Deutung kennen. Sie reprüsentirt nämlich
hier drei Linienpaarc (resp. Punldepaare) , ivelche einen in-
üolutorischen Verein bilden. (Vgl. Nr. 39.) Ist nun die Dis-
criminante dieser Function gleich Null , su fallen von den
drei durch sie dargestellten Gebilden zwei zusammen, z. ß.
{AB) mit {BB) und {AC) mit (J56'); d. h.: es fällt A mit
B zusammen, und die gemeinsame Secante der beiden Curven,
{AB) geht über in eine gemeinsame Tangente. Da aber der
Berührungspunkt dieser Tangente für beide Kegelschnitte der-
selbe ist, so sagt man: Bie Kegelschnitte berühren sich in
einem Ptmlie.

Fällt auch noch C mit B zusammen, so sind die vier
Schnittpunkte der Kegelschnitte durch zwei Berührungspunkte
(A und C) ersetzt, und von den drei oben aufgezählten Liuien-
paaren ist das erste das Paar der gemeinsamen Tangenten
geworden, die beiden anderen fallen mit der (vierfach zu
zählenden) Secante {AC) zusammen.

Man erhält ferner folgende reciproke Resultate: Die
Curve c = la-\- ^b zerfällt in ein Punktepaar, wenn (c^) = 0
ist. Es giebt drei solcher Punktepaare, nämlich die 6 Punkte,
in denen die vier gemeinsamen Tangenten der Curven a und b
sich schneiden. Ist die Discriminante von (c^) gleich Null,
so fallen zwei dieser Punktepaare, mithin auch zwei der vier
Tangenten zusammen. Man hat dann ebenso wie vorher eine
Doppel-Tangente, woraus wieder folgt, dass die Kegelschnitte
sich berühren.

Bie Contravariante von y. — Dieselbe ist, wie früher
gefunden, durch (y-) ausgedrückt, oder, wenn man für y seinen
Werth setzt, durch:

(j,^) = V-{a^) + 2kii{ccß) + ii^ß') = 0.

Giebt man in den Ausdrücken («'-), {aß), {ß"^), welches
die schon bekannten Contravarianten von a und ß sind, der

— 246 -

Variableu (\x) einen festen VVertli, so kann man diese Aus-
drücke als constant, und die Gleichung {y"^) = 0 (insofern sie
durch X und ^ ausgedrückt ist) als binäre quadratische Function
ansehen. Dieselbe drückt alsdann irgend zwei Punkte aus,
in denen die beiden Kegelschnitte a und ß von der Geraden
(|.r) geschnitten werden, d. h., wenn M und M^ die Schnitt-
punkte mit «, und N und iVj diejenigen mit ß sind, nach Aus-
wahl eines der Punktepaare (JfJN^), {MN^), {M^N), {M^N{).
Ist die Discriminante dieser quadratischen Form gleich Null,
so fällt eins dieser Punktepaare in einen einzigen Punkt zu-
sammen; d. h. : die Gerade (|^) geht durch einen der vier
Schnittpunkte der Kegelschnitte cc und ß. Man kann daher
diese gleich Null gesetzte Discriminante

{a^).(ß^)-[{aß)Y- = 0,
die in Bezug auf {\x) offenbar vom vierten Grade ist, als
die Gleichung einer Curve vom vierten Grade hetrachten, die
in vier PunMe (reciprok: vier Geraden) einer Ebene verfallen
ist, nämlich in die vier Schnittpunhte der Curven a und ß.
127. Specicüe Fälle der Function y. — a) Es ist noch zu

untersuchen , welche besonderen Eigenschaften ein durch
y = Xa -\- [iß dargestellter Curvenbüschel hat, wenn ß das
in Nr. 119 erwähnte, in unendlicher Entfernung liegende
Parallelenpaar ist. Wir bestimmen zunächst für die Punkte-
paare (A, B) und {ü, V), in denen a und ß von einer be-
liebigen Geraden geschnitten werden, das gemeinsame har-
monische Paar. Dasselbe besteht offenbar aus dem Mittel-
punkte von A und B, und dem unendlich fernen Punkte U
selbst. Da nun diese Punkte auch mit jedem Punktepaare
(^jjB,) harmonisch sind, in welchem eine der Curven y von

der Geraden geschnitten wird , so ist der Punkt C = — —^ —

auch der Mittelpunkt des Paares {A^B^. Der Kegelschnitt-
büschel y hat also die Eigenschaft , dass alle Sehnen, welche
von einer beliebigen Secante auf seinen Curven abgeschnitten
werden, denselben MittelpunM haben. Zieht man nun beliebige
Secanten durch den Mittelpunkt M einer dieser Curven, so
werden die zugehörigen Sehnen dieser, und mithin auch der
übrigen Curven, in M halbirt; d. h.: M ist der gemeinsame
Mittel/punht aller Curven des Büschels. Vermöge beider Eigen-

— 247 —

schatten bezeichnet nifin diese Curven als ähnliche und ähn-
lich liegende concentrische Kegelschnitte.

Anmerkung. Da der Mittelpunkt der Parabel der unendlich
ferne Punkt ihrer Axe ist, so werden concentrische Parabeln solche
sein, deren Axen (auch der Richtung nach) zusammenfallen.

Da die Doppellinie ß von jeder Geraden in einem Doppel-
punkte geschnitten wird, so sind auch die Schnittpunkte von
a und ß zwei Doppelpunkte auf jener Linie; man kann daher
diese Punkte die Berührungspunkte von a und ß nennen.
Von den 6 durch die vier Schnittpunkte gehenden gemein-
samen Secanten fallen also 4 mit der Geraden ß zusammen;
die beiden anderen sind die gemeinsamen Tangenten von
a und ß, oder, da sie die Linien sind, welche a in seineu
beiden unendlich fernen Punkten berühren, die Asymptoten
von a. Betrachtet mau nun die Asymptoten als Polaren des
Kegelschnittes, so sind ihre Berührungspunkte, d. h. die un-
endlich fernen Punkte, die zugehörigeu Pole, und der Schnftt-
punkt der Asymptoten ist der Pol der Verbindungslinie jeuer
Punkte, d. h. der Pol der unendlich fernen Geraden. Hier-
nach aber fällt der SchnittpunM der Asymptoten mit dem
MittelpunJit der Ctirve zusammen. Man kann also die Asym-
ptoten eines Kegelschnitts als die von seinem MittelpunJit aus
gezogenen Tangenten bezeichnen.

Da die gemeinsamen Tangenten von a und ß auch die
gemeinsamen Tangenten des ganzen Büschels sind, so folgt
noch, dass alle Curven des Büschels dieselben Asymptoten haben.
Endlich kann man die Asymptoten selbst als dasjenige Linien-
paar bezeichnen, in welches einer der Kegelschnitte des
Büschels zerfällt.

h) Es ist ferner zu untersuchen, welche besonderen Eigen- 128.
schaffen eine durch c = Xa -\- ^b dargestellte Curvenreihe
hat, wenn b der in Nr. 119 erwähnte, in unendlicher Ent-
fernung liegende Doppelpunkt ist. Wir bestimmen zunächst
für die Tangeutenpaare (a, b') und (m, u), die von einem
beliebigen Punkte der Ebene an a und b gezogen werden,
das gemeinsame harmonische Paar. Nun ist jedes Paar von
senkrechten Linien in der Ebene harmonisches Polarenpaar
des Kegelschnitts &, daher, wenn eine dieser beiden Linien
mit u bezeichnet wird, harmonisch zu dem Tangentenpaare

— 248 —

(«, u). Andrerseits ist dasjenige Paar senkrechter Linien,
welches die Winkel von a und h' halbirt, mit diesem Linien-
paare harmonisch, also das gesuchte Paar. Da nun diese
Linien auch mit jedem Taugentenpaare (a,', &/) harmonisch
sind, welches an eine der Curven c von dem gegebenen

Punkte aus gelegt wird, so ist die Linie c = ^'^ — auch

die Mittelrichtuug des Paares («,', h^). Die Kegclschnittreilie c
hat also die Eigenschaft , dass die Winkel aller Tangentenpaare,
die von einem 'beliebigen Punkte der Ebene an seine Curven
gesogen iverden, durcli dieselbe Linie halbirt werden. Diese
Halbirungslinie fällt aber (nach den in Nr. 19. 26. 32 auf-
gestellten Sätzen) mit der Halbirungslinie des Winkels der
von dem gegebenen Punkte nach den Brennpunkten dieser
Curven gezogenen Linien zusammen. Und da dies für jeden
Punkt der Ebene gilt, so folgt, dass alle Kegelschnitte der
Cttrvenreihe dieselben BrennpimMe haben. Vermöge letzterer
Eigenschaft bezeichnet man diese Curven als confocale Kegel-
schnitte.

Anmerkung. Da der zweite Brennpunkt der Parahel der unend-
lich ferne Funkt ihrer Axe ist, so werden confocale Parabeln solche
sein, deren Brennpunkte und Axen (auch der Richtung nach) zusammen-
fallen.

Um diejenigen Punkte einer Curvenreihe zu finden, welche
den Asymptoten des Curvenbüschels entsprechen, erinnern
wir uns, dass die Asymptoten mit derjenigen Curve des
Büschels, welche in ein Linienpaar zerfiel, identisch waren.
Demnach sind die erdsprechenden PunJcte einer Curvenreihe
diejenigen, in ivelche eine Curve dieser Reihe zerfällt , d. h. das
Paar der den Curven der Reihe gemeinsamen Brennpunkte.

Wenn ferner die Asymptoten als die aus dem gemein-
samen Mittelpunkt an die Curven des Büschels gelegten
Tangenten bezeichnet wurden, so sind reciprok die Brenn-
punkte die imaginären Schnittpunkte der unendlich fernen Ge-
radeti mit den Curven der Reihe. (Vgl. Nr. 54.)

Legt man an zwei confocale Kegelschnitte die Tangenten
aus einem ihrer Schnittpunkte, so fällt jedes Tangentenpaar
in eine einzige Tangente zusammen, und der Winkel der
zusammenfallenden Tangenten ist für den einen Kegelschnitt

__ 249 —

180", für den andern 0". Da beide Winkel durch dieselbe
Gerade halbirt werden, so steht die eine Doppeltaugente auf
der anderen senkrecht, und man hat den Satz: Confocale
Kegelschnitte scJmeiden sich unter rechtem Winliel.

2) Drei Functionen zweiten Grades haben noch die ge- 129.
meiusame Covariante:

Die Gleichung

iUl) = 0

sagt aus, dass die drei Geraden |, >/, ^, d. h. die Polaren ein-
■iind desselben FunJdes x in Bezug auf die drei Kegelschnitte,
durch denselben Ptmlä gehen. Mitliin ist die durch die Gleichung

aßyx^ = 0

ausgedrücJcte Curve dritten Grades der geometrische Ort für alle
PunJcte X, welche diese EigenscJiaft besitzen.

Wenn (1»?^) identisch Null ist, so besteht zwischen den
drei Functionen, deren Fuuctionaldeterminante diese Grösse
ist, eine Zahlbeziehung (nach Nr. 73); d. h. die drei Curven
schneiden sich in denselben vier Punkten. Man hat in Folge
dessen die reciproken Sätze :

Die Polaren jedes PunJctes \ Die Pole jeder Geraden der
der Ebene in Bezug auf die 1 Ebene in Bezug auf die Curven
Ourvoi eines Kegelschnitt- einer Kegelschnittreihe liegen
biischcls gehen durch denselben \ auf derselben Geraden, bilden
Punld, bilden also einen Po- \ also eine Polreihe,
larenbüschel. \

Haben die drei Kegelschnitte a, ß, y einen gemeinsamen
Funkt Ä, so geht nach Nr. 73 auch die durch die Functional-
deterrainante aßyx^ =^0 bestimmte Curve durch diesen Punkt;
und da für x = A auch aßyx- = 0 ist, so ist A ein Doppel-
pmikt der Curve. — Wenn ferner a, ß,y zwei gemeinsame
Punkte {A, B) haben, so hat die Curve dritten Grades ztvei
Doiipelpunkte , und zerfällt daher in die Gerade {AB) und
einen durch die Punkte A und B gehenden Kegelschnitt, weil
andernfalls die Gerade {AB) die Curve in vier Punkten (den
beiden Doppelpunkten) schneiden würde, was nicht möglich
ist. — Wenn endlich a,ß, y drei gemeinsame Punkte {A, B, C)

- 250 -

haben, so verfällt die Curvc dritten Grades aus demselben
Grunde in die drei Geraden (AB), {BC), {CA).
130. Contravarianten. Vergleichen wir die Contravarianten

der ternären mit den Invarianten der binären quadratischen
Functionen, so zeigt sich, dass aus jeder der letzteren eine
der ersteren hervorgeht, indem man in jeder Klammer den
Factor (|^) hinzufügt. Demgemäss können wir aus der ge-
meinsamen Invariante von drei binären quadratischen Functio-
nen folgende Contravariante von drei ternären quadratischen
Functionen bilden:

{X . rii){]x . i&) {\x . .0-7?) = aßy .^^ = 0.

Sie stellt hiernach eine Ciirve dritter Classe dar. Um ihre
Beziehung zu den drei gegebenen Kegelschnitten kenneu zu
lernen, nehmen wir (wie an entsprechender Stelle in Nr. 124)
au, dass

sei. Dann ist wieder

{\x.ri^) = {ri^y, Qx . ^9) = {^»y, {\x . ^n) = i^v)-
Die Gleichung der Contravariante wird

(r]^){^^){^rj)=0, ^
und diese Gleichung sagt aus, dass die Punktepaare «, /3, y,
in denen die gleichbenannten Curven von der Linie ( c.,) ge-
schnitten werden, involutorisch sind. (Nr. 96.) Demnach ist
die Gleichung

aßyi^ = 0

die Bedingung dafür, dass die drei Kegelschnitte a, ß, y von
der Linie | in involtdorischen PunJctepaaren geschnitten werden,
und man hat die reciproken Sätze:

Alle Geraden, ivelche von drei ! Alle FimMe, in denen sich
gegehenen Kegelschnitten in in- \ involiitorische Tangentenpaare
volutorischen PunJctepaaren ge-
schnitten iverden, umhidlen eine
Curve dritter Klasse.

dreier Kegelschnitte schneiden,
liegen auf einer Curve dritten
Grades.

Die Massbeziohnngeii in der Ebene.

131. Im zweiten Abschnitte der Einleitung (Nr. 5 ff.) wurde

gezeigt, dass die Entfernung zweier Punkte auf einer Ge-

— 251 -

raden als specieller Fall des Richtuugsuuterschiedes zweier
Geraden iu der Ebene, imd die Gleichheit zweier Strecken
als harmonische Beziehung ihrer Endpunkte auf ein Grand-
gebilde (den unendlich fernen Punkt) betrachtet werden kann.
Mit Hilfe der nunmehr beendeten Theorie der Kegelschnitte
können wir jetzt analoge Betrachtungen im Gebiete der Ebene,
wie dort im Gebiet der Geraden austeilen,

.Es seien e, , e^, % drei auf einander senkrechte Radien
einer Kugel, und (6162%) '^ ^•

Ferner seien x und y zwei andere beliebige, vom Mittel-
punkte der Kugel ausgehende Strecken, und

aj = /l, ßi + Ajßj + h^sj

Wenn dann -9- der Winkel zwischen x und y ist, so hat mau
(„Raumlehre" Nr. 154) folgende Beziehungen:

{xy) = (A,^ — ^2f^i){^i^2) + ('^2^3 — -^'3 ^2) (62^3)

l/{X^ ^o — /lo^i)^ 4- (^2^3 — -^3 /*2)"^ + ftfV— ^i~S?

= j/A,2 4- A;-^ + A32 . ^^,2 _|_ ^^2 _|_ ^^2 . sin ^.

^l ^1 + ^-2 i^2+h^-i = /'^l'-'+V+V • /f*r^+i^2'+f*3-' • COS 9;

mithin in abgekürzter Bezeichnung:

(1) sin^=-^Mt_; cos^= _^\y)_

wodurch ■9- als arcus sinus des einen, oder als arcus cosinus
des anderen Ausdrucks bestimmt ist.

Betrachten wir nun die Strecke y als constant, x als
variabel, so repräsentirt die Gleichung

(2) y{xy)^ = 0

eine Radialstrecke, welche mit ?/ zusammenfällt, dasin9' = 0
ist (oder auch weil aus dieser Gleichung folgt: [xy) = 0).
Und die Gleichung

(3) (^!2/) = 0

stellt jede Radialstrecke vor, welche auf y senkrecht steht

— 252 —

(eins analogen CJründeii), d. li. die auf y senkrechte Ebene
des grössten Kreises.

Betrachtet man endlich in den Gleichungen (1) v/ und O'
als coustaut, so repräsentirt jede dieser Gleichungen alle jene
Streckenpaare x, welche von y nni den Winkel ^ abweichen,
d. h. die Fläche eines geraden Kegels von kreisförmiger Basis,
dessen Spitze in das Kugelcentrum fällt, dessen Axe die
Strecke y , und dessen Winkel an der Spitze für jeden Axen-
schnitt 2^ ist. Jeder Axenschnitt trifft hiernach die Kegel-
fläche in zwei Seitenlinien, welche harmonisch sind mit y
und mit der Linie, in welcher die Ebene (3) durch den Axen-
schnitt getroffen wird.

Für verschiedene Winkel & erhält man verschiedene
Kegelflächeu, die durch einen gemeinsamen Axenschnitt in
involutorischen Linienpaaren geschnitten Aterden.

Es seien ferner | und r] zwei beliebige Flächentheile,
deren Ebenen durch den Mittelpunkt der Kugel gehen. Wir
können dieselben als Ergänzungen der auf ihnen senkrecht
stehenden Radialstrecken betrachten, und aus den Ergänzungen
der Strecken e, , e^, e^ ableiten. Demnach sei :

Wenn dann d'' der Neigungswinkel der Ebene r] und der
Strecke x ist, so erhält man die zu (1) analogen Formeln:

(la) sin O' = — _-i '^ - 5 cos 0' =

worin

(x\rj) = (A, m.^ — A, w,) {c^ e,) + (A, m._^ — A^ m,) {e.^ e.^)

+ (A3m, — AjWgCcgC,)
ist.

Betrachten wir tj als constant, so repräsentirt die Glei-
chung yipcri)^ = 0 alle in iq liegenden Radialstrecken x, d. h.
die Ebene rj selbst; und {x\yi) = 0 die auf y] senkrecht
stehende Radialstrecke. Ferner drückt jede der Gleichungen
(la) für constantes y] und %•' alle Paare x aus, welche mit yi
den Winkel -0-' bilden, d. h. eine Kegelfläche, deren Spitze

— 253 -

im Kugelcentrum liegt, deren Axe die auf 7] senkrecht stehende
Radialstrecke, und deren Winkel au der Spitze für jeden
Axenschnitt 2B — 2d-' ist. Die weiteren Folgerungen sind
ganz analog denen des vorigen Falles.

Wenn endlich &" der Neigungswinkel der Ebenen | und r]
ist, so hat man:

(Ib) sin r = -^3^1^', co&^"^^.J_^ri)

Die Werthe von (|i^)— und (11?;) gehen aus denen für
{xy)~ resp. {x\y) hervor, wenn man darin die griechischen
Buchstaben durch die entsprechenden lateinischen ersetzt.

In der geometrischen Deutung treten Ebenen, die durch
den Kugelmittelpunkt gehen, an die Stelle der Radialstrecken,
und umgekehrt. Für constantes ri und %•" stellt jede der
Gleichungen (Ib) die Geg*mmtheit der Ebenen dar, welche
eine Kegelfläche umhüllen, die von gleicher Beschaffenheit
ist, wie die vorige.

Bisher war die Grösse der Strecken x und tj, und die 132.
der Flächentheile | und ri unbestimmt gelassen. Bestimmen
wir dieselben zuerst durch die Gleichungen:

k- + h^ + ^3' = 1; '>< + *>^2- + W = 1 •

Dann liegen die Endpunkte der Strecken x und y auf der
Kugelfläche, und die Ränder der Flächentheile | und yj sind
grösste Kugelkreise. Bezeichnen wir die Endpunkte ebenso
wie die Strecken, und die Kugelkreise ebenso wie die Flächen-
theile, so ist d- das Mass für den Abstand der Punkte x und y]
d-' das Mass für den Abstand des Punktes x von dem Kreise -j^;
d'" das Mass für den Abstand der Kreise | und r]. — Es wird
ferner die Kegelfläche, deren Winkel an der Spitze oben gleich
2d- gefunden wurde, von der Kugelfläche in einem Kreise x
geschnitten, dessen Punkte alle von y gleichweit entfernt sind,
während die beiden Punkte x, deren Abstand von y durch O-
ausgedrückt ist, die Endpunkte eines Durchmessers sind. Und
auf dem grössten Kugelkreise, welcher durch einen Axen-
schnitt des Kegels bestimmt ist, wird der Punkt y nebst dem
einen der um 90'' von ihm entfernten (durch (x\y) = 0 be-
stimmten) Punkte ein harmonisches Polenpaar des Kreises x

— 254 —

bilden. Ueberhaupt wird man zu jedem Punkte auf der
Peripherie des Axenschnittes den zugeordneten harmonischen
Pol in Bezug auf a bestimmen können, und ebenso zu jedem
Punkte X auf der Kugelfläche die Polare | in Bezug auf x.
Wie in der Ebene auf einer durch x gelegten variablen Ge-
raden der zu x zugeordnete harmonische Punkt eine Gerade
(die Polare von x) durchläuft, so kann man auch festsetzen,
dass in der Kugelfläche auf einem durch x gelegten variablen
grössten Kugelkreise der zu x zugeordnete harmonische Punkt
einen grössten Kugelkreis beschreibe. Die Polare von x ist
hiernach derjenige grösste Kugelkreis, welcher auf dem durch
X bestimmten Radius senkrecht steht, fällt also mit der Peri-
pherie der Ergänzungsfläche von x zusammen. — Da nun die
Polare von x vollständig bestimmt ist, so ist durch diese Fest-
setzung auch der Kreis x bestimmt. Und zwar ist jedes Paar
von Punkten auf der Kugelfläche, dessen Abstand 90" beträgt,
ein Polenpaar, und jedes Paar von senkrecht auf einander
stehenden grössten Kugelkreisen ein Polareupaar dieses Krei-
ses. Wenn wir nun in den Formeln (1), (la), (Ib) die Grössen
X und ?/, wie schon oben festgesetzt, als Punkte auf der
Kugelfläche betrachten, und die Grössen | und ri als ihre
resp. Polaren in Bezug auf x, so haben wir, da diese Polaren
die Ergänzungen von x resp. y sind, in den Ausdrücken für
§ und 7] nur die Grössen l und m resp. durch A und ft zu
lersetzeu. Dann aber wird:

{xy) = {x\ri) = (|i?);
{x\y)= (xrj) =(||)?);

folglich ;

sin d' = cos §•' = sin ■9'";
cos d- = sin &' = cos ^"-^

In Worten : Der Abstand zweier Funkte auf der Kugelfläche
ist gleich dem Abstand ihrer Polaren; der Abstand zweier
grösster Kugelkreise ist gleich' dem Abstand ihrer Pole; der
Abstand eines Punktes von einem grössten Kugelkreise ist das
Complement seines Abstandes vom Pol des Kugelkreises, oder
das Complemcnt des Abstandes seiner Polare von dem Kugel-
kreise. — Das erstere dieser beiden Complemente ist, wie

- 255 —

noch zu bemerken ist, gleich dem Abstände des Punktes von
demjenigen Punkte des grössten Kugelkreises, in welchem
dieser letztere von einem durch den gegebenen Punkt gelegten
Kugelkreise senkrecht geschnitten wird.

Wir nehmen nun an, dass, während der Punkt y fest 133.
bleibt, der Mittelpunkt der Kugel in' uuendhche Entfernung
rückt, und wollen alle bei Betrachtung der Kugeloberfläche
erhaltenen Resultate für diesen Fall specialisiren. Zunächst
geht die Kugelfläche selbst in eine Ebene über, und ihre
grössten Kugelkreise in gerade Linien, die sich unter den-
selben Winkeln schneiden, wie jene. Der Kreis x, in Bezug
auf welchen die Begriffe „Pol" und „Polare" anzuwenden
sind, hat die Eigenschaft, dass jedes Paar von senkrecht auf
einander stehenden Geraden ein Polarenpaar für ihn ist;
mithin ist er der in Nr. 119 besprochene unendlich ferne
Doppelpunkt-Kegelschnitt. Es ist ferner d-, der Abstand der
Punkte X und y, die gerade Strecke zwischen diesen Funkten;
#', der Abstand des Punktes x von der Geraden t}, ist, wie
aus der vorhin gemachten Bemerkung ersichtlich, gleich dem
Abstand des Punktes x von demjenigen Punkte der Geraden i],
in ivelchem diese letztere von einer durch x gelegten Geraden
senkrecht geschiitten ivird. (Mithin ist dieser Fall auf den
vorigen reducirt.) Dagegen lässt sich d-'\ der Abstand der
Geraden | und tj, nicht durch den Abstand zweier Punkte
ausdrücken. Denn da die Polare jedes Punktes der Ebene
in Bezug auf x die unendlich ferne Gerade ist*), so ist auch
der Pol jeder Geraden ein unbestimmter Punkt auf jener Ge-
raden; es liefert daher die Regel, dass der Abstand zweier
Geraden gleich demjenigen ihrer Pole ist, kein bestimmtes
Resultat mehr.

Da nun in der Ebene jeder Punkt x schon aus zwei
Einheiten, nämlich aus zwei mit x in derselben Geraden
liegenden Punkten e^ und e.^ abgeleitet werden kann (deren
Entfernung man als Masseinheit für die Entfernung zweier

*) Da man die beiden unendlich fernen Punkte x auf jeder Ge-
raden der Ebene in entgegengesetzter Richtung liegend annehmen kann,
so ist in der That jeder Punkt der Ebene Mittelpunkt von x, also seine
Polare die unendlich ferne Gerade.

— 256 —

Punkte betrachten kann); und da ebenso in der Ebene jede
Gerade ^ schon aus zwei Einheiten (|e^) und (jßa)? nämlich
zwei auf einander senkrechten Strecken abgeleitet werden
kann (deren Richtungsunterschied man als Masseinheit für
den Richtungsunterschied zweier Geraden betrachten kann);
so wird man die Formeln (1), (la), (Ib) auf diese einfacheren
Gruppen von Einheiten beziehen, wenn man in den Ab-
leitungsformeln für X, y, I, VI, die mit dem Index 3 versehenen
Zahlen gleich Null setzt. Dadurch nehmen jene Formeln die
einfachere Gestalt an:

(4) sin %^ = ,. 1- .,.7 ; cos ■& = T, — —- ,y - :

(4a) sin -9^ = ,, -17^—^ ; cos xt = tt= ^~=^r-= •

,.,, . ^,, hiiu — Unii ^„ Z. »1,-1-^2^2
(4b) sm ^ = ,7, — -- ,/— ^' : cos -& ^= ,7 —^ ,/_ ^ -^ .

Die Formeln (4) sind nun identisch mit den P^ormeln (1) in
Nr. 5, und es greifen alle an jener Stelle aus diesen Formeln
gezogenen Folgerungen Platz, namentlich auch die, dass die
Masseinheit willkürlich wird. — Die Formeln (4a) können
auf die vorigen reducirt werden, da die Gerade rj, wie oben
gezeigt, darin durch einen Punkt 2 = v^c^ -\- v^e^ ersetzt
werden kann. — Nur die Formeln (4b) können nicht weiter
vereinfacht werden; d-" ist der Richtungsunterschied der bei-
den Geraden, und der rechte Winkel bleibt die Masseinheit,
wie in Nr. 7 ausführlicher dargethan ist.

Anmerkung. Der Uebergang von dieser Dai'stellung zu der ge-
wöhnlichen (vgl. Anm. zu Nr. 7) erfolgt durch die Substitutionen:

^1 = ^1^1 + 71^2+^1^3; f2==ß2ei + y2e2+«J2^3; ^3= ß3^1 + y3<^2+*3«3,
fil = ^l2/l + ß2 2/2 + <J3 2/3; M2 = yi2/l + 722/1 + 732/3! f^S ='^1 2/1 + ^2 2/2 +^3 2/3-

Dann ist

x = XiS^-\-Xzi2-\-X3^; ?/ = 2/|f, + 2/2^2 + 2/3^3.
Setzt man ferner

|Jl' + 71' + «^l' = «M ßlß2 + 7l72 + ^l<y2 = «12 _

^2' + 72^^ + ^2- = «22 ßa ß3 + 72 73'+ ^2 ^3 = «23 (^=1 H ^i) = V^,

ßs' + 73^ + ^3^ = «33 ßzßy + ßlß2 + ^1^3 = «31

so ist:

— 257 —

^•i''' + V + V = «■'■'■; fti'- ■}- !^2' + ^3" = <^y-i

^•i."i + ^■2."2 + ^3,"3 == cix . y;
(lifi. — Aau,)« + {loU;, — l^fi,,,^ + (;.3|u, — ;.,U3^2 =, (a;y)^
Demnach :

sin- {)• = ~V^ — 5- ; tos« «• = , -^ , .
«a?^ . cty- cccc' . ay^

Sei ferner:

i = li fi + ^2 f2 + l3!f3; *? = »ji'fi + »?2>2 + »;3 fs;

so ist entsprechend:

Sin^ ^ = ^ — - ;

ccx- . aj]^

a^- . a Tj- ae,^ . ari-

worin

{X n) = X, r]t (f, ; £i) -\- X. >J,(f2 f2) + 'i'3'y3(^3 fs) == ^^(^■l'?l + *2»j2 + a3 »Js».

•

und o in dem in der Anm. in Nr. 121 festgestellten Sinne gehraucht ist.
Hiermit sind in kürzester Bezeichnung diejenigen Formeln hergestellt,
deren weitere Specialisirung die Ausdrücke des Abstandes zweier Punkte,
eines Punktes und einer C4eraden, zweier Geraden liefert. Diese Spe-
cialisirung mag hier übergangen werden, da sie keine, für die Aus-
dehnungslehre characteristischen Momente bietet, und nach Analogie
der AnmerkunET zu Nr. 7 leicht ausgeführt werden kann.

Berichtigungen.

S. 12. Z. 20 V. u, sind die Worte „wenn — setzen" zu streichen.

S. 59. Z. 8 V. o. lies „e" statt ,,2)".

S. 144. Z. 10 V. 0. lies „dann" statt ,,denn".

S. 162. Z. 7 V. u. gehören die Punkte vor ^•'- in den Exponenten.

Schlcgfl, Kiemeute. 17

Verzeichniss der erklärten Ausdrücke.

Nr.

Nr.

Absolute Invariante

109

Centrum der Involution

37

Adjungirtes System

G5

— harmonisches 90. 99.

105

Aehnlichkeit

43

— 1. Ordnung d. Kegelschnitte

115

— symmetrische

43

Character der Covariante

78

Aehnlichkeitsaxe

57

Circuläre Multiplication

13

Aelinlichkeitspolare

58

Collinearität

42

Aehnlichkeitspunkt

56

Complexe Multiplication

15

Aequianharmouische Gebilde

47

Concave Seite der Ellipse

18

Aeussere Multiplication

15

— — der Hyperbel

25

Affinität

43

der Parabel

31

Algebraische Multiplication

15

Concentrische Kegelschnitte

127

Alternirende Function

64

Concomitante

80

Apollonisches Problem

58

Confocale Kegelschnitte

128

Asymptoten der Hyperbel

25

Congruente Determinante

64

Asyraptotenwinkel

•26

Cougruenz

43

Axen der Ellipse

17

— symmetrische

43

— der Hyperbel 23

. 24

ConjugirteDurchmesserd. Ellipse 22

Axe der Parabel

30

der Hyperbel

29

Contravariante

82

Berührung von Kreis u. Ellipse

18

Convexe Seite der Ellipse

18

— von Kreis und Hyperbel

25

der Hyperbel

25

— von Kegelschnitten

126

der Parabel

31

Berührungssecante

58

Covariante

78

Bezout-Cayley'sche Methode

71

— unabhängige

87

Brennpunkt der Ellipse

17

Curve

113

— der Hyperbel

24

— der Parabel

30

Determinante

59

— der Involution

37

— congruente

64

Brianchon'sches Sechseck

48

— Hesse'sche

74

Brianchon'scher Punkt

48

— reciproke

65

— symmetrische

64

Canonische Form

90

Directrix der Ellipse

20

Centrale harmonische

114

— der Hyperbel

27

Centralpunkt

54

— der Parabel

32

- 259 -

Nr.

Nr.

Discriminante

110

Involution

37

Doppelpunkte der Involution

37

— von 5 Punkten

37

— homologe

56

Involutor. Geradenverein

39

Doppelsecante , homologe

56

— Punktreihe

37

Durchmesser der Ellipse

17

— Punktverein

39

— der Hyperbel

24

— Stralenbüschel

37

— der Parabel

30

Kegelschnitte

IIa

Ellipse

17

— concentrische

127

Excentricität der Ellipse

21

— confocale

128

— der Hyperbel

•28

Kegelschnittbüschel

125

Kegelschnittreihe

125

Formensystem

87

Functionaldeterminante

72

Leitcurve der Ellipse

17

Function, alternirende

64

— der Hyperbel

23

Leitlinie der Parabel

30

Gerade, Hesse'sche

49

Leitpunkt der Ellipse

17

— Steiner'sche

51

— der Hyperbel

23

— unendlich Tema

4

— der Parabel

30

Geradenverein , involutorischer

39

Leitstralen der EUipse

17

— projecti vi scher

46

— der Hyperbel

24

Gesammt-üeberschiebung

85

— der Parabel

30

Grad der Covariante

78

Lineale Multiplication

14

Linie, Pascal'sche

48

Harmonie

36

Lücke

8

Harmonische Centrale

114

— Centrum 90. 99.

105

Mittelpunkt der Ellipse

17

— Pol des Kreises

55

— der Hyperbel

24

— Pol des Kegelschnitts

114

— dej: Parabel

30

— Polare des Kegelschnitts

115

Modulus der Transformation

62

— Punktreihe

36

Multiplication , äussere

15

— Stralenbüschel

36

— algebraische

15

Hauptaxe der Hyperbel

23

— circuläre

13

Hauptzahl des Quotienten 41

. 42

— complexe

15

Hesse'sche Determinante

74

— innere

15

— Gerade

49

— lineale

14

— Punkt

51

— symmetrische

12

Homologe Punkte

56

Multiplicationstheorem d.Determ. 6 1

— Secanten

56

Hyperbel

23

Nebenaxe der Hyperbel

24

Normale Substitution

63

Imaginäre Schnittpunkte

54

Inhaltsgleichheit

43

Ordnung der Covariante

78

Innere Multiplication

15

Originalsystem

62

Invariante

79

Orthogonale Substitution

63

— absolute

109

; Orthogonalkreis

54. 57

— 260 —

Parabel

Parameter der Ellipse

— der Hyperbel

— der Parabel
Pascal'sche Linie

— Sechsseit
Perspectivität
Perspectivische Punktreihen

— Stralenbüschel

Pol, harmonischer, des Kreises

des Kegelschnitts

Polare, harmonische, des Kegel-
schnitts
Polarenbüschel
Polargleichung der Ellipse

— der Hyperbel

— der Parabel
Polreihe
Potenzliuie
Potenzpmikt

Potenzwerth des Quotienten 41

Projectivität

Projectivischer Geradenverein

— Punktreihe

— Punkt verein

— Stralenbüschel
Punkt , Brianchon'scher

— Hesse'scher

— homologer

— Steiner'scher

— unendlich ferner
Punktreihe, harmonische

— involutorische

• — perspectivische

— projectivische
Punktverein, involutorischer

— projectivischer

Nr.
30
20
27 !
32
48
48
45
45
45
55
114

115

129
21
28
33

129
53
57

, 42
44
46
44
46
44
48
51
56
49
2
36
37
45
44
39
46

Reciprokalcurvc
Reciprokaldeterminante
Reciproke Substitution
Resultante

Nr.

121

65

80

68. 95

Quotient 41. 42

Radius Vector der Ellipse 17

der Hyperbel 24

der Parabel 30

Rechtwinklige Hyperbel 26

Scheitel der Parabel 31

Schnittpunkt, imaginärer 54

Secante, homologe 56

Sechseck, ßrianchon'sches 48

Sechsseit, Pascarsches 48

Spitzwinklige Hyperbel 26

Stammform 87

Steiner'sche Geraden 51

— Punkte 49
Stralenbüschel, harmonischer 36

— involutorischer 37

— perspectivischer 45

— projectivischer 44
Stufenzahl der Covariante 78
Stumpfwinklige Hyperbel 26
Substitution, orthogonale 63

— reciproke 80
Snbstitutionsdeterminante 62
Sylvester's Methode 69
Symmetrische Determinante 64

— Multiplication 12

Tangente der Ellipse 18

— der Hyperbel 25

— der Parabel 31

— gemeinsame, zweier Kreise 56
Tangentialgebilde 81
Theile der Ueberschiebung 85
Transformirtes System 62
Transposition 59

Ueberschiebung 84

Unendlich ferne Geraden 4

— ferne Punkte 2
Unterdeterminante 65

Verwan dtschaf t
Zwischenform

41. 42

80

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QA ;

205 :
S52 !

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AUTHOR

Schlegel

28515

1

TITLE

System der

raumlehre

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DATE DUE

BORROWERS

NAME

QA

205

S52

28515